(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 13.4数学归纳法学案

第4讲 数学归纳法考情分析1．数学归纳法的原理及其步骤．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 基础知识数学归纳法的一般步骤：（1） 证明当n 取第一个值0n （*0n N ∈）时命题成立（2） 假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

注：证明当1n k =+时，必需用到假设*0(,)n k k n k N =≥∈的结论。

第一步中验证n =0n ，其中0n 不一定是1，看题目的要求，有时可能是2或3等。

注意事项1.数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点： (1)第一步验证n ＝n 0时，n 0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n ＝k ＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”． 2.运用数学归纳法应注意以下三点： (1)n ＝n 0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设n ＝k 成立证n ＝k ＋1时，要推导详实，并且一定要运用n ＝k 成立的结论． (3)要注意n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的项数． 题型一 用数学归纳法证明等式【例1】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12(a n ＋1a n )．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12(a 1＋1a 1)得a 21＝1.∵a n >0，∴a 1＝1，由S 2＝a 1＋a 2＝12(a 2＋1a 2)，得a 22＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1.又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时猜想成立， 即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k)，即 a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1)＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k ，∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．由①②知，a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 【变式1】 用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝n 2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有 11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＝k2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋12k ＋12k ＋3 ＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝k 2k ＋3＋12k ＋12k ＋3＝2k 2＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1＋1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立． 题型二 用数学归纳法证明整除问题【例2】试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．当n ＝k ＋1时，由于32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)，即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立． 【变式2】 用数学归纳法证明an ＋1＋(a ＋1)2n －1(n ∈N *)能被a 2＋a ＋1整除．证明 (1)当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1可被a 2＋a ＋1整除． (2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a ·a k ＋1＋a ·(a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a [ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a [ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a2＋a ＋1整除，(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，∴ak ＋2＋(a ＋1)2k ＋1也能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时命题也成立， ∴对任意n ∈N *原命题成立． 题型三 用数学归纳法证明不等式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝a (a >2)，对一切n ∈N *，a n >0，a n ＋1＝a 2n2(a n －1).求证：a n >2且a n ＋1<a n .证明：法一 ∵a n ＋1＝a 2n2(a n －1)>0，∴a n >1，∴a n －2＝a 2n －12(a n －1－1)－2＝(a n －1－2)22(a n －1－1)≥0，∴a n ≥2.若存在a k ＝2，则a k －1＝2， 由此可推出a k －2＝2，…，a 1＝2， 与a 1＝a >2矛盾，故a n >2. ∵a n ＋1－a n ＝a n (2－a n )2(a n －1)<0，∴a n ＋1<a n .法二 (用数学归纳法证明a n >2)①当n ＝1时，a 1＝a >2，故命题a n >2成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k >2，那么，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0.所以a k ＋1>2，即n ＝k ＋1时命题也成立． 综上所述，命题a n >2对一切正整数成立．a n ＋1<a n 的证明同上．【变式3】 已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由． 解 ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1＞23－1， 由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n ，∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1. 考向四 归纳、猜想、证明【例4】数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1成立．【变式4】 由下列各式1＞12，1＋12＋13＞1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋115＞2， 1＋12＋13＋…＋131＞52， …，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．答案 猜想：第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N *)．(1)当n ＝1时，1＞12，猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时猜想正确， 即1＋12＋13＋…＋12k －1＞k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝k2＋2k2k ＋1＝k 2＋12＝k ＋12.即当n ＝k ＋1时，不等式成立． ∴对于任意n ∈N *，不等式恒成立． 重难点突破【例5】 在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. 证明： (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1. 由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)证明：1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，原不等式成立． 巩固提高1.用数学归纳法证明“2n>n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A. 2B. 3C. 5D. 6答案：C2. 如果命题p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )A. p (n )对所有正整数n 都成立B. p (n )对所有正偶数n 都成立C. p (n )对所有正奇数n 都成立D. p (n )对所有自然数n 都成立 答案：B解析：由题意n ＝k 成立，则n ＝k ＋2也成立，又n ＝2时成立， 则p (n )对所有正偶数都成立．故选B.3.某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (n ∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，则( )A. n ＝4时该命题成立B. n ＝6时该命题成立C. n ＝4时该命题不成立D. n ＝6时该命题不成立 答案：C解析：因为“当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故可得n ＝5时该命题不成立，则一定有n ＝4时，该命题也不成立．故选C.4.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A. 增加了一项12(k ＋1)B. 增加了两项12k ＋1、12k ＋2C. 增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D. 以上各种情况均不对答案：C解析：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了1k ＋1，故选C 项．5. 用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A. k 2B. (k ＋1)2C. k 2＋(k ＋1)2＋k 2D. (k ＋1)2＋k 2答案：D解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12；当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，故选D.。