数学建模对公平的席位分配问题的一点补充
公平分配问题 数学建模
公平分配问题摘要公平分配问题是生活中常遇到的问题。
对于企业、公司、学校、政府部门多能解决的实际问题。
公平分配的原则就是让每个人多能得到同等的对待。
而考虑到时记得多重因素下，传统的平均分配的方法往往不能较好的解决其中的公平问题，很多时候根本没有公平的分配方法。
我们需要另寻其他方法。
我们将以Q值法进行逐一分析与检验，使得得出一个最佳的合理方案。
即：使得各自的分配最公平。
关键词：公平分配最佳方案最公平班级：姓名：学号：问题重述三人合作承包了1000件物品的搬运工作，总收入为20元(假设最小单位为元) 。
工作完成后，甲搬运了 515 件，乙搬运了 315件，丙搬运了170件。
分别应得收入10.3, 6.3, 3.4 元。
因为最小单位为元, 因此三人各自拿了应得的整数部分后, 剩下1元归应得数中小数最大的一位丙。
即分别收入10元，6元，4元。
由于三人表现较好，提前完成了搬运工作。
货主作为奖励，搬运费支付了21元钱。
于是甲提议重新分配收入。
21 元按完成工作量各自应得 10.815, 6.615, 3.57元。
取整数后，按小数大小分配剩余，分别得分配收入11元，7元，3元。
回答下列问题：（1）上分配方案是否公平？为什么？（2）建立数学模型确定分配方案．符号说明A、B 某人pA搬运的货物数量1pB搬运的货物数量2n1搬运p数量的货物的报酬1n2搬运p数量的货物的报酬2P 衡量不公平程度r A(n1,n2) 相对于A的不公平值r B(n1,n2) 相对B的不公平值Qk对应的人的报酬的Q值KQ甲对应的Q值的大小1Q乙对应的Q值的大小2Q丙对应的Q值得大小3基本假设假设两个人分配，分配方法就会趋于简单更便于我们对问题的处理。
故假设两个人分配的的分配问题，先从两个人入手，对一般问题的讨论。
有一般推广，并运用于多对象问题的讨论。
模型设计先讨论两个人公平分配报酬问题的情况，如下图。
要满足公平，应该有np np 2211=但这一般不成立。
席位分配问题数学建模
席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。
为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。
一、问题描述假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。
每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。
具体问题包括：1. 参与者数量和席位数量2. 参与者的资格和需求3. 席位分配的规则和标准二、数学建模为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：1. 参与者集合P：表示所有的参与者。
2. 席位集合S：表示所有的席位。
3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。
4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。
5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。
根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）约束条件：1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。
2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。
3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。
4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。
三、求解方法根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。
这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。
2. 优化算法：使用优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过不断迭代找到最优解。
这种方法需要一定的编程知识和技能，但通常能够快速找到满意的解。
3. 启发式算法：使用启发式算法如模拟退火、蚁群算法等，通过不断尝试找到满意解。
这种方法相对简单易行，但可能无法找到最优解。
4. 数学软件求解：使用专门的数学软件如Matlab、Python等，通过编程求解上述数学模型。
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
车位分配问题 数学建模
停车场车位分配问题研究一． 摘要某写字楼的停车位数目一定，主要提供写字楼办公人员办卡包年或包月使用，为了使停车场空置率减少，以及免于有卡却没有车位产生冲突的尴尬，我们必须对停车流量进行模拟分析，建立合理的最佳的车位分配管理方法，并得到最大的收益。
首先对附表中数据进行分析，因为我们得到的是四月份的停车流量，为了方便分析研究，我们应该把数据转化为停车量。
我们从中引入了概率进行模拟。
假设停在停车场中的车辆在各个时间段离开是按照泊松分布，即可分别求的到来的和离开的车辆数目，就可以方便得得到停车量这个关键的数据。
分析结果如下表所示：定义冲突概率1212iα=-，i I 为第i 个时间段进入停车场的车辆数目。
由于第四时间段为停车高峰期，因此原则这一时间段进行分析。
样本服从正态分布，用3δ原则，即可求出当0.05α<时的最大售卡量为240张。
制定更好的车位分配方案时则将卡的种类分为年卡和月卡，通过设定年卡和月卡的价格来控制相应的销量，从而使收益最大。
运用边际函数相关知识，设立目标函数和约束条件，用Lingo 软件即可计算出当0.05α<时年卡和月卡最佳销售价格以及张数如下表所示：关键词：泊松分布，正态分布，边际函数二．问题分析与重述问题一：题目要求模拟附表中停车流量，分析停车量的统计规律。
停车流量与停车量是两个不同的概念，要分析停车量的统计规律就必须弄清楚来到停车场的车辆数目以及离开停车场的车辆数目。
而题目所给的条件中我们只知道停车流量，也就是车离开与来到的总的次数，因此我们假设车的离开服从泊松分布，运用概率来求出单位时间内车辆离开的数目，这样也就可以知道单位时间内车辆到来的数目，它们两者的差值也就是我们所要求的停车量。
α=情形下，计算最大售卡量。
问题二：定义冲突概率，求若冲突概率低于0.05根据附表中停车流量数据，以及上题对停车量的分析，我们可以知道在第四个时间段，即早上9:00—10:00停车量是最多的，也就是在这段时间产生冲突的概率是最大的，为了计算最大售卡量，我们就取这段时间进行分析。
数学模型 数学论文指导 初等模型分配问题
情形1 情形2
p1 p2 ， n1 1 n2
p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。
说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
r B (n 1 1 ,n 2 ) p 2n p 2 1 (n p 1 1 (1 n ) 1 1 ) p 2 ( p n 1 1 n 21 ) 1
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
10 6 4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
10 6 4
现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果
m]
❖ （即“比例加惯例”的方法）。
❖ (2) 若 r1 r2 ，则取得结果同上.
❖ (3) 若
r1 r2 ，则取
p1
A
17
❖ 按照定理，对三个部门，设全不为零（若有 一个为零，实则按两个部门进行分配），可 以做以下公平的分配
A
18
❖ 当 r1 r2 r3 时；按比例取整后，多余的席位
分配给小数部分较大的部门（比例加惯例的方 法）。
❖ 当 r1 r2 r3 时；按比例取整后，若多余一个 席位，则分配给第一个部门，若多余两个席位， 则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部 分较大的部门。
A
19
❖ 当时 r1 r2 r3 ；按比例取整后，若多余一个 席位，则分配给第一、二部门中小数部分较 大的部门，若多余两个席位，则分配给第一 部门和第二部门。
数学建模论文-席位公平分配问题
数学建模论文-席位公平分配问题数学建模论文(席位公平分配问题)席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词:数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt(汉丁顿)模型1目录一、问题重述与分析: ................................... 3 1.1问题重述: ........................................ 3 1.2问题分析: ........................................ 3 二、模型假设 .......................................... 4 三、符号说明 .......................................... 4 四、模型建立: ........................................ 5 4.1公平的定义: ...................................... 5 4.2不公平程度的表示: ................................ 5 4.3相对不公平数的定义: .............................. 5 4.4模型一的建立:(比例分配模型) ...................... 6 4.5模型二的建立:(d'hondt模型和Q值模型) (6)五、模型求解 .......................................... 8 5.1模型一求解: ...................................... 8 5.2模型二的求解: .................................... 8 六、模型分析与检验 ..................................... 9 七、模型的评价: ...................................... 11 7.1、优点: ......................................... 11 7.2、缺点: ......................................... 11 7.3、改进方向: ..................................... 11 八、模型优化 ......................................... 11 九、参考文献 (12)2一、问题重述与分析:1.1问题重述:三个系学生共200名(甲系100，乙系60，丙系40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
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对公平的席位分配问题解法的一点补充
222008314011010 刘欢
08数统一班
为叙述简单，仍然采用书中的例子如下
一．提出问题：
某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。
若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。
现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。
按比例并参照惯例的席位分配。
由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。
显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。
请问：如何分配才算是公平？
二．书中模型 用Q 值法求解如下
设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。
但人数为整数，通常1122≠p n p n 。
这时席位分配不公平，且
/p n 较大的一方吃亏。
当1122>p n p n 时，定义
1122
1222
-=
(,)A p n p n r n n p n （1）
为对A 的相对不公平值。
当1122<p n p n 时，定义
2211
1211
-=
(,)B p n p n r n n p n （2）
为对B 的相对不公平值。
要使分配方案尽可能公平，制定席位分配方案的原则是使12(,)A r n n 和12(,)B r n n 都尽可能小. 假设，A B 两方分别占有1n 和2n 席，利用相对不公平值A r 和B r 讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A 还是B 。
不妨设1122>p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况：
(1) 当
22
1>+11p p
n n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当
22
1<+11p p
n n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 211212
11-1 ++=
()
(,)B p n r n n p n （3）
(3)当
221
>+11p p
n n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为
121221
11-1 ++=
()
(,)A p n r n n p n （4）
因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果
121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5）
则这1席给A 方，反之这1席给B 方.
由(3)(4)可知，(5)等价于
2
1222211<
11++()
()
p p n n n n （6）
不难证明上述的第(1)种情况
22
1>+11p p
n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。
若记
2, =1,2
1=
+()
i i i i p Q i n n
则增加的1席给Q 值大的一方.
上述方法可以推广到有m 方分配席位的情况.设第i 方人数为i p ，已占有i n 个席位。
当总席位增加1席时，计算
2, =1,2
1=
+()
i i i i p Q i m n n ，，
则增加的1席应分配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q 值法。
下面用Q 值法讨论甲乙丙三系分配21个席位的问题.先按照比例将整数部分的19席分配完毕,有1231063===n n n ，，。
再用Q 值法分配第20席和第21席。
分配第20席，计算得
21103=96.41011=⨯Q ，2263=94.567=⨯Q ，2
334=96.334
=⨯Q
1Q 最大，于是这1席应分给甲系.
分配第21席，计算得
21103=80.41112=⨯Q ，2263=94.567=⨯Q ，2
334=96.334
=⨯Q
3Q 最大，于是这1席应分给丙系. 三．解法补充
1.S 值法
将
/p n 看做平均数，要求使
1
n
i i i p p S n n
==
-∑
的值最小。
这种方法类似于求
方差最小的方法，计算起来也相对简单。
下面来用这个方法解决上述问题。
现设三系分别得到了10,6,3个席位，先来分配第20个席位：
2001020
p n == 1110310.310p n ==；226310.56
p n ==；333411.333p n ==
(1)
若将第20个席位分给甲系，则
111039.3611
p n ==，S=0.64+0.5+1.33=2.47 (2)
若将第20个席位分给乙系，则
226397
p n ==，S=0.3+1+1.33=2.63 (3)
若将第20个席位分给丙系，则
33348.54
p n ==，S=0.3+0.5+1.5=2.3 所以第20席应分给丙系，这与前面的Q 值法是不同的。
下面分配第21个席位，方法同上
2009.5221
p n == 1110310.310p n ==；226310.56p n ==；33348.54
p n == （1） 若将第21个席位分给甲系，则
11103
9.3611
p n ==，S=0.16+0.98+1.02=2.16 （2） 若将第21个席位分给乙系，则
2263
97
p n ==，S=0.78+0.52+1.02=2.32 （3） 若将第21个席位分给丙系，则
3334 6.85
p n ==，S=0.78+0.98+2.72=4.48 所以第21席应该分给甲系，各系分别获得11,6,4席位，与之前的结果相同。
这种解法的优点是能够保证总体的上的一种平衡。
2.根据i
i
p n 的大小来分配
即将增加的一席分给
i i
p n 最大的一方，根据上面的计算，第20席应分给丙系，第21席则应分
给乙系，因此得到的最终结果为甲乙丙分别获得10,7,4个席位。
这与上面两种的结果虽然不同，但没有损害到任何一系的既得利益，因此也是可以的。
四．总结
虽然绝对公平的分配方法是不存在的，但上面几种解法都可以保证不出现总席位增加而某一方的席位数却减少的情况，因此都是可行的。
对于席位分配模型还有需对其他解法，如最大概率论等，都比较复杂，在这里只是讨论了一些相对简单的解法。