公平的席位分配等四个数学模型例子
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
常用经济管理数学模型
常用经济管理数学模型应用数学方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。
本节将结合高等数学知识介绍一些常用的经济管理数学模型，学习和了解综合运用数学知识和数学工具解决实际问题的过程和方法，达到运用数学模型为现实生活服务的目的。
一、优秀研究成果评选的公平性模型 1. 问题的提出设有N 个评委组成的评选委员会，有M 项研究成果，评委会要从中选出()m m M <项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？2.模型的构成与求解方案1 按得票多少顺序，得票较多的前m 项成果为优秀成果。
分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。
因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。
方案2 对方案1做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前m 项成果为优秀成果.分析评价：下面来分析一下方案2是否公平。
设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得x 票，x N C ≤-，则该项成果的得票率为1()xr x N C=- （1）上述结果似乎可以接受。
因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。
参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则投票率为2()x Cr x N+= (2)通过比较1()r x 与2()r x 的大小可知上述两个公式的差别。
因为当x N C <-时，恒有1()r x <2()r x .综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对1()r x 和2()r x 的折衷方案，即度量得票多少的函数()y x 应满足以下三个条件：（1）()y x 是x 的单调递增函数;（2）1()r x ()y x <<2()r x ，0,0;x N C C <<-> （3）(0)0,() 1.y y N C =-=由上述三个条件还不能唯一确定函数()y x ，但可据此定出一个相对公平、且比较简单实用的度量函数()y x 。
公平的席位分配
每席代表人数： p1/ n1
不公平
Байду номын сангаас程度
例： 120:10 100:10→2 例： 1020:10 1000:10→2 改进
改进
对A相对不公平值
rA ( n1 , n 2 ) = p1 p2 − n1 n2 p2 n2 p2 p1 − n2 n1 p1 n1
绝对不公平值 基数
对B
rB ( n 1 , n 2 ) =
模型分析
总人数 p=∑pi ，总席位 n=∑ni 按人数比例 p
ni = [
i
p
n ]
则 则
pi p p < ≤ i ni +1 n n
pi Qi = n i ( n i + 1)
2
例： 120:10 100:10→2 → 0.2 例： 1020:10 1000:10→2 →0.02
目标：rA, rB 尽量小
2、确定分配方案
假设 A,B 占有 n1,n2 席 不妨设 p1/n1>p2/n2 则 p1/(n1 +1)>p2/n2 == p1/(n1 +1)<p2/n2 对A不公平值(相对)
某校 共200人 20席 调整 人数比例 20席 实际分配 21席 实际分配
甲系 100 10 103 51.3 10.3 10 10.815 11
乙系 60 6 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙系 40 4 34 17 3.4 4 3.57 3
产生问题:分配不公
原因 20个,丙多占0.6 21个,不充分的席位都在增加
p2 (n1 + 1) rA(n1 +1,n2)= -1 p1n2 p1/n1 )>p2/(n2 +1)
公平的席位分配模型
公平的席位分配模型《数学模型》实验报告实验名称:公平的席位分配成绩:___________ 实验日期 : 2009 年 5 月 4 日实验报告日期: 2009 年 5 月 18 日一、实验目的制定相对公平的席位分配方案～使席位分配尽可能的公平～此为设计型实验。
解决一些实例～比如:甲系同学103名～乙系同学63名～丙系同学34名～共200名同学～有21个席位需进行分配～求方案如何时才最为公平, 二、实验内容根据席位的相对不公平度Qi,pi^2 /ni(ni+1),i=1,2……～席位应分配给Q值较大的一方～按此方法进行分配可以求出各个系所得的席位ni。
三、实验环境MATLAB6.5四、实验步骤为了实现多方的席位分配利用了多重循环的方法～程序如下: p=input('输入各系人数:');N=input('输入总席位数:');[x,y]=size(p);n=ones(1,y);while(N>sum(n))for i=1:yQ(i)=p(i)*p(i)/(n(i)*(n(i)+1));end[i,j]=max(Q);n(j)=n(j)+1;endn五、实验结果结果为n=11,6,4。
六、实验讨论、结论寻求公平分配席位方法的关键～是建立衡量公平程度的即合理又简明的数量指标～此模型提出的指标是相对不公平度～在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的～实验结果是成功的。
七、参考资料20个席位的分配 21个席位的分配学生人数系别学生人数的比例比例分参照惯比例分参照惯,,, 配的席位例的结果配的席位例的结果甲 103 51.5 10.3 10 10.81511 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21。
公平的席位分配问题
公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
符号设定：N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）iQ ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）Z ：目标函数方法一，比例分配法：即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。
方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若2211n p n p >则称11221222211-=-n p np n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 12112111122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11n p >22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为1)1(11),1(212111112221-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B3. 11n p >122+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为1)1(11)1,(121222221121-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r A4.11n p <122+n p ,不可能上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
席位公平分配的比例极差法及其改进方法
席位公平分配的比例极差法及其改进方法
座位公平分配比例极差法作为一种在座位分配时所采用的策略，它将每一位参
与者被分配到相同比例的座位上。
例如：A、B、C三人有80个座位可以分配，则A 获得80/3=26.7%的座位数、B获得80/3=26.7%与C获得80/3=26.7%。
传统的比例极差法存在一定的问题，例如座位数为80，比例可能会分成80/3、80/4、80/5等不同的份额，使参与者出现无中生有的状况，容易引起争端，因此，为了改变这种情况，人们提出了比例极差法的改进方法。
其一是将座位分成多个不同的比例份额，以增加参与者的分配数量，同时提供
精确的分配细节，使不同参与者分配到不同程度的座位数量。
例如，同样有80个
座位总数，通过多比例份额的分配，则可以将这80个座位分成四个比例：A：20％、B：30％、C：25％、D：25％，以此来更精确地分配该座位。
其二是采用多层次座位分配策略。
这种方法将参与者按照职业、年龄或其他标
准进行分组，以便相同的参与者可以获得相同程度的座位分配比例。
例如，A、B、
C三个群体，其中A群体有80/3=26.7%的座位，B群体有80/3=26.7%且C群体有
80/3=26.7%；而经过多层次座位分配策略处理，A群体在原有的26.7%的比例上可
以再次分配成20%、30%、30%，如此，不同参与者可以获得不同程度的分配权，也
可以有效地避免出现某种参与者突然受益的情况。
以上是座位公平分配比例极差法及其改进方法的简介，此法虽然可以很好的解
决座位分配的问题，但其也可能某些情况下产生偏差，如果要进一步改善，可以考虑采取机器学习、人工智能或者更高级的策略。
公平的席位分配模
C宿舍已具备“分配资格” 3)下面每增加一个名额，则重复如下步骤，直至A宿舍具有“分配资格”止， 不失一般性，设 pc p B ，其中m,n分别为已分配给B、C的名额数.
m 1 n 1 pc p p B A a)如果 m 1 n 1 1 ，则A宿舍仍不具备“分配资格”；B、C运用Q值 法，确定这一名额给B还是给C. b)如果 p c p A p B ，则A宿舍仍不具备“分配资格”；且C宿舍的Q m 1 1 n 1
2013-9-22
3模型的优缺点
比例加惯例法存在较大缺陷，Q值法但这种方法缺 点是要求参与分配的各方至少已有一个名额， d’Hondt法尽可能将不公平降低到最低限度，将 d’Hondt和Q值法结合起来的d’Hondt+Q值法是基 于d’Hondt法和Q值法的，后面三种方法都是基于 比例加惯例法进一步得出的,则它们互相有关联， 在一定程度上会受到影响；其次上述四种模型考 虑的实际问题太少，不具有很大的推广性.但是对 于一些简单的分配问题，可以用d’Hondt法模型进 行席位分配.
5
8 11 14
93312.0
31104.0 15552.0 9331.2 6220.8 4443.4
4
6 9 10 13
10个席位的分配，分配名额是4,5,6.
获得名额
2013-9-22
4
5
6
观察结果可得：当席位增至15人时，除了d’Hondt法分
配是3,5,7，其他三种方法3个宿舍分配的人数都是4,5,6， 相比较当3个宿舍分配的人数为3,5,7时，各个宿舍分配 到的每个席位代表的人数更接近，则席位分配更合理.
2013-9-22
3
4.995
5544.5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题提出：1. 某校组织乒乓球比赛，因报名人数较多，决 定采用单淘汰进行比赛。请问如何合理地安排赛程？ 2. 某校举办排球比赛，比赛形式为单循环赛。请问应如何 安排比赛？ 问题分析：1. 选择赛制（不同的赛制决定赛程安排的差异） 2. 比赛的总场次、比赛的轮数及轮空人数等问题
模型建立与求解：
补例3 公平的席位分配
• 最大余数法
• 按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的 席位分给余数较大的各党。 • 党名 代表选民数 整数席 余 数 • A 199,000 1 99,000 • B 127,500 1 27,500 • C 124,000 1 24,000 • D 49,500 0 49,500 余额席 总席数 1 2 0 1 0 1 1 1
因为N n N0 1
1 A nW
n
， 所以 ＝ 1 ＋A
nW
n
,
两边取对数得： ln n ln 1 A
nW
补例2
洗衣节水问题
若取定＝0.018， A W 4 ，即总水量与衣服中残留水量之比 4 为4 :1。则有 ln 0.018 n ln 1 。由近似计算公式得 n
每两场间隔场次
3+3+3+3+3+3＝18 4+4+4+3+2+2＝19 2+4+4+4+3+2＝19 4+4+3+2+2+2＝17 2+2+4+4+4+3＝19 4+3+2+2+2+4＝17 2+2+2+4+4+4＝18 3+2+2+2+4+4＝17
18 8 4
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
2 在第二阶段：C6 15 场
一共比赛的场ห้องสมุดไป่ตู้为100+15＝115场。
补例1 赛程安排问题
用 Ai , i 1...8 表示八支代表对，则 A1——A2 A3——A4 A5——A6 A7——A8 A1——A3 A5——A2 A7——A4 A8——A6 A1——A5 A7——A3 A8——A2 A6——A4 A1——A7 A8——A5 A6——A3 A4——A2
N1 N0 W W W1 (1)
补例2 洗衣节水问题
仿此，可得第二次漂洗时的浓度
Q2 N1 W W2 N1 W W W2
此时拧干残留的污物为
N 2 Q2 W (2)
依此类推，可得第 n 此漂洗之后，衣服上的残留污 物量为
N n 1 Nn W W Wn (n 1, 2,3, ) (3)
补例3 公平的席位分配
• 洪德(dHondt)规则
• 分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、 3、…除，按所有商数的大小排序，席位按此次序 分配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给 A党3席、给D党0席也是合理的。 • 除数 A党 B党 C党 D党 • 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 • 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 • 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 • 4 49,750 31,875 － － 总席位 3 1 1 0
补例2 洗衣节水问题
我们引入洗涤剂的浓度概念 Qi（单位质量水中所含的 污物质量）（ Qi 表示第 i 次漂洗污物的浓度），第一次漂 洗时的浓度为
Q1 N0 W W1
我们引入洗涤剂的浓度概念 （单位质量水中所含的污 N1 物质量）（ 表示第 次漂洗污物的浓度），第一次漂洗 N1 Q1 W 时的浓度为
A1——A8
A6——A7 A4——A5
A1——A6
A4——A8 A2——A7
A1——A4
A2——A6 A3——A8
A2——A3
A3——A5
A5——A7
补例1 赛程安排问题
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A1 A2 1 1 5 20 25 16 9 6 21 26 13 23 17 11 A3 A4 A5 5 25 9 20 16 6 2 24 2 19 24 19 15 12 3 10 7 28 27 22 14 A6 21 26 15 12 3 A7 13 23 10 7 28 18 A8 17 11 27 22 14 8 4
我们将它总结为以下定理： 定理： 在总用水量一定的条件下，平均分配每次加水量， 实现的洗涤效果最好。
补例2 洗衣节水问题
证： 因为W1 W2
Wn A ，所以 A Wn 1 n 为定值。 W W W 1 n W Wn 1 W (6) W1 W2 1 1 W W 由均值定理得 W1 W2 1 1 W W n W W n 1 1 1 2 W W
例1：某校有11位同学参加围棋单淘汰赛，应该进行几场比赛？
补例1 赛程安排问题
二、单循环赛： 单循环赛就是参加比赛的每一个人都要和其他人比赛一次， 然后根据总体成绩排定名次。如果和其他人比赛两次，则 称为双循环赛。 设有n队参加比赛，则每队都要与其余的n－1支队分别比 赛一场。当n为偶数时，则要举行n－1轮比赛；当n为奇 数时，则要举行n轮比赛，且每轮有1队轮空 定理：设有n队参加比赛，则比赛的总场数是 Cn 场。 例2：某校共有26个班，举行排球比赛，在不同的赛制下各要 比多少场？
（5）式还可以改写为
N0 Nn W1 W2 1 1 W W Wn 1 W
洗衣服的目的是要使污物越来越少，即在漂洗过程中洗涤剂 浓度越来越少，转化为数学语言就是在一定条件下，如何选 取 W1,W2 , ,Wn 方能使 N n达到最小。
补例1 赛程安排问题
所以一共要比赛：
(n 2k 1 ) (2k 1 1) n 1
方案2：设有n人报名参赛，每一轮允许有轮空现象。 则存在一个正整数 k，使得
2k 1 n 2k
若本轮比赛的人数为偶数，则没有轮空 ； 若人数为奇数，则有1人轮空。 从而比赛轮空的人数不大于k－1人
一、单淘汰赛： 方案1. 允许在第一轮中有轮空现象 方案2. 在每一轮都要保证尽可能多的 运动员参赛
补例1 赛程安排问题
方案1：设有n人报名参赛，下面对n为不同的值进行讨论。
k n 2 k Z ，第一轮比赛有2 k 1 场，…1/4决赛有 （1）若 22 场，半决赛有2场，冠亚军比赛1场，合计（场）：
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
4 1 4 2 1 4 3 4 n 3 n n 2 n
解得n 3
洗涤的次数大约为3，即洗涤3次可使衣服洁净到一定程度， 这一结果与我们生活实际情况也是相符的。
补例3 公平的席位分配
• 一. 比例代表制
• 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民， 各政党的选民数为： • A党：199,000 B党：127,500 • C党：124,000 D党： 49,500 • 要选出5名代表： • A党：2席 B党：1席 • C党：1席 D党：0席 • 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
补例2 洗衣节水问题
问题分析：
衣服洁净的问题实际上是比较复杂的，它不仅有物理 原理，还有化学原理（如果是洗衣机，则与机械原理 有关）。 其基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过 脱水而荡涤污物。 节水目标为在一定量的用水条件下，在洗衣过程中如何 合理地分配这些水，使得能达到把衣服洗净的目的。
补例2
i 1, 2,
洗衣节水问题
, n ，即每多洗涤一次，污物就少一些。实际上
Nn N0 1 A nW
n
模型分析：从残留在衣服中污物量的浓度变化可知 Qi Qi 1 在每次洗涤加水量相同的条件下，由(5)式得
(7)
N n 关于 n 是单调递减的函数。即漂洗衣服最好少量多次。
下一个问题：是否在用水量一定的条件下，洗涤的次数足够 多，便可以使 N n 趋向于零，即衣服的污物被完全清除呢？ 即当 n 趋向于无穷大时， N n是否趋向于无穷小？
补例2 洗衣节水问题
因为 lim 1 1
n
n
n
e，所以当n趋于无穷大时， (7)式分母
趋于e W。
当n趋于无穷大时，Nn的极限存在，并有
lim Nn N0 e
n A W
A
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论: 如何确定洗涤的次数 n 。 先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与 第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0 我们用 来反映衣物洗净的清洁程度。