相交线与平行线复习提高讲义
平行线、相交线复习讲义
相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。
即，两条直线相交有且只有一个交点。
3.垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。
相交线平行线提高完美版辅导讲义
相交线平行线提高辅导讲义1、 如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°，求∠AGD 的度数。
2、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于 。
3、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.4.如右图，光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射 角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。
若已知∠1=55°，∠3=75°，求∠2的度数。
5、如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化.若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？6、如图，若AB ∥CD ，猜想∠A 、∠E 、∠D 之间的关系，并证明之。
l 1lCBDPl 2A12 3图3 E DCBA7、如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝85°，求∠ABE ＋∠EFC+∠FCD 的度数。
8、已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•要求给出两个答案）．9、已知：如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P .试求∠P 的大小.10、已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD .11、如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。
12、如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆）， 刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1+∠2的度数。
七年级上册相交线与平行线单元复习优质讲义(含答案解析)
例题基础训练1.[单选题]下列语句正确的个数是（ ）①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；②两点之间直线最短；③在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交；④两点确定一条直线．A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.如图，直线AF 和AC 被直线EB 所截，∠EBC 的同位角是∠EOF ，直线DC 、AC 被直线AF 所截，∠FAC 同位角是 ．1.[单选题]如图，P 是直线l 外一点，从点P 向直线l 引PA ，PB ，PC ，PD 几条线段，其中只有PB 与l 垂直，这几条线段中长度最短的是（ ）A ．PA B ．PB C ．PC D ．PD2.指出图中各对角的位置关系：（1）∠C 和∠D 是 角；（2）∠B 和∠GEF 是 角；（3）∠A 和∠D 是 角；（4）∠AGE 和∠BGE 是 角；（5）∠CFD 和∠AFB 是 角．内容提要平移和命题例题基础训练1.[单选题]要说明命题“若a ＞b ，则a ＞b ”是假命题，可设（ ）A ．a ＝3，b ＝4 B ．a ＝4，b ＝3 C ．a ＝﹣3，b ＝﹣4 D ．a ＝﹣4，b ＝﹣3222.[单选题]如图，△ABC 沿BC 所在直线向右平移得到△DEF ，已知EC ＝2，BF ＝8，则平移的距离为（ ）A ．3 B ．4 C ．5 D ．63.如图，在正方形网格中有一个△ABC ，按要求进行下列作图（只借助网格，需要写出结论）．（1）过点B 画出AC 的平行线；（2）画出三角形ABC 向右平移5格，在向上平移2格后的△DEF ；（3）若每一个网格的单位长度为a ，求三角形ABC的面积．1.[单选题]下列哪些图形是通过平移可以得到的（ ）内容提要平行线的判定与性质例题A． B． C． D．2.[单选题]在手工制作课上，张华和李丽用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她们用的铁丝周长（ ）A．张华的长 B．李丽的长 C．一样长 D．不能确定1.[单选题]如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2.已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC．求证：DF平分∠BDE基础训练模块二常见考法内容提要平行线中拐点模型1.[单选题]如图，在下列给出的条件中，可以判定AB ∥CD 的有（ ）①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠4；④∠DAB+∠ABC ＝180°；⑤∠BAD+∠ADC ＝180°．A ．①②③ B ．①②④ C ．①④⑤ D ．②③⑤2.如图，已知AD ∥EF ，∠2＝50°．（1）求∠3的度数；（2）若∠1＝∠2，问：DG ∥BA 吗？请说明理由；（3）若∠1＝∠2，且∠DAG ＝20°，求∠AGD的度数．例题1.[单选题]如图，，，已知，，则的度数为（ ）．A ． B． C ． D ．2.如图①，直线l ∥l ，直线EF 和直线l 、l 分别交于C 、D 两点，点A 、B 分别在直线l 、l 上，点P 在直线EF 上，连结PA 、PB ．（1）猜想：如图①，若点P 在线段CD 上，∠PAC ＝15°，∠PBD ＝40°，则∠APB 的大小为 度．（2）探究：如图①，若点P 在线段CD 上，直接写出∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的数量关系．（3）拓展：如图②，若点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，直接写出∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的数量关系．121212基础训练内容提要平行线中双角平分线模型例题1.如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．（2）把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF ，求的值．（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．1.已知：如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．基础训练内容提要平行线中动点问题例题1.如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．解题策略；理清动点运动轨迹，运用代数式表示线段或角，建立方程模型从而解决问题；1.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．（1）按照小明的思路，求∠APC的度数；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．基础训练模块三数学思想内容提要方程思想例题1.如图，直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．1.已知，如图1，射线PE 分别与直线AB 、AD 相交于E 、F 两点，∠PFD 的平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设∠PFM ＝30°，∠EMF ＝30°， （1）直线AB 与CD 的位置关系是 ；（2）如图2，若点G 是射线MA 上任意一点，且∠MGH ＝∠PNF ，试找出∠FMN 与∠GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 和点N 时，作∠PM B 的角平分线M Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其1111内容提要转化思想例题值；若变化，请说明理由．1.已知点A 在射线CE 上，∠BDA ＝∠C ．（1）如图1，若AC ∥BD ，求证：AD ∥BC ；（2）如图2，若∠BAC ＝∠BAD ，BD ⊥BC ，请证明∠DAE+2∠C ＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DF ∥BC 交射线CE 于点F ，当∠DFE ＝8∠DAE 时，求∠BAD 的度数．（直接写出结果）自主评价自主探究自主探究题目1.[单选题] 同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（ ）B． C． D．A． 2.[单选题] 如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE3.[单选题] 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE＝26°，则∠COF的度数为（ ）A．116° B．148° C．154° D．158°4.[单选题]如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（ ）A．78° B．132° C．118° D．112°5.[单选题]（2020•越秀区）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝130°，∠CDE＝110°，则∠BCD的度数为（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°6.[单选题]如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（ ）A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z7. 如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1＝∠2＝80°，求∠BGF的度数．解：因为∠1＝∠2＝80°（已知），所以AB∥CD（ ）所以∠BGF+∠3＝180°（ ）因为∠2+∠EFD＝180°（邻补角的性质）．所以∠EFD＝ ．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3＝ ∠EFD（角平分线的性质）．所以∠3＝ ．（等式性质）．所以∠BGF＝ ．（等式性质）．8.直线l∥l，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2=__________；129.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对．10. 实践操作：如图，平移三角形ABC，使点A平移到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′（点B平移到B′，点C平移到C′，保留作图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）；猜想结论：猜想∠A′AB，∠ABC，∠BCC′的数量关系 （直接写出答案，不需证明）．参考答案模块一基本概念例题1.C解析:解：因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故①正确；因为两点之间线段最短，故②错误；因为在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，故③正确；因为两点确定一条直线，故④正确．所以正确的个数是3．故选：C．2.∠COF．解析:解：根据同位角的图形特点，可得∠FAC的同位角是∠COF，故答案为∠COF．基础训练基础训练题目1.B解析:解：直线外一点P与直线l上各点连接的所有线段中，最短的是PB，依据是垂线段最短，故选：B．2.（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角解析:解：（1）∠C和∠D是同旁内角；（2）∠B和∠GEF是同位角；（3）∠A 和∠D 是内错角；（4）∠AGE 和∠BGE 是邻补角；（5）∠CFD 和∠AFB 是对顶角；故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角例题1.C解析:解：当a ＝﹣3，b ＝﹣4时，a ＝9，b ＝16，a ＞b ，而a ＜b ，∴命题“若a ＞b ，则a ＞b ”是假命题，故选：C ．2.A解析:解：由平移的性质可知，BE ＝CF ，∵BF ＝8，EC ＝2，∴BE+CF ＝8﹣2＝6，∴BE ＝CF ＝3，∴平移的距离为3，故选：A ．3.解：（1）如图，直线BP 为所作．（2）如图，△DEF 为所作；（3）三角形ABC 的面积3a×2a ＝3a．解析:基础训练基础训练题目1.B解析:解：A 、通过旋转得到，故本选项错误；B 、通过平移得到，故本选项正确；C 、通过轴对称得到，故本选项错误；D 、通过旋转得到，故本选项错误．故选：B ．2.C2222222解析:解：因为经过平移两个图形可变为两个长和宽都相等长方形，所以她们用的铁丝周长一样长．故选：C．例题1.C解析:解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴∠FGD＝∠ADB＝90°，∴FG∥AD，故①正确；∵DE∥AC，∠BAC＝90°，∴DE⊥AB，不能证明DE为∠ADB的平分线，故②错误；∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠B＝∠ADE，故③正确；∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，∴∠CFG+∠BDE＝90°，故④正确，综上所述，正确的选项①③④，故选：C．2.证明：∵AE平分∠BAC（已知）∴∠1＝∠2（角平分线的定义）∵AC∥DE（已知）∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）故∠2＝∠3（等量代换）∵DF∥AE（已知）∴∠2＝∠5，（两直线平行，同位角相等）∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠4＝∠5（等量代换）∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：①∠1＝∠2不能判定AB ∥CD ，不符合题意；②∵∠1＝∠3，∴AB ∥CD ，符合题意；③∵∠2＝∠4，∴AB ∥CD ，符合题意；④∠DAB+∠ABC ＝180°；不能判定AB ∥CD ，不符合题意；⑤∵∠BAD+∠ADC ＝180°，∴AB ∥CD ，符合题意．故选：D ．2.（1）∠3＝50°；（2）DG ∥BA ；（3）∠AGD ＝110°．解析:解：（1）∵AD ∥EF ，∴∠3＝∠2＝50°；（2）DG ∥BA ，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DG ∥BA ；（3）∵∠1＝∠2＝50°，∠GAD ＝20°，∴∠AGD ＝180°﹣∠GAD ﹣∠1＝110°．模块二常见考法例题1.D解析:2.（1）55；（2）∠PAC ＝∠APB ﹣∠PBD ，（3）∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB 或∠PAC ＝∠APB+∠PBD ，解析:解：（1）猜想：如图①，过点P 作PG ∥l，∵l ∥l ，∴l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ＝15°，∠BPG ＝∠PBD ＝40°，∴∠APB ＝∠APG+∠BPG ＝∠PAC+∠PBD ＝15°+40°＝55°，∴∠APB 的大小为55度，故答案为：55；11212（2）探究：如图①，∠PAC ＝∠APB ﹣∠PBD ，理由如下：∵l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ，∠BPG ＝∠PBD ，∴∠APB ＝∠APG+∠BPG ＝∠PAC+∠PBD ，∴∠PAC ＝∠APB ﹣∠PBD ；（3）拓展：∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB 或∠PAC ＝∠APB+∠PBD ，理由如下：如图，当点P 在射线CE上时，过点P 作PG ∥l ，∴l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ，∠BPG ＝∠PBD ，∴∠PAC ＝∠APG ＝∠BPG ﹣∠APB ，∴∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB ；当点P 在射线DF上时，过点P 作PG ∥l ，∴l ∥l ∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ，∠BPG ＝∠PBD ，∴∠PAC ＝∠APG ＝∠APB+∠BPG ，∴∠PAC ＝∠APB+∠PBD ，综上所述：当点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB 或∠PAC ＝∠APB+∠PBD ．基础训练基础训练题目1.（1）∠C ＝∠1+∠2，（2）；（3）∠ACB+∠ADB ＝75°．解析:解：（1）∠C ＝∠1+∠2，证明：过C 作l ∥MN ，如下图所示，12112112∵l∥MN，∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，∴l∥PQ，∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），∴∠3+∠4＝∠1+∠2，∴∠C＝∠1+∠2；（2）∵∠BDF＝∠GDF，∵∠BDF＝∠PDC，∴∠GDF＝∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，∴∠CDG+2∠PDC＝180°，∴∠PDC＝90°∠CDG，由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，∴∠AEN＝∠CEM，∴；（3）∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°，∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD，∵PQ∥MN，∴∠BMA＝∠PBD＝50°，∴∠ADB＝∠AMB﹣∠MAD＝50°﹣∠MAD＝50°﹣∠CAM，由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+50°﹣∠CAM＝25°+50°＝75°．例题1.证明：∵∠BAP与∠APD互补，∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行），∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2（已知）由等式的性质得：∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2，即∠EAP＝∠FPA，∴AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠F（由两直线平行，内错角相等）．解析:基础训练基础训练题目1.证明：连接EF．∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DEF＝∠EFC．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．解析:例题1.（1）∠APC＝110°．（2）∠APC＝∠α+∠β，（3）∠CPA＝∠β﹣∠α或∠CPA＝∠α﹣∠β；解析:（1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．（2）∠APC＝∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA＝∠α﹣∠β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA＝∠β﹣∠α．基础训练基础训练题目1.（1）∠EOB＝40°；（2）∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．解析:解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB∠AOC80°＝40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE∠AOC80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．模块三数学思想例题1.（1）AB∥CD；（2）结论∠FMN+∠GHF＝180°． （3）结论：的值不变， 2解析:（1）证明：∵∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，∴∠EMF＝∠MFN，∴AB∥CD；（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．理由：∵AB∥CD，∴∠MNF＝∠PME，∵∠MGH＝∠MNF，∴∠PME＝∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM＝∠FMN，∵∠GHF+∠GHM＝180°，∴∠FMN+∠GHF＝180°．（3）解：的值不变， 2．理由：如图3中，作∠PEM的平分线交M Q的延长线于R．11∵AB ∥CD ，∴∠PEM ＝∠PFN ，∵∠PER ∠PEM ，∠PFQ ∠PFN ，∴∠PER ＝∠PFQ ，∴ER ∥FQ ，∴∠FQM ＝∠R ，设∠PER ＝∠REB ＝x ，∠PM R ＝∠RM B ＝y ，则有：，可得∠EPM ＝2∠R ，∴∠EPM ＝2∠FQM ∴2．例题1.（1）证明：∵AC ∥BD ，∴∠DAE ＝∠BDA ，∵∠BDA ＝∠C ，∴∠DAE ＝∠C ，∴AD ∥BC ；（2）证明：如图2，设CE 与BD 相交于点G ，∠BGA ＝∠BDA+DAE，∵BD ⊥BC ，∴∠BGA+∠C ＝90°，∴∠BDA+∠DAE+∠C ＝90°，∵∠BDA ＝∠C ，∴∠DAE+2∠C ＝90°；（3）如图3，设∠DAE ＝α，则∠DFE ＝8α，11111111∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD∠CBD＝45°，△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．答：∠BAD的度数是99°．解析:自主探究自主探究题目1.D解析:2.C解析:3.B解析:4.D解析:解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣68°＝112°，∵∠2＝∠4+∠5，∵∠3＝∠4，∴∠2﹣∠3＝∠5＝112°，故选：D．5.B解析:解：作DE 的反向延长线交BC 于M ，∵AB ∥DE ，∠ABC ＝130°，∴∠BMD ＝∠ABC ＝130°，∴∠CMD ＝180°﹣∠BMD ＝50°，∵∠CDE ＝110°，∴∠BCD ＝∠CDE ﹣∠CMD ＝110°﹣50°＝60°，故选：B ．6.B解析:解：如图所示，延长AB 交DE 于H ，∵BC ∥DE ，∴∠ABC ＝∠AHE ＝x ，∵CD ∥EF ，AB ∥EG ，∴∠D ＝∠DEF ＝z ，∠AHE ＝∠DEG ＝z +y ，∴∠ABC ＝∠DEG ，即x ＝z +y ，∴x ﹣z ＝y ，故选：B ．7.同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100°； ；50°；130°．解析:8.∠1+∠2＝50°．解析:解：如图，分别过A 、B 作l 的平行线AC 和BD ，∵l ∥l ，∴AC ∥BD ∥l ∥l ，∴∠1＝∠EAC ，∠2＝∠FBD ，∠CAB+∠DBA ＝180°，∵∠EAB+∠FBA ＝125°+105°＝230°，∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD ＝230°，即∠1+∠2+180°＝230°，∴∠1+∠2＝50°．9.2411212解析:解：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段．又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，∴共有同旁内角 12×2＝24对．故答案为：24．10.解：如图所示，△A′B′C′即为所求，∵AA′∥BB′∥CC′，∴∠A′AB＝∠ABD，∠BCC′＝∠DBC，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠A′AB+∠BCC′，即∠ABC＝∠A′AB+∠BCC′，故答案为：∠ABC＝∠A′AB+∠BCC′．解析:。
第2讲 平行线与相交线复习 讲义
相交线与平行线【知识梳理】一、三线八角1、两条直线被第三条直线所截产生了八个角。
2、同位角、内错角和同旁内角：二、平面内两条直线有啥关系？、 .三、平行线的性质1、2、3、4、平行公理：过平面内一点有且只有一条直线平行于已知直线四、平行线的判定1.同位角相等，两直线平行．2.同旁内角互补，两直线平行．3.内错角相等，两直线平行.4.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
(传递性)5.平面内垂直于同一直线的两条直线平行【中考真题训练】1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2= .图—1 图—2图—32．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为 . 3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为 .4．如图所示，AB与CD相交于点O，∠AOD+∠BOC=280°，则∠AOC= 。
图—4图—5图—65．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD6．如图，与∠1是同旁内角的是 .7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°图—7图—8图—98．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（）A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠79．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为 .10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED= .11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为 .图—10图—11图—12 12．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3= .13．一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是 .14．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是．图-14图-15图-1615．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度．16．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=．17．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是．图-17 图-1818．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为度．【经典模型】19．分别探讨这AB∥CD，四个图形中∠A，∠C和∠P的关系，将它们用等式表示出这三个角之间的关系，并说明成立的理由。
相交线与平行线复习课件高效版
长度比例关系应用举例
利用平行线截得的比例线段
01
在平行线被一条横线所截得的线段中，对应线段成比例，通过
这一性质可以解决长度比例关系的问题。
利用相似三角形的性质
02
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例，通过这一性质也
可以解决长度比例关系的问题。
利用三角形的中位线
03
三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半，这一性质在解
例题3
结合实际情况，利用相交线和平行线 的知识进行综合应用解答。
例题2
通过添加辅助线，利用角度关系和计 算方法进行解答。
相交线与平行线判定
02
方法
相交线判定方法及步骤
01
02
03
04
判定方法
两条直线在同一平面内，如果 它们有且仅有一个公共点，那
么这两条直线就是相交线。
步骤一
首先观察两条直线是否在同一 平面内。
角度的计算
利用空间几何中的角度公式，如两直线间的夹角 公式等进行计算。
距离的计算
通过空间中两点间的距离公式，或者点到直线的 距离公式等进行计算。
向量法的应用
利用向量的性质和运算，解决空间角度和距离的 计算问题。
空间几何在现实生活中的应用
建筑与设计
在建筑设计中，空间几何被广泛应用于建筑物的 结构设计和外观造型。
步骤二
确定两条直线是否有且仅有一 个公共点。
步骤三
根据相交线的定义作出判断。
平行线判定方法及步骤
判定方法
两条直线在同一平面内，如果它 们没有公共点，那么这两条直线
就是平行线。
步骤一
观察两条直线是否在同一平面内。
步骤二
确定两条直线是否有公共点，如 果没有，则继续下一步；如果有， 则两条直线相交，不是平行线。
相交线与平行线复习课教案和讲义模版
相交线与平行线复习课最新教案和讲义模版一、教学目标1. 复习巩固相交线与平行线的基本概念及性质。
2. 提高学生运用相交线与平行线解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 相交线与平行线的定义及性质。
2. 平行线的判定与证明。
3. 相交线的判定与证明。
4. 平行线与相交线在实际问题中的应用。
5. 巩固练习及拓展思考。
三、教学重点与难点1. 教学重点：相交线与平行线的基本概念、性质及应用。
2. 教学难点：平行线的判定与证明，相交线的判定与证明。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究相交线与平行线的性质。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示相交线与平行线的关系。
3. 结合实例，让学生体会相交线与平行线在实际问题中的应用。
4. 采用小组讨论与合作交流的方式，提高学生的参与度。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引导学生复习相交线与平行线的基本概念。
2. 知识讲解：讲解相交线与平行线的性质，并通过多媒体展示实例，让学生直观理解。
3. 课堂互动：设置问题，让学生判断直线的位置关系，巩固平行线与相交线的判定方法。
4. 应用拓展：结合实际问题，让学生运用相交线与平行线解决实际问题，培养学生的应用能力。
5. 课堂练习：布置针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况评价：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：制作精美的课件，展示相交线与平行线的图形和实例。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，包括判断题、解答题等，用于巩固所学知识。
3. 教学素材：收集相关的实际问题，用于引导学生运用相交线与平行线解决实际问题。
《相交线与平行线复习课》课件(16张ppt)
1 C
O
4
B
l3
2 1 3 4 6 5 7 8
l1
l2
截线 同位角 内错角 同旁内角
同旁 两旁 同旁
被截线
同侧 之间(交错 之间
)
结构特征
F (或倒置 Z
) (或反置)
U
3、垂线： 当两条直线相交所构成的四个角中有一个 角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中的一条叫做另一条的垂线。 C 1 B D 垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线 互相垂直 ②连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度。
邻补角 两条 直线 相交
一般情况
邻补角互补
对顶角相等 存在性和唯一性
对顶角
相 交 线
特殊
垂直
垂线段最短
两条直线被 第三条所截
点到直线 的距离
同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定 平行线的性质
平行公理及其推论
两条平行线的距离 命题
平 行 线
平移
平移的性质
一、相交线 如果一个角的两边是另一个角的两边的反向 １、对顶角：
B
例题精讲:
例2 : 如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为 垂足，∠1＝∠2，试说明∠ADG ＝∠C 。
A D F C
2 1
G B
E
探究创新:
已知：如图AB∥CD，试探究
∠BED与∠B，∠D的关系
A
A
B
1 E
B
1
F
C
2 D
E C
2
D
F
的两条直线 ②平行公理：过直线外 ②若a∥b，a ∥ c， 叫平行线 一点有且只有一条直线 则b ∥ c
(相当好用)相交线与平行线复习课课件
平行线与相交线 小结与复习
邻补角 两条 直线 相交
一般情况
邻补角互补
对顶角相等 存在性和唯一性
对顶角
相 交 线
特殊
垂直
垂线段最短
两条直线被 第三条所截
点到直线 的距离
同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定
平行公理及其推论
平行线的性质
两条平行线的距离
平 行 线
平移
平移的特征
重点知识回顾
在同一平面内， 两条直线的位置关系有 1、
C A 1
E 2 B 5 6 P O 8 3 7 4 D F
被截线 截线
(1)如图直线AB和CD交于点O，则图中共有 几个角,分别有什么关系?
(2)若再添一条直线EF与AB交于点P,你又能 找到几个角? (3)请指出其中的同位角、内错角和同旁内角. (4)你可以添个条件，使直线CD和 EF平行吗？
辅助平行线的好处
A
1 °2 90° 100
B
C
中考试题：
（1） 如图⑴,已知 AB∥CD, ∠1=30°,
∠2=90°,则∠3=______°
A
130°
B 2 C 3？
C
A F
B
135° 60°
E
？
图1
D
图2
D
（2） 如图⑵,若AE∥CD, ∠EBF=135°， ∠BFD=60°,∠D= （ ）
A、75° B、45° C、30°
A
1 2
D
证明:∵AC∥DE （已知）
B
C
E
∴ ∠ACD= ∠2 (两直线平行，内错角相等) ∵ ∠1=∠2（已知） ∴ ∠1=∠ACD(等量代换) ∴AB ∥ CD (内错角相等，两直线平行)
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相交线与平行线复习提高
一、相交线与平行线章节典型辅助线题目
1. 缺角补角
在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。
2. 缺线补线
如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。
1、 如图，若AB ∥CD,则∠B-∠C+∠E=
2、 若∠O=∠A+∠C,AB 和CD 平行吗说明理由。
3、 如图，FG ∥HI ，∠GEK=120°，∠B=30°，∠C=48
4、 如图a ∥b, ∠1=105°，∠2=140°，则∠3=
5、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30
6、如图，AB ∥ED ，α=∠A+∠E ，β=∠B+∠C+∠D
7、已知MN ∥l ，∠ABC=130°，∠1=40°，求证：8、如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB,CD 于 点P ，求证∠P=90°。
课堂基础热身训练： 1、如图1，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45 A 、10° B 、15° C 、20° 图 1 3 （ ） 2、如图2，CD AB //，A. ο60 B. ο70 C. D.
3、如图3，已知AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ）
（A ）α+β+γ=1800 （B ）α—β+γ=1800 （C ）α+β—γ=1800 （D ）α+β+γ=3600
4、如图所示，AB ∥ED ，∠B ＝48°,∠D ＝42°, 证明：BC ⊥CD 。
（选择一种辅助线）
5、如图，若AB ∥CD ，猜想∠A 、∠E 、∠D 之间的关系，并证明之。
6、如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝85°，求∠ABE ＋∠EFC+∠FCD 的度数。
7、如图，∠ABC ＋∠ACB ＝110°，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,EF 过点O 与BC 平行，求∠BOC 。
8、如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。
9、已知AB ∥CD ，∠B=65°，CM 平分∠BCE ，∠MCN=90°，求∠DCN 的度数.
10、.如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么 11、如图，DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上的一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分
∠BAC ，求∠PAG 的度数。
E D
C B A F E
D C B
A _F _D _B
_A A B P C D
A
B D
C 第5题图 相交线与平行线经典题型
1、如图，l 1∥l 2，∠1=120°，则∠2= . （第1题图）
2、如图，AB ∥CD ，∠DCE=80°，则∠BEF=
3、如图，直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E 的大小为 （第2题图） （第3题图） （第4题图）
4、如图，AB ∥CD ，AD 和BC 相交于点O ，∠A ＝40°，∠AOB ＝75°．则∠C
5、如图，AB ∥CD ，∠C ＝80°，∠CAD ＝60°，则∠BAD 等于
6、如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，则∠BCE 等于 （第6题图） （第7题图） （第8题图） （第9题图）
7、如图，AB∥CD，AC 与BD 相交于点O ，∠A=30°，∠COD=105°．则∠D 的大小是
8、如图，直线l 1∥l 2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于
9、如图，己知AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C 的度数是
10、如图，已知AB ∥CD ，则图中与∠1互补的角有 个。
11、如图，CD ∥AB ，∠1＝120°，∠2＝80°，则∠E 的度数是
（第10题图） （第11题图） （第12题图） （第13题图）
12、如图，已知直线a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于 13、如图，已知AB∥CD，∠E＝︒28，∠C＝︒52，则∠EAB 的度数是
14、如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =ο46，∠CEF =ο154，则∠BCE 等于 15、如图所示，AB ∥CD ，∠E ＝37°，∠C ＝20°，则∠EAB 的度数为
16、如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝60°，∠C ＝25°，则∠E 等于 （第15题图） （第16题图） （第17题图） （第18题图）
17、如图所示，直线a ∥b ．直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，
AM b ⊥，垂足为点M ，若158∠=︒，则2∠＝ _________
18、如图：CD 平分∠ACB ，DE ∥AC 且∠1=30°，则∠2= 度．
19、如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．（辅助线已画） （第19题图） 能力提高训练
1、如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′的度数为 。
2、如图2，直线AB CD 、相交于点E ，DF AB ∥．若100AEC ∠=°，则D ∠等于 。
3、如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于 。
4、如图4，已知A B ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于 。
.
5、如图5，12//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。
C A E
B F D
图2 E D B
C′ F C D ′
A
图1
1 2 3 图3 B A D C E F （第14题图）
6、如图6，已知AC ∥ED ，∠C =26°，∠CBE =37°，则∠BED 的度数是 。
图
4 图
5 图6
7、如图7，AB ∥CD ，∠ABE
＝66°，∠D ＝54°，则∠E 的度数为_______________．
8、如图8，
AB 01502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，3∠=//AE BD 14、图11，
BE ∥AO ，∠1=∠2，OE ⊥OA 于点O ，EH ⊥CO 于点H ，那么∠5=∠6，为什么 l 1 l 2 1 2 3 300 P F E B A C D A B D C 1 2 3 A B C D E。