数学建模 席位分配问题
席位分配问题数学建模
席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。
为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。
一、问题描述假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。
每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。
具体问题包括：1. 参与者数量和席位数量2. 参与者的资格和需求3. 席位分配的规则和标准二、数学建模为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：1. 参与者集合P：表示所有的参与者。
2. 席位集合S：表示所有的席位。
3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。
4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。
5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。
根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）约束条件：1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。
2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。
3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。
4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。
三、求解方法根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。
这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。
2. 优化算法：使用优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过不断迭代找到最优解。
这种方法需要一定的编程知识和技能，但通常能够快速找到满意的解。
3. 启发式算法：使用启发式算法如模拟退火、蚁群算法等，通过不断尝试找到满意解。
这种方法相对简单易行，但可能无法找到最优解。
4. 数学软件求解：使用专门的数学软件如Matlab、Python等，通过编程求解上述数学模型。
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
教室座位选择问题(数学建模)
第十届“新秀杯”校园数学建模竞赛论文题目：教室座位选择摘要本文研究了关于西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。
我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际，合理假设，建立模型进行求解，旨在找出最适合听课的座位。
本篇论文我们通过仔细读题，确认该题属于数学规划最优解模型。
在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角，仰角两个决策指标，所以我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表示视角α和仰角β，使用了满意度函数f (β,α)来衡量不同位置同学们满意度，以得到最佳位置。
为了消除两项决策指标的量纲不同的影响，我们用变异系数法来衡量各项指标的权重大小，其中定义│β-6│和αmax -α为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变量，而满意度函数值f (β,α)函数值越小，则表示该座位越合适。
因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在普通教室和阶梯教室最小值点均在第二排处取得。
紧接着，我们又绘制了满意度函数与座位数n 的函数图像进行验证。
最后我们可以得到结论，普通教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。
问题二在问题一的基础上增加了一个决策指标L ，我们在问题一的决策指标基础上增加了一个新的决策变量L ，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g (β,α,L)最小值点的求解，我们解得：普通教室g (β,α,L)最小是在第一排取得，阶梯教室g (β,α,L)最小也是在第一排处取得。
我们又绘制了满意度函数g (β,α,L)与座位排数n 的图像进行验证，综上，我们得出普通教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。
本文最大的特色在于：通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来，作为座位的属性，给出了衡量舒适度的方法。
此种数学模型能够帮助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。
关键词：满意度函数 变异系数法 MATLAB 软件一．问题提出自高中升入大学，许多学生一下子从紧的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。
数学建模方法总结
1.席位分配问题(宿舍分配问题)：比例模型、Q值法、d’Hondt法。
席位分配模型中, 按比例分配法存在较大缺陷, D’Hondt 法不能解决不公平的大小问题, Q 值法不能解决“分配资格”问题。
2.人员分配：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件
3.贫困生认定工作：模糊综合评价理论, 模糊评价；聚类分析；综合评价
数学建模算法：蒙特卡罗算法，数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法，线性规划、整数
规划、多元规划、二次规划等规划类算法，图论算法，动态规划、回溯搜索、分支定界
最优化理论三大经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算。
数学建模论文-席位公平分配问题
数学建模论文-席位公平分配问题数学建模论文(席位公平分配问题)席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词:数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt(汉丁顿)模型1目录一、问题重述与分析: ................................... 3 1.1问题重述: ........................................ 3 1.2问题分析: ........................................ 3 二、模型假设 .......................................... 4 三、符号说明 .......................................... 4 四、模型建立: ........................................ 5 4.1公平的定义: ...................................... 5 4.2不公平程度的表示: ................................ 5 4.3相对不公平数的定义: .............................. 5 4.4模型一的建立:(比例分配模型) ...................... 6 4.5模型二的建立:(d'hondt模型和Q值模型) (6)五、模型求解 .......................................... 8 5.1模型一求解: ...................................... 8 5.2模型二的求解: .................................... 8 六、模型分析与检验 ..................................... 9 七、模型的评价: ...................................... 11 7.1、优点: ......................................... 11 7.2、缺点: ......................................... 11 7.3、改进方向: ..................................... 11 八、模型优化 ......................................... 11 九、参考文献 (12)2一、问题重述与分析:1.1问题重述:三个系学生共200名(甲系100，乙系60，丙系40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
数学建模席位分配
情形2
说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
情形3
说明当对A 不公平时，给B 单
位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
则这一席位给A 单位，否则给B 单位。
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。
若A、B两方已占有席位数为
按Q值方法：
甲1 2 2 3 4 … 乙1 1 2 2 2 … 丙1 1 1 1 1 …
甲：11，乙：6，丙：4
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
记
则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法。 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 方人数为 ，已占有 个席位， 当总席位增加1 席时，计算
则1 席应分给Q值最大的一方。从
开始，即每方
至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把 它排除在外。）
5 举例
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？
丙
40
4
40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
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存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平 的分配席位的方案？
2 建模分析
目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
rB (n1
1, n2 )
1
p1n2 p2 (n1 1)
rA (n1, n2
1)
1
p2n1 p1(n2 1)
rB (n1 1, n2) rA(n1, n2 1),
p1n2 p2n1
p2 (n1 1) p1(n2 1)
p2
p2
2
1
n2 (n2 1) n1(n1 1)
(*)
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，反之，应分配给B单位。
甲：11，乙：6，丙：4
模型分析
►存在公平的分配方法么？
1）比例加惯例法（H法）——悖论 2）Q值法——存在不合理 3）其它方法：D’hondt方法 理想化原则——不存在完全“合理”的分配 方法
练习
系 人数Pi 比例分配 A 9215 92.15 B 159 1.59
C 158 1.58 D 157 1.57 E 156 1.56 F 155 1.55 总和 10000 100
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 100 100/200 (50/100)•20=10
乙
60
丙
40
60/200 40/200
(30/100)•20=6 (20/100)•20=4
席位数 10 6 4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别 人数 所占比例
分配方案
席位数
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3
情形1 情形2
p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。
p1 p2 ， n1 1 n2
说明当对A不公平时，给A单 位增加1席，对B又不公平。
计算对B的相对不公平值
情形3
rB (n1 1, n2 )
p2
n2 p1 (n1 1) 1 p2 n2
1032 Q1 1(1 1) 5304.5,
1032 Q1 2(2 1) 1768.2
632 Q2 1(1 1) 1984.5,
632 Q2 1(1 1) 1984.5,
342 Q3 1(1 1) 578
342 Q3 1(1 1) 578
1032 Q1 2(2 1) 1768.2
甲
100
10
100/10=10
乙
60
6
60/6=10
丙
40
4
40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11
103/11=9.36
乙 63
10
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
6
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
4
Halmiton(1790)
现象1
丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）
先按整数分配 再按余数较大者
分配
由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一 个席位。
21个席位的分配结果（Halmiton方法）
若A、B两方已占有席位数为 n1, n2 ,
记
Qi
pi2 ni (ni 1)
i 1,2
则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。
这样的分配席位的方法称为Q值法。
4 推广 有m方分配席位的情况
设 Ai 方人数为 pi ，已占有 n个i 席位，i 1,2,, m
当总席位增加1席时，计算
Qi
pi2 ni (ni 1)
表示每个席位代表的人数，总人数一定时， 此值越大，代表的人数就越多，分配的席位 就越少。
则A吃亏,或对A是不公平的。
定义“相对不公平度”
若
p1 p2 ，则称 n1 n2
rA (n1, n2 )
p1
n1 p2 p1 n1
n2
对A的相对不公平值；
若
p1 p2 ，则称 rB (n1, n2 )
n1 n2
p2
n2 p1 p2 n2
n1
对B的相对不公平值；
3 模型构成
建立了衡量分配不公平程度的数量指标 rA , rB
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。
若A、B两方已占有席位数为n1, n2 ,
用相对不公平值讨论当席位增加1个时， 应该给A还是B方。
不失一般性，若 p1 p2 ， 有下面三种情形。 n1 n2
n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
A
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
102
102-100=2
D
1000 10
100
C,D的不公平程度大为改善！
2） 相对不公平
p n p1 p2 n1 n2
7
63/7=9
丙 34
3
34/3=11.33
公平程度 中 好 差
一般地，
单位 人数 席位数 每席位代表的人数
A p1 n1 B p2 n2
p1 n1
p2 n2
当
p1 p2 n1 n2
席位分配公平
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以 下标准来判断。1) p p2 称为“绝对不公平”标 准。
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）
p1n2 p2 (n1 1)
p1 p2 ， 说明当对A不公平时，给B单 n1 n2 1 位增加1席，对A不公平。
计算对A的相对不公平值
rA (n1, n2 1)
p1
n1 p2 (n2 1) 1 p1 n1
p2n1 p1(n2 1)
若rB(n1 1,n2) rA(n1,n2 1), 则这一席位给A单位，否则给B单位。
2.3 公平的席位分配
1 问题的提出（美国宪法 1788）
某校有200名学生，甲系100名，乙系60 名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位， 问三系各有多少个席位？
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
i 1,2,, m
则1席应分给Q值最大的一方。
从 ni 1 开始，即每方至少应得到1席，
（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）
5 举例
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个
席位，如何分配？ 按Q值法： Qi
pi2 ni (ni 1)
i 1,2,3
n1 1, n2 1, n3 1
参照惯例分配 92 2 2 2 1 1 100
Q值法 92 2
2 2 1 1 100
d’Hondt方法
有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法：
用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数， 从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的 结果），这n 个数中哪个单位有几个所 分席位就为几个。
/1 /2 /3 /4 /5 /6 /7 /8 /9 /10
A 103 61.5 34.3 25.75 20.6 17.2 14.7 12.875 11.4 10.3
B 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9
C 34 17 11.3 8.5 6.8
21席 位
构造分析方法建模
►进行量化处理，需要构造度量 ►构造度量遵循原则： 1）严谨，公平，有公信力； 2）尽量简单，便于操作； 3）能准确反映各方差异。 ►扎实的数学功底及开创性思维
632 Q2 2(2 1) 661.5
342 Q3 1(1 1) 578
1032 Q1 3(3 1) 888.4
632 Q2 2(2 1) 661.5
342 Q3 1(1 1) 578
甲 1 4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 乙 1 5 8 12 14 18 丙 1 9 15 21