向量的基础知识点
高一必修二新课标a版向量知识点
高一必修二新课标a版向量知识点引言：高中数学在课程设置中，向量是一个非常重要且基础的概念，具有广泛的应用价值。
掌握好向量的基本性质和运算规则，不仅有助于我们理解数学的抽象思维，还能为日后更深入的数学学习打下坚实的基础。
下面，本文将从向量的定义、向量的性质、向量的运算和向量的应用四个方面来深入探讨高一必修二新课标A版向量的知识点。
一、向量的定义：向量是拥有大小和方向的物理量。
用字母小写的有箭头的字母表示，如a。
向量的起点和终点之间的直线段称为向量的模，记为||a||。
向量在空间中的位置可以通过有向线段来表示。
向量有方向，但没有起点和终点的顺序之分。
二、向量的性质：1. 等向量：具有相同模和方向的向量称为等向量。
2. 零向量：模为0的向量称为零向量，记作0。
三、向量的运算：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘：向量的数乘就是一个向量乘以一个实数。
四、向量的应用：1. 向量的数量积：向量的数量积是向量的一个重要应用，它是两个向量的乘积，结果是一个实数。
数量积的定义为：a·b = ||a|| ||b|| cosθ，其中θ为两向量之间夹角的余弦值。
2. 单位向量：向量的模为1的向量称为单位向量，它的方向与所给向量相同。
单位向量的作用是方便计算。
结语：通过对高一必修二新课标A版向量知识点的深入学习和理解，我们不仅能够掌握向量的基本定义和性质，还能够运用向量进行各种运算，并在实际问题中灵活应用。
向量作为高校数学学习中的重要内容，为我们打开了解决复杂问题的大门，培养了我们的逻辑思维和数学思维能力。
希望本文所述的向量知识点能够为同学们的学习提供参考和帮助。
在学习过程中，我们要加强实际应用能力的培养，多进行例题练习和思考，同时要注重理论与实际的结合，灵活运用向量知识解决现实生活和数学问题。
通过不断的学习和实践，我们一定能够掌握向量知识，为未来的学习打下坚实的基础。
向量的基础知识及应用
向量的基础知识及应用向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍向量的基础知识，包括向量的定义、性质、表示方法以及向量的应用。
## 一、向量的定义在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中表示为有向线段，起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量常用字母加上箭头表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$。
向量的大小称为模，通常用两点间的距离表示。
向量的方向可以用与某一坐标轴的夹角表示。
向量的模和方向唯一确定一个向量。
## 二、向量的性质1. 向量相等：两个向量的模和方向完全相同，则这两个向量相等。
2. 零向量：模为0的向量称为零向量，记作$\vec{0}$，零向量的方向是任意的。
3. 平行向量：模相等且方向相同或相反的向量称为平行向量。
4. 共线向量：如果存在一个非零实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$，则称向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$共线。
5. 相反向量：模相等方向相反的向量称为相反向量，记作$-\vec{a}$。
## 三、向量的表示方法1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数组$(a_1, a_2, a_3)$，其中$a_1$、$a_2$、$a_3$分别是向量在$x$轴、$y$轴、$z$轴上的投影。
2. 分解表示法：将一个向量分解为与坐标轴平行的分量，如$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$，其中$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别是$x$轴、$y$轴、$z$轴的单位向量。
3. 几何表示法：在空间中用有向线段表示向量，起点为原点，终点为向量的终点。
## 四、向量的运算1. 向量的加法：向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的和记作$\vec{a}+\vec{b}$，满足三角形法则。
2. 向量的数乘：实数$k$与向量$\vec{a}$的乘积$k\vec{a}$，其模为$k$倍的$\vec{a}$的模，方向与$\vec{a}$相同（$k>0$）或相反（$k<0$）。
(完整版)向量基础知识汇总
向量基础知识梳理1向量：既有________ ，又有_________ 的量叫向量.2. 向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作__________ .3. 向量的有关概念：(1) ________________________ 零向量：长度为________________ 的向量叫做零向量，记作.(2) ______________________ 单位向量：长度为的向量叫做单位向量.(3) ____________________ 相等向量：且的向量叫做相等向量.(4) ___________________________________ 平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量.①记法：向量a平行于b，记作__________ .②规定：零向量与__________ 平行.-1. 向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a, b,在平面内任取一点A，作AB = a, BC = b,则向量 ________________ 叫做a与ILU uuub的和(或和向量)，记作______________，即a+ b = AB + BC = ___________ .上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量与任一向量 a 的和有a+ 0= ___________ + _______ = _______ .(2)平行四边形法则为邻边作__________ ，则对角线上的向量_________ = a+ b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.2. 向量加法的运算律(1) ____________________________ 交换律：a+ b= .(2) __________________________________________ 结合律：(a+ b)+ c= .3. 向量的减法(1) ____________________________________________________________________ 定义：a — b = a +(— b ),即减去一个向量相当于加上这个向量的 ______________________________________________(3) 几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为uur uun被减向量的终点为 __________ 的向量.例如：0A — 0B = ____________ .1•向量数乘运算实数入与向量a 的积是一个 ____________ ,这种运算叫做向量的 ___________ ，记作 _________ ,其长度与方向规定如下：特别地，当 =0或 a = 0时，0a = __________ 或 X) = ________2•向量数乘的运算律(1) _______________ X ( g)= .(2) ____________________ ( X+ p) a = .(3) ____________________ X (a + b )= .特另U 地，有(一 X a = ___________ = ________ ;X (a — b ) = ____________ .3.共线向量定理向量a ( 0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数X 使 ________________ .4•向量的线性运算向量的 ____ 、 ____ 、 _______ 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ,以及任意实数 X 忙 冋恒有 X ( p a 土p b )= ______________________ .1. 平面向量基本定理(1) _____________________________________ 定理：如果e1&是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 _________________________________________ 向量a, ________________________实数X,込使a = ____________________________________ . (2)作法：在平面内任取一点 umr 0,作 0A = a , uuuOB = b ，则向量a — b = 如图所示.(1) |刊=(2)扫(0)的方向 时，与a 方向相同 时，与a 方向相反(2)________________ 基底：把 _______________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内___________________________ 向量的一组基底.2. 两向量的夹角与垂直O —Ruuu uuu(1)________________________ 夹角：已知两个 _______________________ a和b,作OA = a, OB = b，则__________________________________ = 0 (0°< ________________________________ 180° ,叫做向量a与b的夹角.①范围：向量a与b的夹角的范围是 ________________ .②当0= 0°寸，a与b ________ .③当0= 180°时，a与b ________ .(2)________________________________ 垂直：如果a与b的夹角是_______________，则称a与b垂直，记作_________________________________________ .3. 平面向量的坐标表示(1)_______________________________________________ 向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______________ i, j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x, y使得a= ____________________ ，则_________________叫作向量a的坐标，___________________ 叫作向量的坐标表示.tun(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x, y),则OA = ，若A (禺，屮)，B (X2,nuny2),贝H AB = _______________________1•平面向量的坐标运算(1)______________________________________________________ 若a =( X1, y1), b=( X2, y2),则a+b = ___________________________________________________________ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)__________________________________________________________ 若a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),贝U a- b = _______________________________________________________________________________________ ,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)___________________________________ 若a =( X , y),入€ R ,贝U沦= ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2. 两向量共线的坐标表示设 a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2).(1)当 a // b 时，有______________________ .(2)__________________________________________ 当a // b且X2y2丰0时，有 .即两向量的相应坐标成比例.uuur uuu3 .若RP =沪卩2 ,贝y P与P1、P2三点共线.当入€ _______ 时，P位于线段P1P2的内部，特别地入=1时，P为线段P1P2的中点；当入€________ 时，P位于线段P1P2的延长线上；当入€ _______ 时，P位于线段P l P2的反向延长线上.1．平面向量数量积(1)______________________________________________________ 定义：已知两个非零向量a与b,我们把数量______________________________________________________________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a • b，即卩a • b = |a||b|cos 0,其中B是a与b的夹角.(2)_____________________________________ 规定：零向量与任一向量的数量积为.(3)_________________________________________________________________________ 投影：设两个非零向量a、b的夹角为0贝U向量a在b方向的投影是_________________________________________ ，向量b在a 方向上的投影是________________ .2. 数量积的几何意义a • b的几何意义是数量积a • b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________________ 的乘积.3. 向量数量积的运算律(1)_______________ a • b = (交换律);(2)__________________ (扫)• b= = (结合律);(3)_________________________________ (a + b) • c = (分配律).1. 平面向量数量积的坐标表示若a =( x i, y i), b=( x2, y2),贝U a • b= __________ .即两个向量的数量积等于_________________ .2. 两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a =( x i, y i), b=( x2, y2),则a丄b? _______________ .3. 平面向量的模(1)__________________________________________________ 向量模公式：设a=( x i, y i),则|a= .uuur(2)_________________________________________________________________________ 两点间距离公式：若 A (x i, y i) , B (x2, y2),则|AB| = ______________________________________________________4. 向量的夹角公式设两非零向量a=( x i , y i) , b =( X2 , y2), a与b的夹角为0贝U cos 0= ______________________ = __________ .向量方法在几何中的应用(i)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a// b( b z 0) ? ________________(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a , b , a丄b3) 求夹角问题往往利用向量的夹角公式cos 0= _________________________ = ____________ .4) 求线段的长度或证明线段相等可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|= ______。
(完整版)平面向量重要基础知识点
平面向量重要知识点1、向量相关观点 ：（ 1）向量的观点 ：既有大小又有方向的量，向量是能够平移的，（2）零向量 ：长度为 0的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向是随意的 ；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量uuur( 与 AB 共线的单位向量是uuur uuur AB) ；|AB|（ 4）相等向量 ：长度相等且方向同样的两个向量叫相等向量，相等向量有传达性；（ 5）平行向量（也叫共线向量） ：方向 同样或相反 的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记r作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行 。
提示平行向量 无传达性 ！（由于有 0 )2. 平面向量的基本定理 ：假如 e 1 和 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a= 1 e 1 ＋ 2 e 2。
3、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ：当 >0 时，a 的方向与 a 的方向同样，当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反4、平面向量的数目积 ：（1）两个向量的夹角 ：（ 2）平面向量的数目积 ：规定：零向量与任一直量的数目积是注意数目 积是一个实数，不再是一个向量 。
r0。
（4） a ? b 的几何意（ 3） b 在 a 上的投影 为 | b | cos ，它是一个实数，但不必定大于r义：数目积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。
（ 5）向量数目积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为 ，则：r r r r 0 ；① ab a ? br rr 2 r r r 2 r r 2 ②当 a ， b 同向时， a ? b ＝ a b ，特别地， a a ?a a , a a ；当 a 与 b 反向时，r r r r r r 0是 为锐角的必需非充足 a ? b ＝－ a b ；当 为锐角时， a ? b ＞ 0，且 a 、b 不一样向， a b1 / 4条件；当r r r r0是为钝角的必需非充足条件；为钝角时， a ? b ＜0，且 a、b 不反向， a br rr r r r③非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cos a ?b；④ | a ?b | | a ||b | 。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结一、基础概念向量是由大小和方向两个方面表示的量，可以用有向线段表示。
向量的模(长度)是一个标量，用||a||表示，其中a为向量。
模为0的向量称为零向量。
向量的方向由其符号决定，同方向向量与相反方向向量称为“对向向量”。
二、向量的加法向量加法：向量加上另一个向量就是在另一个向量的末端从起点开始画一个同样大小的向量。
可加性：若a、b、c为向量，那么a+b=c，即a+b=c-b。
交换律：一个向量加上另一个向量等于另一个向量加上第一个向量。
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三、向量的减法向量减法：一个向量减上另一个向量等于另一个向量的相反数加上第一个向量。
四、向量的数量积向量的数量积：向量 a 与标量 k 的积乘积表示为ka 。
向量 a 与向量 b 的数量积表示为a·b 。
夹角公式：a·b=|a||b|cosθ。
五、向量的叉积向量的叉积可以得到一个新的向量，叉积符号为叉乘号-×。
向量的叉积表示为a×b，结果垂直于a和b所在的平面，方向通过右手定则判断。
六、平面向量平面向量：一个平面向量的模表示这个向量所代表的有向线段的长度，而朝向的方向则由向量的起点指向终点。
标准单位向量i、j 满足|i|=|j|=1，同时是相互垂直的。
平面向量加减的公式与三维向量相同。
七、空间向量空间向量：空间向量是三维向量，定义为一个向量的起点和终点可以在三维空间中的任意两个点之间往返移动。
空间向量加减的公式与平面向量相同。
空间向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ。
八、向量的应用平移变换：平移是向量应用最广泛的变换之一，在2D空间或3D空间中使用相同的基础技巧。
投影：当我们需要在三维空间中绘制3D图像时，我们经常需要计算平行于某个坐标轴的投影。
初中向量知识点总结
初中向量知识点总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义在数学上，向量通常用有向线段来表示。
有向线段是由一个起点和一个终点确定的，它具有方向和大小。
向量的表示通常用字母加上一个有方向的箭头来表示，比如a→。
1.2 向量的分量向量可以通过分解为横坐标和纵坐标的形式来表示，这两个分量分别称为水平分量和垂直分量。
比如向量a→可以表示为a→=(a1,a2)，其中a1为水平分量，a2为垂直分量。
1.3 向量的模长向量的大小用模长来表示，模长的计算公式为|a→|=√(a12+a22)。
向量的大小也可以理解为向量的长度。
1.4 向量的方向角向量的方向可以用方向角来表示，方向角通常用与x轴的夹角来表示，比如θ。
方向角的计算一般通过反三角函数来得到。
1.5 零向量零向量是指模长为0的向量，它的起点和终点重合，没有方向。
1.6 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量。
平行向量具有相同的方向角，不一定有相同的大小。
1.7 共线向量如果一个向量可以表示为另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
即存在实数k，使得a→=k* b→。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是一个新的向量，它的起点与第一个向量的起点重合，终点与另一个向量的终点重合。
2.2 向量的减法向量的减法可以通过加上被减向量的相反向量来实现。
2.3 向量与实数的乘法向量与实数相乘，实际上是将向量等比例放大或缩小。
当实数大于0时，向量的方向不变，大小变化；当实数小于0时，向量的方向相反，大小也变化。
2.4 向量的数量积向量的数量积又称为点积，是两个向量的数乘之和，计算公式为a→· b→=|a→|* |b→|* cosθ。
其中θ为两个向量夹角。
2.5 向量的数量积的性质向量的数量积具有分配律、交换律和结合律，但不满足交换律。
2.6 向量的数量积的几何意义数量积的结果是一个标量，它表示两个向量的夹角和它们的大小的乘积。
九年级向量知识点
九年级向量知识点向量是数学中的一个重要概念，九年级学生需要学习和理解向量的基本知识和操作方法。
本文将为九年级学生介绍向量的相关概念、性质和运算规则，以及向量在几何和代数中的应用。
一、向量的概念和表示方法向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
向量有起点和终点，起点表示向量的作用点，终点表示向量的方向和大小。
向量常用小写字母加上上方有箭头的字母符号表示，如向量a表示为→a。
二、向量的性质1. 零向量：零向量表示大小为零的向量，用0或→0表示。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 相等向量：如果两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等向量。
4. 共线向量：如果两个向量的终点都在同一直线上，则它们是共线向量。
5. 数乘：向量乘以一个实数k，其终点与原向量相同，但长度发生变化。
三、向量的运算规则1. 向量的加法：将两个向量的起点相连，然后画出连接它们终点的直线，该直线即为两向量的和的方向，而最终的终点即为和向量。
2. 向量的减法：将两个向量的起点相连，然后从第二个向量箭头的方向，画出连接箭头起点和尾点的直线，该直线即为两向量的差的方向，而最终的终点即为差向量。
3. 数乘：将向量的长度与实数k相乘，得到的向量方向与原向量相同（若k为正数）或相反（若k为负数）。
四、向量的应用1. 几何应用：向量可以用来表示位移、速度、加速度等物理量，方便解析求解运动问题。
2. 平面几何应用：通过向量的加法和减法可以求解平面图形的边长、角平分线、垂直平分线等问题。
3. 代数应用：向量的运算可以用来解方程组、求解线性空间、判断向量组的线性相关性等。
总结：九年级学生在学习向量的过程中，需要了解向量的概念、表示方法和性质，掌握向量的加法、减法和数乘运算规则，并能够在几何和代数中应用向量进行问题求解。
通过理解和掌握向量的知识，能够提高数学解题能力，并为高中阶段的学习打下坚实的基础。
注：此文章所用格式为一般的论述性文章格式，包括总述和小节划分。
专题1 平面向量的基础知识
专题1 平面向量的基础知识知识点一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的几何表示 1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度记作|AB →|. 2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →). 3.模、零向量、单位向量向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 知识点三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b . (2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量. 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【例1】（2022•开封开学）已知非零向量a 与b 共线，下列说法不正确的是( ) A ．a b =或a b =- B ．a 与b 平行C ．a 与b 方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a b λ=【例2】（2022•象山区期末）如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个知识点四 向量加法的定义及其运算法则 1.三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.2.平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则【例3】化简：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 知识点五 向量的减法1.定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示.3.如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.4.若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.【例4】（2022•禅城区月考）下列各式中结果为零向量的是( ) A ．AB MB BO OM +++ B ．AB AD DC -- C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-【例5】（2022•昌吉市期末）在四边形ABCD 中，若AB CD =-，且||||AB AD AB AD -=+，则四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形知识点六 向量数乘的定义1.实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa ＝0. 当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .2.向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .【例6】（2022•金牛区期末）已知a ，b 是不共线的向量，OA a b λμ=+，32OB a b =-，23OC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ，μ满足( ) A ．1λμ=-B ．5λμ=+C ．5λμ=-D ．135μλ=-【例7】（2021•浙江）已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件知识点七 共线向量表示之对面的女孩看过来平面上O ，A ，B 三点不共线，D 在直线AB 上，且AD AB λ=,令a OA =，b OB =，x OD =，则有(1)x b a λλ=+-其表达意思就是从一个顶点O 引出三个向量，且它们共线，每一个向量a ，b 分别乘以它对面的比值，简称对面的女孩看过来．特殊点：当D 为AB 中点时，12=λ，1122x b a =+（中线定理）注意：【例8】（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【例9】（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =，则(CB =)A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +知识点八 两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向.2.垂直：如果a 与b 的夹角是π2，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .知识点九 向量数量积的定义1.非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，2.投影向量：在平面内任取一点O ，作OM →＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量.设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→与e ，a ，θ之间的关系为OM 1→＝|a |cos θ e . 3.平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，e 是与b 方向相同的单位向量.则(1)a ·e ＝e ·a ＝|a |·cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (3)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(4)|a ·b |≤|a ||b |.知识点十 平面向量数量积的运算律1.a ·b ＝b ·a (交换律).2.(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律).3.(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). 【例10】（2022•乙卷）已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，|2|3a b -=，则(a b ⋅= ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【例11】（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【例12】（2020•新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos a <，(a b +>= ) A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例13】.（2022•上海）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ= ．知识点十一 平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.由于任何一个向量只能用同一组基底用一种形式表示，故我们可以通过设两个未知系数λ和μ，分别用两种不同形式来表达同一向量，最后通过同一基底必须时唯一的系数来列方程组，从而解出λ和μ. 【例14】在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|OM |：|OA |=1△3，|ON |：|1:4OB |，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a ，OB b ，用a ，b 表示向量OP ．【例15】（2022•重庆期末）在ABC ∆在中，点D 线段BC 上任意一点，点D 满足3AD AP =，若存在实数m 和n ，使得BP mAB nAC =+，则(m n += ) A ．23B ．13C ．13-D ．23-【例16】（2022•大理市校级月考）在ABC ∆中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的动点，若2AD DB =，3AE EC =，CDBE F =，AF mAB nAC =+，则(m n += )A ．16-B ．16 C ．56-D ．56【例17】（2022•濮阳开学）如图，在梯形ABCD 中，//AB DC 且2AB DC =，3BE EC =，2AF FD =，AE 与BF 交于点O ，则(AO = )A ．3477AB BC +B ．4377AB BC +C ．4355AB BC +D ．2377AB BC +【例18】（2022•潍坊月考）设||8,||5OA OB ==，且对任意t R ∈，均有||||OB OB tOA +，D 为线段AB 上一点，连接OD 并延长到P ，使||15OP =，若5()3PO xPB x PA =+-，则( )A ．ABO ∆为直角三角形B ．||10PD =C ．||6OD = D ．这样的D 点有2个知识点十二 平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).2.在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点十三 平面向量加、减运算以及数乘的坐标表示 1.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 向量加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) 向量减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.2.已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点十四 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.可简记为：纵横交错积相减. 知识点十五 平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(1)若a ＝(x ，y )，则|a |若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.【例19】（2021•乙卷）已知向量(1,3)a =，(3,4)b =，若()a b b λ-⊥，则λ= ． 【例20】（2021•甲卷）已知向量(3,1)a =，(1,0)b =，c a kb =+．若a c ⊥，则k = ．【例21】（2021•北京）已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ；a b ⋅= ．【例22】（2020•江苏）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =．若3()(2PA mPB m PC m =+-为常数），则CD 的长度是 ．【例23】（2022•长汀县月考）已知ABC ∆中，2AB =，BC 在AB 方向上的投影为3，D 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则下列式子有确定值的是( )A ．AB BD ⋅ B ．BD AC ⋅ C ．CE AB ⋅D ．CE BD ⋅达标训练1.（2022•乙卷）已知向量(2,1)a =，(2,4)b =-，则||(a b -= ) A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022•新高考Ⅱ）已知向量(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若a <，c b >=<，c >，则(t = ) A ．6-B ．5-C ．5D ．63.（2019•新课标Ⅱ）已知(2,3)AB =，(3,)AC t =，||1BC =，则(AB BC ⋅= ) A ．3-B ．2-C ．2D ．34.（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则( )A ．12||||OP OP =B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅5.（2022•天津）在ABC ∆中，CA a =，CB b =，D 是AC 中点，2CB BE =，试用a ，b 表示DE 为 ，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为 ．6.（2021•新高考Ⅱ）已知向量0a b c ++=，||1a =，||||2b c ==，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= ．7.（2022•浙江）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A ⋯的边12A A 上，则222128PA PA PA ++⋯+的取值范围是 ．8.（2021•天津）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ，//DF AB 且交AC 于点F ，则|2|BE DF +的值为 1 ；()DE DF DA +⋅的最小值为 ．9.（2020•浙江）已知平面单位向量1e ，2e 满足12|2|2e e -．设12a e e =+，123b e e =+，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是 ．10．（2020•上海）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ．11．（2020•上海）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1n n n n A A A A n +++⋅==，2，3)，112||||1(1n n n n A A A A n n +++⋅=+=，2，3)，则15||A A 的最小值为 ．12．（2019•浙江）已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是 ，最大值是 ．13．（2019•天津）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE = ．14．（2019•江苏）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ． 15．（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为 ．16．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD =，则点A 的横坐标为 ．17．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅，则点P 的横坐标的取值范围是 ．18.（2017•山东）已知1e ，2e 12e - 与12e e λ+的夹角为60︒，则实数λ的值是 ．19．（2017•天津）在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．20．（2017•北京）已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP 的最大值为 6 ． 21.（2022•广东月考）设a 与b 是两个不共线向量，关于向量a b λ+，(1)2a b λλ-+，(2)b a --，则下列结论中正确的是( )A ．当1λ>时，向量a b λ+，(1)2a b λλ-+不可能共线B ．当3λ>-时，向量a b λ+，(2)b a --可能出现共线情况C ．若0a b ⋅=，且,a b 为单位向量，则当3λ>-时，向量(1)2a b λλ-+，(2)b a --可能出现垂直情况D ．当2λ=时，向量()22a b b a λ---与平行22．（2022•龙凤区期末）如图，在等腰直角ABC ∆中，斜边||6BC =，且2DC BD =，点P 是线段AD 上任一点，则AP CP ⋅的可能取值是( )A ．1-B ．0C ．4D ．523.（2022春•甘肃期末）在ABC ∆中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，CM 与BN 交于P 点，若3177AP AB AC =+，则( ) A ．AM MB = B ．2AM MB = C ．3AN NC =D ．13AN NC =24.（2022•辽宁期末）在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则( ) A ．3()2()AB AD AE AF +=+ B ．2ACBF DE +=C ．0AE AF DE BF ⋅+⋅=D ．AE DE AF BF ⋅=⋅。
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向量的基础知识点
向量是一种数学概念，用来表示有方向和大小的物理量。
它表示在空间中物体运动的方向和大小，以及物体彼此之间相互作用的力或能量的方向和大小。
它还用于表示由两个点确定的线段的引力或速度的方向和大小。
向量可以使用箭头描绘，并由一个开头和一个结尾确定，在箭头上标有方向信息，表示方向，箭头的长度表示大小。
向量的核心参数由它的坐标（x，y）构成，可用一对数字表示。
比如，(2, 3)表示在x轴正方向上2个单位，在y轴向正方向上3个单位（即2
和3是方向和大小）。
向量也可以用大小表达，表示为一下公式：|v| = √（x^2 + y^2）。
由矢量的定义，矢量可以进行分加法和定义几何意义的向量的乘法，其中标量对乘法和定义几何意义的除法起着重要作用。
在科学领域，矢量还被用于表示电磁场和重力场等更多复杂的量，可以使用物理量来分解，用更加抽象的概念来表示，其中矩阵成为处理矢量的重要工具。