公平的席位分配
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
公平的席位分配
(i=1,2, … ,即m当) 总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）
Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是 B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公 平
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之
m),
一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm)
法 人数
A方 p1 B方 p2
席位 n1 n2
当p1/n1= p2/n2 时，分配公 平 若 p1/n1> p2/n2 ，对A 不公 平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15
pp22=/np1210=/0n1,10–np2=2/1n02,=5
虽二者的绝对 不公平度相同
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
系 Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
公平席位分配方法
某学校三个系共200名学生，其中甲系 100名，乙系60名，丙系40名. 若学生代表 会议设20个席位，公平而又简单的席位分配 办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙 三系分别应占10，6，4席位。 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系 人数如下表第二列所示
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例， 找到衡量公平分配席位的指标，并由此建 立新的分配方法。 建立数量指标 设两方人数分别 p1 和 p2 ， 占有 席位分别是 n1 和 n2 ，则两方每个席位代表 的人数分别为 p2 n2 和 p2 n2 ，显然仅当
一般假设 p1 n1 > p2 n2 ，即对A不公平，当再分 配一个席位时， 关于 pi ni (i = 1, 2) 不等式有三 种情况：
公平分配席位的原则是使得相对不公平值 尽可能地小，所以如果 rB ( n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1) 则这一席应分给A方，反之则应分给B方。 事实上，第一种情况也包含在上式中。 p22 n2 (n2 +1) < p12 n1(n1 +1)
模型推广：m方分配席位的情况. 设第i 方人数为 pi ，分配席位为 ni ，当总席位增 加1席时，计算
pi 2 Qi = , i = 1, 2, ..., m n i ( n + 1)
应将1席分给最大一方-------Q值法
1.作业：用Q法重新讨论甲乙丙三系分配 21席问题。
p1 n1 = p 2 n2
因为人数和席位都是正数，但通常有 p1 n1 ≠ p2 n2 这时席位分配不公平，且 p i n i 的数值较大 的一方吃亏，或者说对这一方不公平。
假设 p1 n1 > p 2 n2 ，不公平程度可 以用 p1 n1 − p 2 n2 衡量。 1. p 1 = 1 2 0 , p = 1 0 0 , n1 = n 2 = 1 0 2. p 1 = 1 0 2 0 , p 2 = 1 0 0 0 , n1 , n 2 不变 设 p1, p 2 为A，B 两方固定人数， n 1 , n 2 两方 分配席位（可变）。
公平的席位分配
Q值法推广：当有m方，第i方人数 pi ，占有 ni 席位， 当总席位增加1席，计算
pi2 Qi ni (ni 1)
应将席位分给Q值最大的一方。
问题解决
先按比例计算结果将整数部分的19席分配完，有 n1 10, n2 6, n3 3 ，再用Q值法分配第20，21 席。
1032 632 342 第20席：Q1 , Q2 , Q3 , Q1最大分给甲。 1011 6 7 3 4 1032 第21席：Q1 , Q2 , Q3不变, Q3最大分给丙。 1112
公平的席位分配
问题背景
某校有3个系共200名学生，甲乙丙系各100， 60，40名。若学生代表席位设20个席位。 公平而简单的席位分配办法：按学生人数 的比例分配。 分配结果（席位）：甲10；乙6；丙4。
若甲乙丙系人数分别：103、63和34，20个 席位如何分配？ 若上述人数不变，增加一个席位，分配结 果如何？ 这个结果对丙系太不公平，总席位增 加1席，而丙系席位却由4席减少为3席位。 找到衡量公平分配席位的指标，丙建立新 的分配方法。
练习
学校共1000名学生，235人住在A宿舍， 333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 门要组织一个10人的委员会，使用下列办 法分配各宿舍的委员数。 （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名 额按惯例分给小数部分较大者。 （2）用Q值法
（3）d’Hondt法：将A,B,C各宿舍的人数用 n=1，2，3等相除，其商如下
p1 p2 n1 n2 1
公平分配的原则：使得相对不公平度尽可能地小
若 rB (n1 1, n2 ) rA (n1 , n2 1) ，则席位分给A；反之分给B。 Q值法 2 2
公平的席位分配
每席代表人数： p1/ n1
不公平
Байду номын сангаас程度
例： 120:10 100:10→2 例： 1020:10 1000:10→2 改进
改进
对A相对不公平值
rA ( n1 , n 2 ) = p1 p2 − n1 n2 p2 n2 p2 p1 − n2 n1 p1 n1
绝对不公平值 基数
对B
rB ( n 1 , n 2 ) =
模型分析
总人数 p=∑pi ，总席位 n=∑ni 按人数比例 p
ni = [
i
p
n ]
则 则
pi p p < ≤ i ni +1 n n
pi Qi = n i ( n i + 1)
2
例： 120:10 100:10→2 → 0.2 例： 1020:10 1000:10→2 →0.02
目标：rA, rB 尽量小
2、确定分配方案
假设 A,B 占有 n1,n2 席 不妨设 p1/n1>p2/n2 则 p1/(n1 +1)>p2/n2 == p1/(n1 +1)<p2/n2 对A不公平值(相对)
某校 共200人 20席 调整 人数比例 20席 实际分配 21席 实际分配
甲系 100 10 103 51.3 10.3 10 10.815 11
乙系 60 6 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙系 40 4 34 17 3.4 4 3.57 3
产生问题:分配不公
原因 20个,丙多占0.6 21个,不充分的席位都在增加
p2 (n1 + 1) rA(n1 +1,n2)= -1 p1n2 p1/n1 )>p2/(n2 +1)
席位公平分配问题q值法的改进
席位公平分配问题q值法的改进随着社会的不断发展和进步，人们对于公平的追求也越来越强烈。
在各种社会活动和组织中，公平的分配问题一直备受关注。
席位公平分配问题作为一个重要的社会组织问题，一直以来都备受人们关注。
q值法作为目前解决席位公平分配问题的一种常用方法，然而在实际应用中却存在一些问题和不足。
如何改进q值法成为了当前亟待解决的一个问题。
1. q值法的基本原理q值法是一种基于权重的席位分配方法。
其基本原理是根据各个参与方的权重大小来确定席位的分配比例。
通常情况下，权重越大的参与方获得的席位数量也就越多。
这种方法在一定程度上确实能够体现参与方的重要性和影响力，但在实际应用中往往会出现一些问题。
2. q值法存在的问题q值法在确定权重时往往是基于主观判断的，缺乏客观的依据。
这就导致了权重的不确定性和不公平性，容易受到人为因素的影响。
q值法只是简单地依据权重来分配席位，忽略了其他可能存在的因素。
这就导致了分配结果可能并不合理和公平，无法充分考虑参与方的各种需求和意见。
再次，q值法在实际应用中往往面临的是计算复杂度较高的问题，尤其是在参与方众多、权重差异较大的情况下，很难进行准确而高效的计算。
q值法在解决席位公平分配问题时存在一些问题和不足，需要进行改进和优化。
3. q值法的改进方向为了解决q值法存在的问题，可以从以下几个方面进行改进：（1）建立客观评价体系。
可以通过建立客观的评价标准和体系来确定参与方的权重，以减少人为因素的干扰和影响，确保权重的客观和公正。
（2）综合考虑多种因素。
除了权重以外，还可以考虑其他多种因素来确定席位的分配比例，如参与方的历史贡献、实际需求等，以更全面地体现参与方的重要性和影响力。
（3）优化计算方法。
可以通过引入一些优化算法和技术，来提高席位分配的计算效率和准确性，特别是在复杂情况下的应用，能够更好地满足实际需求。
4. q值法的改进实践针对上述改进方向，可以通过实际案例和实践进行验证和应用。
公平席位的分配
公平席位的分配数学(2)班学号 0907022022 高泽标摘要：讨论公平席位分配的模型已有很多。
本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt 法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数（绝对不公平度）的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条关键词：相对尾数 Balinsky & Young不可能定理正文1 问题复述公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。
处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法；后来出现了Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的；因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。
这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。
2 模型假设2.1 合理假设2.1.1 比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知；2.1.2 各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变；2.1.3 委员分配以各宿舍人数为唯一权重。
2.2 符号约定3 模型的建立及求解3.1按比例加惯例模型分配根据比例加惯例分配模型的原理表3.2按Q 值法模型分配首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式 C B A i ,,=对剩下的名额进行分配表2（Q 值法分配结果）：3.3 D ’hondt 模型 3.3.1 模型建立设，分别表示宿舍总人数和总分配席位数，(1,2,3i =)表示各宿舍人数，令(1,2,3,1,2,...i j ==)，则得到一个数列{}ij a ，将该数列按递减顺序重新排列，得到{}()k ij a ，其中()k ij a 表示{}()k ija 中第大的项。
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公平的席位分配
姓名：仇嘉程 班级：数学与应用数学（2）班 学号：0907022010
摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部
门都能解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、
等的具体座位。
本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状
态。
我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对
不公平度的定义，采用了最大剩余法模型和Q 值法模型，通过检验2种模型的
相对不公平度来制定比较合理的分配方案。
关键词：不公平度指标、Q 值法、最大剩余法
一、问题的提出：
某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
问题一：若学生代表会议设20个席位，如何公平席位分配？
问题二：丙系有6名学生转入甲乙两系，其中甲系转入3人，乙系转入3人，
又将如何公平的分配20个学生代表会议席位？
三、模型的建立：
模型1——比例分配法，若使得公平席位分配，最公平简单且常用的席位分配办
法是按学生人数比例分配：
某单位席位分配数 = 某单位总人数比例´总席位
即： (1,2,3...)i i p P i n N N ==，其中1n i i N N ==∑ 1n
i i P P ==∑ 但是在实际生活中，若按模型1来计算，由于席位数不同，很难使得到的结果为
整数，因此模型1难以成立，即绝对公平难以成立，我们需要寻求可能相对公平
的分配方案。
模型2——最大剩余法，如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。
某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。
它的最初学生人数及学生代表席位为
系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200
席位分配10 6 4 20
后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200
按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。
为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。
重新按惯例分配席位,有
系名甲乙丙总数
学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200
按比例分配席位10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配11 7 3 21
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，我们需要建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。
模型3——Q值法
先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 人数 席位数 每席代表人数
单位A p 1 n 1
11n p 单位B p 2 n 2 22n p 要公平，应该有11n p =22
n p ， 但这一般不成立。
注意到等式不成立时有
若 11n p >22
n p ，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 )
若11
n p <22
n p ，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2
211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =120， p 2=100， 算得 p =2 另两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =1020，p 2=1000, 算得 p =2 虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：
若 2211n p n p > 则称 11
2212
22211-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A
若 2211n p n p < 则称 12
1121
11122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使
不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11
n p >
22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22
n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22
n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平, 3. 11n p >122
+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平, 4.11n p <122
+n p ,不可能
上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有
)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B
则增加的一席应给A ，反之应给B 。
对不等式)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B 进行简单处理，可以得出对应不等式
)
1()1(11212222+<+n n p n n p 引入公式
k k k k n n p Q )1(2+=
于是知道增加的席位分配可以由Q k 的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。
用Q k 的最大值决定席位分配的方法称为Q 值法。
对多个组（m 个组）的席位分配Q 值法可以描述为：
1．先计算每个组的Q 值：
Q k , k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q值Q i（若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q值Q i对应的第i组。
四、模型的求解
用Q值法分配，很容易编写出MATLAB程序，以n1=n2=n3 =1逐次增加一席的方法，求每一次的Q值，可得到最后的席位分配方案（MATLAB程序见附录）第20席的分配，计算Q值
Q1=1032/(10´11) = 96.45 ; Q2=632/(6´7)= 94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33
因为Q1最大，因此第20席应该给甲系; 对第21席的分配，计算Q值Q1=1032/(11´12)=80.37 ; Q2 =632/(6´7)=94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33因为Q3最大，因此第21席应该给丙系
最后的席位分配为：甲11席乙6席丙4席
五、模型的优缺点分析
5.1、优点：
模型比较简单却较合理的解决了实际问题，用比例模型和Q值法模型就解决了席位的公平分配问题。
由相对不公平值的计算可知两种模型的公平程度都还比较符合要求。
模型1的计算过程简单却是公平度比较高的一种模型，操作起来比较方便。
模型2可以避免所得席位名额含有小数点的情况。
5.2、缺点：
模型1的建立比较简单，计算的结果含有小数点，通过四舍五入所得的结果会使公平性变差。
模型2的建立相对比较复杂，计算过程比较繁琐，最后得到的结果的公平性相对较差。
六、模型的改进
由于以上模型都是站在绝对公平的角度上来解决席位的公平分配问题。
实际上，
每个系自身对席位的意愿不同，可以考虑征求各系自身的意见来分配席位以做到席位的公平分配。
同时在建立模型时，使得得到的结果既不含有小数点，计算过程又不是太复杂，公平性又是相对比较强的。