线性代数15 克拉默法则习题课

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1.5 克拉默法则

证设f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn为一个次数不超过n的多项式, f(x)经过平面上n+1个点(xi,bi) (i1 2 n+1) , 当且仅当系数a0,a1, an满足以下n+1个方程
a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 a n x 1 b1 ,
2x1 x2 5x3 x4 x1 3x2 6x4 例 1 解线性方程组 x2 x3 2x4 x1 4x2 7 x3 6x4 8 9 5 0
解因为 D27 D181 D2108 D327 D427 所以所给方程组的唯一解为
§15 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组(n元一次方程组)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
设方程组的唯一解为x1=c1, x2=c2, x3=c3, 则
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 3 c 3 b1 a 2 1 c1 a 2 2 c 2 a 2 3 c 3 b 2 a c a c a c b 32 2 33 3 3 31 1
从而r(R)r(R,d), 故无解; (3) 当=1时, 仿(2)得方程组有无穷多解.
综上可知当2时方程组有解.
插值多项式的存在性及唯一性定理给定平面上n+1个点(xi,bi) (i1 2 n+1) , 设i≠j 时xi≠xj, 则存在唯一的一个次数不超过n的多项式f(x)使得 f(xi)=bi((i1 2 n+1).

《线性代数》1.5第五节克莱姆法则

按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列互换，有所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线性代数
(第二版)
第五节克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .

线性代数课件1-5克莱姆法则

线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零，则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保

1.5克拉默法则_线性代数_[共3页]

含有一列全零列，所以其值都为零. 则
1 D=
2 × (−1)(3+4)+(3+4) 75
92 = (31−144) × (−75) = 8475 .
72 31
0 −1
1.5
克拉默法则
在这一节，研究下列具有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组
⎧ a11x1 + a12 x2 + " + a1n xn = b1,
⎪⎪⎨a21 x1 ⎪
+ a22 x2 + " + a2n xn ""
=
b2 ,
⎪⎩an1x1 + an2 x2 +" + ann xn = bn .
（1.5.1）
若方程组（1.5.1）中，b1 = b2 = " = bn = 0 ，则称该方程组为齐次线性方程组，否则称为非齐次
线性方程组.
与二元、三元线性方程组相类似，它的解可用 n 阶行列式表示，这就是著名的克拉默（Cramer）
中每个方程，验证每个方程是否都变成恒等式.
22
阶行列式，即
a11 " a1, j−1 b1 a1, j +1 " a1n
Dj
=
a21 #
"
a2, j −1 #
b2 #
a2, j +1 #
"
a2n #
.
an1 " an, j−1 bn an, j+1 " ann
*证首先证明式（1.5.2）就是线性方程组（1.5.1）的解. 为此只要将式（1.5.2）代入方程组（1.5.1）

线性代数习题1.6克拉默法则

an1 an, j1
b1 a1, j1 a1n bn an, j1 ann
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§1.6 克拉默法则
x1 x2 x3 1
例1.
求解
x1 2 x2 x3 x4 8 2 x1 x2 3x4 3
3x1 3x2 5x3 6 x4 5
ex
:
k为
何
值,

kx1

x2

4 x3

0
, 有非零解.
4 x1 x2 x3 0
2k 3 解 : D k 1 4 0
4 1 1
k 2, k 11
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§1.6 克拉默法则
内容小结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
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§1.6 克拉默法则
则方程组有唯一解,其解为:
x1

D1 , D
x2

D2 , D
x3

D2 D
,
, xn

Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
a11 a1, j1 Dj
1.若常数项b1,b2 , ,bm不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组;
2.若常数项b1, b2, ,bm 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
线性代数

线性代数课件1-7克拉默法则

克拉默法则也可以用来判断线性方程组的解的情况，通过计算系数行列式和常数项的乘积，可以判断方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有唯一解；如果系数行列式为零但常数项的乘积不为零，则方程组无解；如果系数行列式为零且常数项的乘积为零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法，用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可以得到线性方程组的解。

线性代数(克拉默法则线性方程组例题

线性代数（五）克拉默法则1.法则：的系数行列式不等于零，即，那么该方程组有唯一解。

是用非齐次项代替中第列元素后所得的行列式。

注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。

定理4 如果线性方程组的系数行列式，则它一定有解，且解是唯一的。

逆否定理如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为零。

（三）线性方程组—线性方程组的解如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。

定理2 元齐次线性方程组（1）有唯一解，零解；（2）有非零解。

定理3（1）无解的充分必要条件是；（2）有唯一解的充分必要条件是；（3）有无穷多解的充分必要条件是基础解系齐次线性方程组为任意常数)，称通解式构成该齐次线性方程组的基础解系。

线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.。

若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为，齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”。

非齐次线性方程组：将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解。

若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由基。

(为任意常数)，不带参数部分是非齐次方程组的一个解；带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。

（三）线性方程组解的结构1. 解齐次线性方程组：{x 1+2x 2+x 3−x 4＝03x 1+6x 2−x 3−3x 4＝05x 1+10x 2+x 3−5x 4＝01.解：A=(12136−15101 −1−3−5)r 2+(−3)r 1；r 3+(−5)r 1→ (12100−400−4 −100)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→ (121001000 −100)r 1+(−1)r 2→ (120001000 −100) R(A)=2，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为{x 1=−2x 2+x 4x 3=0令x 2=1，x 4=0，则x 1=−2所以ξ1=(−2100)，令x 2=0，x 4=1，则x 1=1所以ξ2=(1001)，所以方程的基础解系：(x 1x 2x 3x 4)=c 1(−2100)+c 2(1001)2. 解非齐次线性方程组：{x 1+x 2−3x 3−x 4＝13x 1−x 2−3x 3+4x 4＝4x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝02.解：对增广矩阵B 进行初等变换B=(11−33−1−315−9 −1144−80)r 2+(−3)r 1；r 3+(−1)r 1→ (11−30−4604−6 −1171−7−1)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→(11−301−32000 −11−74−1400)r 1+(−1)r 2→ (10−3201−32000 3454−74−1400) R(A)=R(A, b)=2，方程组有解，同解方程组为 {x 1=32x 3−34x 4+54x 2=32x 3+74x 4−14x 3=x 3x 4=x 4它的一个特解为η∗=( 54−1400)，（解释一下基础解系如何求解？求基础解系只需把原本的非齐次线性方程组看成齐次线性方程组，即{x 1+x 2−3x 3−x 4＝03x 1−x 2−3x 3+4x 4=0x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝0）{x 1=32x 3−34x 4x 2=32x 3+74x 4x 3=x 3x 4=x 4基础解系为ξ1=( 323210) ，ξ2=( −347401)所以通解：(x 1x 2x 3x 4)=c 1( 323210) +c 2( −347401) +( 54−1400)。

线性代数1.5-克拉默法则

, 有
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2

ain bi a1n b1 0, ain bi ann bn
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。
2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为方形
非齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则如果方形线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
于是
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D ,
Dx j D j j 1,2,, n.
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , x n , D D D D
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
Dj D1 Dn 另外，可以证明 ai 1 aij ain bi D D D Dj D1 Dn x1 , , x j , , x n D D D

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例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
1 3 0 6
D
27 0,
0 2 1 2
1 4 7 6
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
2 1 5 1
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
1 3 0 6
D
27
0 2 1 2
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
1 4 7 6
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81,
2
0 4 7 6
D2 108, D3 27, D4 27,
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。 2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
证明用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
( a11x1 a1 j x j a1n xn )A1 j b1 A1 j
( a21x1 a2 j x j a2n xn)A2 j b2 A2 j
(12)
( an1x1 anj x j ann xn )Anj bn Anj
x1
D1 D
3,
x2
D2 D
4,
x3
D3 D
1,
x4
D4 D
1.
例2 问取何值时，齐次方程组
1
2
x1
x1 3
ai1
ai 2
ain
bi
0,
ai2 (1)12(1)n2 D2 aij (1)1 j (1)n j Dj
an1 an2 ann bn
ain (1)1n(1)nn Dn
bi (1)1(n1) D 0,
ai1(1)n1 D1 aij (1)n1 D j ain (1)n1 Dn
定理若齐次线性方程组的系数行列证明：若系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2 a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
必有非零解.
方形齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零.
a21
x1
a22x2
a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即 D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，且
解可以表示为
x1
D1 D
bi (1)n1 D
ai1D1 aij Dj ainDn bi D
ai1
D1 D
aij
Dj D
ain
Dn D
bi .
二、重要结论
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21
x1
a22x2
a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为方形非齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零,
此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则
如果方形线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
.
a11 a1, j1 ab11j a1, j1 a1n 其中： D j
an1 an, j1 abnnj an, j1 ann
证明用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
,
另外，可以证明
ai1
D1 D
aij
Dj D
ain
Dn D
bi
x1
D1 D
,
,
xj
Dj D
,
,
xn
Dn D
也是方程组的 1 解. i 1,2, ,n, 有
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1 ai1 ai2 ain bi 0,
an1 an2 ann bn
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1
按第 1 行展开,得 ai1(1)11(1)n1 D1
x1 x1
x2 x2
x3 x3
0 0
x1 x3
0
x1 x2 x3 0,
x1 1, x3 1, x2 0.
x1 0, x2 0, , xn 0
x1 x1
x2 x2
0 0
无非零解.
称为方程组(2)的零解.
不是零解的解, 称为方程组( 2)的非零解.
定理若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则该齐次性方程组只有零解.
在把 n 个方程依次相加，得
n
ak
k 1
1
Akj
x1
n k 1
akj
Akj
x
j
n
akn
k 1
Akj
xn
n
bk Akj ,
k 1
n
n
n
ak1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21
x1
a22x2 a2n xn
0
2
an1x1 an2 x2 ann xn 0