计算机图形学-三维图形变换与投影
计算机图形学中的透视和投影变换
计算机图形学中的透视和投影变换计算机图形学是机器图像处理和计算机视觉的理论基础，主要研究计算机生成的三维图形的数学表示和渲染技术。
在计算机生成的三维图形中，透视和投影变换是非常重要的技术，它们可以使三维图形更加直观逼真地呈现出来。
本文将对透视和投影变换进行详细讲解。
一、透视变换透视变换是一种三维立体图像转换为二维平面图像的方法，它可以模拟出现实中的透视效果。
在透视变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维场景模型。
在建立三维场景模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。
2. 确定观察点位置和视线方向。
观察点是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。
视线方向是从观察点指向场景中的物体。
3. 定义投影平面。
投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。
4. 进行透视变换。
在透视变换中，需要用到透视投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并使得远离观察点的物体变得更小。
透视变换可以使得生成的二维平面图像更加逼真，同时也可以减少计算量，提高渲染效率。
但是透视变换也有一些缺点，例如不能完全保持原图像的形状和大小，因此在实际应用中需要进行调整。
二、投影变换投影变换是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，它可以用于生成平面图像、制作立体影像和建立虚拟现实等应用。
在投影变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维物体模型。
在建立三维物体模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。
2. 确定相机位置和视线方向。
相机位置是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。
视线方向是从相机指向场景中的物体。
3. 定义投影平面。
投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。
4. 进行投影变换。
在投影变换中，需要用到投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并保持原图形的形状和大小。
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学-变换
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
计算机图形学13投影变换
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
图形的投影与变换
图形的投影与变换在我们的日常生活中，图形无处不在。
无论是建筑物的外观，还是艺术作品的构图，图形都扮演着重要的角色。
而对于图形的投影与变换，我们或许并不陌生。
在本文中，我们将探讨图形的投影与变换的概念、应用以及相关的数学原理。
一、图形的投影图形的投影是指将三维物体在二维平面上的映射。
在现实生活中，我们经常会观察到物体在光线照射下产生的投影。
例如，太阳光照射在建筑物上，形成了建筑物在地面上的投影。
在数学中，我们可以通过投影矩阵来描述图形的投影过程。
图形的投影可以分为平行投影和透视投影两种形式。
平行投影是指在投影过程中，光线是平行于投影平面的。
透视投影则是指在投影过程中，光线是从一个点出发的，即观察者的位置。
图形的投影不仅在建筑设计中有着重要的应用，还在计算机图形学中扮演着关键的角色。
在计算机图形学中，我们可以通过投影矩阵将三维物体投影到二维屏幕上，从而实现虚拟现实、游戏等领域的应用。
二、图形的变换除了投影之外，图形的变换也是图形学中的重要概念。
图形的变换包括平移、旋转、缩放等操作，可以改变图形的位置、方向和大小。
平移是指将图形沿着平移向量的方向移动一定的距离。
旋转是指将图形绕着旋转中心旋转一定的角度。
缩放则是指改变图形的大小，可以放大或缩小图形。
图形的变换在计算机图形学中也有着广泛的应用。
例如，在三维建模中，我们可以通过平移、旋转和缩放来改变模型的位置和形状。
在计算机动画中，图形的变换可以实现物体的运动和变形。
三、图形的投影与变换的数学原理图形的投影与变换涉及到一些数学原理。
投影矩阵是描述图形投影的数学工具，可以将三维物体投影到二维平面上。
在计算机图形学中，投影矩阵可以通过矩阵乘法来实现。
图形的变换也可以通过矩阵来描述。
平移、旋转和缩放操作可以分别表示为平移矩阵、旋转矩阵和缩放矩阵。
通过矩阵乘法，我们可以将图形的变换表示为一个矩阵乘法的组合。
除了矩阵乘法之外，还有一些其他的数学原理与图形的投影与变换密切相关。
计算机图形学第六章三维变换与投影.ppt
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
Tx，Ty，Tz是平移参数。
P’
（6-3）
6.2.2 比例变换
比例变换的坐标表示为：
x'
y'
xSx yS y
z' zS z
因此，三维比例变换矩阵为：
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
Sx，Sy，Sz是比例系数
A’ A
（6-4）
6.2.3 旋转变换
三维基本几何变换是指将 P(x, y点, z) 从一个坐标 位置变换到另一个坐标位置 P'(的x, y过, z'程) 。三维基 本几何变换和二维基本几何变换一样是相对于坐 标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比 例、旋转、反射和错切5种变换。因为三维变换 矩阵的推导过程和二维变换矩阵的推导过程类似， 这里只给出结论。
关于y轴反射变换的坐标表示为：
xy''
x y
z' z
因此，关于y轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-9）
3、关于z轴的反射
关于z轴反射变换的坐标表示为：
x' y'
x y
z' z
因此，关于z轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
（6-7）
6.2.4 反射变换
三维反射可以分为：关于坐标轴的反射和 关于坐标平面的反射两类。
计算机图形学--第八讲 图形的三维几何变换
3
变换通式
空间点[x y z] 的四维齐次坐标 [X Y Z H]表示
三维空间点的变换为 [x y z 1] T = [x’ y’ z’ 1]
变换前点的坐标 三维图形的变换矩阵
变换后点的坐标
三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵
a b c p
T = d
e
5.关于Y轴对称
特点： y 值不变，zx坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y -z 1]
6.关于Z轴对称
特点： z值不变，xy坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x -y z 1]
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(13)
对称变换示意图
17
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(14)
(x’, y’, z’)
x = xcos −ysin
y = xsin +ycos
z = z
矩阵运算的表达式为
z
cos sin 0 0
x
y
z 1 = x
y
z
1
−
sin
0
cos
0
0
0
1 0
0
0 0 1
y
(x, y, z)
x
10
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(7)
绕X轴旋转
与二维图形的组合变换一样, 三维立体图形也可通过 三维基本变换矩阵, 按一定顺序依次相乘而得到一个 组合矩阵(称级联), 完成组合变换。
三维组合平移、组合旋转和组合比例变换与二维组合 平移、组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。
19
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(2)
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5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
三视图
三视图
三视图是正投影视图 包括主视图、俯视图和侧视图 投影面分别与y轴、 z轴和x轴垂直 将三维物体分别对正面、水平面和侧平面做正 投影得到三个基本视图
三视图
z
主视图
侧视图
z
0
y
x
0
y
俯视图
x
y
正三棱柱的立体图
正三棱柱的三视图
主视图的形成：
直接向V面（XOZ坐标面）投影；
二维变换
x'
y ' 1 x
a b c d y 1 l m
q p s
abcd对图形作缩放、旋转、对称、错切变换 lm对图形作平移变换 qp对图形作投影变换 s对图形作整体变换 acl对x’起作用，bdm对y’起作用，qps对整体起 作用。
6
三维齐次坐标
对于线框模型的变换，通常是以点变换为基础 三维几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一 个算子，作用到变换前的图形顶点集合的坐标 矩阵上，得到变换后新的图形顶点集合的坐标 矩阵 连接变换后的新的图形顶点，可以绘制出变换 后的三维图形。
设图形变换前的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x1 y1 z1 1 x y2 z2 1 P 2 xn y n z n 1
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@
第六章
三维图形基本几何变换矩阵 平行投影 透视投影
三维基本几何 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 投影变换 透视变换 本章小结 习题
三维基本几何变换
三维变换矩阵 三维几何变换
2.关于y轴的反射
变换的坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
3.关于z轴的反射
x' x y' y 变换的坐标表示为： z' z
三维变换矩阵
三维几何变换 三维几何变换是二维几何变换的推广 三维几何变换在齐次坐标空间中可以用 4×4的变换矩阵表示 变换矩阵： a b c p d e f q h i j r l m n s
8
三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后 为p'(x',y',z')。
投影变换
S S S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
投影变换可分为两大类：
透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；
平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的； 平行投影的最大特点是无论物体距离视点多远，投影后 的物体尺寸保持不变。 平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
38
x' x y ' y cos z sin z ' y sin z cos
z
绕x轴旋转 x
0 1 0 cos T 0 sin 0 0
z
0 sin cos 0
0 0 0 1
y
x
y
2. 绕y轴旋转
x z
y
y
三维复合变换
32
三维复合变换
基本几何变换是相对于坐标原点和坐标轴进行 的几何变换 相对于任意点和任意方向的几何变换通过三维 复合变换来实现 对三维图形按顺序进行多个基本变换，即可完 成三维复合变换，复合变换矩阵是每一步变换 矩阵相乘的结果
33
三维复合变换
例子：使三维图形绕J轴旋转θ角 思路：将J轴重合Z轴之后，使立体旋转θ角 ，然后返回
则三维图形基本几何变换有
P' P T
z1 b e h m c f i n p q r s
即：
x1' ' x2 ' xn
' y1' z1 1 x1 ' ' y 2 z 2 1 x2 ' ' y n z n 1 xn
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
变换矩阵为：
4.关于xoy面的反射
x' x y' y z ' z
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
变换的坐标表示为：
1 0 变换矩阵为： T 0 0
0 0 0 1
x
y
x y
反射变换
三维反射分为两类： 关于坐标轴的反射 关于坐标平面的反射
1.关于x轴的反射
坐标表示为：
变换矩阵为：
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x' x y' y z' z
x
z
y z
h＝0时，错切平面离开x轴， 沿y方向移动bx距离。
x
y
3.沿z方向错切
d＝0，g＝0，b＝0，h＝0
x' x y' y z ' z cx fy
1 0 T 0 0
0 1 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
z
c＝0时，错切平面离开y轴， x 沿z方向移动fy距离； f＝0时，错切平面离开x轴， 沿z方向移动cx距离。
变换后的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x1' y1' z1' 1 ' ' ' x2 y 2 z 2 1 P' ' ' ' xn y n z n 1
变换矩阵为：
a d T g l
b e h m
c f i n
p q r s
三维坐标，右手坐标系
y
x
旋转轴 正的旋转方向 x y->z z y z->x z x->y 三维齐次坐标 (x,y,z)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , zh , h)
xh hx, yh hy, zh hz, h 0
标准齐次坐标(x,y,z,1)
7
将三棱柱向xoy面作平行投影得到俯视图。 设三维物体上任一点坐标用P(x，y，z)表示 它在xoy面上投影后坐标为P’(x’，y’，z’) 其中x’=x，y’=y，z’=0。 1 0 0 0
x
'
y'
z ' 1 x
y 0 1 x
y
0 1 0 0 z 1 0 0 0 0 0 0 0 1
x
'
y'
z ' 1 x 0 z 1 x
y
1 0 z 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
主视图投影变换矩阵为：
TV Txoz 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
⑵俯视图
p' x'
y ' z ' 1 p T3 D x
y
a d z 1 h l
b e i m
c f j n
9
p q r s
其中
对图形进行比例、旋转、
反射和错切变换。 对图形进行平移变换。
对图形进行投影变换。
对图形进行整体比例变换。
三维几何变换
S x 因此，三维比例变换矩阵为： 0 T 0 0
这里Sx，Sy，Sz是比例系数
旋转变换
三维旋转一般看作是二维旋转变换的组合