动态规划--运筹学课程设计

湖南农业大学综合设计报告综合设计五动态规划算法学生姓名：曾俊扬学号：200840204219年级专业：2008级信息与计算科学2班指导老师：王明春老师学院：理学院评阅成绩：评阅意见：成绩评定教师签名：时间：湖南·长沙提交日期：2011年6月动态规划之最短线路问题1设计目的、要求熟悉动态规划的相关概念，掌握使用动态规划的基本方法求解生活实际问题。

本设计主要研究最短路问题，利用JAVA 实现最短路算法。

2设计原理在求解的各个阶段，利用了k 阶段与k+1阶段之间的递推关系：{}11()55444()min (,())()4,3,2,1()0(()(,))k k k k k k k k k k u D s f s d s u s f s k f s f s d s E ++∈⎧=+=⎪⎨==⎪⎩或3采用软件、设备微型电子计算机、MyEclipse 6.54设计内容1.动态规划基本认识：动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。

该方法是由美国数学家贝尔曼(R ．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。

他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。

他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。

动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。

动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。

由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。

本设计从实际问题展开对动态规划算法最短路问题的实现。

2.实际问题：某工厂需要把一批货物从城市A 运到城市E ，中间可经过B 1 、B 2、B 3、C 1、C 2、C 3、D 1、D 2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A 到E 的距离最短？3.分析求解：基本概念及相关符号(1) 阶段把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n 表示，用字母k 表示阶段变量。

(2) 状态状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。

描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母s k 表示第k 阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用S k 表示。

(3) 决策当系统在某阶段处于某种状态，可以采取的行动（或决定、选择），从而确定下一阶段系统将到达的状态，称这种行动为决策。

描述决策的变量，称为决策变量。

常用字母u k (s k )表示第k 阶段系统处于状态s k 时的决策变量。

决策变量的取值范围称为决策集，用D k (s k )表示。

下面利用动态规划的逆推归纳法，将问题从最后一个城市E 逐步推算到第一个城市A ，在此()k k f s 表示第k 阶段从城市s k 到城市E 最短路。

1）当 k = 4 时，由于第四阶段只有两个城市 D 1、D 2显然，*41141()(,)4,()f D d D E u D E ===，*42242()(,)3,()f D d D E u D E ===。

2）当 k = 3 时，s 3取值C 1、C 2、C 3 ,从C 1出发到E 有两条路，一条是经过D 1到E ，另一条是经过D 2到E ，显然：1141*313111242(,)()34()min min 7,()(,)()53d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭即从1C 到E 的最短距离是7，相应的决策为*311()u C D =，最短路线是11C D E →→。

同理 2141*323222242(,)()64()5,()(,)()23d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭3141*333313242(,)()14()5,()(,)()33d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭3）当 k = 2 时，s 2的取值为B 1、B 2、B 3，从B 1出发到E 有三条路，分别是经过C 1、C 2、C 3到E ，则有：1131*2112322121333(,)()67()(,)()459,()55(,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭同理 2131*2222322232333(,)()87()(,)()7511,()65(,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭3131*233232233333(,)()77()(,)()8512,()75(3,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭4）当k = 1时，s 1的只有一个取值为A. 从A 出发到E 有三条路，分别经过B 1、B 2、B 3到E ，则有：121*122211323(,)()89()min (,)()min 91117,()612(,)()d A B f B f A d A B f B u A B d A B f B ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭于是得到从A 到E 的最短距离17，为了找出最短路线，按计算的顺序逆推回去，可得到最优策略为：****1,41121232242(){(),(),(),()}p A u A B u B C u C D u D E =====， 最短路线是A →B 1→C 2→D 2→E 。

4.代码实现： 利用MyEclipse 采用java 语言实现对实际问题的代码求解 （1）创建了两个类Node 、StatusNode 是节点类，对应于各城市，包含节点标识（id ）、指向（所指向的节 点）以及对应的权值即距离三个属性，方法getW()用于获得两节点之间的距离。

Status 是阶段类，对应于各决策阶段，包含阶段标识（id)、节点数、节点三个属性。

（2）主程序：ShortLineDemo.java 创建各节点，生成各阶段状态。

遍历各状态中的各节点：for(int i=s.length-1;i>=0;i--){ System.out .print("k="+(i+1)+"时，"); for(int j=0;j<s[i].nodeNum;j++){String str = s[i].node[j].id;System.out.println(s[i].node[j].id+"到终点"+node[node.length-1].id+"的最短距离为:"+f(s,i,s[i].node[j]));System.out.println("最短路线为:"+str+shortline(s,i,s[i].node[j]));}}5原始程序、数据在主程序中使用节点类Node创建所有节点并用阶段类Status创建所有阶段：节点创建：Node[] node = new Node[10];node[9] = new Node("E",new Node[]{},new int[]{});node[8] = new Node("D2",new Node[]{node[9]},new int[]{3});......node[1] = new Node("B1",new Node[]{node[4],node[5],node[6]},new int[]{6,4,5});node[0] = new Node("A",new Node[]{node[1],node[2],node[3]},new int[]{8,9,6});阶段生成：Status[] s = new Status[4];s[0] = new Status(1,1,new Node[]{node[0]});.....s[3] = new Status(4,2,new Node[]{node[7],node[8]});点到终点的最短距离：private static int f(Status[] s,int a,Node node) {int[] ary = new int[node.nextnode.length];if(s[a].id==s.length){ary[0] = node.getW(node.nextnode[0]);}else{for(int i=0;i<node.nextnode.length;i++){ary[i]=node.getW(node.nextnode[i])+f(s,a+1,node.nextnode[i]);}ary[0] = min(ary);}return ary[0];}最短路线输出：private static String shortline(Status[] s,int a,Node node) {int[] ary = new int[node.nextnode.length];if(s[a].id==s.length){return "→"+node.nextnode[0].id;}else{int k = 0;for(int i=0;i<node.nextnode.length;i++){ary[i]=node.getW(node.nextnode[i])+f(s,a+1,node.nextnode[i]);if(ary[i]<ary[0]){k = i;ary[0] = ary[i];} }return "→"+node.n extnode[k].id + shortline(s,a+1,node.nextnode[k]);}}6结果分析程序运行截图：得到如下结果：最短路线顺序为：123A B C D E →→→→。