向量的基本概念与运算法则
向量的运算法则
向量的运算法则向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机等各个领域。
在实际应用中，我们常常需要对向量进行各种运算，而向量的运算法则则是我们进行这些运算的基础。
本文将介绍向量的基本运算法则，包括向量的加法、减法、数乘等。
1. 向量的加法设有两个向量a和b，表示为a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)。
则这两个向量的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)即将两个向量对应分量相加，得到一个新的向量。
这个操作遵循向量加法的法则，不仅可以对二维向量进行加法，也可以对三维向量进行加法，甚至可以拓展到更高维度的向量。
2. 向量的减法与向量的加法类似，向量的减法也是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，则它们的减法定义为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)向量的减法在几何意义上可以理解为将向量b沿着负方向平移后，再进行向量的加法操作。
3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的操作。
设有一个向量a 和一个标量k，则向量a与标量k的乘积定义为：ka = (ka1, ka2, ka3)即将向量a的每个分量都乘以标量k，得到一个新的向量。
向量的数乘操作可以用来改变向量的大小和方向，是向量运算中一个非常重要的操作。
4. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积，是向量运算中一个重要的概念。
设有两个向量a和b，则它们的数量积定义为：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，还可以计算向量在某一方向上的投影长度，具有很多实际应用价值。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积，是向量运算中另一个重要的概念。
设有两个向量a和b，则它们的向量积定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。
命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。
命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
向量基本概念和基本运算
(b)
向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2：向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）零 元： a + 0 = a.
（4）反向量：
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广：自任意点O开始， 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即：
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性质： 对于任意两向量 a 、b ，有下列不等式 a b a b a b .
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四、向量的数乘
定义1.3.1：实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a，它的模是a a ； a 的方向，当 0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。
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四、向量的数乘
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。
3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。
4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。
通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。
5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。
6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。
7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。
8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。
表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。
表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。
4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。
5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。
三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。
2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是在平面中具有大小和方向的量，由有序数对表示。
在数学中，平面向量是研究平面几何和代数的基础。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的基本概念平面向量通常用有向线段表示，其中起点和终点之间的位置表示向量的方向。
一个平面向量可由其终点的坐标减去起点的坐标得到。
例如，向量AB可以表示为向量a = (x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)是向量的起点和终点。
平面向量的大小通常用向量的长度来表示，也称为向量的模。
向量a = (x, y)的长度表示为|a|或||a||，可以通过勾股定理计算得到：|a| =√(x^2+y^2)。
向量的长度是一个非负数。
二、平面向量的运算法则1. 加法运算平面向量的加法运算定义为将两个向量的对应分量相加。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的和可以表示为向量c = (x1+x2, y1+y2)。
2. 减法运算平面向量的减法运算定义为将两个向量的对应分量相减。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的差可以表示为向量c =(x1-x2, y1-y2)。
3. 数乘运算平面向量的数乘运算定义为将向量的每个分量与一个标量相乘。
例如，对于向量a = (x, y)和标量k，它们的数乘可以表示为向量b = (kx, ky)。
4. 乘法运算平面向量的乘法运算有两种形式：数量积和向量积。
4.1 数量积数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再相加。
数量积的结果是一个标量。
对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，它们的数量积表示为a · b = x1x2 + y1y2。
4.2 向量积向量积（又称叉积或外积）定义为两个向量的乘积是一个新的向量，它垂直于原来两个向量组成的平面，并且方向遵循右手法则。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结必修4 平⾯向量知识点⼩结⼀、向量的基本概念1.向量的概念：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，注意向量和数量的区别.向量常⽤有向线段来表⽰.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提⽰：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的⽅向是任意的；3.单位向量：长度为⼀个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r ）；4.相等向量：长度相等且⽅向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平⾏向量（也叫共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量a r、b r 叫做平⾏向量，记作：a r∥b r ，规定：零向量和任何向量平⾏.注：①相等向量⼀定是共线向量，但共线向量不⼀定相等；②两个向量平⾏与与两条直线平⾏是不同的两个概念：两个向量平⾏包含两个向量共线，但两条直线平⾏不包含两条直线重合；③平⾏向量⽆传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r、共线.6.相反向量：长度相等⽅向相反的向量叫做相反向量.a r的相反向量记作a -r.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =rr .（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =u u u r u u u u r，则ABCD 是平⾏四边形.（4）若ABCD 是平⾏四边形，则AB DC =u u u r u u u u rr ，b c =r r ，则a c =r r .（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r.其中正确的是 . 结果：（4）（5）⼆、向量的表⽰⽅法1.⼏何表⽰：⽤带箭头的有向线段表⽰，如AB u u u r，注意起点在前，终点在后；2.符号表⽰：⽤⼀个⼩写的英⽂字母来表⽰，如a r ，b r，c r等； 3.坐标表⽰：在平⾯内建⽴直⾓坐标系，以与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r 为基底，则平⾯内的任⼀向量a r可表⽰为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表⽰.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平⾯向量的基本定理定理设12,e e r r 同⼀平⾯内的⼀组基底向量，a r是该平⾯内任⼀向量，则存在唯⼀实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r.（1）定理核⼼：1122a λe λe =+r r r；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯⼀；反之，是对向量a r 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322a b -rr . （2）下列向量组中，能作为平⾯内所有向量基底的是 B(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r，213,24e ??=-r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC u u u r可⽤向量,a b r r 表⽰为 . 结果：2433a b +rr . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积是⼀个向量，记作a λr，它的长度和⽅向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=?r r；（2）⽅向：当0λ>时，a λr 的⽅向与a r 的⽅向相同，当0λ<时，a λr的⽅向与a r的⽅向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，注意：0a λ≠r .五、平⾯向量的数量积1.两个向量的夹⾓：对于⾮零向量a r，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r，b r 的夹⾓.当0θ=时，a r ，b r 同向；当θπ=时，a r ，b r 反向；当2πθ=时，a r，b r垂直.2.平⾯向量的数量积：如果两个⾮零向量a r ，b r，它们的夹⾓为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ?r r ，即||||cos ab a b θ?=?r r r r. 规定：零向量与任⼀向量的数量积是0.注：数量积是⼀个实数，不再是⼀个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ?=u u u r u u u r _________. 结果：9-.（2）已知11,2a ??=r ，10,2b ??=- r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹⾓为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =r ，||5b =r ，3a b ?=-rr ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个⾮零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +rr 的夹⾓为____. 结果：30o.3.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是⼀个实数，但不⼀定⼤于0.举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ?=rr ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ?r r 的⼏何意义：数量积a b ?r r 等于a r 的模||a r 与b r 在a r上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个⾮零向量a r，b r ，其夹⾓为θ，则：（1）0a b a b ⊥??=r r r r；（2）当a r、b r 同向时，||||ab a b ?=?r r r r ，特别地，22||||a a a a a =?=?=r r r r r ||||a b a b ?=?r r r r 是a r、b r 同向的充要分条件；当a r 、b r 反向时，||||a b a b ?=-?r r r r ，||||a b a b ?=-?r r r r 是a r、b r 反向的充要分条件；当θ为锐⾓时，0a b ?>r r ，且a r、b r 不同向，0a b ?>r r 是θ为锐⾓的必要不充分条件；当θ为钝⾓时，0a b ?、b r 不反向；0a b ?（3）⾮零向量a r，b r 夹⾓θ的计算公式：cos ||||a b a b θ?=r r r r ；④||||a b a b ?≤r r r r .举例6 （1）已知(,2)aλλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r与b r 的夹⾓为锐⾓，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；取值范围是_________. 结果：,43ππ??；（3）已知(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满⾜|||ka b a kb +-r r r r（其中0k >）.①⽤k 表⽰a b ?r r ；②求a b ?rr 的最⼩值，并求此时a r 与b r 的夹⾓θ的⼤⼩.结果：①21(0)4k a b k k +?=>r r ；②最⼩值为12，60θ=o. 六、向量的运算1.⼏何运算（1）向量加法运算法则：①平⾏四边形法则；②三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u ur u u u r u u u r r r ；作图：略.注：平⾏四边形法则只适⽤于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三⾓形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r；（2）若正⽅形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r . 结果：（3）若O 是ABC △所在平⾯内⼀点，且满⾜2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC △的形状为. 结果：直⾓三⾓形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平⾯内有⼀点P ，满⾜0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u ru u u r ，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外⼼，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r ，则ABC △的内⾓C 为 . 结果：120o.2.坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)ab x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--rr . 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r，则当λ=____时，点P 在第⼀、三象限的⾓平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作⽤在点(1,1)A 的三个⼒1(3,4)F =u u r ，2(2,5)F =-u u r ，3(3,1)F =u u r，则合⼒123F F F F =++u u r u u r u u r u u r的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即⼀个向量的坐标等于表⽰这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =u u u r u u u r，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3 -. （4）平⾯向量数量积：1212ab x x y y ?=+rr. 举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r.（1）若3x π=，求向量a r 、c r的夹⾓；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=?r r 的最⼤值为12，求λ的值.结果：（1）150o；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+?=r r r举例11 已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹⾓为60o，那么|3|a b +=r r ＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB =举例12 如图，在平⾯斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r r r ，其中12,e e r ry 轴同⽅向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆⼼，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的⽅程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λµλµ=r r，a b b a ?=?r r r r ；2.结合律：()a b c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=?=?r r r r r r ；3.分配律：()a a a λµλµ+=+r r r，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ?-=?-?r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ??=??r r r r r r；③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ；④若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ?=?r rr r 则a c =r r ；⑥22||a a =r r ；⑦2a b b a a=r rr r r ；⑧222()a b a b ?=?rr r r ；⑨222()2a b a a b b -=-?+r r rr r r .其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地⽅也有区别：对于⼀个向量等式，可以移项，两边平⽅、两边同乘以⼀个实数，两边同时取模，两边同乘以⼀个向量，但不能两边同除以⼀个向量，即两边不能约去⼀个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满⾜结合律，即()()a b c a b c ??≠??r r r r r r，为什么？⼋、向量平⾏(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ=?-=r r r rr r r r .举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且⽅向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+rr r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=r r r rr r r r .特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥- ? ? ? ?????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直⾓三⾓形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.⼗、线段的定⽐分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意⼀点，若存在⼀个实数λ，使12PP PP λ=u u u r u u u r，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的⽐λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r 的以定⽐为λ的定⽐分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P u u u u r，即点P 在线段12PP 上0λ?>；（2）P 外分线段12P P u u u u r时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ?<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ?-<<.注：若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的⽐为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的⽐为1λ.举例16 若点P 分AB u u u r 所成的⽐为34，则A 分BP u u u r所成的⽐为 . 结果：73-. 3.线段的定⽐分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，则定⽐分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+?=??+≠-?+?=?+?. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +?=+?=?? 说明：（1）在使⽤定⽐分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定⽐λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u ur ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--；（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r，则a =r. 结果：２或4-. ⼗⼀、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移⾄(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+??'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4π-. ⼗⼆、向量中⼀些常⽤的结论1.⼀个封闭图形⾸尾连接⽽成的向量和为零向量，要注意运⽤；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r rr r r.（1）右边等号成⽴条件： a b rr 、同向或 a b rr 、中有0r||||||a b a b ?+=+rrr r ；（2）左边等号成⽴条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ?-=+r r r r；（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ?-<+<+r r r r r r.3.三⾓形重⼼公式在ABC △中，若A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重⼼的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重⼼的坐标为 .结果：24,33??-. 5.三⾓形“三⼼”的向量表⽰（1）1()3PG PA PB PC G =++?u u u ru u u r u u u r u u u r为△ABC 的重⼼，特别地0PA PB PC G++=?u u u r u u u r u u u rr为△ABC 的重⼼.（2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r为△ABC 的垂⼼.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内⼼；向量(0)||||AB AC AB AC λλ??+≠ ? ???u u u r u u u ru u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内⼼. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的⽐为λ，若M为平⾯内的任⼀点，则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点12MP MPMP +?=u u u u r u u u u ru u u r .7. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=．举例20 平⾯直⾓坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满⾜12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
《向量的概念及运算》课件
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详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的 向量积是一个向量C，记作C=A×B， 其长度和方向可以通过外积法则来确 定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直 交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向 量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的 向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配 律、结合律、交换律等。此外，向量的数量 积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为 零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和 结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向 量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示 ，如A、B、C等。同时，向量也可以 用有向线段表示，起点在原点，终点 在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关 系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时， 向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形 时，向量混合积的值为负。
高中数学向量的定义与运算
高中数学向量的定义与运算高中数学中，向量是一个基础且重要的概念。
它不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程等各个领域中起着重要作用。
本文将详细介绍高中数学中向量的定义与运算。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量。
它常用有箭头的字母表示，例如a、b 等。
向量一般用加粗或者在字母上方加箭头表示，如a、a。
向量的大小就是其长度，通常用两点间的直线距离来计算。
二、向量的表示在坐标系中，向量可以通过坐标来表示。
设向量a的起点为A，终点为B，可以用坐标(x₁, y₁)表示起点A的坐标，用坐标(x₂, y₂)表示终点B的坐标。
则向量a可以表示为a = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法可以通过平行四边形法则进行计算。
假设有向量a和向量a，将两个向量的起点连接起来得到一个平行四边形，以这个平行四边形的对角线作为结果向量。
结果向量的起点与第一个向量的起点相同，而终点与第二个向量的终点相同。
用公式表示为a + a = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
2. 向量的减法向量的减法可以通过加法的逆运算得到。
即将减去的向量取负数，再进行向量的加法。
用公式表示为a - a = a + (-a) = (x₁ - x₂, y₁ -y₂)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个实数。
用公式表示为k a = (kx, ky)，其中k为实数。
4. 向量的数量除法向量的数量除法是指将一个向量的每个分量除以一个非零实数。
用公式表示为a/k = (x/k, y/k)，其中k为非零实数。
5. 向量的点积向量的点积是两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
用公式表示为a·a = x₁x₂ + y₁y₂。
6. 向量的模长向量的模长是指向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
用公式表示为|a| = √(x² + y²)。
四、向量的性质1. 向量的加法满足交换律和结合律，即a + a = a + a和(a + a) +a = a + (a + a)。
平面向量的基本概念与运算方法总结
平面向量的基本概念与运算方法总结平面向量是数学中一种常用的概念，广泛应用于几何、物理等各个领域。
它可以用有向线段表示，并具有大小和方向两个属性。
在本文中，我们将总结平面向量的基本概念和运算方法。
一、基本概念平面向量由起点和终点确定，可以表示为矢量形式：A B⃗。
其中，A表示起点，B表示终点。
平面向量有以下基本概念：1. 零向量：起点和终点相同的向量，记作0⃗。
零向量的大小为0，任何向量与零向量的加法结果仍为本身。
2. 单位向量：大小为1的向量，在同一方向上的向量可以相互转化为单位向量。
3. 平行向量：方向相同或相反的向量为平行向量。
4. 共线向量：共线向量是指在同一直线上的向量，可以通过数乘转化为对应的共线向量。
二、基本运算对于平面向量的运算，我们有以下基本规则：1. 加法：- 两个向量相加的结果，是一个以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量；- 加法满足交换律和结合律；- 两个向量相加，可以通过平行四边形法则或三角形法则进行计算。
2. 数乘：- 一个向量与一个实数相乘的结果，是将向量的长度乘以该实数，并改变了向量的方向（如果实数为负数）；- 数乘满足结合律、分配律和交换律。
三、向量的表示方法在实际应用中，人们常常需要将平面向量转化为其他形式，以方便计算和应用。
常见的表示方法有以下几种：1. 分解表示法：- 将一个向量分解为两个与坐标轴相平行的向量的和；- 分解表示法常用于平面向量的运算和应用中。
2. 坐标表示法：- 在二维平面上，可以使用坐标表示法将向量表示为一个有序数对（x，y）；- 坐标表示法常用于平面上各类几何问题的计算和分析。
3. 模量和方位角表示法：- 对于一个非零向量A B⃗，它的模量表示为|A B⃗|，表示向量的长度；- 方位角表示了向量与某一固定方向之间的夹角。
四、性质与应用平面向量具有以下重要的性质和应用：1. 共点向量性质：- 对于三个共点的向量A B⃗、A C⃗和A D⃗，有A D⃗ = A B⃗ +B C⃗。
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向量的基本概念与运算法则
一、向量的基本概念
向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法
1. 平行四边形法则
平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法
另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则
1. 加法
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将
两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的
向量。
2. 减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具
体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画
出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法
向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）
向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体
做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）
向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右
手定则确定新向量的方向。
四、总结
向量是数学中重要的概念之一，具有大小和方向的特点。
向量的表示方法有平行四边形法则和分量表示法。
向量的运算法则包括加法、减法、数量乘法、内积和外积。
这些运算法则对于解决各种数学问题和物理问题都具有重要的应用价值。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的向量表示方法和运算法则来进行计算和分析。