线性代数第五章习题答案
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TTk k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。
线性代数第五章答案
0 0 1
解
| AE|
0 0
1 1
0 0
( 1)2( 1)2
1 0 0
故 A 的特征值为121 341 对于特征值121 由
A E 1100
0 1 1 0
0 1 1 0
1100 ~ 1000
0 1 0 0
0 1 0 0
1000
得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 0 0 1)T p2(0 1 1 0)T 向量 p1 和 p2 是对应于特征值 121 的线性无关特征值向量
k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0
记
k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr)
则 k1 k2 knr 不全为 0 否则 l1 l2 lnt 不全为 0 而
l1b1l2b2 lnrbnr0 与 b1 b2 bnt 线性无关相矛盾
因此 0 是 A 的也是 B 的关于0 的特征向量 所以 A 与 B 有公共的特征值 有公
a2,
a3)
1
0 1
1
1 1
0
1
0111
解 根据施密特正交化方法
b1
a1
0111
b2
a2
[b1,a2] [b1,b1]
b1
1 3
2311
b3
a3
[b1,a3] [b1,b1]
b1
[b2,a3] [b2,b2]
b2
1 5
4331
2 下列矩阵是不是正交阵:
1
(1)
1 2 1 3
对于特征值39 由
A
9E
8 2 3
2 8
3
333
《线性代数》第5章习题解答(r)new2_1
习题五（P213－215）1．写出下列二次型的矩阵：.)(),,,().4(;),,,().3(;),,,().2(;8223),,().1(211221111122142314321222∑∑∑∑==-=+=-=+=-=++-+-=ni i n i in n i i ini in x xn x x x f x xxx x x f x x x x x x x x f yz xz xy z y x z y x f解:（1）12123111442-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）12121212000000000000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（3）1211221122111211111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4） 111111111n n n ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦。
2.若二次型123(,,)T f x x x X AX =对任意向量123(,,)T x x x 恒有0),,(321=x x x f ,试证明:A 是零矩阵.解:取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T TX X X ===等三个向量代入0,TX AX =则二次型的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A 的所有元素),3,2,1,3,2,1(0===j i a ij 从而有A =0. 3.设B A ,是ｎ阶实对称矩阵，且对任意的ｎ维向量x 有BX X AX X ''=成立，试证明：.B A = 证：设,21][,][,)',,,(n n ij n n ij n b B a A x x x X ⨯⨯=== 则AX X '中的j i x x 的系数BX X a a a ij ji ij ',2=+中j i x x 的系数为,2ij ji ij b b b =+比较j i x x 的系数知),,,2,1,(n j i b a ij ij ==所以.B A = 4．试证明：不可能有实数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a C 使1010,0101TC C ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不合同的. 证:用反证法.若,10011001'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a d c b a 则推得,122-=+d b 这是不可能的.所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不.5. 设D C B A ,,,均为ｎ阶对称矩阵,且B A ,是合同的,D C ,是合同的,试证明:⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00也是合同的.证: 设,','D CQ Q B AP P ==则.00000000'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D BQ P C A Q P 所以矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00是合同的. 6. 用正交变换法,把下列二次型化为标准形:.32414321242322213231212322212222).2(;4844).1(x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f --+++++=---++=解:(1).正交变换矩阵为,032622231322326222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Q 标准形为;455232221y y y f -+= (2) 正交变换矩阵为,0000212121212121212121212121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=Q 标准形为.324232221y y y y f +-+=7. 用配方法,把下列二次型化为标准形:2212121323121323(1).3226;(2).422.f x x x x x x x x f x x x x x x =--+-=-++解:(1).由已知2322321)2()(x x x x x f +-+-=，令,2333223211⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=x y x x y x x x y 则,33321221232322111⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=y x y y x y y y x 可逆线性变换矩阵为,1000121212321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C 所以标准形为;2221y y f -=(2).先令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=,33212211yx y y x y y x 则,4)(4232223211y y y y f ++--=再令⎪⎩⎪⎨⎧==-=,33223111yz y z y y z 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,33321212321211z x z z z x z z z x 可逆线性变换矩阵为,10011112121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C 所以标准形为.44232221z z z f ++-= 8. 用初等变换法, 把下列二次型化为标准形:.22).2(;6422).1(3221232132********x x x x x x f x x x x x x x x f ++-=+-+-=解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101100030001100010001032321211).1(531313E A ，令,10010113531Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= 则;3233132221y y y f +-= (2).令,110110111Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= 则.2221y y f -= 9．已知二次型),0(233232232221>+++=a x ax x x x f 通过正交替换QY X =化为标准形,52232221y y y f ++=求参数a 及正交矩阵Q .解: 给定二次型及其标准形的矩阵分别为：,521,3030002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B a a A 由,4,10218,22==-=a a B A 得2=a （去舍2-=a ），与特征值 5,2,1321=λ=λ=λ 对应的特征向量分别为,)'1,1,0(,)'0,0,1(,)'1,1,0(321=α=α-=α 因特征向量321,,ααα是相互正交的，将它们单位化后得所求的正交巨阵.0001022222222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Q10．求二次型11222121121(,,,)22n n n ini i i i f x x x x xx x x --+===+++∑∑ 的标准形，并指出该二次型的秩和正惯性指数。
线性代数第五章练习及解答
对应于同一特征值的不同特征向量的非零线性组合是 A 的特征向量。 证明由本节第 3 题可知属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量，而属于同一特征值的不同特征 向量满足
Aξ1 = λξ1 , Aξ2 = λξ2 , 于是 A(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) = k1 Aξ1 + k2 Aξ2 = λ(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) 由定义命题得证 11.λ ̸= 0 是矩阵 A 的特征值，求 A−1 , A⋆ 的特征值。
证明：因为 A + E = A + AAT = A(A + E )T ，那么 |A + E |(1 − |A|) = 0，于是 |A + E | = 0, 即 λ = −1 是 A 的一个特征值
5. 设 A1 , A2 , A3 是 3 个非零的 n 阶矩阵 n ≥ 3 , 满足 A2 i = Ai (i = 1, 2, 3), 且 Ai Aj = O (i ̸= j ; j = 1, 2, 3)
1
若 Ai 有非零和 1 的特征值 λ，由于 λ2 − λ = 0, 故有且仅有 0 和 1 为特征值
(2) 若 Aj ξ = ξ, 那么 Ai (Aj ξ ) = Ai ξi , 即 Ai ξ = 0ξ (3) 反证，若三个向量线性相关不妨设 α3 = k1 α1 + k2 α2
那么 A3 α3 = k1 A3 α1 + k2 A3 α2 , 由 (2) 知 A3 αj = 0(j = 1, 2) 那么 α3 = 0 与特征向量的定义矛盾 2 0 0 2 0 0 与 B = 6. 已知矩阵 A = 0 0 y 0 0 1 0 0 −1 0 1 x P −1 AP = B
线代习题答案第五章
习题51.写出下列二次型f 的矩阵A 和矩阵表示式，并求二次型的秩。
（1）2212313121323(,,)35224f x x x x x x x x x x x =+−+−（2）2221231231323(,,)26f x x x x x x x x x x =+−++（3）2221234123121323(,,,)2f x x x x x x x x x x x x x =−++−+（4）123121323(,,)43f x x x x x x x x x =−+1.解：（1）f 的矩阵表示为311102125−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠=A 其矩阵表示式为()112312323311(,,)102125x f x x x x x x x x −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。
（2）f 的矩阵表示为10310221312⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠A =其矩阵表示式为()1123123231031(,,)0221312x f x x x x x x x x ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟−⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。
（3）f 的矩阵表示为1110221110211102000⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A =其矩阵表示式为()1212341234341110221110(,,,)211102000x x f x x x x x x x x x x ⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。
（4）f 的矩阵表示为3022120231022⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠A =其矩阵表示式为()11231232330221(,,)20231022x f x x x x x x x x ⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟−⎜⎟⎝⎠由于()3R =A ，故()3R f =。
线性代数第五章答案解析
第五章 相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;解 根据施密特正交化方法,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a .解 根据施密特正交化方法,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110111a b ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T=E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A ,得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量.对于特征值λ3=9, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A , 得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 解 22)1()1(01010010100||+-=----=-λλλλλλλE A , 故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明 因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7. 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )+R (B )<n , 证明A 与B 有公共的特征值, 有公共的特征向量.证明 设R (A )=r , R (B )=t , 则r +t <n .若a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n -r 是齐次方程组A x =0的基础解系, 显然它们是A 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地, 设b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n -t 是齐次方程组B x =0的基础解系, 则它们是B 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n -r )+(n -t )=n +(n -r -t )>n , 故a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n -r , b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n -t 必线性相关. 于是有不全为0的数k 1, k 2, ⋅⋅⋅, k n -r , l 1, l 2, ⋅⋅⋅, l n -t , 使k 1a 1+k 2a 2+ ⋅⋅⋅ +k n -r a n -r +l 1b 1+l 2b 2+ ⋅⋅⋅ +l n -r b n -r =0.记γ=k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r),则k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r不全为0,否则l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0,与b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A 的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m⨯n B n⨯m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令ϕ(λ)=λ3-5λ2+7λ,则ϕ(1)=3,ϕ(2)=2,ϕ(3)=3是ϕ(A)的特征值,故|A 3-5A 2+7A |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(3)=3⨯2⨯3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解 因为|A |=1⨯2⨯(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令ϕ(λ)=-6λ-1+3λ+2, 则ϕ(1)=-1, ϕ(2)=5, ϕ(-3)=-5是ϕ(A )的特征值, 故 |A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(-3)=-1⨯5⨯(-5)=25.13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相 似.证明 取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似.14. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .解 由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -λE )p =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----020212022;解 将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T)32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T)32 ,31 ,32(2-=p .对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T)31 ,32 ,32(3-=p .于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解 将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000542452228321x x x , 得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T)2 ,2 ,1(313--=p .于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).17. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p .对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .解 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11011101101111111011P ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-1101110111000200020111111101P P A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x , 314=x , 325=x . 因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A . 因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1116111A , 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T , a 1≠0, A =aa T .(1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明 设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有 A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ⋅ ⋅ ⋅, a n 2, 所以a 12+a 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn ,这说明在λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解 设λ1=a T a , λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.对于λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, ⋅⋅⋅, 0)T , p 3=(-a 3, 0, a 1, ⋅⋅⋅, 0)T ,⋅ ⋅ ⋅,p n =(-a n , 0, 0, ⋅⋅⋅, a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A , 求A 100.解 由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100),⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1202105055112021012111P , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12021050555112021012151100100100A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解 由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x q p q p y x 1111,因此⎪⎭⎫⎝⎛--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.000y x , 求⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x .解 由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11可知⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r , 解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T .令⎪⎭⎫⎝⎛-==11) ,(21p q P p p , 则P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1. 于是11100111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p q r p q A nn⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=q p r p q q p n 11001111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1, ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A , 求ϕ(A )=A 10-5A 9; 解 由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ, 从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111210004111121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111122222.(2)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122221212A , 求ϕ(A )=A 10-6A 9+5A 8.解 求得正交矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0, 0)P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222033211001220223123161 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=4222112112.25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f . 26. 写出下列二次型的矩阵: (1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312)(T f ; 解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1222A . (2)x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=987654321)(T f .解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=975753531A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320230002A . 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.解 二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1101111001111011A . 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T)21 ,21 ,21 ,21(2--=p .当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )21 ,0 ,21 ,0(4=p .于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p .对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p . 于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=⋅ ⋅ ⋅=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3=(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ⎪⎩⎪⎨⎧+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-=323223211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2.令 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+=32322311x x y x y x x y , 即⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110010111C .(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.3223222212421)21(2x x x x x x -+++=232322212)2(21)21(2x x x x x +-++=.令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=333222112)2(21)21(2x y x x y x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=33322321121222212121y x y y x yy y x , 二次型化为规范形f =y 12+y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10022011121C . 31. 设f =x 12+x 22+5x 32+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3为正定二次型, 求a .解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5212111a a A , 其主子式为a 11=1, 2111a a a -=, )45(5212111+-=--a a a a .因为f 为正主二次型, 所以必有1-a 2>0且-a (5a +4)>0, 解之得054<<-a .32. 判别下列二次型的正定性: (1) f =-2x 12-6x 22-4x 32+2x 1x 2+2x 1x 3;解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=401061112A . 因为0211<-=a , 0116112>=--, 038||<-=A ,所以f 为负定.(2) f =x 12+3x 22+9x 32+19x 42-2x 1x 2+4x 1x 3+2x 1x 4-6x 2x 4-12x 3x 4.解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=19631690230311211A . 因为 0111>=a , 043111>=--, 06902031211>=--, 024>=A ,所以f 为正定.33. 证明对称阵A 为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U , 使A =U T U , 即A 与单位阵E 合同.证明 因为对称阵A 为正定的, 所以存在正交矩阵P 使P T AP =diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn )=Λ, 即A =P ΛP T ,其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 均为正数. 令), , ,diag(211n λλλ⋅⋅⋅=Λ, 则Λ=Λ1Λ1, A =P Λ1Λ1T P T .再令U =Λ1T P T , 则U 可逆, 且A =U T U .。
线性代数第五章习题答案
则 H 是正交阵. 综上得证 H 是对称的正交阵.
4 . 设 A 与 B 都是正交阵, 证明 AB 也是正交阵.
证明: 因为 A, B 是正交阵, 故 A−1 = AT , B −1 = B T .
(AB ) (AB ) = B T AT AB = B −1 A−1 AB = E .
T
故 AB 也是正交阵.
9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值.
证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE | = 0, 即 |A + E | = 0. 因为
|A + E | = A + AT A = E + AT |A| = − AT + E = − (A + E )T = − |A + E | , (|A| = −1) (A 为正交阵)
(A2 − 3A + 2E )p = (λ2 − 3λ + 2)p.
又由 A2 − 3A + 2E = O , 代入上式得
(λ2 − 3λ + 2)p = 0.
而特征向量 p = 0, 所以
λ 2 − 3λ + 2 = 0 .
解得 λ = 1 或 2. 得证 A 的特征值只能取 1 或 2. 一个有缺陷的证明: 由 A2 − 3A + 2E = O , 得 (A − 2E )(A − E ) = O . 两边取行列式得
的全部特征值向量.
−1 0 1 1 0 0
0 1 −1
−1 1 0 0 0 2 0
0 , −1
得基础解系 p3 = 1 , 故 k3 p3 (k3 = 0) 是对应于 λ3 = 9 的全部特征值向量. 2 (3) 由 −λ |A − λE | = 0 1
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思考题5-11. 1123123100,000=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅a a a a 0a a a .2.不一定。
例如，对于123101,,012⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a a a ，它们中的任两个都线性无关，但是123,,a a a 是线性相关的。
3. 不一定。
也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。
4. 不一定。
例如，对于12121100,;,0012-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦a ab b 。
12,a a 和12,b b 这两个向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。
5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。
根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。
习题5-11.提示：用行列式做。
（1）线性无关。
（2）线性相关。
.2. 0k ≠且1k ≠。
3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。
设[]12,,,,Tn b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。
根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关.证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。
5. .证：（1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。
（2）若P 可逆，则1-=A P B 。
由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。
注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。
6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。
根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.注：该题也可通过矩阵的秩来证明。
7.证：（1）由向量组123,,a a a 线性无关，可知23,a a 也线性无关。
又因为向量组234,,a a a 线性相关，所以4a 能由23,a a 线性表示。
（2）反证法。
设1a 能由34,a a 线性表示，又因为4a 能由23,a a 线性表示，所以1a 能由23,a a 线性表示，这与123,,a a a 线性无关矛盾，因而1a 不能由34,a a 线性表示。
8.证：反证法。
设123,,a a a 线性相关，则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示，不妨设1a 能由23,a a 线性表示。
因为向量b 能由123,,a a a 线性表示，所以b 能由23,a a 线性表示，这与b 不能由123,,a a a 中任何两个向量线性表示矛盾，所以向量组123,,a a a 线性无关。
9.证：设21123k k l l l l -++++=αA αA αA α0。
(1)由k=A α0可知，当m k >时，m=A α0. 用1k -A乘以（1）式，得11k l -=Aα0.因为1,k -≠Aα0所以10.l =这时，（1）式成为2123k k l l l -+++=A αA αA α0. (2)用2k -A乘以（2）式，得12k l -=Aα0.因为1,k -≠Aα0所以20.l =这时，（2）式成为213k k l l -++=A αA α0. (3)按照同样的做法，可证30k l l ===.所以21,,,,k -αA αA αA α线性无关.提高题5-11.证：令 2121111122221,,,,,1,,,,,,TTs s s k k kk k k--⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦b b b211,,,,Ts s s s k k k -⎡⎤⎣⎦。
因为i j ≠时，i j k k ≠,所以12121,,,()0,,,,s j i s i j sk k ≤<≤=-≠∑b b b b b b 线性无关.根据定理5-5可知，12,,,s a a a 线性无关.2.证：由11,=A αα2122,=+A ααα3233=+A ααα，得1(),-=A E α021()2,-=A E αα32()3-=A E αα。
设112233k k k ++=ααα0， (1) 用-A E 乘以（1）式，得213223k k +=αα0 （2）再用-A E 乘以（2）式，得316k =α0因为1,≠α0所以30k =。
由（2）式可得，20k =，再由(1)式可得，10k =。
所以向量组123,,ααα线性无关。
思考题5-21．（1) 不正确。
当()r r =A 时，A 中有一个r 阶非奇异子阵就行，不需要所有r 阶子阵都是非奇异的. (2) 正确。
（3）正确。
因为A 的行秩与列秩相等，当A 为方阵时，A 的秩与A 的行数和列数的大小关系是一样的，所以A 的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.（4）不正确。
例如，对于111,1,()(),00r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B AB B 但A 不是可逆矩阵.（5）正确。
由=AB O ，得()()()0,()(),r r n r r r n +-≤=+≤A B AB A B 其中n 为A 的列数。
由A 和B 都是n 阶非零矩阵，可得()1,()1r r ≥≥A B 。
再根据()()r r n +≤A B ，可得(),()r n r n <<A B 。
所以A 和B 都是降秩矩阵.2.当A 为方阵时，A 为降秩矩阵⇔A 是奇异矩阵⇔A 不可逆⇔=Ax 0有非零解⇔A =x b 无解或有无穷多个解⇔A 的行向量组（列向量组）线性相关。
习题5-21.注：求秩时行变换和列变换都可用。
(1)()4r =A ; (2)()3r =B 。
2. 解：3144122311111111111101101101123401220122351702240112r r r r r b b b a a a -÷-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 3224421111111101120112012200100110002r r r r r r a a b b -↔-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 所以12a b =⎧⎨≠⎩或12a b ≠⎧⎨=⎩. 3.证：必要性 因为A 和B 等价，所以用初等变换能将A 化为B 。
又因为初等变换不改变矩阵的秩，所以()().r r =A B充分性 设()(),r r r ==A B 则A 和B 有相同的等价标准形r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E OF O O ，即用初等变换可将A 和B 化成r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦E OF O O 。
因为初等变换是可逆的，所以用初等变换也可将r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦EO F O O 化成B ，因而用初等变换能将A 化为B ，A 和B 等价。
4.证：因为()1r =A ，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得100000,000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦PAQ []1111100100001,0,,0,0000----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A P Q P Q令[]1110,(1,0,,0),0T --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦a Pb Q 则.T =A ab5.证：因为()()()m r r r m ==≤≤E AB A ，所以()r m =A 。
又因为()r n ≤A ，所以m ≤n . 同理可证，()r m =B 。
6.证：由=C AB 为可逆矩阵，得()r m =C 。
由()()()m r r r m ==≤≤C AB A ，得()r m =A 。
因为()r n ≤A ，m ≠n ，所以m <n ，()r n <A 。
同理可证，()r m =B 。
因而A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性无关.7.证：由=AB O ，得()()()0,()().r r k r r r k +-≤=+≤A B AB A B 8.证：由26+-=A A E O ，得(3)(2).+-=A E A E O 根据第7题可得 (3)(2).r r n ++-≤A E A E又因为(3)(2)[(3)(2)](5),r r r r n ++-≥+--≥=A E A E A E A E E 所以(3)(2).r r n ++-=A E A E9.证：（1）当()r n =A 时，10,0,().n r n -**≠=≠=A A A A（2）当()1r n =-A 时，0,.*=≠A A O由*==AA A E O ，得()(),r r n *+≤A A ()() 1.r n r *≤-=A A由,*≠A O 又得() 1.r *≥A 所以() 1.r *=A（3）当()2r n ≤-A 时，,()0.r **==A O A10.证：AB 为m 阶方阵，因为()()r r n m ≤≤<AB A ，所以AB 为降秩矩阵，0.=AB提高题5-21.证： 因为()r r =A ，所以存在可逆矩阵P 和Q ，使得,r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦EO PAQ O O[]1111,,r rr ----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E EO A P Q P E O Q OO O 令[]11,,,r r --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦E B PC E O Q O 则B 和C 的秩都为r ，分别为m r ⨯矩阵和r n ⨯矩阵，且.=A BC2. 证： 设()r r =A ，则存在可逆矩阵P 和Q ，使得,r⎡⎤=⎢⎥⎣⎦EO PAQ OO 11111,rr-----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E O E O A P Q P Q Q Q OO O O 令111,,r---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦E O B P Q C Q Q OO 则2=C C ，且.=A BC 3. 证法1：因为(),r k =A 所以()()()()r r r k r ≥+-≥AB A B B . 又因为()()r r ≤AB B ，所以()().r r =AB B证法2：T A A 为k 阶方阵，由()()Tr r k ==A A A 知，TA A 为可逆矩阵。
于是，()()(),T r r r =≤B A AB AB 即()().r r ≥AB B又因为()(),r r ≤AB B 所以()().r r =AB B注：当A 的秩等于其列数时，称A 为列满秩矩阵。