71向量的概念和向量讲义的几何表示
向量的概念及表示、向量的线性运算
向量的概念及表示、向量的线性运算向量的概念及表示、向量的线性运算在数学中，几何向量(也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。
一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母(a、b、u、v)，或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。
如果给定向量的起点(A)和终点(B)，可将向量记作AB(并于顶上加→)。
给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。
此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。
因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。
不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
1.代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c… 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示，也可以用大写字母A、B、C...等表示。
2.几何表示：向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。
长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
箭头所指的方向表示向量的方向。
(若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
高中数学平面向量教案向量的基本概念与表示方法
高中数学平面向量教案向量的基本概念与表示方法向量的基本概念与表示方法一、引言向量是物理、工程、计算机等领域中最基本的概念之一。
它不仅具有方向和大小，而且可以进行加法和数乘。
向量在几何表示中可以用箭头来表示，但是在数学中，我们需要用数学公式和符号来表示向量。
本教案主要介绍向量的基本概念和表示方法，以便高中数学学生学习和掌握。
二、向量的基本概念1.向量的定义向量是一个有大小和一个方向的标量，它可以进行加法和数乘。
向量可以表示为 a = (a1, a2)，其中a1和a2分别表示在x和y方向上的位移。
我们也可以用箭头表示向量，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
例如，图1中，箭头AB表示向量a。
图1：向量的表示法2.向量的运算向量的运算包括加法和数乘，下面分别介绍。
加法：向量的加法是指将两个向量相加的操作。
假设有向量a和向量b，它们的和可以表示为a+b，例如，图2中，向量a和向量b的和为向量c。
图2：向量的加法数乘：向量的数乘是指用一个标量乘以一个向量的操作。
假设有向量a和标量k，则k*a表示对向量a进行了伸缩变换，例如，图3中，向量a变为k*a。
图3：向量的数乘3.向量的模长和方向角向量的模长（也叫长度）是指向量的大小，可以用勾股定理求得，即：|a| = √(a1^2 + a2^2)其中a1和a2分别是向量a在x和y方向上的位移。
向量的方向角是指向量与x轴正方向之间的夹角，可以用反三角函数求得，即：θ = arctan(a2/a1)其中a1和a2分别是向量a在x和y方向上的位移。
4.向量的坐标表示向量可以用坐标表示，例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别是向量在x和y方向上的位移。
向量的坐标表示法以及向量的加法和数乘在二维坐标系中可以得到明确的几何意义，是向量运算的基础。
三、向量的表示法在向量的表示中，我们需要用到向量的坐标表示法和向量的基本运算。
下面介绍向量的表示法。
初中数学知识点向量的概念与性质
初中数学知识点向量的概念与性质初中数学知识点：向量的概念与性质向量是数学中的重要概念之一，在数学、物理等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍初中数学中向量的概念、向量的性质以及相关的解题方法。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
在平面直角坐标系中，向量可以由两个有序实数表示，分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
向量用字母加箭头表示，例如向量AB用→AB表示。
二、向量的表示方法除了坐标表示法之外，还可以使用表示向量的两个点的坐标差值来表示向量。
例如向量AB可以表示为向量OA减去向量OB的结果，即→AB = →OA - →OB。
这种表示方法叫做点表示法。
三、向量的相等与相反两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。
如果两个向量的大小相等，但方向相反，则称其为相反向量。
相反向量的表示方法是一个向量加一个负号，即−→AB就是→BA。
四、向量的运算1. 向量的加法：设→AB和→BC是两个向量，则→AB + →BC = →AC。
向量的加法满足交换律和结合律，即→AB + →BC = →BC + →AB，(→AB + →BC) + →CD = →AB + (→BC + →CD)。
2. 向量的减法：设→AB和→AC是两个向量，则→AB - →AC = →AB + (−→AC)。
即向量减法等于向量加法的负向量。
3. 向量的数乘：数乘是指一个向量乘以一个实数。
例如a为实数，→AB为向量，则a→AB表示向量→AB的长度变为原来的a倍，并且方向不变。
五、向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，表示为→0。
任何向量与零向量相加仍为其自身，即→AB + →0 = →AB。
2. 单位向量：单位向量是长度为1的向量，表示为→u。
任何非零向量除以自身的模长得到单位向量，即若→AB≠→0，则→u =→AB/|→AB|。
3. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。
平行向量具有以下性质：a) 平行向量的模长相等或成比例；b) 两个平行向量之间可以通过数乘得到：若→AB // →CD，则存在实数k，使得→CD = k→AB。
向量的概念及表示
（1）作出向量、、（1cm表示200m）；（2）求的模。
解：（1）（2）由题意知，ABCD为平行四边形；
∴| |=| |=450（m）
向量的线性运算
一、知识、能力聚焦
1、向量的加法
一般地，实数入与向量的积是一个向量，记作入，它的长度和方向规定如下：
（1）|λ|=|λ|| |；
（2）当λ＞0时，λ与同向；当λ与反向；当λ=0时，λ=，实数λ
与向量相乘，叫做向量的数乘。
根据向量数乘的定义，可以验证向量数乘满足下面的运算律：
（1）λ（μ）=（λμ）；
（2）（λ+μ）=λ+μ；
（3）λ（+）=λ+λ
形的条件是=，真命题的个数为（C）。
A.0B.1C.2D.3
3、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且AB边长为4，AD边长为2，图中的7个向量：、、、、、、，设=、=，则：（1）与相等的向量有；（2）与相等的向量有；（4）与共线的向量有、、；（5）与长度相等的向量有、、、、、。
=λ1e1+λ2e2
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，一个平面向量用一组基底e1、e2，表示成=λ1e1+λ2e2的形成，我们称它为向量的分解。
例：如图，平行四行边ABCD的对角线交于点O，=，=试用基底、，表示、、和。
分析：利用关系式= +和= 求解
解：= + = +
向量、、平行，记作// //。
（6）零向量与任一向量平行
（7）相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量。
高中数学中的向量知识全面解析
高中数学中的向量知识全面解析向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域有着广泛的应用。
了解和掌握向量的概念、性质和运算法则对于高中数学学习以及日后的学习和工作都具有重要意义。
本文将对高中数学中的向量知识进行全面解析。
一、向量的定义在几何中，向量可以定义为有方向和大小的量。
向量常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
我们常常用点A和点B来表示向量，记作→AB或者A B。
向量可以用有序数对(x, y)来表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
二、向量的性质1. 相等性：两个向量相等的条件是它们的大小相等且方向相同。
2. 零向量：大小为零的向量称为零向量，记作0或→0。
3. 负向量：对于任意一个非零向量→a，存在一个向量−→a满足→a+(−→a)=0。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量→a、→b和→c，有→a+→b=→b+→a和(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
2. 数乘运算：向量的数量乘法是指把向量的每个分量都乘以同一个实数，得到一个新的向量。
数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意实数k和向量→a、→b，有k(→a+→b)=k→a+k→b和(k+m)→a=k→a+m→a。
四、向量的表示1. 分解表示：给定向量→a，可以把→a沿着某个方向分解为两个垂直方向的向量，分别称为→a在该方向上的投影和→a在该方向上的垂直分量。
2. 坐标表示：在二维直角坐标系中，可以用向量在x轴和y轴上的投影来表示向量。
向量→a的坐标表示为(x, y)，其中x为→a在x轴上的投影，y为→a在y轴上的投影。
五、向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→a|。
对于二维向量(x, y)，其模为√(x²+y²)。
六、向量的共线与夹角1. 共线性：如果两个向量→a和→b的方向相同或相反，则称→a和→b共线。
7.1向量的概念和向量的几何表示ppt
知识应用
例2 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AD共线的 非零向量．
D
A B
C
分析：共线的非零向量是所有方向相同和相反的 非零向量． 解：与向量AD共线的向量有AD，BC，DA，CB．
知识应用
例3：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，请分别写出图中 满足下列条件的向量： （1）与向量OB相等的向量； C B （2）向量OB的负向量； （3）与向量OB共线的非零向量． D A O E （1）与向量OB相等的向量有DC，EO，FA． （2）向量OB负向量有CD，OE，AF，BO． （3）与向量OB共线的向量有DC，EO，FA， CD，OE， AF，BO ．
主要概念
向量有两个要素：大小和方向 向量的大小：是表示向量的有向线段的长度，也 叫做向量的长度． AB 或 a 记作： 相等的向量： 大小相等且方向相同的向量． 注：两个向量相等与它们的位置无关．
零向量： 长度为零的向量，记作0或 AA
a
B D
它的方向不确定． A AB BA 注： 0的负向量规定为0 ； C 单位向量：长度为1的向量． 思考：两个单位向量一定是相等向量吗？
相反，或者有一个是零向量．
知识应用
例1 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AB相等的 向量，以及AB的负向量． D C
A
B
分析：相等的向量即方向相同、大小相等的向量，用 有向线段表示，即为方向相同、长度相等的有向线 段．负向量即方向相反、大小相反的向量，用有向线段 表示，即为方向相反，长度相等的有向线段． 解： AB = DC - AB = BA = CD
主要概念
a长度相等且方向相反的向 负向量： 与非零向量 a 量称 的负向量， a 记作： 或称 a 的反向量．
向量的概念与表示
湖面上有三个景点O,A,B, （如图）一游艇将游客从 景点O送至景点A,半小时 后，游艇再将游客送至景 点B.从景点O到景点A有 一个位移，从景点A到景 点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有 什么不同？
o
B
位移既有大小又有方向， 距离只有大小没有方向
A
1．向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量。
b
பைடு நூலகம்
a
d
c
讨论：a // b， b // c a // c ？
b
a
3．向量的有关概念： （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相 等向量. 记作： AB = DC . C D 注：向量是否相等只与大小 和方向有关，与起点无关. A B （2）相反向量：与 a 向量长度相等，方向相反的向 量叫做 a 的相反向量. 记作- a .
m n 任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
c b′ c′
b
a a a′
例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标 出的向量中： （1）试找出与 FE 共线的向量； （2）确定与 FE 相等的向量； （3） OA 与 BC 相等吗？
E
D
O
F
C
A
B
例2:回答下列问题： （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个 向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？
0 0 零向量的相反向量仍是零向量 .
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
本文将对向量的基本知识点和相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用向量。
一、向量的基本概念。
1. 向量的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示。
在二维空间中，向量通常表示为 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量表示为 (x, y, z)。
3. 向量的运算。
向量的加法和数乘是向量运算中的两个基本运算。
向量的加法是将两个向量的对应分量相加，数乘是将向量的每个分量乘以一个标量。
二、向量的基本性质。
1. 向量的模。
向量的模是指向量的大小，通常用|v| 表示，其中v 表示向量。
在二维空间中，向量 (x, y) 的模为√(x^2 + y^2)，在三维空间中类似。
2. 向量的方向角。
向量的方向角是指向量与坐标轴的夹角，通常用θ表示。
在二维空间中，向量 (x, y) 的方向角为 arctan(y/x)。
3. 向量的单位向量。
向量的单位向量是指模为1的向量，通常用 u 表示。
一个非零向量 v 的单位向量为 v/|v|。
三、向量的线性运算。
1. 向量的线性相关与线性无关。
若存在不全为0的实数 k1、k2，使得 k1v1 + k2v2 = 0，则称向量 v1、v2 线性相关；若 k1、k2 只能为0，则称 v1、v2 线性无关。
2. 向量的内积和外积。
向量的内积（点积）定义为 v1·v2 = |v1|·|v2|·cosθ，其中θ为 v1、v2 的夹角。
向量的外积（叉积）定义为 v1×v2 = |v1|·|v2|·sinθ·n，其中 n 为垂直于v1、v2 的单位向量。
四、向量的应用。
1. 向量的几何意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 向量：具有大小和方向的量．
2．向量的表示方法 问题1 如何描述平面上一点的位移？
B 终点
A 始点
（1）用有向线段来表示向量．
（2）用 AB
或
a,b,c
...表示向量．
3．自由向量： 只有大小和方向，而无特定的位置． 4．向量的两要素：大小与方向． 5．相等向量：同向且等长的向量．
北
A
B
C
精品jing
71向量的概念和向量的几何表示
【教学目标】
1.了解有向线段的概念，理解并掌握向量的 有关概念和向量相等的含义。
2.会用有向线段表示向量，并能根据图形判 定向量是否平行、相等。
3.通过教学培养学生数形结合的能力。
1.阅读教材P3的观察，观察它们有什么共同点？ 2. 你能举出向量的其他例子吗？
45
A
B
C
例 如图所示，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分 别写出与向量OA ，OB ，OC 相等的向量．
解：Байду номын сангаас
F
OA CB EF DO
A
OB FA DC EO
O
B
OC AB ED FO
E D
C
练习1 已知D，E，F是△ABC三边AB，BC，CA的
中点，分别写出与 DE ，EF ，FD 相等的向量．
b
c
d
特别地，我们规定零向量与任意向量平行．
9．位置向量 问题2 如何用向量确定平面内一点的位置？
a
A
O
向量 OA 通常称做点A相对于点O的位置向量．
例 在谈到天津相对于北京的位置时，我们说 “天津位于北京东偏南50 ，114km” ．
100km 北京 O 50
A 天津
练习2 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北 60，3cm”处，Q在点O“南偏西30，3cm”处，画出点
7．零向量：长度等于零的向量，记作 0 ．
8、负向量（反向量）：长度相等且方向相反的向量。 9、单位向量：长度为1的向量。
10．共线向量（或平行向量）：如果表示一些向量的有 向线段所在直线互相平行或重合，则称这些向量平行 或共线．
平行向量方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作 a ∥b．
a
P和Q相对于点O的位置向量．
1cm
P
60 O
东
30
Q
南
1. 向量的概念和向量的长度． 2．向量的两要素． 3．向量的表示方法． 4．相等向量与共线向量． 5．零向量． 6．位置向量．
Thanks！
A 解：
DEAFFC
EFBDDA
D
F
FDCEEB
B
E
C
1. 向量：具有大小和方向的量． 2．向量的表示方法
（（12））用记有作向AB线或段来a,表b,示c向.量..．．
3．自由向量： 只有大小和方向，而无特定的位置． 4．向量的两要素：大小与方向． 5．相等向量：同向且等长的向量． 6．向量的模：表示向量的有向线段 AB 的长度,记作| AB |．