(完整word版)二项式定理历年高考试题荟萃
二项式定理高考题(含答案)精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）二项式定理高考题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2二项式定理 高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）103.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为 （ D ） (A)10 (B)-10(C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6的二项展开式中，2x 的系数为 （ C ）（A ）154- （B ）154（C ）38- （D ）38 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A )(A)270- (B)90- (C)90 (D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D )A.56B.84C.112D.1688.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ） （A ）-40 （B ）-20 （C ）20（D ）409. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8(D)93 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20二、填空题11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 17 .13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x +（的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则1110a a += 0 .17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x-的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n xx )1(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若8⎛+ ⎝x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a ____12_____。
二项式定理历年高考试题荟萃
二项式定理历年高考试题荟萃1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是10.2、已知展开式为，求a+b=2+3=5.3、已知展开式为，求n=6.4、(1+2x2)(1+x8)的展开式中常数项为1.5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为63.6、(1+2x2)(x-1)8的展开式中常数项为-256.7、(1+x)8的二项展开式中常数项是1.8、(x2+1)6的展开式中常数项是1.9、若展开式中系数为5，则n=3.10、若(2x3+1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于3.11、(x+1)9展开式中x3的系数是84.12、若展开式的各项系数之和为32，则n=5，其展开式中的常数项为1.13、(1+2x)6的展开式中的系数为1,12,48,96,80,32,6,1.14、a1=-32,a2=80,a3=-80,a4=40,a5=-10.15、(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为-12.16、展开式为1+7x+21x2+35x3+35x4+21x5+7x6+x7，常数项为1，各项系数之和为119.17、(x+1)5的二项展开式中x2的系数是10.18、(1+x3)(x+1)6展开式中的常数项为1.19、若x＞0，则(2+x)(2-x)-4(x-1)=0.20、已知展开式中x8的系数小于120，则k=2.21、b3=2b4，n=7.22、(x+1)5的二项展开式中x3的系数为10.23、已知(1+x+x2)(x+1)n的展开式中没有常数项，n=4.24、展开式中x的系数为0，∴(1+2x)2展开式中常数项为-4.解析：1.将数字和符号之间加上空格，使得文章更加清晰易读。
2.删除明显有问题的第3段，因为其中的公式无法正确显示。
3.对每段话进行小幅度改写，使得表达更加准确简洁。
改写后的文章如下：3、-256解析：$(1-x)^5=a_2^3+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
（完整版）二项式定理高考题（带答案）
1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】【解析】分析：分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.7.【【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为的系数为A ．80- B ．40-C ．40 D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345xa x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数. 9.【2017山东，理1111】】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C3C 3rrr r rr nnx x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rr r nx +T=，令2r =得2x 的系数是2C n，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．属于容易题．属于容易题．解题时一定要抓住重解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C kn kkk n ab -+T =．11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】5312xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为71535215511()()()22k k kkkk k T C x C xx--+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()()44214411r rr rrr r T CxC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516【解析】614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以该项系数为1516. 16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）A.3B.3-C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x2+1x）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nxx⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i为虚数单位，则6(i)x+的展开式中含x4的项为的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A23.（2016年天津高考）281()xx-的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-24.（2016年全国I高考）5(2)x x+的展开式中，x3的系数是的系数是 .（用数字填写答案）案） 【答案】10。
二项式定理高考题
二项式定理高考题二项式定理高考题一、单选题（共18小题）1．已知（1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）B ．C ．D ．A ．2．二项式的展开式中的系数为15，则（）A．7B．6C．5D．43．已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A ．B ．C．6D．-64．的展开式中，的系数是（）A．10B．20C．30D．605．的展开式中的系数是（）A．－20B．－5C．5D．206．在的展开式中，记项的系数为，则（）A．45B．60C．120D．2107．若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）A．2B ．C．1D ．8．已知（1+x）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-19．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝（）A．5B．6C．7D．810．设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为（）A．－B．20C．－15D．152011．的展开式中的系数是（）A．56B．84C．112D．16812．设m为正整数, (x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a, (x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b. 若13a=7b, 则m=（）A．5B．6C．7D．813．使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．714．设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b, 则m=（）A．5B．6C．7D．815．已知(1+ax) (1+x) 5的展开式中x2的系数为5, 则a=（）A．-4B．-3C．-2D．-116．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )A．5B．6C．7D．817．的展开式中的系数是（）A．56B．84C．112D．16818．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．-40B．-20C．20D．40二、填空题（共25小题）19. 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=20.在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．21.在的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）.22.的展开式中的系数是________(用数字作答).23.的展开式中，的系数等于.（用数字作答）24.在的展开式中，的系数为__________.25.在的展开式中，的系数为26.在的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
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选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n － 1D ．2(n ＋1)2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 ()A ．C rr ＋1nB ．C nr －1D ．(－ 1) r －1 r －1C ．C n C n．在 － 10 的展开式中， x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A ．－ 27C 10B ．27C 106 4C ．－ 9C 10D ．9C 104．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2x)3(1－ 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A ．－ 4B ．－ 2C ．2D ．45．在 2x 3＋ 12 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ( )x (n N )A ．3B ．5C ．8D ．10．在 － 3 ＋ x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A ．－ 297 B ．－ 252C ．297D ．2077．(2009 北·京 )在 x 2－1 n的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是x()A ．3B ．4C ．5D ．6a 53的系数为 10，则实数 a 等于8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x ()19．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是()11 1 1A.12＜ x ＜ 5B.6＜x ＜51 21 2C.12＜ x ＜ 3D.6＜x ＜5．在3120的展开式中，系数是有理数的项共有 ()102x － 2A ．4 项B ．5 项C ．6 项D ．7 项二、填空题． ＋ ＋ 2·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1． ＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________． 12 (1 x) (12 ＋ 1 63 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ，则 a ＝________(用数字作答 )．13 ax 2． ·宁理，辽 ＋ ＋ 2－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15．求二项式 (a ＋2b)4的展开式．16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．17．已知在 (3x －1)n 的展开式中，第 6 项为常数项．3(1)求 n ；(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．118．若x ＋4n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x大的项．1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10－ r(－ 3) r.令 10－r ＝ 6，∵ T r ＋1 ＝C 10x解得 r ＝ 4.∴系数为 (－4443) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－3x)5，故(1＋ 2 33 5 3 (－ 3 3 0＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n － r1 rn － rr 3n － 5r[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2) ＝ 2·C n x .令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n － r1 rr r 2n －3rr通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6时， r ＝4 合题意，故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5－ rr 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x4由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1＜ x ＜1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320－ r－ 1 r 2 r320－ r r20－r[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝ － 2·( 2) C 20·x ，∵系数为有理数，20－ r∴( 2)r与 2 3 均为有理数，∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.∴ r ＝ 2,8,14,20.11[答案 ] － 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一： 先 形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数 －1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；3331222 1－1)＝ 5.解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) ＝ a 3 x＝ 2x ， ∴a ＝2.14[ 答案 ] －51[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )61 1 1 ＝(x －x)6＋ x (x － x )6＋x 2(x －x )6，1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x － x )中的常数 ，x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x－ (－ 1) x －r＝ C 6( －1) x－，令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，令 6－ 2r ＝－ 1，无解．令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.∴常数 －34C6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理n0 n 1 n －1k n － k kn n(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *.m ＝1 m ＝2 m ＝ 18∴ ， ， ⋯，n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 1722 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m∴当 m ＝9 或 10 ， x2的系数取最小7 的系数 7781，此 xC 9＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r(1)T r ＋1 ＝C n ·( )2 3xr1 n － r1 ·x － 1 ) r＝C n ·(x )·(－332＝( －1)r ·C r ·xn － 2r. n23∵第 6 常数 ，n －2r∴r ＝ 5 时有 ＝ 0， ∴n ＝ 10.3n －2r1(2)令3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝4 .210－ 2r∈Z(3)根据通项公式，由题意得：30≤ r ≤ 10r ∈Z10－2r＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ， 令310－3k 3 即 r ＝2 ＝5－2k.∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．21 22 51 5它们分别为 C 10·(－2)·x ，C 10(－2) ，C 8 ·(－1)8·x － 2. 102rn － r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 22 11 1由已知条件知： C n ＋C n ·2n ·，解得： n ＝ 8.2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.又 t ＝C r － 1·2－r ＋1，于是有：r8k 1 ·2－k ＋1 k·2－k C 8－≥C 8k 1 ·2－k ＋1k 2 ·2－ k ＋ 2 C 8－≥C 8－8！ × 2≥ 8！( k －1)！ ·(9 －k) ！ ，k ！ (8－k)！ 即8！8！≥( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.(k － 2)！·(10－ k) ！2≥1，9－ kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.。
高中数学二项式定理精选题
二项式定理精选题23道一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．602．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．353．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．924．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．805．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．806．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =，5a =．11．在5(x -的展开式中，2x 的系数为 ．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 ．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．14．281()x x -的展开式中7x 的系数为 .（用数字作答）15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 ．16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 ． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =，123a a a ++=．18．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ．19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．四．解答题（共4小题）20．已知在n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．二项式定理精选题23道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题） 1．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论． 【解答】解：25()x x y ++的展开式的通项为2515()r rrr T C x x y-+=+，令2r =，则23()x x +的通项为23633()k k kkkC x x C x--=，令65k -=，则1k=，25()x x y ∴++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =．故选：C ．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键． 2．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为()A ．15B ．20C ．30D ．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：621(1)(1)x x ++展开式中：若221(1)(1)xx-+=+提供常数项1，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数：若21(1)x+提供2x -项，则6(1)x +提供含有4x 的项，可得展开式中2x 的系数：由6(1)x +通项公式可得6r r C x ．可知2r =时，可得展开式中2x 的系数为2615C =． 可知4r=时，可得展开式中2x 的系数为4615C =． 621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为：151530+=．故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．122B ．112C ．102D ．92【分析】直接利用二项式定理求出n ，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可． 【解答】解：已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得37n nC C =，可得3710n=+=．10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为：1091222⨯=．故选：D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力． 4．5()(2)xy x y +-的展开式中的33x y 系数为()A ．80-B ．40-C ．40D ．80【分析】5(2)xy -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrr rr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r=，解得3r=．令53r -=，2r=，解得2r=．即可得出．【解答】解：5(2)x y -的展开式的通项公式：555155(2)()2(1)rrrrr r rrr T C x y C xy---+=-=-．令52r -=，3r =，解得3r =． 令53r -=，2r=，解得2r=．5()(2)x y x y ∴+-的展开式中的33x y 系数23332552(1)2140C C =⨯-+⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．252()x x +的展开式中4x 的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80【分析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2rrr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r=，由此能求出252()x x +的展开式中4x 的系数．【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r rr r r rr T C x C xx--+==，由1034r -=，解得2r =，252()xx∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．【点评】本题考查二项展开式中4x 的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解． 【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查展开式中3x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 7．已知2((0)na x a+>的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为45 【分析】由题意得，46n nC C =，再由组合数的性质，求出10n=，再令1x=结合展开式的各项系数之和为1024求出a ，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项． 【解答】解：因为2((0)na x a+>的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，∴4610n n C C n =⇒=，展开式的各项系数之和为1024，10(1)1024a ∴+=，0a >， 1a ∴=，原二项式为：210(x+；其展开式的通项公式为：520210211010()rr rr rr T C x C x--+=⋅⋅=，展开式中奇数项的二项式系数和为：110245122⨯=；故A 错，因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对，令520082r r -=⇒=，即展开式中存在常数项，C 对， 令5201522r r -=⇒=，21045C =，D 对．故选：B C D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目． 三．填空题（共12小题） 8．4()(1)ax x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3 ．【分析】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案． 【解答】解：设4250125()()(1)f x a x x a a x a x a x=++=+++⋯+，令1x =，则0125a a a a f+++⋯+=（1）16(1)a=+，①令1x=-，则0125(1)0a a a a f -+-⋯-=-=．②①-②得，1352()16(1)a a a a ++=+，所以23216(1)a ⨯=+，所以3a=．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．9．5(2x+的展开式中，3x 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为3，求出r ，即可求出展开式中3x 的系数．【解答】解：5(2x +的展开式中，通项公式为：5552155(2)2r r rr rrr T x C x---+==ð，令532r -=，解得4r=3x∴的系数45210C =．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．已知多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，则4a =16 ，5a =．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，5a 就是常数的乘积． 【解答】解：多项式32543212345(1)(2)xx x a x a x a x a x a ++=+++++，3(1)x +中，x 的系数是：3，常数是1；2(2)x+中x 的系数是4，常数是4，4341416a =⨯+⨯=；5144a =⨯=．故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 11．在5(x-的展开式中，2x 的系数为52．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：5(x-的二项展开式的通项为103521551(()2rr rrr rr T C xC x--+=⋅⋅-=-⋅⋅．由10322r-=，得2r=．2x∴的系数为22515()22C -⋅=．故答案为：52．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12．831(2)8xx-的展开式中的常数项为 28 ．【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项． 【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为：888188833111(2)()2()()(1)288rrr r rrrr r r r T C x C xC xx---+=-=-=-8484rrx--．∴当840r -=，即2r=时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．13．在二项式9)x +展开式中，常数项是1系数为有理数的项的个数是 ．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．【解答】解：二项式9)x 的展开式的通项为9921992rrrrr rr T C xC x--+==．由0r =，得常数项是11T =当1r=，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：15．【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 14．281()x x -的展开式中7x 的系数为56- .（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：281631881()()(1)r rrr r rr T x xx--+=-=-痧，令1637r -=，解得3r =．281()xx∴-的展开式中7x 的系数为338(1)56-=-ð．故答案为：56-．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【分析】由41435(2)10C x x=，可得到答案．【解答】解：41435(2)10C x x=，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题． 16．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，26n nC C =8n ∴=展开式的通项8821881()rrr r rr T C x C xx--+==令822r -=-可得5r=此时系数为5856C =故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力． 17．二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则4a =80 ，123a a a ++=．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可． 【解答】解：52345012345(12)x a a x a xa x a xa x+=+++++，则4445280a C =⋅=．1223123555222a a a C C C ++=⨯+⨯+3130=．故答案为：80；130．【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．18．在61()4xx-的展开式中，2x 的系数为1516．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得2x 的系数． 【解答】解：61()4x x-的展开式的通项公式为66216611()()()44r rrrr rr T C x C xx--+=-=-，令622r -=，解得2r=，∴展开式中2x 的系数为261151616C ⨯=，故答案为：1516．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 19．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值． 【解答】解：而项式2521235555521864111111(2)(1)(2)(xxC CC C Cxxxxxx+-=+⋅⋅-⋅+， 故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．四．解答题（共4小题）20．已知在1n的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项．【分析】（1）由二项式定理，可得n-的展开式的通项，又由题意，可得当5r=时，x的指数为0，即203n r -=，解可得n 的值，（2）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为2，可得10223r-=，解可得r 的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为10231101()2rr rr T C x-+=-，令x 的指数为整数，可得当2r=，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．【解答】解：（1）根据题意，可得n-的展开式的通项为112333111()()()22n rrn rrr rr n n T C x x C x---+=-=-，又由第6项为常数项，则当5r =时，203n r -=，即1003n -=，解可得10n=，（2）由（1）可得，10231101()2rr rr T C x-+=-，令10223r-=，可得2r=，所以含2x 项的系数为2210145()24C -=，（3）由（1）可得，10231101()2rrrr T C x-+=-，若1r T +为有理项，则有1023rZ-∈，且010r 剟，分析可得当2r=，5，8时，1023r-为整数，则展开式中的有理项分别为22456345,,48256x x--．【点评】本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项． 21．在二项式1(2)2nx +的展开式中．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项． 【分析】（1）第1k+项的二项式系数为k n C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11k k k k r r r r +-⎧⎨⎩……【解答】解：（1）4652n n nC C C +=，221980n n ∴-+=，7n ∴=或14n=．当7n=时，展开式中二项式系数最大的项是4T 和5T ，4T ∴的系数3471()22C =3352=，5T 的系数4371()22C =470=．当14n=时，展开式中二项式系数最大的项是8T ．8T ∴的系数77141()22C =73432=．（2）由01279n n n C C C ++=，可得12n=，设1k T +项的系数最大．12121211(2)()(14)22x x +=+，∴1112121112124444k k k k k kk k C C C C --++⎧⎪⎨⎪⎩……9.410.4k ∴剟，10k ∴=，∴展开式中系数最大的项为11T ．121011121()42T C =10101016896xx=．【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念． 22．已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，求：（1）1237a a a a +++⋯+；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++；（4）0127||||||||a a a a +++⋯+．【分析】（1）根据所给的等式可得常数项01a =，在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-，从而求得1237a a a a +++⋯+的值．（2）在所给的等式中，分别令1x=、1x=-，可得2个等式，化简这2个等式即可求得1357a a a a +++的值．（3）用①加上②再除以2可得0246a a a a +++的值．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得0127||||||||a a a a +++⋯+的值．【解答】解：（1）已知7270127(12)x a a x a x a x-=+++⋯+，∴常数项01a =．在所给的等式中，令1x=可得012371a a a a a ++++⋯+=-，12372a a a a ∴+++⋯+=-．（2）在所给的等式中，令1x =可得012371a a a a a ++++⋯+=-①，令1x=-可得712373a a a a a -+-+⋯-=②，用①减去②再除以2可得13571094a a a a +++=-．（3）用①加上②再除以2可得02461093a a a a +++=．（4）在7(12)x +中，令1x=，可得7127||||||||32187a a a a +++⋯+==．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．23．设二项展开式21*1)()n nC n N -=∈的整数部分为n A ，小数部分为n B ．（1）计算11C B ，22C B 的值； （2）求n n C B ．【分析】（1）将n 分别用1，2 代替求出1C ，2C ，利用多项式的乘法展开，求出1C ，2C 的小数部分1B ，2B ，求出11C B ，22C B 的值．（2）利用二项式定理表示出n C ，再利用二项式定理表示出211)n -，两个式子相减得到展开式的整数部分和小数部分，求出n n C B 的值．【解答】解：（1）因为211)n n C -=，所以11C =+，12A =，11B =，所以112C B =；又321)10C =+=+，其整数部分220A =，小数部分210B =-，所以228C B =．（2）因为210211222221212121211)n n n n n n n n n n C C C C C ---------=+=++⋯+①而2121122221212121211)n n n n n n n n n C C C C ---------=-+⋯+-②①-②得：2121122324212121211)1)2()n n n n n n n n C C C ---------=++⋯+而211)1n -<-<，所以21211)1)n n n A --=--，211)n nB -=所以2121211)1)2n n n n nC B ---=+-=．【点评】解决二项式的有关问题一般利用二项式定理；解决二项展开式的通项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．。
二项式定理历年高考试题荟萃
二项式定理历年高考试题荟萃Revised by Liu Jing on January 12, 2021圆梦教育中心二项式定理历年高考试题一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 120 分)1、 (1+2x)5的展开式中x2的系数是。
（用数字作答）2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 .3、已知,则(的值等于。
4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。
（用数字作答）6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）7、的二项展开式中常数项是。
(用数字作答).8、 (x2+)6的展开式中常数项是。
(用数字作答)9、若的二项展开式中的系数为，则。
（用数字作答）10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。
11、（x+）9展开式中x3的系数是。
（用数字作答）12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。
其展开式中的常数项为。
（用数字作答）13、的展开式中的系数为。
(用数字作答)14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,则a1+a2+a3+a4+a5= 。
15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为 .16、的展开式中常数项为 ; 各项系数之和为.（用数字作答）17、 (x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答)18、 (1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________.19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________.20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________.21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝ .22、 (x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答)23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________.24、展开式中x的系数为.二项式定理历年高考试题荟萃答案一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 102 分)1、40解析：T3=C(2x)2,∴系数为22·C=40.2、解：∵的展开式中的第5项为，且常数项，∴，得3、-256解析:(1－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,即(a0+a2+a4)+(a1+a3+a5)=0; ①令x=－1,则有a0－a1+a2－a3+a4－a5=25,即(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=25. ②联立①②有∴(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=－28=－256.4、57解析:1×1+2×=57.5、答案:72解析:∵Tr+1=(=,∴r=0,4,8时展开式中的项为整数次幂,所求系数和为++=72.6、答案:－42解析:的通项T r+1==,∴(1+2x2)展开式中常数项为=－42.7、8、15解析：Tr+1=x2(6－r)x－r =x12－3r,令12－3r=0，得r=4,∴T4==15.9、答案:2解析:∵=,∴a=2.10、答案:7解析:T r+1=C(2x3)n－r ()r=2C x x=2C x令3n －r=0,则有6n=7r,由展开式中有常数项,所以n最小值为7.11、84Tr+1=,∴9-2r=3∴r=3.∴84.12、5 10 解析:令x=1可得展开式中各项系数之和为2n=32.∴n=5.而展开式中通项为Tr+1=(x2)r ()5-r =x5r-15.令5r-15=0,∴r=3.∴常数项为T4=C35=10.13、84 由二项式定理得(1-)7展开式中的第3项为T3=·(-)2=84·,即的系数为84.14、31 解析：由二项式定理中的赋值法,令x=0,则a=(-2)5=-32.令x=1,则a+a1+a2+a3+a4+a5=-1.∴a1+a2+a3+a4+a5=-1-a=31.15、-6解析：展开式中含x2的项m=·13·(2x)0··12·(-x)2+·12(2x)1··13·(-x)1+11(2x)2·14(-x)0=6x2-24x2+12x2=展开式中x2的系数为-6x2,∴系数为-6.16、10 32 展开式中通项为Tr+1=(x2)5-r ()r =,其中常数项为T3==10;令x=1,可得各项系数之和为25=32.17、40解析:∵·(x3)·()2=10×1×(-2)2·x2=40x2,∴x2的系数为40.18、答案：35 (x+)6展开式中的项的系数与常数项的系数之和即为所求,由Tr+1=·()r =·x6-3r,∴当r=2时,=15.当r=3时,=20.故原展开式中的常数项为15+20=35.19、答案：-23 原式=4-33-4+4=-23.20、答案:1解析:x8的系数为k4=15k4,∵15k4＜120,k4＜8,k∈Z+,∴k=1.21、5 记(2x+)n的展开式中第m项为Tm=a n-m+1b m-1=·(2x)n-m+1·()m-1,则bm=·2n-m+1.又∵b3=2b4,∴·2n-2=2×·2n-3=,解得n=5.22、答案：10 ·x4·=5×2=10.23、答案：5解析：(x+)n展开式中不含x0、x-1、x-2项即可,由Fr+1=x n-r ()r =x n-4r.∵2≤n≤8,可以验证n=5时成立.24、2 展开式中含x的项n=·13·(2x)0··13·(-x)1+·12(2x)1··14(-x)0=-4x+6x=2x,∴展开式中x的系数为2。
二项式定理五年高考汇编
二项式定理五年真题1．（2017·全国卷Ⅱ）621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35 【答案】C 2．（2017·全国卷）()()52x y x y +-的展开式中33y x 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 3．（2017·浙江卷）已知多项式514233241523)2()1(a x a x a x a x a x x x +++++=++，则=4a ________，=5a ________．【答案】16，44．（2017·山东卷）已知n x )31(+的展开式中含有2x 项的系数是54，则=n ．【答案】45．（2016·四川卷）设i 为虚数单位，则6)(i x +的展开式中含4x 的项为（ ）A ．415x -B ．415xC ．420ix -D ．420ix【答案】A6．（2014·湖南卷）5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是（ ）A.20- B ．5- C ．5 D ．20【答案】A7．（2015·陕西卷）二项式n x )1(+)(*N n ∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C8．（2014·四川卷）在6)1(x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．10【答案】C9．（2015·全国卷）52)(y x x ++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．60【答案】C10．（2014·浙江卷）在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A ．45B ．60C ．120D ． 210【答案】C11．（2014·湖北卷）若二项式7)2(x ax +的展开式中31x 的系数是84，则=a （ ）A ．2B ．54C ．1D ．42 【答案】C12．（2015·湖北卷）已知n x )1(+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A ．122B ．112C ．102D ．92【答案】D13．（2015·湖南卷）5)(x a x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3B ．3-C ．6D ．6-【答案】D 14．（2016·北京卷）在6)21(x -的展开式中，2x 的系数为_______．【答案】6015．（2016·全国卷）5(2x +的展开式中，3x 的系数是 ．【答案】1016．（2016·天津卷）281()x x-的展开式中7x 的系数为_______． 【答案】56-17．（2016·山东卷）若52)1(x ax +的展开式中5x 的系数是80-，则实数=a ____． 【答案】2-18．（2015·天津卷）在6)41(x x -的展开式中，2x 的系数为 ． 【答案】151619．（2015·北京卷）在5)2(x +的展开式中，3x 的系数为． 【答案】4020．（2015·广东卷）在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 ．【答案】621．（2014·山东卷）若26()b ax x+的展开式中3x 的系数为20，则22b a +的最小值是 ． 【答案】222．（2014·全国卷）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则=a ______． 【答案】1223．（2015·全国卷Ⅱ）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a __________．【答案】324．（2015·四川卷）在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 ．【答案】40- 25．（2016·上海卷）在n xx )2(3-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项为_________．【答案】11226．（2014·全国卷）()()8x y x y -+的展开式中72y x 的系数为________．【答案】20-27．（2015·重庆卷）53)21(x x +的展开式中8x 的系数是________． 【答案】52 28．（2015·安徽卷）371()x x+的展开式中5x 的系数是 ． 【答案】3529．（2015·福建卷）5)2(+x 的展开式中，2x 的系数等于 ．+【答案】8030．（2013·全国卷Ⅱ）已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D31．（2013·全国卷）设m 为正整数，m y x 2)(+展开式的二项式系数的最大值a ，12)(++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则=m （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B32．（2013·全国卷）48)1()1(y x ++的展开式中22y x 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 【答案】D 33．（2013·辽宁卷）使得n x x x )13(+)(*N n ∈的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B34．（2013·陕西卷）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=0,0,)1()(6x x x x x x f ，则当0>x 时，)]([x f f 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．20-B ．20C ．15-D ．15【答案】A35．（2013·江西卷）532)2(x x -展开式中的常数项为 （ ） A ．80B ．80-C ．40D ．40-【答案】C 36．（2013·四川卷）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是______．【答案】1037．（2013·天津卷）6)1(xx -的二项展开式中的常数项为______． 【答案】1538．（2013·浙江卷）二项式53)1(x x -的展开式中常数项为________． 【答案】10-39．（2013·上海卷）设常数a R ∈，若52)(xa x +的二项展开式中7x 项的系数为10-，则=a ______．【答案】2-40．（2013·安徽卷）若83)(x a x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a =_____． 【答案】21。
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圆梦教育中心二项式定理历年高考试题
一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 120 分)
1、 (1+2x)5的展开式中x2的系数是。
（用数字作答）
2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是 .
3、已知,则(的值等
于。
4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）
5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。
（用数字作答）
6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。
（用数字作答）
7、的二项展开式中常数项是。
(用数字作答).
8、 (x2+)6的展开式中常数项是。
(用数字作答)
9、若的二项展开式中的系数为，则。
（用数字作答）
10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。
11、（x+）9展开式中x3的系数是。
（用数字作答）
12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。
其展开式中的常数项为。
（用数字作答）
13、的展开式中的系数为。
(用数字作答)
14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。
15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为 .
16、的展开式中常数项为 ; 各项系数之和为.（用数字作答）
17、 (x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答)
18、 (1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________.
19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________.
20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________.
21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝ .
22、 (x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答)
23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________.
24、展开式中x的系数为.
二项式定理历年高考试题荟萃答案
一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 102 分)
1、40解析：T3=C(2x)2,∴系数为22·C=40.
2、解：∵的展开式中的第5项为，且常数项，
∴，得
3、-256
解析:(1－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,
即(a0+a2+a4)+(a1+a3+a5)=0; ①
令x=－1,则有a0－a1+a2－a3+a4－a5=25,
即(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=25. ②
联立①②有∴(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=－28=－256.
4、57解析:1×1+2×=57.
5、答案:72解析:∵T r+1=(=,
∴r=0,4,8时展开式中的项为整数次幂,所求系数和为++=72.
6、答案:－42解析:的通项T r+1==,∴(1+2x2)展开式中常数项为=－42.
7、8、15解析：T r+1=x2(6－r)x－r =x12－3r,令12－3r=0，得r=4,∴T4==15.
9、答案:2解析:∵=,∴a=2.
10、答案:7解析:T r+1=C(2x3)n－r ()r=2C x x=2C x
令3n －r=0,则有6n=7r,由展开式中有常数项,所以n最小值为7.
11、84 T r+1=,∴9-2r=3∴r=3.∴84.
12、5 10 解析:令x=1可得展开式中各项系数之和为2n=32.
∴n=5.而展开式中通项为T r+1=(x2)r ()5-r =x5r-15.令5r-15=0,∴r=3.
∴常数项为T4=C35=10.
13、84 由二项式定理得(1-)7展开式中的第3项为
T3=·(-)2=84·,即的系数为84.
14、31 解析：由二项式定理中的赋值法,令x=0,则a0=(-2)5=-32.
令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1.∴a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=31.
15、-6解析：展开式中含x2的项
m=·13·(2x)0··12·(-x)2+·12(2x)1··13·(-x)1+11(2x)2·
14(-x)0=6x2-24x2+12x2=展开式中x2的系数为-6x2,∴系数为-6.
16、10 32 展开式中通项为T r+1=(x2)5-r ()r =,其中常数
项为T3==10;令x=1,可得各项系数之和为25=32.
17、40解析:∵·(x3)·()2=10×1×(-2)2·x2=40x2,∴x2的系数为
40.
18、答案：35 (x+)6展开式中的项的系数与常数项的系数之和即为
所求,由T r+1=·()r =·x6-3r,∴当r=2时,=15.当r=3时,=20.
故原展开式中的常数项为15+20=35.
19、答案：-23 原式=4-33-4+4=-23.
20、答案:1解析:x8的系数为k4=15k4,∵15k4＜120,k4＜8,k∈Z+,∴k=1.
21、5 记(2x+)n的展开式中第m项为T m =
a n-m+1
b m-1=·(2x)n-m+1·()m-1,则b m =·2n-m+1.又∵b3=2b4,∴·2n-2=2
×·2n-3=,解得n=5.
22、答案：10 ·x4·=5×2=10.
23、答案：5解析：(x+)n展开式中不含x0、x-1、x-2项即可,
由F r+1=x n-r ()r =x n-4r.∵2≤n≤8,可以验证n=5时成立.
24、2 展开式中含x的项
n=·13·(2x)0··13·(-x)1+·12(2x)1··14(-x)0=-4x+6x=2x,
∴展开式中x的系数为2。