二次根式及其有意义的条件.docx
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点总结及其应用二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
1.二次根式的定义和性质二次根式是数学中的一种运算符号，表示一个非负实数的算术平方根。
如果a≥0，则√a是一个实数；如果a<0，则√a是一个虚数。
二次根式的性质有以下几点：（1）非负数的非负平方根是一个实数，记作√a，其中a≥0；（2）非负实数a的平方根必须满足：如果x是a的平方根，则-x也是a的平方根；（3）二次根式的运算规律：√ab=√a·√b，√(a/b)=√a/√b。
2.简化二次根式简化二次根式是指将一个二次根式写成最简形式。
其中的关键是将根号下的数分解成若干个因数的平方。
一般地，对于一个非负实数a，我们可以将其分解为质因数的乘积，然后将其中的每个质因数的平方提取出来写成一个二次根式。
例如，对于√12，我们可以将12分解为2×2×3，然后将2和3的平方根提取出来，得到√12=2√33.二次根式的四则运算对于二次根式的加、减、乘、除，我们需要根据运算规律来进行计算。
（1）加减：对于两个二次根式的加减，可以先化简，然后将其中的同类项合并。
例如，计算√3+2√3，可以化简得到3√3，再将3√3与2√3相加，得到5√3（2）乘法：对于两个二次根式的乘法，使用运算法则√ab=√a·√b，将根号下的数分解后相乘。
例如，计算(√2+√3)(√2-√3)，可以用分配律展开，得到2-3=-1（3）除法：对于两个二次根式的除法，也使用运算法则√(a/b)=√a/√b，将根号下的数分解后相除。
例如，计算(√8)/(√2)，可以化简得到√2，即(√8)/(√2)=√24.二次根式的应用二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。
（1）几何应用：二次根式常用于计算几何图形的面积和边长。
例如，计算正方形的对角线长度、矩形的对角线长度等。
（2）物理应用：二次根式常用于计算一些物理问题。
二次根式及其有意义的条件
【考点精讲】1. a ≥0）的式子叫做二次根a ”叫做被开方数。
2. 当a ＞0a 0；当a ＝00＝0。
a ≥0）是一个非负数。
【典例精析】例题1 下列各式中，是二次根式的有（ ） 10，32+x ，315，π，5- A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个思路导航：315的根指数为3；5-的被开方数是负数，所以不是二次根式；10，32+x ，π符合二次根式的条件，所以是二次根式的有3个。
答案：C点评：二次根式必须满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。
这两个条件缺一不可。
利用这两个条件逐一判断即可。
例题2 当x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）2)3(-x ；（2）x 34-；（3）11-x 思路导航：要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。
答案：解：（1）因为（x －3）2≥0，所以无论x 取任何实数，2)3(-x 都有意义；（2）若x 34-有意义，则必有4－3x ≥0，即当x ≤34时，x 34-有意义； （3）若11-x 有意义，则必有x －1＞0，即当x ＞1时，11-x 有意义。
点评：本题考查了二次根式及分式有意义的条件。
用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为0；二次根式的被开方数是非负数。
本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。
例题3 已知x 、y 为实数，y=12x -，试求3x+4y 的值。
思路导航：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值。
答案：解：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-040422x x ，所以x2=4，所以x=±2，又因为x －2是原式分母，所以x －2≠0，所以x ≠2，所以x=－2，此时，y=－41，所以3x+4y=3×（－2）+4×（－41）=－7。
点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为0。
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。
在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。
例如，√9等于3，因为3的平方等于9。
2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。
b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。
（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。
b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。
3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。
例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。
（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。
（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。
例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。
总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。
通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。
因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。
以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。
通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。
二次根式的定义和有意义的条件
二次根式的定义和有意义的条件1. 什么是二次根式？好啦，咱们今天来聊聊“二次根式”这个听上去挺高大上的词。
其实，它说白了就是一种数学表达式，表示的是一个数的平方根。
比如说，√4就是2，因为2的平方（2×2）就是4。
简单吧？不过，要注意哦，二次根式不仅仅是个数字，还是数学中的一块“宝地”。
想象一下，二次根式就像是数学里的小精灵，帮助我们解锁一些有趣的问题。
1.1 二次根式的基本形式那二次根式到底长啥样呢？它的基本形式就是√a，其中a是个非负数。
也就是说，a不能是负数哦。
为什么呢？因为我们知道，负数没有实数平方根，像√(1)这种情况，就会让我们陷入虚无缥缈的世界，甚至要引入“虚数”这个概念，听上去就像是一部科幻小说一样。
所以说，咱们要确保根号里的数是个“乖孩子”，这样才能在现实生活中顺利使用。
1.2 有意义的条件说到有意义的条件，其实就是在强调什么情况下二次根式才能正常工作。
简单点说，根号里的数必须非负，这个条件不容忽视！就像是咱们平常做事情要遵循一些原则，数学也是如此。
比如说，根号里是负数，那就麻烦了，直接让你进入“无解”状态。
如果我们想计算√(4)，结果就是一阵迷茫——这是因为我们根本无法找到一个数，让它平方后变成4。
这就好比想找个影子，却发现太阳都没出来。
2. 二次根式的运算接下来，我们来聊聊二次根式的运算。
二次根式的运算就像是在厨房里做菜，得掌握一些技巧和配方，才能把它做得美味可口。
比如说，咱们可以进行加减乘除，这些操作虽然看似简单，但细节可不能马虎哦。
2.1 加法与减法在进行加法和减法时，得先确保根号里的数能进行运算。
比如说，√2 + √2，这就很简单，结果是2√2；但如果是√2 + √3，那就不能直接加了，咱们就得把它们留着，分别算着。
就像是两个好朋友，各自有各自的故事，不能随便混在一起说话。
2.2 乘法与除法说到乘法，事情就变得有趣了。
√a × √b = √(a × b)，这就跟在一起耍杂技一样，根号里的数可以合并。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。
二次根式的运算公式.docx
二次根式的运算公式二次根式是高中数学中一个重要的概念，它涉及到了根号的运算和二次方程的解法。
在这篇文章中，我们将探讨二次根式的运算公式，并说明其在实际生活和学习中的应用。
首先，让我们回顾一下二次根式的定义。
二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个实数，且a大于等于0。
在二次根式的运算中，我们必须熟练掌握以下两个重要的运算公式：乘法公式和化简公式。
乘法公式用于计算两个二次根式的乘积。
设√a和√b是两个二次根式，其中a和b都是实数且大于等于0。
根据乘法公式，它们的乘积可以表示为√(a*b)。
例如，√2 * √3 = √(2*3) = √6。
这个公式在实际生活中的应用很广泛，比如在计算几何中，当我们需要求解两个边长相乘得到的面积时，就可以利用这个公式来简化计算过程。
化简公式用于简化复杂的二次根式。
举个例子，如果我们要化简√(4*√3)，根据化简公式，可以得到√4 * √√3 = 2 * √√3。
这个化简公式在求解数学问题中非常有用，它可以帮助我们将复杂的根式转换成更简单的形式，以便于进一步运算或解题。
除了乘法公式和化简公式，还有一些其他的二次根式运算公式，比如加减法公式和有理化公式，它们在高中数学的学习中也是非常重要的。
加减法公式主要用于计算带有二次根式的加减法运算，有理化公式则用于将分母中含有二次根式的有理数转化为分母没有二次根式的形式。
在实际应用中，我们可以看到二次根式的运算公式在各个科学领域都起到了重要的作用。
比如在物理学中，当我们需要计算一些特定形状的物体的体积或表面积时，常常会遇到二次根式的运算。
此时，我们可以利用二次根式的运算公式来简化计算过程，并得到准确的结果。
总结起来，二次根式的运算公式是高中数学中一个重要的知识点。
通过学习乘法公式、化简公式以及其他相关的运算公式，我们可以更加灵活地进行二次根式的运算，并在实际生活和学习中应用这些知识。
无论是在解决几何问题、物理计算还是其他领域中，二次根式的运算公式都是我们不可或缺的工具，为我们解决复杂的数学问题提供了便利。
二次根式有意义的取值范围
二次根式有意义的取值范围
二次根式是指形如 $\sqrt{x}$ 的算式，其中 $x$ 是非负实数。
在数学中，二次根式代表的是一个正实数。
因为二次根式是非负实数，所以必然存在一个有意义的取值范围。
以下是二次根式有意义的取值范围的详细解析：
1. 当 $x$ 等于 0 时，$\sqrt{x}$ 的值为 0。
所以当 $x$ 为 0 时，二次根式的值为 0。
2. 当 $x$ 大于 0 时，$\sqrt{x}$ 的值为正实数。
也就是说，当 $x$ 大于0 时，二次根式的值为一个大于 0 的正实数。
3. 当 $x$ 小于等于 0 时，$\sqrt{x}$ 没有实数解。
因此，当 $x$ 小于等于 0 时，二次根式没有实数解，也就说没有意义。
综上所述，二次根式的有意义取值范围为 $x > 0$，即：当 $x$ 大于 0 时，二次根式的取值有意义，为一个大于 0 的正实数。
当 $x$ 小于等于 0 时，二次根式没有实数解，所以没有意义。
总结：
有意义取值范围：$x > 0$。
无意义取值范围：$x \le 0$。
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初中数学 二次根式及其有意义的条件 编稿老师
徐文涛 一校
杨雪
二校
黄楠
审核
隋冬梅
【考点精讲】
概念
二次根式 表示方法
有意义的条件
1. 二次根式：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，其中“
”称为
二次根号，“ a ”叫做被开方数。
2. 当 a ＞ 0 时，
a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞ 0； 当 a ＝0 时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a ＝ 0。
这就是说，
a （ a ≥ 0）是一个非负数。
【典例精析】
例题 1
下列各式中，是二次根式的有（
）
10 ， x 2 3 ， 3 15 ，
，5
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
思路导航：
3
15 的根指数为 3； 5 的被开方数是负数，所以不是二次根式；
10 ，
x 2
3 ，
符合二次根式的条件，所以是二次根式的有
3 个。
答案： C
点评： 二次根式必须满足两个条件：①根指数为 2；②被开方数为非负数。
这两个条件缺一不可。
利用这两个条件逐一判断即可。
例题 2 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义
（ 1）
(x 3) 2 ；（ 2） 4 3x ；（ 3）
1
x 1
思路导航： 要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，
如果分母中有根式， 那么
被开方数必须是正数，因为零不能作分母。
答案： 解：（ 1）因为（ x － 3） 2≥0，所以无论 x 取任何实数，
(x 3) 2 都有意义；
（ 2）若
4 3x 有意义，则必有 4－3x ≥0，即当 x ≤ 4
时， 4 3x 有意义；
3
（ 3）若
1 有意义，则必有 x － 1＞ 0，即当 x ＞ 1 时， 1 有意义。
x 1 x
1
点评： 本题考查了二次根式及分式有意义的条件。
用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为 0；二次根式的被开方数是非负数。
本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。
例题 3 已知 x 、y 为实数， y=
x
2
4
4 x 2
1
，试求 3x+4y 的值。
x 2
思路导航： 根号内是非负数，分母不为
0 来综合考虑，得到相应的未知字母的值。
x 2 4 0 2
是原式分母，
答案： 解：依题意得
x 2
，所以 x =4，所以 x=±2，又因为 x － 2
4
所以 x －2≠0，所以 x ≠2，所以 x=－ 2，此时， y= － 1
，所以 3x+4y=3× （－ 2）+4×（－
1
）
4
4
=－ 7。
点评： 用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为
0。
【总结提升】
1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点：
（ 1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号，如 3 ， 9 ， 0.01 。
（ 2）“
”的根指数为 2，即“ 2
”，我们一般省略根指数
2，例如 2 5 写作 5 ，
而 3 5 不是二次根式，所以
3
5 不能写作 5 。
2. 需要掌握三个具有非负性的式子：①a
2
≥0；② |a| ≥0；③
a ≥0（a ≥0）。
例如： x
1 +（ y － 1） 2+|z|=0 ， x 1 =0，（ y － 1）2=0，|z|=0 ，则 x=－ 1，y=1，z=0。
2
2
3. 如果将公式
a a （ a ≥ 0）逆用，即 a
a （ a ≥ 0），就可以把一个非负数写
成一个数的平方的形式。
例如： 3
2
， a
b
a 2
3 b 。
（ a － b ≥ 0）
a 2
a 2
2
这一公式常用在因式分解中，如：
5 5 (a 5)( a 5) 。
（答题时间： 20 分钟）
1. 下列式子中，是二次根式的是（
）
A. － 7
B.
3
7 C. x D.
x
2. 要使
a
是二次根式，则应满足的条件是（
）
b
A. a ≥0且 b ≥0
B. a ≥0且 b ＞ 0
C. a
＞ 0
D.
a
≥0且 b ≠0
b
1
b
3. 函数 y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ）
x 2
A. B.
C. D.
4.使式子( x 5)2有意义的未知数 x 有（）个
A. 0
B. 1
C. 2
D.无数
5.已知12 a 是正整数，则实数 a 的最大值为（）
A. 12
B. 11
C. 8
D. 3
6.若 m2n 112n 2 ，则ｍ=_______，ｎ＝。
7.要使3
1
有意义，则 x 应满足 ________。
x
2 x1
8.如果49a 的值是一个整数，且是大于 1 的数，那么满足条件的最小的整数a=____。
9.x 取什么实数时，下列各式有意义
（ 1） 3 4x ；（ 2）3x 2 ；
（ 3）(x 3) 2；（ 4）3x4 4 3x
10. 已知a、b、c为实数，且 a 3 b 2 2c 1 0，求a、b、c的值。
1. A 解析：二次根式满足两个条件：①根指数是 2；②被开方数为非负数，故选A 。
2. D
解析：根据二次根式的意义，被开方数
a
≥0；又根据分式有意义的条件， b ≠0。
b
3. D 解析：根据题意，得 x － 2＞ 0，解得 x ＞ 2，在数轴上表示为故选
D 。
4. B
解析： ( x 5)2 0 即 ( x 5)2
0 ，所以 x 5 0 ，即 x=5，有 1 个值，故选 B 。
5. B
解析：∵
12 a 是正整数，∴ 12－ a>0， a<12，当 12 a 1 时， a=11，即为最 大，故选 B 。
6.
m 2 n
1 0 ， 1 2n 0
1
解析： 2n 1
，所以 n
2
2
7. 根据题意得： 3－x ≥0且 2x － 1＞0，解得：
1
＜x ≤3。
，此时， m=－ 2。
2
8.
∵ 49a =7 a ，又 7 是质数，故要使
49a 的值是一个整数，且 a 也是整数，∴a
是一个完全平方数，∴ a=1。
9.
（ 1） x
3 （ 2） x
2
（ 3）任意实数
4
4 3
（ 4） x
3
10.
a 3
b =－ 2
c =1
解：∵
a 3
0 ， (b 2) 2 0 ， | c 1|
∴ a =3， b=－ 2，c=1。