东南大学高数A下学期末试卷及答案 03-09
[ （B）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
]
f ( y 2 − 3 z ) 所确定的隐函数，其中 f 可微，求
2y
∂z ∂z + 3x . ∂x ∂y
2．确定 λ 的值，使曲线积分
C
∫(x
2
+ 4 xy λ ) dx + ( 6 x λ −1 y 2 − 2 y ) dy 在 XoY 平面上与路径
；
处的函数值 S (−1) = 8．设 C 为正向圆周： z = 1 ，则
学号
� ∫
C
sin z dz = z2
；
9．设 f ( z ) 在 z 平面上解析， f ( z ) =
∑a z
n =0 n
∞
n
，则对任一正整数 k ，函数
f ( z) 在点 z = 0 zk
的留数 Res
f ( z) ;0 = k z
n =1
∞
2n sin 2 n x 的敛散性；当级数收敛时，判别其是绝对收敛，还是条件收敛？ n
四（15） ． （本题满分 10 分）将函数 f ( z ) =
1 分别在圆环域（1）1 < z < +∞ ； （2） z (1 + z )
2
1 < z − 1 < 2 内展开成罗朗级数。
共 4 页
第 3 页
∫x
L
x 2 + y 2 dx + y x + x 2 + y 2 dy ，
(
)
其中 L 是从点 A(2,1) 沿曲线= y
x − 1 到点 B (1, 0) 的一段。
三（14） ． （本题满分 9 分）试就 x 在区间
π 3π 上的不同取值，讨论级数 , 2 2
∑ (−1)n−1
2 2 2 2 3
姓名
4．已知曲线积分
∫ (e
L
x
cos y + yf ( x) ) dx + ( x 3 − e x sin y ) dy 与路径无关，则 f ( x) =
2 2
5． 已知微分式 dz = 封
∞
( 2 xy + 3x ) dx + ( x
则其原函数 z = + 3 y 2 ) dy ，
。
二.计算下列各题(本题共 4 小题，满分 33 分) 10． （本题满分 7 分）设函数 z = z ( x, y ) 由方程 x + y = xϕ
2 2
z 所确定，其中 ϕ 为可微 y
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第 1 页
函数，求
∂z ∂z , 。 ∂x ∂y
第 2 页
11． （本题满分 7 分） 将函数 = f ( x) ln 2 x − x
∞
6．若幂级数
∑ an ( x + 1)n 在 x = 2 处条件收敛，则 ∑ nan ( x + 1)n−1 的收敛半径 R =
n =1 n =1
；
7．将函数 f ( x) = 密
1 , 0 ≤ x < 1 在 [0, π ] 上展开为正弦级数，其和函数 S ( x) 在 x = −1 x +1 , 1 ≤ x < π
]
学号
（A） （B） （C） （D）
2 ∫∫ xydxdy ∫∫ ( xy + y sin ( xy ) ) dxdy =
D
2 ∫∫ y sin ( xy ) dxdy ∫∫ ( xy + y sin ( xy ) ) dxdy =
D
D1
2 ∫∫ ( xy y sin ( xy ) ) dxdy ∫∫ ( xy + y sin ( xy ) ) dxdy =+
= z x 2 + y 2 所围立体表面的外侧的流量.
七． （18）(本题满分 8 分) 设函数 f ∈ C ([0,1]) ，且 0 ≤ f ( x) < 1 ，利用二重积分证明不 等式：
高等数学 A 选学 A 的各专业 一 二
06-07-3
考试形式 三
考试时间长度 六
一。填空题(本题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分) 1 ．已知曲面 z = xy 上一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的法线垂直于平面 x + 3 y + z + 9 = 0 ，则
线
x0 =
(
2
) 展开为 x − 1 的幂级数，并指出其收敛域。
∞ n 3 n ⋅ 3n n +1 12． （本题满分 10 分）求幂级数 ∑ x 的收敛域及和函数，并求 ∑ 的 n =1 n + 1 n =1 n + 1 4 ∞
n
和。
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第 2 页
第 3 页 13． （本题满分 9 分）计算第二型曲线积分： I =
x 2 + y 2 + z 2 ，则 div
封
C
5.设幂级数
∑ an x n 的收敛半径为 3 ，则幂级数 ∑ nan ( x − 1)n+1 的收敛区间为
n =0 n =1 x2 (2 n )
∞
∞
；
6．设 f ( x) = e ，则 f 密 7. 设 f ( x) =
(0) =
；
0, − π < x ≤ 0 ， 其以 2π 为周期的 Fourier 级数的和函数记为 S ( x) ， 则 1 + x , 0 < x ≤ π
D
− y 2 ) dσ 的值达到最大的平面闭区域 D 为
.
二．(本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
（第 2 页）
11．判断级数
3n 的敛散性. ∑ n n n =1 4 − 2
∞
12．求幂级数
2n n n +1 x 的收敛域与和函数. ∑ n =1 n + 1
∞
三．(本题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分) 13．将函数 f ( x)= x + x 在 (−1,1] 上展开为以 2 为周期的 Fourier 级数.
∞ n
]
n ∞ ∞ ∞ n + ( −1) 1 n 3 −n ln 1 + n n e （A） ∑ ( −1) （ B ） （ C ） （ D ） ∑ ∑ ∑ n +1 n +1 n =1 n =1 n =1 n =1 n n
2．设区域 D 由直线 y = x, y = − x 和 x = 1 围成， D1 是 D 位于第一象限的部分，则[
z
.
线
2. 幂级数
∑ ( −1)
n =1
∞
n
1 x n 的收敛域为 2 ln ( n + 1)
n 1 y 2 0 0 1
.
姓名
3. 交换积分次序:
∫ dy ∫ f ( x, y ) dx + ∫
2 2
dy ∫
2− y
0
f ( x , y ) dx = .
2
1 ,则曲线积分 4. 设曲线 C 为圆周 x + y =
封 5. 当 α = ,β = 时,向量场 Α =
� ∫ (x
C
+ y 2 − 3 x) i + ( x + 3z ) j + ( β y − z ) k 为有势场.
[
n
二. 单项选择题(本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 1 6 分) 1. 在下列级数中，收敛的级数是 密
， y0 =
， z0 =
；
2．交换积分次序
∫
1 −1
dx ∫
1− x 2 − 1− x 2
f ( x, y )dy =
；
r ； = r3 2 2 4．设正向闭曲线 C ： x + y = 1 ，则曲线积分 � ∫ x ydx + xy dy = ；
3． 设 r =
姓名
{ x, y, z} , r =
D
D1
0 ∫∫ ( xy + y sin ( xy ) ) dxdy =
D
D1
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第 1 页
3．设 Σ 为上半球面 z =
4 − x 2 − y 2 ，则曲面积分 ∫∫
Σ
ds 1 + x2 + y 2 + z 2
的值为
[
]
（A） 4π
（B）
16 π 5
（C）
16 π 3
（D）
8 π 3
4．二元函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数 f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) 存在是函数 f 在该点可微的 (A) 充分而非必要条件 （C）充分必要条件 三. (本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 3 5 分) 1．设 z = z ( x, y ) 是由方程 x − 2 = z
七．(本题满分 6 分) 设级数
∞
∑a x
k =1 k
∞
k +1
在 [ 0,1] 上收敛，其和函数为 f ( x ) ，证明级数
∑f 收敛。 n
n =1
1
共 4 页
第 4 页
东
南
大
学
考
试
卷 （ A 卷） （共
考试学期 考试形式 05-06-3 闭卷
4 页第 1 页） 得分
课程名称 适用专业
14．将函数 f ( z ) =
1 在圆环域 1 < z < 3 内展开为 Laurent 级数. （第 3 页） z − 4z + 3
东南大学高等数学(A)期末03-13试卷
f ( z) =
1 z ! 4z + 3
2
1< z < 3
Laurent
(cos x + 2 xy + 1)dx + ( x 2 ! y 2 + 3)dy
.
+! 0
"
1 dx 1 + x4
v( x, y, z) = { y3 ! z 3 , z 3 ! x3 , 2 z 3}
z = 1 + 1 ! x2 ! y 2
2
1< z ! 2 < 3
2 ydx + ( y 2 ! 6x)dy = 0
2 8 9
y!! + 4 y = 8 x " 4sin 2 x
y(0) = 0, y!(0) = 5
!
I = ## x2 dy " dz + y 2 dz " dx + ( z 3 + x)dx " dy
!
z = x2 + y 2 (0 ! z ! 1)
! n
!
"a x
k k =1
k +1
[0,1]
f ( x)
(f$ % &n'
n =1
!
"1#
2005
1+ 1! x2 x
A
"
1
0
dx "
f ( x, y)dy =
e z + z + xy = 3
M (2,1, 0) (2,1,1)
divA =
A = 3x 2 yz 2i + 4 xy 2 z 2 j + 2 xyz 3k
高数A期末试卷
08-09-3东南大学高数A 期末试卷（150分钟）一. 填空题21.cos()4π-++=xz x x y e yz 曲面在点(0,1,2)处的法线方程是_______(1,2,0)2._______==u gradu 设则梯度003.2,(1)1∞∞++∑∑nn n n a a x x n 设的收敛半径是则的收敛区间是_______24.:1,,-+=⎰ÑC x y ydx x dy 设闭曲线C 取逆时针方向则曲线积分的值是_______»5.(,),(,)()+⎰ABF x y F x y ydx xdy 设具有一阶连续偏导数则曲线积分与路径无关的 充要条件是=_______1016.()[0,],(),21<(21)_____πππ-≤<⎧=⎨≤⎩-=x f x S x x x S 将函数在上展开为余弦级数其和函数 则 17.2,,(1)(3)=---⎰Ñz dz z i z C 设闭曲线C:取逆时针方向则积分的值是_______218.[sin ,0]=Res z z留数_______ 009. ,,ln .∞∞=∑∑n n n a a a n 取可使得级数收敛且发散二. 计算题.210.(7)((),),,,,.ϕϕ=-∂∂∂∂∂z f x y x y f z z x x y分设其中具有连续的二阶偏导数具有连续导数计算111.(7),.1n n n e ∞=-∑分判别级数的敛散性并说明理由1112.(8)(1),2ln .∞=--∑n n n n 分判别级数是否收敛若收敛,判别是绝对收敛, 还是条件收敛?并说明理由13.(8)()1 (1)2.=-≤f x x x Fourier 分将函数展开为以为周期的级数114.(7).∞=∑2n n nx 三、分求的收敛域及和函数2115.(7)()13.4=<+<+f z z i Laurent z 四、分将函数在圆环域内展开为级数16.(7)cos (5sin ),.=+-=⎰x x C I e ydx xy e y dy C x y 五、分计算其中为曲线 方向沿增大的方向22217.(7)()^()^()^,S 20,=++++-==⎰⎰S I y xz dy dz z y dz dx x z dx dy z z 六、分计算其中为所截的部分取上侧.11118.(6)0,0(1,2,),0,(1,2,),.αα++∞=>>=>-≥=∑L L n n n n n n n n b a b n a a n b b 七、分设若存在常数使得则级数收敛。
东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)
共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）一. 填空题1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 .2. 幂级数()()1112ln 1nn nn x n ∞=-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()122001d ,d d ,d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-=⎰ .二. 单项选择题1.曲面24e 3zxy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线12112x y z --==-的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2π(D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1sin d d 2d d DD xy y xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y xy y xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()sin d d 0Dxy y xy x y +=⎰⎰3．设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 [ ]（A ）4π （B ）165π （C ）163π （D ）83π共 5 页 第 2 页4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ） 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)1．设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y∂∂+∂∂ .2．将函数()()2ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
03工科数分期末分析试卷(下)答案
共6页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 03-04-3得分适用专业 上课各专业 考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一．填空题（每个空格3分，共30分）1．已知32yz xy u -=，则==u grad A ()232,2,3--y xy z yz ，A div ＝26-x yz ， =A rot 0。
2．幂级数nn nx n ∑∞=131的收敛域是[)3,3-。
3．3)1(sin )(-=z e zz z f 在圆域1||<z 内的奇点是=z 2,∈n i n Z π，奇点的类型是00=≠n n 时是一级极点，时是三级极点。
（如为极点应指明是几级极点）。
4．积分=⎰=dz zzz 1||3cos -i π.(积分路径取逆时针方向) 5．0122=++xy e ydx dy6．二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为xxe y =，则该方程为7．设)1(sin )(2-=z z zz f ，则]0),([Re z f s ＝-1。
二．单项选择题（每小题3分，共12分）1．设3||lim 1=+∞→n n n a a ，则级数∑∞=-112n n n x a 的收敛半径=R [ D ]共6页 第2页(A) 3=R (B) 31=R (C) 3=R (D) 31=R2.方程x y y cos =+''的特解形式为=*y [ C ] (A)x Ax cos (B)x B x Ax sin cos + (C)x Bx x Ax sin cos + (D)x Bx x A sin cos + 3.设,sin 2,sin )(),10()(1212⎰∑==<≤=∞=xdx n x b x n b x S x x x f n n n ππ,,2,1 =n 则=-)21(S [ B ](A) 41 (B) 41- (C) 0 (D) 14.球体22224a z y x ≤++在柱面ax y x 222=+内的那一部分的体积=V [ C ](A) ⎰⎰-θπρρθcos 20222044a d a d (B) ⎰⎰-θπρρρθcos 20222048a d a d(C) ⎰⎰-θπρρρθcos 20222044a d a d (D) ⎰⎰--θππρρρθcos 2022224a d a d三.计算下列各题(每小题7分,共28分) 1. 求函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域+∞<<||1z 内的Laurent 展开式. 解：2212021321()(1)112 1112 112232∞-=∞-=-=-∞+=-⎛⎫=⋅+⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭=+=++∑∑∑z n n nn nn z f z z z z z z z z z z z z z共6页 第3页2. 求微分方程xxe y y y 2182--=-'+''的通解.解：特征方程为220,r r +-=有两个单重根1和-2。
高数(A)期末试卷
共 4 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷） 课程名称 高等数学A 期末 考试学期 09-10-3 得分 适用专业 选修高数A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将2222200d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标 系下的三次积分 ； 2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ； 3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则(3)S π= ，(2)S π-= ； 4. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==； 5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)C z zz =+-⎰ ； 6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ； 7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；8.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ ；9. 设()(,)d d x y t F t f x y x y +≤=⎰⎰，其中2,0(,)0,x y x x f xy ⎧≥≥=⎨⎩且其它，则(2)F = . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 4 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y x z x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂.11．计算22222000d e d d d y y x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.12．判断级数111(1)!179n n n n n-∞-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性.13. 求幂级数ln 12nn n x n ∞=∑的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）共 4 页 第 3 页 三（14）．（本题满分7分）设1,022()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩在[0,]π上展开成正弦级数，并写出它的和函数.四（15）。
东南大学08-09-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准.
08-09-3高数A期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分1. 曲面在点处的法线方程是；2.设，则梯度；3.设幂级数的收敛半径是，则幂级数的收敛区间是；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5.设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.将函数在上展开为余弦级数，其和函数在点处的函数值；7. 设为圆周，取逆时针方向，则积分的值是；8.留数；9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.解，（3分）（4分）11．（本小题满分7分）判别级数的敛散性．解，（5分）由比值法得知级数收敛。
（2分）12．（本小题满分8分）判别级数是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由.解显然，记，令，得，当时，单调递减，由判别法得知级数收敛，（4分）且，而级数发散，由比较判别法得知级数发散，（3分）故条件收敛。
（1分）13. （本小题满分8分）将函数展开为以为周期的级数.解，（1分），（2分），（3分）于是由收敛定理得：（2分）三（14）．（本题满分7分）求幂级数的收敛域与和函数.解收敛域为，（1分）令，则（3+3分）四（15）。
（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数.解（1+2分）（2+2分）五（16）.（本题满分7分）计算，其中为曲线，方向沿增大的方向.解记，由公式得（2+1+3+1分）六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧.解补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得（3+2+1+1分）七（18）（本题满分6分）设，若存在常数，使得，则收敛.证由于，故正数列单调递减且有下界，数列收敛，（3分）从而得正项级数的部分和收敛，即收敛，再由比较判别法得收敛.（3分）或证由，得正项级数的部分和有上界，即得收敛，（3分）再由比较判别法得收敛.（3分）。
高等数学(A)下期末试卷及答案
来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。
来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。
东南大学《高等数学》2006-2007学年期末试卷A卷
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）课 程 名 称 高等数学 A 期末 考试学期 06 - 0 7 - 3 得分 适 用 专 业 选学 A 的各专业 考试形 式 闭卷 考试时间长度 150 分钟(10330)1．已知曲面z xy 上一点M0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的法线垂直于平面x 3y z 9 0 ，则x 0， y 0，z 0；22 交换积分次序 1d xf ( x , y ) d y ；3 设r x , y , z , r ，则 d i v ； r 2 2C5.设幂级数 a n x n 的收敛半径为3 ，则幂级数 na n (x 1) n 1 的收敛区间为 ；n 0 n 16 设 f ( x ) e x，则 f ( 2 n )( 0 ) ；7. 设 f ( x ) ，其以2 为周期的F o u rie r 级数的和函数记为S ( x ) ， 则1 x , 0 xS ( 3 ) ；8.设正向圆周C : z 1 ，则 d z ；C9．函数 f ( z ) z c o s 的孤立奇点z 0 的类型是 （如为极点， 应指明是几级极z 点）， R e s f ( z ) , 0 ； 10 使二重积分 4 4 x2y2d 的值达到最大的平面闭区域D 为 .D( 2 8 16)n4 22 2 2x y z 0 , x 0c o s z 1 1 xzr3132n 1判断级数 n n 的敛散性.4 设正向闭曲线C ： x y 1 ，则曲线积分 x y d x xy d y ；．求幂级数 x n 1的收敛域与和函数.n 1将函数 f ( x ) x x 在( 1, 1] 上展开为以 2 为周期的F o u rie r 级数. 14 将函数 f ( z ) z 4 z 3在圆环域 1 3 内展开为L a u r e n t 级数.15(9)验证表达式 (c o s x 2 xy 1) d x ( x2y23) d y 为某一函数的全微分， 并求其原函数.16( 9 )利用留数计算反常积分0 4d x .17(10)已知流体的流速函数 v ( x , y , z ) y 3 z 3 , z 3 x 3 , 2 z 3 ，求该2 2 2 218( 8 ) 设函数 f C ( [ 0 , 1] ) ，且 0 f ( x ) 1 ，利用二重积分证明不等11f ( x ) 0f ( x ) d x1 f ( x ) 1 0f ( x ) d xz 式： d x 12 n n n 111 x12流体流过由上半球面z 1与锥面 z 所围立体表面的外侧的流量.06 - 07 - 3 AA(10330)1 、x 03 ， y 01 ， z 031 1 x 02 、 1 d xf ( x , y ) d y 1d y1f ( x , y ) d x 0d y1 y1 yf ( x , y ) d xr 2 2 ( 2 n )( 2 n ) !r n !7、S ( 3 ) 8、 d z 2 i 9、R e s f ( z ) , 0 10、 ( x , y ) x y 12 C z2 4 ( 2 8 16 )n na 3 n，b 4 2 4 n b n n 1 n 1 4 2n12 、记 a n， n 1lim n 1 2 ，R ，收敛区间为 , ，在收敛区间的 na n 2 2 2两端点处， 级数都发散， 故收敛域为 , 2 2(2)2 n n 1 1 2x 21 n1 n 1 n 12 n 1 n 1 1 2x 2P ( t )tn1 ，P (2 x ) ln (1 2 x ) 2 x ，S ( x )( 2 9 18 )ln (1 2 x ) (3 )1 2 x 213 、 a 0 2 0x d x 1 , a n 2 0x c o s n x d x 2 ( ( 1) n 1) ，(1+3)n 1b n2 0x s i n n x d x , n 1, 2 , (3 )2 2 c o s ( 2 n 1) x s in n x (2 )14 、2 z 63 1 1z 3C1 c o s z 12 121 4 12 ( 1)n 1f ( x ) , 1 x 1 2 n 1 ( 2 n 1) n 1 n 1 , x 1a 1 1 11 121 1 1 z n12 ( 1)n 11 t3 3 1 11 x 1( n )2 nn1 y222n 1nz24 z 3 2 z 3 z 1 2 z 1 6 zn 0 n 0 S ( x )x n 1 x ( 2 x ) n ( 2 x ) n 1P ( 2 x ) (3 )11、记 a n n n n n，则 li m n1 ，而 b n 收敛， 故 n n 收敛.(8 )3 、d i v 3 04 、 x y d x xy d y 05 、( 2 , 4 )6 、 f ( 0 )1 y92 22x ，所验证的表达式确是某一函数的全微分.x y(3采用凑微分法2 2 2 2= d ( s in x x x 2 y y 3 3 y ) d u ,故原函数为u s i n x x x 2 y y 3 3 y C .3 39110 1 x4d x211, e 4 R e s1 z4, e 4 (2+2)11i2 2 ( i 1) 2 2 (1 i ) 2 2 410V d S( y3 z3 ) d y d z( z3 x3 ) d z d x 2 z3 d x d y(2)S S6 z2 d v 6d4 c o s 2 s in d4 d 9 (3+3+2)8所证不等式等价于不等式：d x(1 f( x ) ) d xf( x ) d x，(2)而0 1 f( x ) 0 0 1 f( x ) 0d y (1 f( x ) ) d x d1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))4f(x)f(y)2D(1 f( x) ) (1 f( y ) )12122dd(f(x)f(y))d f(x)d x其中D [ 0 , 1] [ 0 , 1] (4)1 f( x )1 f( x ) 1 1 f( x ) 11f(y)11f(x)f(x)f(y)f(y)f(x)f(y)D(1 f( x) ) (1 f( y ) ) 2D( f( x) f( y ) ) (1 f( x) ) (1 f( y ) ) 1 1(f(x)f(y))(1f(x)f(y))(f(x)f(y))D(1 f( x) ) (1 f( y ) )111 f( x ) 1 1i1i32 2 c o sd(2)0 1 f( y ) 0 2D1 f( x) 1 f( y )d x (1 f( x ) ) d x d x (1 f( y ) ) d yi i (2+2)+(1)(c o s x 2 xy 1) d x( x y3) d y (c o s x 1) d x( y3) d y 2 xy d x x d y( x y 3 ) (c o s x 2 xy1)。
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷4套
姓名
课程名称 适用专业
东南大学考试卷
高等数学 A（期中） 考 试 学 期 0 9 - 1 0 - 3 得分 选学高数 A 的各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120 分钟
题号
一
二
三
四
五
六
得分
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1．由方程 xyz + sin(π z) = 0 确定的隐函数 z = z(x, y) 在点 (1, 0,1) 处的全微分 dz = ；
共4页
第2页
∫∫∫ 13． 求极限 lim 1
sin(x2 + y2 &# →0+
5 x2 + y2 +z2 ≤t2
∫∫ 14．计算 xdy ∧ dz + z2dx ∧ dy ，其中 S 为 z = x2 + y2 与 z = 1所围成的立体的表面， S
取外侧.
四（15）（本题满分 8 分）求密度为1，半径为 R 的上半球面对球心处单位质量质点的
(1, 1, 1)
¨
4. I =
|y − x2| max{x, y}dxdy.
0≤x≤1 0≤y≤1
‹
5.
(x2 + y)dS,
S
x2 + y2 ≤ z ≤ 1
S
.
4
3
8
f (z) = u+iv
f (0) = −3i , f (z) . (
z)
,
u(x, y) = x2−y2+4x,
8
z = 2(x2 + y2) z = 3 − x2 − y2
z0
;
fx, fy, z = f (x, y)