概率理论的线性局限分析——《生日悖论》是个谬误!
生日悖论 codeforces 例题
生日悖论是一个在概率论和统计学中的经典问题，指的是一个房间里只要有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率超过一半。
这个悖论看似与直觉相悖，然而通过概率的计算和统计学的分析可以得出证明。
在本文中，我们将通过codeforces评台上的一个例题来深入探讨生日悖论，通过编程和数学计算来验证这一经典问题的成立。
在codeforces评台上，有一道名为"Choosing Capital for Master"的例题，其内容涉及到选择一个首都来最大程度地使得其他城市到首都的距离之和最小。
这个问题实际上可以通过生日悖论来进行类比和解决，通过分析和算法设计来解决这一问题。
我们将通过数学推导来证明生日悖论。
假设有n个人，那么至少有两个人生日相同的概率可以通过以下步骤计算得出：1. 计算出任意两个人生日不重复的概率：第一个人的生日为365天中的任意一天，第二个人的生日不能与第一个人相同，所以概率为364/365。
2. 计算出n个人中都没有人生日相同的概率：依次乘上n个人都没有生日相同的概率，即为(365/365) * (364/365) * ... * (365-(n-1)/365)。
3. 最终得到至少有两个人生日相同的概率为1减去n个人都没有生日相同的概率。
通过以上推导，我们可以得出结论：当n=23时，至少有两个人生日相同的概率超过一半。
接下来，我们将通过编程来验证生日悖论。
我们可以使用C++或Python等编程语言来模拟生成一定数量的随机生日序列，然后判断其中是否存在相同的生日。
通过统计实验次数和相同生日出现的次数，来逼近真实的概率值。
以C++为例，我们可以编写以下伪代码来模拟实验过程：```cpp#include <iostream>#include <vector>#include <cstdlib>#include <ctime>int m本人n() {int n = 23; // 人数int experiments = xxx; // 实验次数int same_birthday_count = 0; // 相同生日次数统计srand(time(0)); // 设置随机种子for (int i = 0; i < experiments; ++i) {std::vector<int> birthdays(n);for (int j = 0; j < n; ++j) {birthdays[j] = rand() 365 + 1; // 随机生成1-365之间的生日}// 判断是否有相同生日bool has_same_birthday = false;for (int j = 0; j < n; ++j) {for (int k = j + 1; k < n; ++k) {if (birthdays[j] == birthdays[k]) {has_same_birthday = true;break;}}if (has_same_birthday) {break;}}if (has_same_birthday) {same_birthday_count++;}}// 输出实验结果std::cout << "实验次数：" << experiments << std::endl;std::cout << "至少有两个人生日相同的次数：" <<same_birthday_count << std::endl;double probability =static_cast<double>(same_birthday_count) / experiments;std::cout << "实际概率：" << probability << std::endl;return 0;}```通过以上代码，我们可以得到实际的概率值。
概率论发展史上的经典名题
这个问题的解答也说明了在信息不完全的情况下做出决策的困难性。在现实生活中，很多决策都需 要我们在不完全的信息下做出判断。因此，如何根据所获得的信息做出最佳决策是一个非常重要的 能力
概率论发展史上的经典名题
-
1
赌徒谬误
2
生日悖论
3
蒙提霍尔问题
4
辛普森悖论
5
高斯分布的应用
概率论发展史上的经典名题
01
概率论作为数学 的一个重要分支， 在其发展历程中 涌现出了许多经 典的名题
02
这些名题不仅推 动了概率论本身 的发展，还为其 他学科领域提供 了重要的启示
03
本文将介绍几个 概率论发展史上 的经典名题
5 高斯分布的应用
高斯分布的应用
高斯分布是概率论中的一个重要分布，它在很多领域都有广泛的应用。例 如，在自然现象中，很多随机变量都服从高斯分布，如温度、身高、体重 等。在金融领域中，很多资产价格的波动也服从高斯分布
高斯分布在数学和物理中也很有用。例如，在求解很多初值问题时，如果初值是随机变量 并且服从高斯分布，那么这些初值问题的解也会呈现出高斯分布的特征。此外，高斯分布 在统计推断中也很有用，例如在最小二乘法、最大似然估计等统计方法中都会涉及到高斯 分布的应用
生日悖论是一个有趣的概率问题，它指的是在一个随机选取的群体中，至 少有两个人在同一天出生的概率会非常高。这个问题的核心在于，一年有 365天，而要使得至少有两个人在同一天出生，只需要选取足够多的人即 可。当选取足够多的人时，这个概率会非常接近1
生日悖论3801272
生日悖论生日悖论（Birthday paradox）生日悖论 (1)什么是生日悖论 (1)生日悖论的理解 (1)概率估计 (2)数学论证(非数字方法) (3)泛化和逼近 (5)N＝365的结果 (5)泛化 (5)反算问题 (6)举例 (6)经验性测试 (7)应用 (7)近似匹配 (8)参考文献 (8)什么是生日悖论生日悖论（Birthday paradox）是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。
大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。
计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。
生日悖论的理解理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。
如在前面所提到的例子，23个人可以产生种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。
从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。
换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。
原因是这时候只能产生22种不同的搭配。
生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。
概率估计假设有n个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。
计算机率的方法是，首先找出p(n)表示n个人中，每个人的生日日期都不同的概率。
假如n> 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设n≤ 365，则概率为:因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365),第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。
验证生日悖论
验证生日悖论问题引入：一．问题分析生日悖论：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。
大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。
在《著名的生日悖论》中说道： 23个人里有两个生日相同的人的几率有多大呢？居然有50%。
悖论定义：悖论是指一种导致矛盾的命题。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
生日攻击：生日攻击方法没有利用Hash函数的结构和任何代数弱性质，它只依赖于消息摘要的长度，即Hash值的长度。
这种攻击对Hash函数提出了一个必要的安全条件，即消息摘要必须足够长。
生日攻击这个术语来自于所谓的生日问题，在一个教室中最少应有多少学生才使得至少有两个学生的生日在同一天的概率不小于1/2？这个问题的答案为23。
二．问题求解不计特殊的年月，如闰二月。
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365第二个人的生日是 365选364第三个人的生日是 365选363: : :第n个人的生日是 365选365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是： 1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507，约等于0.51。
生日悖论概率问题
生日悖论：你的生日和其他人的生日有多大的概率相同？生日悖论是一个有趣的概率问题，它的答案可能会让你感到惊讶。
假设在一个房间里有23个人，那么这些人中有两个人生日相同的概率是多少呢？你可能会认为这个概率很小，但实际上它是非常高的。
为什么会这样呢？让我们来看看这个问题的背后。
生日悖论的原理在一个房间里有23个人，每个人的生日都是随机选择的。
那么第一个人的生日可以是任何一天，第二个人的生日可以是除了第一个人生日那一天的任何一天，第三个人的生日可以是除了前两个人生日那两天的任何一天，以此类推。
因此，第23个人的生日可以是除了前22个人生日那22天的任何一天。
我们可以用排列组合的方法来计算这个问题的答案。
假设我们要从365天中选择23个不同的生日，那么我们可以有C(365,23)种不同的选择方式。
其中C(n,m)表示从n个不同的物品中选择m个物品的组合数。
这个数值可以通过数学公式计算得出，也可以使用计算器或者网络上的计算工具来计算。
现在我们来计算一下，如果要保证在一个房间里至少有两个人的生日相同，需要多少人才能满足这个条件。
这个问题可以转化为求解至少有两个人的生日不同的概率，即：P = 1 - C(365,23) / 365^23这个概率的计算结果是0.5073，也就是说，在一个房间里有23个人的时候，至少有两个人的生日相同的概率是50.73%。
这个结果可能会让你感到惊讶，因为我们通常认为需要更多的人才能满足这个条件。
生日悖论的实际应用生日悖论不仅仅是一个有趣的概率问题，它还有着广泛的实际应用。
例如，在计算机科学和密码学中，生日悖论被用来评估哈希函数的强度。
哈希函数是一种将任意长度的消息映射到固定长度的消息摘要的算法，它在计算机安全中扮演着重要的角色。
生日悖论告诉我们，如果哈希函数的输出长度为n位，那么攻击者找到两个具有相同哈希值的消息的概率大约是2^(n/2)。
因此，为了保证哈希函数的安全性，输出长度应该足够长，以确保攻击者无法轻易地找到相同的哈希值。
生日悖论是个延续了百余年的谬误
《生日悖论》是个延续了百余年的谬误——发展非线性经济学的哲学漫谈商与儒这是我在提议发展我国非线性经济学时，用自己的非线性哲学思维审视精确科学——数学的一篇哲学漫谈，我相信诸位很容易判断我的结论是否正确。
欢迎各位批评和指正！《概率理论》是《经济学》的重要分析工具，它真的是那么科学、那么完美、那么无暇可击吗？我们先来看个例子：一个袋子里有9个材质、形状、重量都一样的小球，它们分成3组，分别写着1-3的数字。
我们随机摸3个小球，问：摸到3个数字相同的小球和摸到3个数字都不同的小球，哪个概率大？显然数字相同的小球只有3个组合：111，222，333；而数字都不同的小球有6个排列（123，132，213，231，312，321），所以答案一定是摸到数字都不同的3个小球的概率大。
现在我们用三种不同的颜色分别代替三个不同的数字，给这些小球上涂上红兰棕三色，每种颜色涂3个小球。
我们随机摸3个小球，问：摸到3个颜色相同的小球和3个颜色都不同的小球，哪个概率大？颜色相同的3个小球只有三个组合——红红红、蓝蓝蓝、棕棕棕；颜色都不同的3个小球有6种不同排列（红蓝棕、红棕蓝、蓝红棕、蓝棕红、棕红蓝、棕蓝红），所以答案一定是摸到颜色都不同的3个小球的概率大。
现在我们再在三组颜色相同的小球上分别写上123三个不同的数字：1112 2 233 3于是，如上图所示，9个小球中，颜色相同的小球，数字一定不同；数字相同的小球，颜色一定不同。
我们问：随机摸3个小球，概率最小的是哪一种情况时，就形成了一个“悖论”——回答“摸到3球颜色相同的概率最小”，那么这3球的数字一定不同（这是同时发生的必然事件，概率为1），摸到3球数字不同的概率一定不是最小；回答“摸到3球数字相同的概率最小”，那么这3球的颜色一定不同，摸到3球颜色不同的概率一定不是最小。
概率是门严密精确的数学，怎么会得到如此矛盾的结果呢？我们来分析其中的原因：如上图所示，我们先来研究一下，这里颜色和数字的互相关系。
违反直觉的概率问题
违反直觉的概率问题
首先，人们往往会根据自己的直觉或者经验来判断概率事件，
但有时候直觉并不符合数学规律。
一个经典的例子是“生日悖论”，即在一个房间里只需要23个人就有超过50%的概率至少有两个人生
日相同。
这个结果往往让人感到惊讶，因为直觉上认为至少需要
365人才会出现这种情况。
这种情况的出现是因为人们往往只考虑
了两个人之间的比较，而没有考虑到所有人之间的组合，从而导致
了直觉和实际概率的偏差。
其次，一些概率问题涉及到了条件概率和贝叶斯定理，这也容
易导致违反直觉的情况。
例如著名的蒙提霍尔问题，即在三个门后
面有一辆汽车和两只山羊，参赛者选择一扇门后，主持人会打开另
一扇门，露出一只山羊，然后问参赛者是否要改变选择。
直觉上，
很多人认为换与不换的中奖概率应该是一样的，但实际上根据贝叶
斯定理，换门后的中奖概率更高。
这个问题违反了很多人的直觉，
导致了许多人对概率计算产生了误解。
此外，人们在面对概率问题时往往容易受到信息呈现的方式影响，从而产生直觉上的偏差。
比如赌博广告中常常强调中奖的概率，但很少提及输钱的概率，这容易让人产生错误的直觉，认为中奖的
可能性很高。
这种情况下，人们往往会高估自己的中奖概率，而低估输钱的风险。
综上所述，违反直觉的概率问题往往源于人们的直觉和经验与实际的数学规律不一致，以及对条件概率和信息呈现方式的误解。
要正确理解概率问题，我们需要运用数学知识和逻辑推理，而不是仅仅依靠直觉和经验。
希望这些解释能够帮助你更好地理解这个问题。
从概率论角度解决生活中的悖论
从概率论角度解决生活中的悖论生活中有许多经典的悖论，在许多情况下这些悖论会使人感到困惑和尴尬，但是从概率论的角度来看，我们可以更好地理解这些悖论。
悖论1：生日悖论生日悖论是指在一个房间里只有23个人的情况下，至少有两个人的生日是相同的悖论。
这个悖论让人感到困惑的原因是我们通常觉得出现这种情况的概率应该很低。
但是根据概率论，这种情况的概率实际上是非常高的。
假设每个人的生日是随机的、独立的并且均匀分布的（即每一天出生的概率是相等的），那么在23个人中至少有两个人的生日是相同的概率大约是50%。
在一组有57个人的情况下这个概率就超过了99%。
这个悖论的解释是，我们通常很难想到所有可能的情况和排列，我们经常只是根据直观感觉做出判断，并没有考虑到所有的可能性。
悖论2：蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题是指在一个游戏中，你面前有三扇门，其中一扇门后面是一辆汽车，另外两扇门后面是羊。
你首先选择其中一扇门，然后主持人告诉你另一扇门后面是一只羊。
你有选择更换原先选择的门吗？这个问题的答案其实是选择更换。
虽然眼前的情形看起来你选择任何一扇门的获胜概率是一样的(1/3)，但你的概率其实更高(2/3)。
为了理解这一点，可以考虑两个可能的情况：一是你一开始选择到了有汽车的那扇门，此时主持人会打开其他两扇门中的一扇门。
二是你选择的是有羊的门，此时主持人必须要打开剩下的那一扇门，因为他不能打开有汽车的那扇门。
在第一个情况中，更换的话你就会输掉，概率为1/3；在第二个情况中，更换的话你就会获胜，概率为2/3。
由于这两个情况的概率分别是1/3和2/3，所以更换的好处是更好的。
孪生船悖论是指两条船在海上相向而行，当它们相距一定距离时，一艘船上的钟比另一艘船上的钟慢，或快，或者两者都有可能。
因为两艘船的速度与方向各不相同，所以很难确定哪艘船的钟会慢一些。
这个悖论的解决其实涉及到了一些相对论和时间理论的知识，但是从概率论的角度来看，我们可以认为两艘船的速度和方向是随机的，那么任何一艘船的钟相对于另一艘船的钟的时间偏差都是等概率的。
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线性概率模型的矛盾
2014110059 高天
AB两人用扔硬币赌博，正面向上A赢，反面向上B赢。
两个人赌了一会，来了第三者C，C也要参与赌博，但是由于扔硬币只有两种结果（硬币“站着”的结果几乎不会发生，所以被排除），C表示他通过把赌注押在A或B一方，来参与赌博，A与B都同意了。
但是C并不是每次都下注，他要看到A或B连输几次，才把赌注押在输的一方。
这样赌了一会儿后，A与B发现，他们之间的输赢相当，但是他们都输钱给C了。
于是，他们提出C的这种赌法是不公平的，因为我们都知道，尽管在一定次数中统计扔硬币的结果，出现正面与出现反面的结果未必相等，但是扔硬币的次数越多，出现正面与出现反面的次数会越来越接近，扔硬币时两面出现的概率总是趋向于50%。
所以如果A与B有一方连输了几次，再输的概率就小了，因此，A和B都认为C的这种押注方法，赢的概率大，不公平。
我们都知道每一次扔硬币的结果，出现正面或出现反面的概率是一样的，都是50%，既然硬币本身不知道前面扔硬币的结果，也不会因为前面的结果“主动”改变这次扔硬币的概率，那么C的押注法有什么不公平呢？所以C坚持说，他赢的概率也是50%，
A和B反驳C说，我们说每一次扔硬币正反面出现的概率都是50%，是一种理论上的计算结果，因为在这个概率计算中，只有两个基本事件，理论上认定基本事件出现的概率是一样的，所以正反面出现的概率都是50%。
但是我们从统计学的角度看，如果我们画一条直线，在直线上均匀刻度表示扔硬币的次数，然后我们把扔硬币时硬币正面向上作为一个点记在直线上方，反面向上记在直线下方，如果连着出现正面向上（或者反面向上），就把点标记在前面那个点的上方（或下方），扔了一定次数的硬币后，我们很容易发现，这些点有一个明显的特征——回归特征，也就是不管直线上方或直线下方的点，都有一个趋势，就是回到直线的附近。
离开直线的距离越大的点，出现的频率越低。
如果C的押注固定在某一个人处，那么C赢的概率也是50%，但是C的押注是有选择的，他总是选择点子离开直线的距离大的时候再押注，也就是他总是选择点的轨迹可能出现回归特征的时候押注，所以C赢的概率就大了。
C反驳他们说，你们说扔硬币正反面出现的概率为50%，是理论上计算的结果，不错！但是你们说的回归特征也是理论上的特征，你能画一条曲线出来，然后确保每一次扔硬币的结果都与这条曲线相符吗？你根据一次实践的结果画出曲线，能代表其他次实践的结果吗？统计结果是我们人类思维的结果，不是硬币思维的结果，硬币知道自己什么时候要“回归”吗？它在每一次被扔的时候，不还是按50%的概率出现正反面吗？
事实上AB的说法是对的，C这样下注是不公平的，赢的概率大，实践也能说明这一点，事实上每次扔硬币出现正反面的概率不是确定性的50%，而是一种分形，有内在的自相似性而与前面曾经出现的正反面次数有内在的联系。
概率理论存在的问题：
概率计算的原始想法就是：尽管每次取样都会发生不同的结果，我们只要把所有可能发生的基本事件用排列组合全部列出来，再把你感兴趣的事件出现的次数全部相加后，除以所有可能出现的基本事件的总数，就得到你感兴趣的事件出现的概率。
问题是，我们凭什么认定“所有可能出现的基本事件，它们出现的几率本身是等价的？”。