线性代数1.5 克拉默法则&习题课
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1.5 克拉默法则
证 设f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn为一个次数不超过n的 多项式, f(x)经过平面上n+1个点(xi,bi) (i1 2 n+1) , 当且仅当系数a0,a1, an满足以下n+1个方程
a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 a n x 1 b1 ,
2x1 x2 5x3 x4 x1 3x2 6x4 例 1 解线性方程组 x2 x3 2x4 x1 4x2 7 x3 6x4 8 9 5 0
解 因为 D27 D181 D2108 D327 D427 所以 所给方程组的唯一解为
§15 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组(n元一次方程组)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
设方程组的唯一解为x1=c1, x2=c2, x3=c3, 则
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 3 c 3 b1 a 2 1 c1 a 2 2 c 2 a 2 3 c 3 b 2 a c a c a c b 32 2 33 3 3 31 1
从而r(R)r(R,d), 故无解; (3) 当=1时, 仿(2)得方程组有无穷多解.
综上可知当2时方程组有解.
插值多项式的存在性及唯一性 定理 给定平面上n+1个点(xi,bi) (i1 2 n+1) , 设i≠j 时xi≠xj, 则存在唯一的一个次数不超过n的多项式f(x)使得 f(xi)=bi((i1 2 n+1).
a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 a n x 1 b1 ,
2x1 x2 5x3 x4 x1 3x2 6x4 例 1 解线性方程组 x2 x3 2x4 x1 4x2 7 x3 6x4 8 9 5 0
解 因为 D27 D181 D2108 D327 D427 所以 所给方程组的唯一解为
§15 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组(n元一次方程组)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
设方程组的唯一解为x1=c1, x2=c2, x3=c3, 则
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 3 c 3 b1 a 2 1 c1 a 2 2 c 2 a 2 3 c 3 b 2 a c a c a c b 32 2 33 3 3 31 1
从而r(R)r(R,d), 故无解; (3) 当=1时, 仿(2)得方程组有无穷多解.
综上可知当2时方程组有解.
插值多项式的存在性及唯一性 定理 给定平面上n+1个点(xi,bi) (i1 2 n+1) , 设i≠j 时xi≠xj, 则存在唯一的一个次数不超过n的多项式f(x)使得 f(xi)=bi((i1 2 n+1).
《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则
按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数 余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列 互换，有 所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线 性 代 数
(第二版)
第五节 克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则 定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
1.5克拉默法则_线性代数_[共3页]
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含有一列全零列，所以其值都为零. 则
1 D=
2 × (−1)(3+4)+(3+4) 75
92 = (31−144) × (−75) = 8475 .
72 31
0 −1
1.5
克拉默法则
在这一节，研究下列具有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组
⎧ a11x1 + a12 x2 + " + a1n xn = b1,
⎪⎪⎨a21 x1 ⎪
+ a22 x2 + " + a2n xn ""
=
b2 ,
⎪⎩an1x1 + an2 x2 +" + ann xn = bn .
（1.5.1）
若方程组（1.5.1）中，b1 = b2 = " = bn = 0 ，则称该方程组为齐次线性方程组，否则称为非齐次
线性方程组.
与二元、三元线性方程组相类似，它的解可用 n 阶行列式表示，这就是著名的克拉默（Cramer）
中每个方程，验证每个方程是否都变成恒等式.
22
阶行列式，即
a11 " a1, j−1 b1 a1, j +1 " a1n
Dj
=
a21 #
"
a2, j −1 #
b2 #
a2, j +1 #
"
a2n #
.
an1 " an, j−1 bn an, j+1 " ann
*证 首先证明式（1.5.2）就是线性方程组（1.5.1）的解. 为此只要将式（1.5.2）代入方程组（1.5.1）
克拉默法则
142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
线性代数1-4 克拉默法则
第一章 行列式
克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组.
它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及 常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值.
二、齐次线性方程组及其有关解的定理
第一章 行列式
a11 x1 a12 x2 +
n元线性方程组 a21 x1 a22 x2 +
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1
2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
(1.12)
称为齐次线性方程组。
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1a22x2 a2nxn0 an1x1 an2 x2 ann xn 0
第一章 行列式
(1.12)
显然齐次线性方程组一定有解 x1 x2 xn 0,
1 4 7 6
8 1 5 1
2 8 5 1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2
1 9 0 6 D2 0 5 1 2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
这个解叫做齐次线性方程组(1.12)的零解。
推论 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线 性方程组只有零解。
克拉默法则
则 即
A1 ( AX ) A1b
X A1b
故 A 1b 是方程组（9）的唯一解向量． | An | | A1 | | A2 | 1 , , , 最后证明 A b 的n个分量就是： | A| | A| | A| 1 1 1 1 Ab 由逆阵公式 A A ，有 x A b | A| | A| A11 A21 An1 b1 x1 x2 A12 A22 An2 b2 1 即 | A | xn A1n A2 n Ann bn
证明 把方程组（9）写成矩阵方程
Ax b
因 | A | 0 ，故 A 1存在.
1
（ 9）
代入（9）中有 首先证明（9）有解： 将 A b ，
A( A b) ( AA )b bБайду номын сангаас
故 A 1b 是（9）的解. 再证明（9）的解是唯一的： 设 X 是（9）的任意一个解，有
1
1
AX b
| A1 | 1 | A2 | | A| | An |
b1
a12 a1n
b2 a22 a2 n | A1 | bn an2 ann
例16 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x 2 x 5 x 0 1 2 3
即有 x1 5, x2 0, x3 3
二、小结
克拉默法则 注：用克拉默法则求解方程组时要注意两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
三、作业
P.54. 15
| A3 | 9 | A2 | 0 | A1 | 15 3, 0, x3 x1 5, x2 | A| 3 | A| 3 | A| 3
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D 301 49 1/ 2 299 51 1/ 2
a1 0 0 b1 4.四阶行列式 0 a2 b2 0
0 b3 a3 0 b4 0 0 a4
abcd
5. 设四阶行列式D4
c d
b b
d c
a ,
a
abd c
则A14 A24 A34 A44
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为
ai1
D1 D
aij
Dj D
ain
Dn D
bi .
二、重要结论
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21
x1
a22x2
a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
( a21x1 a2 j x j a2n xn)A2 j b2 A2 j
(12)
( an1x1 anj x j ann xn )Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n
ak
k 1
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，且
解可以表示为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
.
a11 a1, j1 ab11j a1, j1 a1n 其中： D j
an1 an, j1 abnnj an, j1 ann
0 2 1 2
1 4 7 6
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
2 1 5 1
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
1 3 0 6
D
27
0 2 1 2
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
,
另外，可以证明
ai1
D1 D
aij
Dj D
ain
Dn D
bi
x1
D1 D
,
,
xj
Dj D
,
,
xn
Dn D
也是方程组的 1 解. i 1,2, ,n, 有
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1 ai1 ai2 ain bi 0,
x1 x1
x2 x2
0 0
无非零解.
称为方程组(2)的零解.
不是零解的解, 称为方程组( 2)的非零解.
定理 若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则该齐次性方程组只有零解.
定理 若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则该齐次性方程组只有零解.
另外，以后将证明：若系数行列式 D 0
2x 1 1
7. 在函数f x x x x 中x3的系数是
1 2x
0x0 y
8. 四阶行列式 y
0
x
0
0 y0x
x0 y0
9. 若a,b为实数,则当a
ab0 b a 0 0 1 0 1
10. 排列 i1i2 in1in可经 排列 inin1 i2i1.
且b 时, 次对换后变为
9.行列式的按行(按列)展开定理(降阶).
课 堂习 题
一、填空题
1. 若Dn aij 2,则D aij
2. 设x1, x2 , x3是方程 x3 px q 0的三个根, x1 x2 x3
则行列式 x3 x1 x2 x2 x3 x1
3. 行列式 298 50 1
5.行 列 式 中 某 一 行(列) 的 所 有 元 素 的 公 因 子 可以 提到行列式符号的外面.
6.行列式中如果有两行(列) 元素成比例,则此行列 式为零.
7.若 行 列 式 的 某 一 列(行) 的 元 素 都 是 两 数 之 和, 则 此行列式等于两个行列式之和.
8.把 行 列 式 的 某 一 列(行) 的 各 元 素 乘 以 同 一 数,然 后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式的值不变.
3. 行列式
298 50 1 D 301 49 1/ 2 600
299 51 1/ 2
a1 0 0 b1 4.四阶行列式 0 a2 b2 0
0 b3 a3 0 b4 0 0 a4
(a1a4 b1b4 )(a2a3 b2b3 )
abcd
5. 设四阶行列式D4
c d
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
x1
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21
x1
a22x2 a2n xn
ann
an1 an2
a1n a2n . ann
课 堂 习 题 解答
一、填空题
1. 若Dn aij 2,则D aij (1)n 2
2. 设x1, x2 , x3是方程 x3 px q 0的三个根, x1 x2 x3
则行列式 x3 x1 x2 0 x2 x3 x1
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
1 3 0 6
D
27 0,
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1 2 4
D 2 3 1
1
1 1
32 ,
因为D=0时，齐次方程组有非零解
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为方形 非齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零,
此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则
an1 an2 ann bn
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1
按第 1 行展开,得 ai1(1)11(1)n1 D1
ai1
ai 2
ain
bi
0,
ai2 (1)12(1)n2 D2 aij (1)1 j (1)n j Dj
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解 线性方程组。 2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节 克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
an1 an2 ann bn
ain (1)1n(1)nn Dn
bi (1)1(n1) D 0,
ai1(1)n1 D1 aij (1)n1 D j ain (1)n1 Dn
bi (1)n1 D
ai1D1 aij Dj ainDn bi D
1 1 2 31
3 二、已知 D5 2
1
1 1 2 2 3 1 1 0, 2 3 01
2 2 1 1 0
求 A15 3 A25 2 A35 2 A55 .
三、证明:
a11
a12 b1
a 21 b
a22
an1 bn1 an2 bn2
a1n b1n a11 a12 a2n b2n a21 a22
b b
d c
a ,
a
abd c
则A14 A24 A34 A44
0
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为 负()
2x 1 1
7. 在函数f x x x x 中x3的系数是 2
1 2x
0x0 y
8. 四阶行列式 y
0
x
0
( x2 y2 )2
1 4 7 6
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81,
2
0 4 7 6
D2 108, D3 27, D4 27,
x1
a1 0 0 b1 4.四阶行列式 0 a2 b2 0
0 b3 a3 0 b4 0 0 a4
abcd
5. 设四阶行列式D4
c d
b b
d c
a ,
a
abd c
则A14 A24 A34 A44
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为
ai1
D1 D
aij
Dj D
ain
Dn D
bi .
二、重要结论
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21
x1
a22x2
a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
( a21x1 a2 j x j a2n xn)A2 j b2 A2 j
(12)
( an1x1 anj x j ann xn )Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n
ak
k 1
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，且
解可以表示为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
.
a11 a1, j1 ab11j a1, j1 a1n 其中： D j
an1 an, j1 abnnj an, j1 ann
0 2 1 2
1 4 7 6
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
2 1 5 1
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
1 3 0 6
D
27
0 2 1 2
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,
,
xn
Dn D
,
另外，可以证明
ai1
D1 D
aij
Dj D
ain
Dn D
bi
x1
D1 D
,
,
xj
Dj D
,
,
xn
Dn D
也是方程组的 1 解. i 1,2, ,n, 有
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1 ai1 ai2 ain bi 0,
x1 x1
x2 x2
0 0
无非零解.
称为方程组(2)的零解.
不是零解的解, 称为方程组( 2)的非零解.
定理 若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则该齐次性方程组只有零解.
定理 若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则该齐次性方程组只有零解.
另外，以后将证明：若系数行列式 D 0
2x 1 1
7. 在函数f x x x x 中x3的系数是
1 2x
0x0 y
8. 四阶行列式 y
0
x
0
0 y0x
x0 y0
9. 若a,b为实数,则当a
ab0 b a 0 0 1 0 1
10. 排列 i1i2 in1in可经 排列 inin1 i2i1.
且b 时, 次对换后变为
9.行列式的按行(按列)展开定理(降阶).
课 堂习 题
一、填空题
1. 若Dn aij 2,则D aij
2. 设x1, x2 , x3是方程 x3 px q 0的三个根, x1 x2 x3
则行列式 x3 x1 x2 x2 x3 x1
3. 行列式 298 50 1
5.行 列 式 中 某 一 行(列) 的 所 有 元 素 的 公 因 子 可以 提到行列式符号的外面.
6.行列式中如果有两行(列) 元素成比例,则此行列 式为零.
7.若 行 列 式 的 某 一 列(行) 的 元 素 都 是 两 数 之 和, 则 此行列式等于两个行列式之和.
8.把 行 列 式 的 某 一 列(行) 的 各 元 素 乘 以 同 一 数,然 后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式的值不变.
3. 行列式
298 50 1 D 301 49 1/ 2 600
299 51 1/ 2
a1 0 0 b1 4.四阶行列式 0 a2 b2 0
0 b3 a3 0 b4 0 0 a4
(a1a4 b1b4 )(a2a3 b2b3 )
abcd
5. 设四阶行列式D4
c d
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
x1
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21
x1
a22x2 a2n xn
ann
an1 an2
a1n a2n . ann
课 堂 习 题 解答
一、填空题
1. 若Dn aij 2,则D aij (1)n 2
2. 设x1, x2 , x3是方程 x3 px q 0的三个根, x1 x2 x3
则行列式 x3 x1 x2 0 x2 x3 x1
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
1 3 0 6
D
27 0,
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1 2 4
D 2 3 1
1
1 1
32 ,
因为D=0时，齐次方程组有非零解
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为方形 非齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零,
此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则
an1 an2 ann bn
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1
按第 1 行展开,得 ai1(1)11(1)n1 D1
ai1
ai 2
ain
bi
0,
ai2 (1)12(1)n2 D2 aij (1)1 j (1)n j Dj
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解 线性方程组。 2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节 克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
an1 an2 ann bn
ain (1)1n(1)nn Dn
bi (1)1(n1) D 0,
ai1(1)n1 D1 aij (1)n1 D j ain (1)n1 Dn
bi (1)n1 D
ai1D1 aij Dj ainDn bi D
1 1 2 31
3 二、已知 D5 2
1
1 1 2 2 3 1 1 0, 2 3 01
2 2 1 1 0
求 A15 3 A25 2 A35 2 A55 .
三、证明:
a11
a12 b1
a 21 b
a22
an1 bn1 an2 bn2
a1n b1n a11 a12 a2n b2n a21 a22
b b
d c
a ,
a
abd c
则A14 A24 A34 A44
0
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为 负()
2x 1 1
7. 在函数f x x x x 中x3的系数是 2
1 2x
0x0 y
8. 四阶行列式 y
0
x
0
( x2 y2 )2
1 4 7 6
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81,
2
0 4 7 6
D2 108, D3 27, D4 27,
x1