线性代数第五章习题课
《线性代数》课程复习大纲与练习题
《线性代数》课程复习大纲与练习题第一章 线性方程组1.线性方程组的概念（1）线性方程组的一般形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解 2.初等变换对线性方程组进行求解 （1）初等变换的定义（2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211称为线性方程组的系数矩阵;⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ssns s nn b a a a b aa ab a a a A 21222221111211称为线性方程组的增广矩阵 （1）线性方程组有解⇔秩（A ）＝秩（A ）当线性方程组有解时：秩（A ）＝未知量个数n 时, 线性方程组有唯一解;秩（A ）<未知量个数n 时，线性方程组有无穷多解。
（2）线性方程组无解⇔秩（A ）<秩（A ）4.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++0)1(00221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）解的情况：r(A)=n ，（或系数行列式0≠D ）只有零解；r(A)<n ，（或系数行列式D ＝0）有无穷多组非零解。
（2）解的结构：r n r n c c c X --+++=ααα 2211。
（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组；③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
《线性代数》教学教案—05矩阵的特征值与特征向量
3.设 为n阶实对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.
1．定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n阶方阵 和 ,若存在可逆矩阵 ，使 = ，则称矩阵 与矩阵 合同，或 ， 是合同矩阵.
例2.设矩阵 是3阶实对称阵， 的特征值为 1，2，2， = 与 = 都是矩阵 的属于特征值2的特征向量.求 的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵 .
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1)在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第2节相似矩阵
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
矩阵可相似对角化的方法
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
推论2.若n阶矩阵 与对角矩阵 = 相似，则 是 的全部n个特征值.
二．方阵的相似对角化
1.相似对角化:若方阵 能与一个对角阵 相似，则称 可以相似对角化，简称 可对角化.
2．定理：n阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 有n个线性无关的特征向量．
推论1.如果n阶方阵 的n个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
线性代数__吴赣昌_第四版__课后习题答案
当你周围都是米的时候，你很安逸;当有一天米缸见底，才发现想跳出去已无能为力。有一种陷阱，名叫安逸!别在最能吃苦的年纪选择安逸!没有危机!是
20、忘时，忘物，忘我。诚实，朴实，踏实。
21、精神成人，知识成才，态度成全。
22、作业考试化，考试高考化，将平时考试当高考，高考考试当平时。 23、我高考我自信我成功!
24、23.再苦再累不掉队，再难再险不放弃
25、拼搏高考，今生无悔;越过高三，追求卓越! 26、挑战人生是我无悔的选择，决胜高考是我不懈的追求。 27、山高不厌攀，水深不厌潜，学精不厌苦:追求! 28、学练并举，成竹在胸，敢问逐鹿群雄今何在?师生同志，协力攻关，笑看
2.(1)
(2)
(3)
3.(1)
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4
5
6
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8.(1)
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9
10.(1)
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习题2-3 1.(1) \(2)
(3)
2.(1)
(2)
(3)
3.
4.(1)
(2)
5
6
7.(1)
(2)
习题2-4 1.(1)
(2)
2
3
4.(1)
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6
习题2-5 1.(1)
3.(1)
(2)
4.(1)
(2)
(3)
5
6
习题3-5 1
2
3
4
5
6
习题3-6 1.(1)
线性代数课后答案_习题5和习题6复习课程
线性代数课后答案_习题 5 和习题6习题五1 1解: 1)24( 2)( 3)'特征值2,32时，1 ( 1,1)，故属于 2的特征向量为k 1 1( k 1 0) 3时，2( 1,2)，故属于3的特征向量为k 2 2( k 2 0)由于线性无关的特征向量个数为 3，故可以对角化。
0 13) 01 0 ( 1)(1)2，特征值 1,1。
1 0当 1时，1 (0,1,0) ，2(1,0,1)。
故属于 1的特征向量为1 k2 2( k 1, k 2 不全为零)。
当 1时，3 ( 1,0,1)，故属于1的特征向量为k 3 31 2 30 0 11 11)；2) 2 1 3 ； 3) 0 1 02 43 3 6 1 0 01.求下列矩阵的特征值和特征向量:31 0 4)4 10 482并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
由于线性无关的特征向量个数为 2,故可以对角化。
2) 1)( 9)，特征值 0, 1,9 。
0时,1, 1,1)， 故属于0的特征向量为k 1 11时,(1,1,0)， 故属于1的特征向量为k 2 29时, (1,1,2)，故属于 9的特征向量为k s 3( k s 0 )。
(k3 0 )。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化3 1 04) 4 1 0(1)2( 2)，特征值1, 2。
4 8 2当1时，1 ( 3,6,20)，故属于1的特征向量为k1 1(k1 0)。
当2时，2 (0,0,1)，故属于2的特征向量为k2 2(k20 )。
由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。
2.已知方阵A满足A2 3A 2E 0，求A的所有可能的特征值。
解：设是A的特征值，则有非零向量X满足AX X。
于是A2X 2X，(A2 3A 2E)X ( 2 3 2)X 0。
因为X 非零，所以2 3 2 0。
即A的特征值只能为1或2。
3.设是A的特征值，证明：1)2是A2的特征值，i( i为正整数)是A，的特征值；2)设f()是多项式，则f()是f(A)的特征值；3)如果A可逆，贝U 1是A1的特征值。
河北职业技术师范学院教案编号
1河北职业技术师范学院教案 编号 20学年度 第 学期系 （部） 数 理 系 教研室 数 学 任课教师 课程名称 线性代数授课章节：第五章 二次型及线性代数总复习授课班级授课日期课 题 第五章 习题课及总复习时 数2教学目的 及 要 求 使学生掌握二次型的概念和化二次型为标准形的方法，掌握正交阵、正定阵的概念和判断，并对前四章的内容进行归纳总结。
教学重点 二次型化标准形 向量组的线性相关性 行列式 线性方程组 特征值与特征向量 难 点 各知识点的应用 教法、教具讲练结合课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一） 回忆线性代数的主要内容。
一．二次型 A A Ax x f T T ==, 1．化二次型为标准形的方法（1） 用合同变换法将二次型化成标准形 （2） 配方法（3） 用正交变换法将二次型化成标准形 2．正交变换的的判断Q 为正交矩阵n R x x ∈∀⇔21,，使),(),(2121x x Qx Qx = E Q Q T =⇔ ⇔T Q 为正交矩阵Q ⇔的列（行）向量组构成标准正交向量组 3．正定二次型的判断Ax x f T =为正定二次型⇔正惯性指数为nE AP P T =⇔A ⇔的特征值都是实数A ⇔的所有的顺序主子式都是正的2练习题 一、填空（1）如果n 阶行列式的每行元之和都为零，那么此行列式的值为 0 。
（2）当0≠k 时，矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00111100k A 可逆。
（3）已知)1,2,2,1(2),4,3,2,1(32-=+=+βαβα，则)11,0,2,1(--=α，)6,1,2,1(-=β。
（4）含n 个方程的齐次线性方程组02211=+++n n x x x ααα 的系数行列式0,,,21=n ααα ，则方程组有非零解。
（5）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a A 000000的特征值为c b a ,,，单位特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,010,001321ξξξ。
线性代数清华版课后部分习题答案
第一章 行列式
a1
c ↔c
b1 0 0 a4 × a3 b2
0 b2 a3 0 b3 a2
0 a2 b3 0
2 4 = = = = =
a1
r ↔r
b1 a4 0 0
0 0 a3 b2
0 0 b3 a2
0 0 b4 b1 a4
b4 0 0
= (a1 a4 − b1 b4 )(a2 a3 − b2 b3 ).
2 2 2 . . . 2 n 2 0 . . . 0 n−2
i 2 = = = = = = = = =
−1 0 2
r −r i=1,3,4,··· ,n
0 2 1 . . . 0 0
··· ··· ··· .. . ··· ···
0 2 0 . . . n−3 0
0 2 0 . . . 0 n−2
5 4 3 4
1 −1 −1 4 3 4 5 5 4 6 6 3 2 5 4 1 0 = = = = = = =− 0 0 0
r5 −r4 ×2 r2 −r1 ×2,r3 −r1 ×3 r4 −r1 ×2,r5 −r1 ×3
1 −1 −1 2 0 2 2 7 7 8 9 5 5 7 7
= = = = =− 3 2 3 1 2 −2 0 0 7 0 1 2 1 2 6 7 = = = = =− 0 1 0 0 0 0
2
.
计算下列各题
1 23. 2 3 d 0 0 c 0 2 b 4 0 a 0 5 0 = d × (−1)
4+1
0 0 c
2 a b 4 0 5 = −d × c × (−1)3+1
2 a b 0
= −dc × (0 − ab) = abcd.
线性代数 高等教育出版社 课后习题答案 习题详解
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。