第四章电磁波的传播
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第四章 电磁波的传播
§4.1 平面电磁波
1、电磁场的波动方程
（1）真空中
在0=ρ，0=J
的自由空间中，电磁强度E 和磁场强度H 满足波动方程
012222=∂∂-∇t E
c E （4.1.1）
012
222=∂∂-∇t H
c H （4.1.2）
式中
80
010997925.21
⨯==
μεc 米/秒 （4.1.3）
是光在真空中的速度。 （2）介质中
当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数ε和磁导率μ一般地都随电磁波
的频率变化，这种现象叫色散。这时没有E 和H
的一般波动方程，仅在单色波
（频率为ω）的情况下才有
012222=∂∂-∇t E
v E （4.1.4）
012
222=∂∂-∇t H
v H （4.1.5）
式中
()()()
ωμωεω1
=
v （4.1.6）
是频率ω的函数。
2、亥姆霍兹方程
在各向同性的均匀介质内，假设0=ρ，0=J
，则对于单色波有
()()t
i e r E t r E ω-= , （4.1.7） ()()t
i e r H t r H ω-= , （4.1.8）
这时麦克斯韦方程组可化为
()
εμω
==+∇k E k E ,
02
2
（4.1.9）
0=⋅∇E
（4.1.10）
E i H ⨯∇-=μω
（4.1.11）
（4.1.9）式称为亥姆霍兹方程。由于导出该方程时用到了0=⋅∇E
的条件，因此，亥姆霍兹方程的解只有满足0=⋅∇E
时，才是麦克斯韦方程的解。
3、单色平面波
亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波
()()t r k
i e E t r E ω-⋅= 0, （4.1.12） ()()t r k
i e H t r H ω-⋅= 0, （4.1.13）
式中k
为波矢量，其值为
λ
π
εμω2=
=k （4.1.14）
平面波在介质中的相速度为
εμ
ω
1
=
=
k
v P （4.1.15）
式中ε和μ一般是频率ω的函数。
算符∇和t
∂∂
作用于单色平面波的场（4.1.12）式或（4.1.13）式时，可简化为
ωi t
ik -=∂∂
=∇,
（4.1.16） 即E k i E ⨯=⨯∇，E k i E ⋅=⋅∇，而E i E t
ω-=∂∂。
电场和磁场的关系为
E n H
⨯=
μ
ε （4.1.17）
式中k
k n =，为波传播方向上的单位矢量。
4、电磁波的能量和能流
电磁波的能量密度为
()B H D E
⋅+⋅=2
1ω （4.1.18）
对于单色平面波有22H E με=，故
22H E μεω== （4.1.19）
单色平面波的能流密度为
()v E n E H E S
ωμ
ε=⨯⨯=
⨯= （4.1.20）
对时间平均的能流密度为
()
n E H E S
20*21Re 21μ
ε=⨯= （4.1.21）
§4.2 电磁波在介质交界面上的反射和折射
如图1-3-1所示，取两介质的交界面为xy 平面，z 轴从介质1指向介质2。设平面电磁波从介质1入射到交界面上，入射波、反射波和折射波的电场强度分别为
入射波：()t r k i i e E E ω-⋅=
110 （4.2.1）
反射波：()t r k i r e E E ω-⋅= '1'10 （4.2.2）
折射波：()t r k i i e E E ω-⋅=
220 （4.2.3）
1、反射定律和折射定律
电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律
'11θθ= （4.2.4）
211
12212
21sin sin n k k μεμεθθ== （4.2.5） 式中21n 为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质0μμ≈，故可得
1
2
21εε=
n （4.2.6） 2、反射波和折射波的振幅
（1）菲涅耳公式
按入射波电矢量的振幅10E
分下列三种情形： （i ）10E
垂直于入射面
()()
212110'10sin sin θθθθ+--=E E （4.2.7） ()
212
11020sin sin cos 2θθθθ+=
E E （4.2.8） （ii ）10E
平行于入射面
()()
212110'10tan tan θθθθ+-=
E E （4.2.9） ()()
21212
11020cos sin sin cos 2θθθθθθ-+=
E E （4.2.10） （iii ）10E
与入射面斜交
把三个波的电矢量的振幅()0E
都分解为垂直于入射面的分量⊥0E
和平行于入射面的分量()//0E
，如图1-3-2所示，即
//101010E E E
+=⊥ （4.2.11） '
//10'10'10E E E +=⊥ （4.2.12） //202020E E E
+=⊥ （4.2.13）
结果得出，'10⊥E 和⊥20E 都只与⊥10E 有关；而'//10E 和//20E 则都只与//10E
有关。具体关系如下：
()()⊥⊥+--=102121'10sin sin E E
θθθθ （4.2.14）
()
⊥⊥+=10211220sin cos sin 2E E
θθθθ （4.2.15）