席位公平分配模型
席位分配问题数学建模
席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。
为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。
一、问题描述假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。
每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。
具体问题包括：1. 参与者数量和席位数量2. 参与者的资格和需求3. 席位分配的规则和标准二、数学建模为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：1. 参与者集合P：表示所有的参与者。
2. 席位集合S：表示所有的席位。
3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。
4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。
5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。
根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）约束条件：1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。
2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。
3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。
4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。
三、求解方法根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。
这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。
2. 优化算法：使用优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过不断迭代找到最优解。
这种方法需要一定的编程知识和技能，但通常能够快速找到满意的解。
3. 启发式算法：使用启发式算法如模拟退火、蚁群算法等，通过不断尝试找到满意解。
这种方法相对简单易行，但可能无法找到最优解。
4. 数学软件求解：使用专门的数学软件如Matlab、Python等，通过编程求解上述数学模型。
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
常用经济管理数学模型
常用经济管理数学模型应用数学方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。
本节将结合高等数学知识介绍一些常用的经济管理数学模型，学习和了解综合运用数学知识和数学工具解决实际问题的过程和方法，达到运用数学模型为现实生活服务的目的。
一、优秀研究成果评选的公平性模型 1. 问题的提出设有N 个评委组成的评选委员会，有M 项研究成果，评委会要从中选出()m m M <项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？2.模型的构成与求解方案1 按得票多少顺序，得票较多的前m 项成果为优秀成果。
分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。
因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。
方案2 对方案1做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前m 项成果为优秀成果.分析评价：下面来分析一下方案2是否公平。
设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得x 票，x N C ≤-，则该项成果的得票率为1()xr x N C=- （1）上述结果似乎可以接受。
因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。
参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则投票率为2()x Cr x N+= (2)通过比较1()r x 与2()r x 的大小可知上述两个公式的差别。
因为当x N C <-时，恒有1()r x <2()r x .综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对1()r x 和2()r x 的折衷方案，即度量得票多少的函数()y x 应满足以下三个条件：（1）()y x 是x 的单调递增函数;（2）1()r x ()y x <<2()r x ，0,0;x N C C <<-> （3）(0)0,() 1.y y N C =-=由上述三个条件还不能唯一确定函数()y x ，但可据此定出一个相对公平、且比较简单实用的度量函数()y x 。
公平的席位分配
Q值法推广：当有m方，第i方人数 pi ，占有 ni 席位， 当总席位增加1席，计算
pi2 Qi ni (ni 1)
应将席位分给Q值最大的一方。
问题解决
先按比例计算结果将整数部分的19席分配完，有 n1 10, n2 6, n3 3 ，再用Q值法分配第20，21 席。
1032 632 342 第20席：Q1 , Q2 , Q3 , Q1最大分给甲。 1011 6 7 3 4 1032 第21席：Q1 , Q2 , Q3不变, Q3最大分给丙。 1112
公平的席位分配
问题背景
某校有3个系共200名学生，甲乙丙系各100， 60，40名。若学生代表席位设20个席位。 公平而简单的席位分配办法：按学生人数 的比例分配。 分配结果（席位）：甲10；乙6；丙4。
若甲乙丙系人数分别：103、63和34，20个 席位如何分配？ 若上述人数不变，增加一个席位，分配结 果如何？ 这个结果对丙系太不公平，总席位增 加1席，而丙系席位却由4席减少为3席位。 找到衡量公平分配席位的指标，丙建立新 的分配方法。
练习
学校共1000名学生，235人住在A宿舍， 333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 门要组织一个10人的委员会，使用下列办 法分配各宿舍的委员数。 （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名 额按惯例分给小数部分较大者。 （2）用Q值法
（3）d’Hondt法：将A,B,C各宿舍的人数用 n=1，2，3等相除，其商如下
p1 p2 n1 n2 1
公平分配的原则：使得相对不公平度尽可能地小
若 rB (n1 1, n2 ) rA (n1 , n2 1) ，则席位分给A；反之分给B。 Q值法 2 2
席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型
席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型摘要:讨论公平席位分配的模型已有很多。
本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数(绝对不公平度)的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条;在模型求解上，全部由MATLAB程序来实现名额分配。
关键词:相对尾数 Balinsky & Young不可能定理 MATLAB正文1 问题复述公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。
处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法;后来出现了Q值法;1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的;因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。
这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。
2 模型假设2.1合理假设2.1.1 比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知;2.1.2 各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变;2.1.3 委员分配以各宿舍人数为唯一权重。
2.2 符号约定符号意义Q第个宿舍的Q值 iin第个宿舍的人数 iim第个宿舍分配的名额 iin总人数m总名额数p 第个宿舍的理想分配名额 ii,个宿舍的理想分配名额总席位增加一个时第ip iniq 第个宿舍的分配比例，即 miins 第个宿舍的绝对尾数值 iir 第个宿舍的相对尾数值 ii,个宿舍的相对尾数值总席位增加一席时第ir it按比例分配后剩余名额3 模型的建立与求解3.1按比例加惯例模型分配根据比例加惯例分配模型的原理，编写MATLAB程序实现(附录-程序1，2，3，附录-输入及运行结果1)，结果如表所示:表1(比例加惯例法分配结果):10个席位的分配 15个席位的分配宿舍学生人数比例分配惯例分配比例分配惯例分配的席位的结果的席位的结果A 235 2 3 3 4B 333 3 3 4 5C 432 4 4 6 6总数 1000 9 10 13 153.2按Q值法模型分配2ni首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式 i,A,B,CQ,im(m，1)ii对剩下的名额进行分配，编写MATLAB程序实现求解(附录-程序4，5，附录-输入及运行结果2):表2(Q值法分配结果):10个席位的分配 15个席位的分配宿舍学生人数比例分配最终分配比例分配最终分Q值 Q值名额名额名额配名额A 235 2 9204.17 2 3 4602.08 4B 333 3 9240.75 3 4 5544.45 5C 432 4 9331.2 5 6 4443.43 6 总数 1000 9 10 13 153.3 D’hondt模型3.3.1 模型建立设，分别表示宿舍总人数和总分配席位数，()表示各宿舍人数，令nnmi,1,2,3iniaa,()，则得到一个数列，将该数列按递减顺序重新排列，得ij,,1,2,3,1,2,...,,ijijj()k()k()k()kaaa到，其中表示中第大的项。
席位分配模型
公平席位分配模型摘要本文按照题目要求，首先，基于相对公平分配的原则，阐述“d’Hondt方法”原理，并建立数学模型。
其次，对“比例加惯例法”、“Q值法”及“d’Hondt 方法”这三个模型，根据分配结果进行对比分析。
可以得到，当待分配席位数较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配席位数较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。
关键词：比例加惯例模型 Q值模型 d’Hondt模型公平分配正文1 问题复述为了讨论重大问题，特别是有关集体利益的问题，召开代表会议正变得越来越普遍。
当会议涉及不同集体的利益时，公平的席位分配就显得尤为重要。
常用的席位分配办法是“比例加惯例法”以及“Q值法”等。
某学校有三个宿舍共1000名学生，其中A宿舍有235人，B宿舍有333人，C宿舍有432人。
现学生们要组织一个十人委员会，已知采用d’Hondt席位分配办法分配各宿舍的委员数如下：表1 d’Hondt法宿舍 1 2 3 4 5 …分配结果A 235 117.5 78.3 58.75 (2)B 333 166.5 111 83.25 (3)C 432 216 144 108 86.4 (5)比例加惯例法：按比例分配取整数的名额后，剩下的若干名额依次分给小数部分较大者。
Q值法：按照相对不公平度最小原则，每增加一席位，分给Q值较大的一方。
d’Hondt法:将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）。
如表1所示，表中A，B，C行有横线的数分别为 2，3，5，即为3个宿舍分配的席位。
需要解决的问题是：（1）试建立模型，解释d’Hondt方法的道理；（2）若委员人数从10人增至15人，此时用比例加惯例法、Q值法和 d’Hondt 法3种方法再分配名额，试比较3种方法两次分配的结果。
2 模型假设与符号说明2.1 模型的假设假设各个宿舍之间没有人员的调动。
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
公平席位分配Q值法
1 问题的假设与符号定义1.1问题的假设:1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；2.每个系别有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的；3．每个系别的每个人被选举都是等可能的；4．每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外；5．在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.1.2符号的定义：n---－表示某系别的席位数（n1、n2、n3分别表示甲、乙、丙的席位数）；p----表示某系别的人数（p1、p2、p3分别表示甲、乙、丙的人数）；q-------表示总席位数；N-------表示总的席位人数.Q-------表示某单位的Ｑ值.3 问题的分析通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以下结论：公式：*pNqn/4 模型建立目标:建立公平的席位分配方案.4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值:设A,B 两方人数分别为21,p p ；分别占有 1n 和2n 个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为11n p 和 22n p. 我们称 2211n p n p -为.例：10,100,1202121====n n p p则22211=-n p n p ； 又 10,1000,10202121====n n p p 则22211=-n p n p 由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值.①若 2211n pn p > 则称 11221222211-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值,记为 ),(21n n r A ；②若 2211n pn p < 则称 12112111122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ,记为 ),(21n n r B .4.2给出相对公平的席位分配方案:如果，A B 两方分别占有1n 和2n 席,利用相对不公平值A r 和B r 讨论,当总席位增加1席时,应该分配给A 还是B.不妨设1122>p n p n ,即对A 不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：I .当221>+11p pn n 时,这说明即使给A 增加1席,仍然对A 不公平,所以这一席显然应给A 方.II.当221<+11p pn n 时,这说明给A 增加1席,变为对B 不公平,此时对B 的相对不公平值为:21121211-1 ++=()(,)B p n r n n p n （3）III.当221>+11p pn n 时,这说明给B 增加1席,将对A 不公平,此时对A 的相对不公平值为:12122111-1 ++=()(,)A p n r n n p n （4）因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果121211+<+(,)(,)B A r n n r n n （5）则这1席给A 方,反之这1席给B 方.由(3)(4)可知,(5)等价于21222211<11++()()p p n n n n （6）不难证明上述的第I 种情况221>+11p pn n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方.若记:2, =1,21=+()i i i i p Q i n n则增加的1席给Q 值大的一方.4.3模型内部推广:上述方法可以推广到有m 方分配席位的情况.设第i 方人数为i p ,已占有i n 个席位.当总席位增加1席时,计算:2, =1,21=+()i i i i p Q i m n n ，，则增加的1席应分配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q 值法.5 模型求解5.1下面用Q 值法讨论甲，乙，丙系分配20个席位的问题：先按照比例将整数部分的10席分配完毕n 1=10, n 2=6, n 3=3,.再用Q 值法分配第20席和第21席；分配第20席,计算得:Q1=96.4; Q2=94.5; Q3=96.3Q1最大,于是这1席应分给甲系.分配第21席,计算得:Q1=80.4;Q2=94.5;Q3=96.3;Q3最大,于是这1席应分给丙系.5.2现象分析及结果：根据Q值分配结果与假定情况一的现象,易得出:惯例分配总席位为21时,分配不公平,以至得出总席位数N增加一个,丙的席位数反而减少了一个的错误结论.6 模型评价●我们巧用绝对值,避免了分两种情况.从而简化了运算.●改进后的Q值法席位分配方案应用性推广,分配更公平.感谢您的支持与配合，我们会努力把内容做得更好！。
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席位公平分配模型
09数学与应用数学（1） 0907021006 王秀秀
摘要：本文主要研究席位的公平分配问题。
通过对绝对不公平度和相对不公平度的构造，从而建立了Q 值分配法模型。
在公平标准下，用Q 值分配法模型，我们可得到相对公平的席位分配方案。
关键词：席位分配 公平性 相对不公平度 Q 值分配法模型
正 文
1 问题的提出
某校三个系有
200名学生，其中1系有学生103名，2系有学生63名，3系有学生34名。
现在要从三个系中选取20名学生成立一个委员会。
问题：如何合理的将这20个席位分配给这3个系，才能使分配相对公平？
2 合理假设与变量说明
2.1合理假设
2.1.1席位是以整数计量的，并且为有限个，设为N ；
2.1.2每个系别的每个人被选举的概率相等。
2.2变量限定：
P ：为总人数 i P ：为i 系人数
N ：为总席位数 i n ：为i
系席位数 其中，,,,,1,2...i i P N P n N i n +∈=，且1n i
i P P ==∑，1n i i n N ==∑ 公平标准：i i
P P N n = 3 模型建立
3.1 若公平标准满足时，即i i
P P N n =（1,2...i n =）时，我们知道此时分配是公平的，则最有分配方案为i 系分得席位i n 个。
3.2 Q 值分配法模型
若公平标准不满足满足时，即存在i N +∈，使得
j i i j P P n n ≠成立时，我们用绝对不公平度的算法给出相对不公平度。
以1，2两方作为考察构造，先给出绝对不公平度：
设1，2系的总人数分别为1P ，2P ，分得席位数分别为1n ，2n ，令(1,2)i i i P R i n =
=，i R 表示i 系每个席位代表的人数 令||,(,,)j i ij i j
P P i j i j N n n λ+=-≠∈，ij λ表示i ，j 系分配方案的绝对不公平度，且ij ji λλ=。
例如，当121210120
100n n P P ====，，时，ij λ=2， 当1212101020
1000n n P P ====，，时，ij λ=2， 由此可知，绝对不公平度的对问题的检验不灵敏。
以下给出相对不公平度的分配方案： 记122211222//(,)/P n P n r n n P n -=（1212
1P P n n >+），称为对1系的相对不公平度 如果1，2两系分别占有席位1n ，2n 个，利用相对不公平对的讨论，
当增加一个席位时，新加席位是分该1系还是2系。
不妨设1212P P n n >，即对1系相对不公平时，则再增加一个席位时，有三种分配方案：
（1）12121P P n n >+时，112211212322
/1/(1,)10,6,3/P n P n r n n n n n P n +-+====（）
（2）
12121P P n n <+时， 221122111//(1)(,1)/(1)P n P n r n n P n -++=+ （3）12121P P n n >+时， 112
211222//(1)(,1)/(1)
P n P n r n n P n -++=+ 若（1）成立，则说明当增加的一个席位给1系时，对1系仍然不公平，则应将席位分给1系。
若（2）或（3）成立，则需要进一步讨论，此时应比较112(,1)r n n +和221(,1)r n n +的大小，且最终席位分配给比值较大者。
不妨设112221(,1)(,1)r n n r n n +>+， 则11222211
2211
//(1)//(1)/(1)/(1)P n P n P n P n P n P n -+-+>++， 即 121212121212()()111P
P P P P P n n n n n n -
>-+++ 得 22121122(1)(1)
P P n n n n >++ 令2(1)i i i i P Q n n =+，由21211212111211212
112
121(1)11P P P PP n n n n n n P P P P P n n n n n ⎧>⇔>⎪++⎪⎨⎪>>⇒>⎪++⎩ ， 由此可知12Q Q >，此时应把席位分给1系。
4 模型求解
对于20个席位的分配方案，我们按比例将整数部分的席位分配为12310,6,3i n n n n ===，对于多余的一个席位，我们按Q 值分配法模型
计算得196.44Q =，294.5Q =，396.33Q =，1Q 值最大，故应将最后一个
席位分配给1系。
5 模型检验
由上分析知，按Q 值分配法模型计算时，1系可分得席位11个，2系可分得席位6个，3系可分得席位3个，满足条件120n
i i n ==∑，故此
分配方案是相对公平的。
6 模型应用
无论是在日常生活还是工作当中，我们经常遇到人员或物品分配公平的问题。
在实际问题中，公平分配受到多方面的限制，但对一般的影响因素不多的分配问题，用此Q 值分配法模型还是可以解决的。
7 模型优、缺点分析
优点：Q 值分配法模型比较合理的解决了实际问题，避免了在是实际问题中可能出现的席位为小数的可能，计算结果也是相对比较公平的。
缺点：此模型的建立比较繁琐，计算过程也相对比较繁杂，由四舍五入法得到的数值比较大小会降低相对公平度
8 模型的改进
应考虑向公平性更高的模型的进行探索，应用更精确的模型使结果不含小数点，且计算过程也不太复杂，并且公平性最高。
参考文献
[1]姜启源 谢金星 叶俊.数学模型（第四版）[M].北京： 高等教育出版社，2011.。