管理运筹学07动态规划
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
运筹学-第七章-动态规划
6
5
7
f2(D)=8 3
D
4
f3(E)=3
E 3
f3(F)=5
5
F
f3(G)=8 8
G
f2(D )m d d i((n D D ,,G F )) ff3 3((G F )) m 3 4 i n 5 8 8 u22(0D 21/)8/ 3 DF
f4(H)=0
H
14
f1(A)=14
A
f2(B)=13
2021/8/3
20
逆推公式
fk(sk)＝OPT {v(sk,uk)+ fk+1(sk+1)} k =n, …1
fn+1(sn+1)＝0 或
Max 或 Min
fk(sk)＝OPT{v(sk ,uk)+ fk+1(sk+1)} k =n-1, …1 fn(sn)＝ OPT{v(sn ,un)}
多阶段决策问题中，常见的目标函数形式之一是取各阶段效 益之和的形式。有些问题，如系统可靠性问题，其目标函数 是取各阶段效益的连乘积形式。总之，具体问题的目标函数 表达形式需要视具体问题而定
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(4) 状态转移方程 sk＋1 ＝T (sk, uk)：描述第 k 阶段与第 k+1 阶段的状态变量的关系
(5) 指标 v (sk ,uk) ：第 k 阶段在状态 sk 下采取决策 uk 得到的 结果（距离、得益、成本等）
指标函数是指各阶段指标的累计。即 V (sk,uk, …, sn,un, sn+1)=vk(sk,uk)*vk+1(sk+1,uk+1)…*vn(sn,un)
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k=2, S2 = {0,1,2,3,4,5}, f2(s2)＝0mua2x{sg22(u2)+ f3(s3)}
管理运筹学判断题背诵讲义
管理运筹学判断题背诵讲义第一章 线性规划与单纯形表a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的； b) 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； d)如线性规划问题存在可行域，则可行域定包含坐标的原点；e)对取值无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-其中'j x ≥0,''j x ≥0,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现'j x >0，''j x >0；f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与j σ>0对应的变量都可以被选作换人变量；g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；h) 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从 单纯形表中删除,而不影响计算结果；j)线性规划问题的任-可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；k)若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解则X=1λX 1 +2λX 2也是该线性规划问题的最优解，其中1λ，2λ可以为任意正的实数；1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 minz=ai ix ∑(ai x 为人工变量)，但也可写为minz=i ai ik x ,只要所有k i ,均为大于零的常数； m)对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为m n c 个；n) 单纯形法的迭代计算过 程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解定是基可行解；p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；r) 将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“一”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值:t)一个企业利用3种资源生产4种产品建立线性规划模型求解得到的最优解中最多只含有3种产品的组合；u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解； v)一个线性规划问题求解时的选代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
运筹学第七章动态规划精品PPT课件
它可能是距离、利润、成本、产量或资源消耗等。
7、指标函数：Vkn(Sk, Pkn),k阶段，Sk状态下，作出
Pkn子策略带来的效果。动态规划模型的指标函数，应具有
可分离性，并满足递推关系。
2020/12/30
运筹学
阶段指标与指标函数的关系有两种：
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次 决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多 阶段的决策问题用动态规划方法来解决。
4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决。
2020/12/30
运筹学
5 . 最短路问题：给定一个交通网络图如下，其中 两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点到 G点的最短距离（总费用最小）。
在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内， 此范围称为允许决策集合,用Dk(Sk )表示。
4、状态转移方程
2020/12/30
状态转移方程是确定过程由 一个状态到另一个状态的演 变过程。如果第k阶段状态 变量sk的值、该阶段的决策 变量一经确定，第k+1阶段 运筹学 状态变量sk+1的值也就确定。
ss32 TT12((ss11,,
usk1 Tk (s1, u1, s2 , u2 ,, sk , uk )
图示如下：
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类特
殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段决
策过程。 2020/12/30
运筹学
无后效性(马尔可夫性)
如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的
运筹学——动态规划
优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过 程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状 态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是 有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以 下三个特征：
20
2021/7/26
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的 状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态 转移，还是有一定规律可循的。
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2021/7/26
(六) 指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各 子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题 ，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润 、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
7
2021/7/26
（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特 定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称 为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变 量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需 要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态 可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出 状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初 始状态。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
管理运筹学07动态规划
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
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动态规划的数学描述
1.阶段 2.状态 3.决策 4.状态转移律 5.策略与子策略 6.阶段指标函数 7.过程指标函数 8.最优指标函数
动态规划的过程指标函数应具有可分性并满足递推关
系，即Rk,,N 可表示为rk 和Rk+1,N二者的函数。最常见的
过程指标函数与阶段指标函数的关系有如下两种： 1.过程指标函数是阶段指标函数的和，此时
Rk,,N =rk +Rk+1,N
2.过程指标函数是阶段指标函数的积，此时
Rk,,N =rk Rk+1,N
阶段
在多阶段决策过程中，决策点 将整个过程划分为若干部分， 其中的每一部分即为一个阶段。 描述阶段的变量称为阶段变量，
常用 k 来表示。阶段的划分一
般是根据时间和空间的自然特
征来进行的，一个N 个阶段的 多阶段决策问题其阶段变量 k =1，2，，N。
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状态
状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客 观条件，它描述了研究问题过程的状况。状 态反映前面各阶段决策的结局，又是本阶段 决策的出发点和依据。状态是各阶段信息的 传递点和结合点，各阶段的状态通常用状态
变量Sk来描述。作为状态应具有这样的性质：
在某阶段的状态给定后，该阶段以后过程的 发展不受此阶段以前各阶段状态的影响。换 句话说，过程的历史只能通过当前的状态来 影响未来，当前的状态是过程以往历史的一 2021/1/20 个总结。这个性质称为无后效性或健忘性。
决策
决策是指决策者在若干可行方案中所作
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多阶段决策过程
决策
输入 阶段 输出
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转移律 图6-1(a)
dn
sn(in)
n
sn(out)
gn= rn(sn, dn) 图6-1(b)
多阶段决策过程
d1
d2
s1
s2
1
2
s3 sN
dN sN+1
N
g1
g2
gN
图 6-2 N 阶段决策系统示意图
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Bellman最优性原理
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最优指标函数
从第 k 个阶段开始到第 N 个阶段为止，采取 最优策略或最优子策略所得到的指标函数称 为最优指标函数，用 fk (Sk)表示，即：
f k (Sk) = opt (dk) {rk rk+1 rN} = opt(dk) {rk f k+1 (Sk+1)}
当 k=N 时 fk+1 (Sk+1)= fN+1 (SN+1)， fN+1 (SN+1)被称为边界条件，它的取值要根据 具体问题来定，一般为 ”0” 或 “1”.
1.多阶段决策过程 2.Bellman最优性原理 3.动态规划的数学描述 4.例6.1 5.确定性动态规划问题 6.随机性动态规划问题
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多阶段决策过程
多阶段决策问题是指这样一类问题，其整个过程可分 为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决 策，从而使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个 阶段(Stage，决策点)都是由输入(Input)、决策 (Decision)、转移律(Transformation)和输出 (output)构成的，如图6-1(a)所示。由于每一阶段都 对应一个决策，所以每一阶段都应存在一个衡量决策 效益大小的指标函数，这一指标函数称为阶段指标函 数，用gn表示。显然gn是状态变量sn和决策变量dn的 函数，即gn= rn(sn, dn)，如图6-1(b)所示。
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例1
A C
B D
B1
12
9
C1
15
6
A
4
D
B2 20
8
16
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例1的构模
阶段：k=1, 2, 3 状态：选各阶段所处的位置为状态变量，因此有S1= A。 决策：所选择的路线； D1(S1)={ B1, B2, B3 }
状态转移：目前状态一定，选择的线路一定，下一个状 态一定。 阶段指标函数：该阶段行进的路程 过程指标函数：阶段指标函数的和 最优指标函数：
fk(Sk)=min{rk + பைடு நூலகம்k+1(Sk+1)} 其中，边界条件fk+1(Sk+1)=0。
例1的求解
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K=3时：
f3 (C1)=min{15}=15, f3 (C2)=min{16}=16, K=2时：
C1 D C2 D
f2 (B1)=min{12+15, 9+16}=25, B1 C2 f2 (B2)=min{20+15, 16+16}=32, B2 C2 f2 (B3)=min{10+15, 9+16}=25, B3 C1或
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阶段指标函数
阶段指标函数是对应某一阶段决策的效率度量，用 gk=rk (Sk, dk)来加以表示。
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过程指标函数
过程指标函数是用来衡量所实现过程优劣的数量指标， 它是定义在全过程（策略）或后续子过程（子策略）
上的数量函数。过程指标函数常用Rk,,N 来表示，构成
B3 C2
K=1时：
f1 (A)=min{6+25, 4+32, 8+25}=31, A
确定性动态规划问题
给出Sk 和dk的取值后，状态Sk+1的取值唯
一确定的动态规划问题称为确定性动态规 划问题。确定性动态规划有广泛的应用领 域，这些领域可概括为：
出的选择。决策变量dk(Sk)表示第k 阶 段、状态为Sk时的决策。决策变量的取 值会受到一定的限制，用Dk(Sk)表示第 k 阶段、状态为Sk 时决策变量允许的
取值范围，称为允许决策集合，因而有
dk(Sk) Dk(Sk) 。
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状态转移律
状态转移律是确定由一个状态到另一个状态演变过程的关系式， 这种演变的对应关系记为Sk+1=Tk (Sk, dk)。
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策略与子策略
各阶段决策所组成的决策序列称为一个策
略，具有N个阶段的动态规划问题的策略 可表示为{d1(S1), d2(S2), …, dN(SN)}。
从某一阶段开始到过程终点为止的决策序
列，称为子过程策略或子策略。从第k个 阶段起的子策略可表示为{dk(Sk), dk+1(Sk+1), …, dN(SN)}。