秒词邦-唯一专注高中生背单词问题的微信小程序-高考五年高考三年模拟全套课件-§4.4 解三角形

2
2
所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B= .若A=B,则a=b,cos A=cos B,此时
2
两直线重合,不符合题意,舍去,故A+B= ,则△ABC是直角三角形,故
2
选C.
解法二:由两直线平行可得bcos B-acos A=0,由余弦定理,得a·b2 c2 a2 =
2bc
A
2
B
=sinBiblioteka C 2.栏目索引方法技巧
方法 1 正弦定理和余弦定理的应用方法
在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,还是两 个定理都要用,要抓住能够利用定理的信息.一般地,如果式子中含有角 的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或 边的一次式,则考虑用正弦定理;如果以上特征都不明显,则要考虑到两 个定理都要用到. 例1 (2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知asin A=4bsin B,ac= 5 (a2-b2-c2). (1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值.
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解题导引 由两直线平行 得出边角关系 利用正弦或余弦定理化成角 与角或边与边之间的关系 化简关系式 判断三角形的形状
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解析 解法一:由两直线平行可得bcos B-acos A=0,由正弦定理可知sin
Bcos B-sin Acos A=0,即 1 sin 2A= 1sin 2B,又A、B∈(0,π),且A+B∈(0,π),
解析 依题意有AB=600,∠CAB=30°, ∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB. ∴∠ACB=45°, 在△ABC中,由 AB = CB ,
sin ACB sin CAB
得 600 = CB ,
sin 45 sin 30
有CB=300 2 , 在Rt△BCD中,CD=CB·tan 30°=100 6 , 则此山的高度CD=100 6 m.
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第四章 三角函数
§4.4 解三角形
知识清单
考点 用正、余弦定理解三角形
1.正、余弦定理
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2.解三角形的类型 (1)已知两角及一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解时可分为几种情况.在 △ABC中,已知a、b和角A时,解的情况如下:
sin A sin B
又由ac= 5 (a2-b2-c2)及余弦定理,
得cos A= b2 c2 a2 =
5 ac
5 =-
5.
2bc
ac
5
(2)由(1)及已知,可得sin A= 2 5 ,代入asin A=4bsin B,
5
得sin B= a sin A = 5 .
4b 5
由(1)知,A为钝角,所以cos B= 1 sin2B = 2 5 .
答案 100 6
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解题导引 (1)由asin A=4bsin B及 正弦定理得a=2b 由ac= 5 (a2-b2-c2),a=2b 及余弦定理求cos A (2)求sin A的值 求sin B及cos B的值 利用二倍角公式得sin 2B 及cos 2B的值 代入两角差的正弦公式 得结果
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解析 (1)由asin A=4bsin B及 a = b ,得a=2b.
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(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C;
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(6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
tan(A+B)=-tan
C

A

B


2
;sin
A
2
B
=cos
C 2
;cos
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例3 (2015湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后
到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度
CD=
m.
解题导引 由已知条件及三角形内角和 定理可得∠ACB的值→在△ABC中,利用正弦 定理求得BC→在Rt△BCD中,利用锐角三角函数的定义求得CD的值
水平线上方的角叫 仰角 ,目标视线在水平线下方的角叫 俯角
(如图a).
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(2)方位角 方位角是指从某点的 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平 角,如B点的方位角为α(如图b). (3)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. 拓展延伸
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论如下: (1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
5
于是sin 2B=2sin Bcos B= 4 ,cos 2B=1-2sin2B=3 ,
5
5
故sin(2B-A)=sin
2Bcos
A-cos
2Bsin
A=
4 5
×



5 5
-

3×
5
2
5 5
=-
2
5 5
.
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方法 2 三角形形状的判断方法
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数的关系,通过三 角恒等变换,得出三角形内角之间的关系,从而判断出三角形的形状. 2.利用正、余弦定理把已知条件转化为边之间的关系,通过因式分解、 配方等得出边的相应关系,从而判断出三角形的形状. 例2 (2016辽宁五校第一次联考,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则△ABC 一定是 ( C ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或者直角三角形
2
(2)S= 1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A;
2
2
2
(3)S=2R2sin Asin Bsin C;
(4)S= abc ;
4R
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(5)S=
p(
p

a)(
p

b)(
p

c)

p

1 2
(a

b

c)

.
4.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在
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上表中A为锐角时,a<bsin A无解;A为钝角时,a=b,a<b均无解.
(3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解.
(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.
3.三角形的面积
设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角为A,B,C,其面积为S,外接圆半
径为R.
(1)S= 1 ah(h为BC边上的高);
方法 3 解三角形应用题的方法
1.解三角形应用题的步骤
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2.解三角形应用题的两种方法 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,
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可用正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形, 这时需作出这些三角形,先解条件已知的三角形,然后逐步求出其他三 角形的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所 求的解. 3.解三角形应用题应注意的问题 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词,并能准确地找出这 些角; (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来使用, 这样可以优化解题过程; (3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义.
b·a2 c2 b2 ,所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所
2ac
以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.若a=b,则两直线重合,不符合题
意,故a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形,故选C.