山西省太原北辰双语学校2016届中考数学考点专题复习课件-特殊三角
山西省太原北辰双语学校2016届中考数学考点专题复习课件-整式及其
3．(2015· 佛山)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则 m＋n＝(C ) A．1 B．－2 C．－1 D．2
4．(2014· 南昌)如图①，将一个边长为 a 的正方形纸片剪去两个小矩形， 得到一个“ ”的图案，如图②所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩 形，如图③所示，则新矩形的周长可表示为( B ) A．2a－3b B．4a－8b C．2a－4b D．4a－10b
3．乘法公式的常用变形： (1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； (2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； (3) (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (4) (a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
2 2 （ a ＋ b ） ＋（ a － b ） (5) a2＋b2＝ 2
(6) 2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) (7) 4ab＝(a＋b)2－(a－b)2
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【例1】 (1)(2015·连云港)下列运算正确的是( B) A．2a＋3b＝5ab B．5a－2a＝3a C．a2· a3＝a6 D．(a＋b)2＝a2＋b2
(2)(2015·北海)下列运算正确的是( C ) A．3a＋4b＝12a B．(ab3)2＝ab6 C．(5a2－ab)－(4a2＋2ab)＝a2－3ab D．x12÷x6＝x2 4xy－3y (3)计算：3(2xy－y)－2xy＝ ． 【点评】 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先 去括号，只要算式中没有同 类项，就是最后的结果． 版权所有-
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1．(2015·厦门)已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个 单项式可以是( D ) A．－2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3 2．(2015·黔南州)下列运算正确的是( D ) A．a· a5＝a5 B．a7÷a5＝a3 C．(2a)3＝6a3 D．10ab3÷(－5ab)＝－2b2
山西省太原北辰双语学校2016届中考数学考点专题复习课件-多边形与
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1．公因式确定的步骤： (1)看系数：取各项整数系数的最大公约数． (2)看字母：取各项相同的字母． (3)看指数：取各相同字母的最低次幂． 如：分解因式6xy2＋2xy，第一步取系数为6和2的最大公约数2，第二 步取相同字母为xy，第三步取xy的最低次幂为1，故公因式为2xy. 2．因式分解的思考步骤 (1)提取公因式； (2)看有几项：如果为二项时，考虑使用平方差公式；如果为三项时 ，考虑使用完全平方公式； (3)检查是否分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为 一个新的多项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直 至不可能分解为止． 以上步骤可以概括为“一提二套三查”． 3．变形技巧 版权所有当n为奇数时，(a－b)n＝－ (b－a)n；
【例3】 (1)①(2015·哈尔滨)把多项式9a3－ab2因式分解的结果 a(3a＋b)(3a－b) 是 ； 2 ②(2015·巴中)分解因式：2a2－4a＋2＝ 2(a－1) ． (2)分解因式： ①(2015·株洲)因式分解： x2(x－2)－16(x－2)＝ (x－2)(x＋4)(x－4) ； ②(2015·酒泉)分解因式：x3y－2x2y＋xy＝ xy(x－1)2 ． 【点评】 (1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为 a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形， 使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式， 可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全 平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．
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3．(2015·北海)下列因式分解正确的是(D ) A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4ຫໍສະໝຸດ 2(x＋2) x2(x－2y) ．
中考数学(山西地区)总复习(课件)类型2 探究动点与特殊三角形存在性问题
题型五 几何动态与二次函数综合题
类型2 探究动点与特殊三形存在性问题
【例2】 (2016·山西)综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两 点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与 抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)， (6，－8)． (1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写 出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l 交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
解得 k2＝43，
∴直线 CE 的函数表达式为 y＝43x－8，令 y＝0，得43x－8＝0，∴x＝6， ∴点 N 的坐标为(6，0)．∵CN∥PB.∴∠2＝∠3，∠ONC＝∠OBP， 则△OPB∽△OCN，∴OOCP＝OONB，∴－8m＝86，解得 m＝－332.
综上所述，当 m 的值为－83或－332时，△OPQ 是等腰三角形
②当 QO＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如图②，∵当 x＝0 时，y＝12x2－3x －8＝－8，∴点 C 的坐标为(0，－8)，∴CE＝ 32＋（8－4）2＝5，∴OE＝CE， ∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.设直线 CE 交 x 轴于点 N，其函数表达式为 y＝k2x－8，将 E(3，－4)代入得 3k2－8＝－4，
2．(2016·山西百校联考二)综合探究：如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛
物线 y＝－13x2＋bx＋8 与 x 轴交于点 A(－6，0)和点 B(点 A 在点 B 左侧)，与 y
山西省太原北辰双语学校2016届中考数学考点专题复习课件-函数的应
4．(2015· 铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图 1 所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y＝－25x2， 当水面离桥拱顶的高 度 DO 是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为( C ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
5．(2015· 营口)某服装店购进单价为 15 元童装若干件，销售一段时间后 发现：当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件，而当销售价每降低 2 元，平 22 元时，该服装店平均每天的销售 均每天能多售出 4 件，当每件的定价为____ 利润最大．
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[对应训练] 1．(2015·新疆)某超市预计购进A，B两种品牌的T恤共200件 ，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A种T恤x件，且所购进 的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．
品牌 A B
进价/(元/件) 50 40
售价/(元/件) 80 65
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【例1】 (2015·丽水)甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的 图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走 ．设甲、乙两人相距s(米)，甲行走的时间为t(分)，s关于t的函数图 象的一部分如图所示．(1)求甲行走的速度； (2)在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分； (3)问甲、乙两人何时相距360米？
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1．(2015· 广西)已知矩形的面积为 10，长和宽分别为 x 和 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是( C )
,A)
,B)
,C)
,D)
2．(2015· 重庆)今年五一节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中， 中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为 t(分钟)，所走的路程为 s(米)，s 与 t 之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是( C ) A．小明中途休息用了 20 分钟 B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟 70 米 C．小明在上述过程中所走的路程为 6600 米 版权所有D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平
山西省太原北辰双语学校2016届中考数学考点专题复习课件-平面直角
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1．(2015· 重庆)在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为(－3，2)，则点 P 所在的象限是( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2015· 内江)函数 y＝ 2－x＋ A．x≤2 B．x≤2 且 x≠1 C．x＜2 且 x≠1 D．x≠1
1 1 3 ＝ ED· EF＝ (2－x)· 3(2－x)，即 y＝ (x－2)2，(x＜2)，故选 A 2 2 2
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5．常量、变量 常量；可以取不同数值 在某一过程中，保持数值不变的量叫做____ 变量 的量叫做____ ． 6．函数 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的 每一个确定的值，y都有 唯一确定 的值与它对应，那么就说 x是 自变量 ，y是x的函数 ____． 7．函数自变量取值范围 由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义；对 于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义． 8．函数表示方法 函数的三种表示法： ① 解析法 ；② 列表法 ；③ 图象法 ．
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1．正确理解“唯一” 函数概念中，“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应 ”这句话，说明了两个变量之间的对应关系，对于x在取值范围内每 取一个值，都有且只有一个y值与之对应，否则y就不是x的函数．对 于“唯一性”可以从以下两方面理解：①从函数关系方面理解；② 从图象方面理解． 2．如何分析函数的图象 判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：①找起点： 结合题干中所给自变量的取值范围，对应到图象中找相对应的点； ②找转折点：图象在转折点处发生变化；③找终点：图象在终点处 结束；④判断图象趋势：结合起点、转折点、终点判断出函数图象 的运动变化趋势；⑤看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.
山西省太原北辰双语学校2016届中考数学考点专题复习课件-因式分解
；
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)－(2x－1)＝(x＋1)(x－1)，解 得 x＝2.经检验：当 x＝2 时，(x＋1)(x－1)≠0，∴原分式方程的解为：x＝2
【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分 式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将 分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的 每一项，不要漏乘常数项； (2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后 整式方程的某个根，如果它使分式方程的某些分母为零，则是原 方程的增根，须舍去． 版权所有-
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x 2 (3) (2015· 德州)方程 －x＝1 的解是 x－1 3x 6 (4)(2015· 龙岩)解方程：1＋ ＝ . x－2 x－2
x＝2
．
解：方程两边同乘以 (x－2)得，(x－2)＋3x＝6，解得；x＝2，检验 ： 当x＝2时，x－2＝0，∴x＝2不是原分式方程的解，∴原分式方程 无解
【例 3】 (2015· 贵港)某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知 去年月平均生产量为 120 台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量 增长了 m%，二月份的生产量又比一月份生产量多 50 台机器，而且二月份生 产 60 台机器所需要时间与一月份生产 45 台机器所需时间相同，三月份的生 产量恰好是去年月平均生产量的 2 倍． 问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m 的值是多少？ 解：设去年月平均生产效率为 1，则今年一月份的生产效率为(1＋m%)， 5 60 45 二月份的生产效率为 1＋m%＋ .根据题意得： ＝ ， 解得： 12 5 1＋m% 1＋m%＋ 12 1 1 m%＝ .经检验可知 m%＝ 是原方程的解．∴m＝25.∴第一季度的总产量＝ 4 4 120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590. 答：今年第一季度生产总量是 590 台，m 的值是 25
山西省太原北辰双语学校2016届中考数学考点专题复习课件-分式及其
数学
分式及其运算
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1．分式的基本概念 A (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0) 的式子叫分式； (1)形如 B (2)当 B≠0 当 当 A 时，分式B有意义； A 时，分式B无意义； A 时，分式B的值为零．
B＝0
A＝0且B≠0
2．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以) 同一个不等于零的整式 ，分式的值不 A A×M A A÷ M ， ＝ (M 是不等于零的整式) 变，用式子表示为 B＝ ． M B×M B B÷
B．－a2b2·3ab3＝－3a2b5 a2－1 1 D. a · ＝－1 a＋1
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5．(2015·莱芜)甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v 保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地， 则下列结论中正确的是( B ) A．甲乙同时到达B地
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1．分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注 意与分数进行类比学习理解． 2．分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通 分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分 ；⑥化积为差，裂项相消． 3．分式求值中的常用技巧 分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化 ．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入 法；⑤倒数法．
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x－2 (3)(2015· 衡阳)若分式 的值为 0，则 x 的值为( C ) x＋1 A．2 或－1 B．0 C．2 D．－1
A 【点评】 (1)根据分式定义：形如B(A，B 表示两个整式)，且 B 中含 A 有字母，则式子B叫做分式； (2)分式有意义就是使分母不为 0，解不等式即可求出，有时还要考虑 二次根式有意义； (3)首先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母 的值为 0，当它使分母的值不为 0 时，这就是所要求的字母的值．
太原市中考数学复习难题突破专题四：特殊三角形存在性问题
难题突破专题四特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．类型1 等腰三角形存在性问题1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．(1)求点A，B的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．图Z4－1(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．解题方法点析对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题图Z4－22 如图Z4－2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．例题分层分析(1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2)△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．解题方法点析本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．专题训练1．如图Z4－3，点O(0，0)，A(2，2)，若存在点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P的个数为________．图Z4－32．[2019·湖州] 如图Z4－4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．图Z4－43．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－54．[2019·张家界] 如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．(1)求C1的解析式；(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．图Z4－65.[2019·攀枝花] 如图Z4－7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE ＋EF的最大值．(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图Z4－76．如图Z4－8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图Z4－8参考答案类型1 等腰三角形存在性问题例1 【例题分层分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．(3)①x＝1 (1，a)②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 解：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，设Q(1，a)．①当AQ ＝BQ 时，如图①，设抛物线的对称轴交x 轴于点D ，过点B 作BF⊥DQ 于点F. 由勾股定理，得BQ ＝BF 2＋QF 2＝（1－0）2＋（3－a ）2， AQ ＝AD 2＋QD 2＝22＋a 2，得（1－0）2＋（3－a ）2＝22＋a 2，解得a ＝1， ∴点Q 的坐标为(1，1)． ②当AB ＝BQ 时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a －3）2＝10， 解得a ＝0或6，当点Q 的坐标为(1，6)时，其在直线AB 上，A ，B ，Q 三点共线，舍去，∴点Q 的坐标是(1，0)．③当AQ ＝AB 时，如图③，由勾股定理，得22＋a 2＝10，解得a ＝±6，此时点Q 的坐标是(1，6)或(1，－6)． 综上所述，存在符合条件的点Q ，点Q 的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)． 类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题 例2 【例题分层分析】(1)顶点 点B 待定系数 (2)点A ，B ，Q 解：(1)把(1，－4)代入y ＝kx －6，得k ＝2， ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝2x －6. 令y ＝0，解得x ＝3，∴点B 的坐标是(3，0)． ∵点A 为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)2－4， 把(3，0)代入，得4a －4＝0， 解得a ＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3. (2)存在．∵OB＝OC ＝3，OP ＝OP ， ∴当∠POB＝∠POC 时，△POB ≌△POC ， 此时OP 平分第二象限，即直线PO 对应的函数表达式为y ＝－x. 设P(m ，－m)，则－m ＝m 2－2m －3， 解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝1＋132＞0，舍去， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132，13－12.(3)如图，①当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ 1DB ，即56＝DQ 13 5， ∴DQ 1＝52，∴OQ 1＝72，即点Q 1的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－72；②当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴OB OD ＝OQ 2OB ，即36＝OQ 23， ∴OQ 2＝32，即点Q 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；③当∠AQ 3B ＝90°时，过点A 作A E⊥y 轴于点E ， 则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴OB Q 3E ＝OQ 3AE ，即34－OQ 3＝OQ 31， ∴OQ 32－4OQ 3＋3＝0，∴OQ 3＝1或3， 即点Q 3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)．专题训练 1．6 2.3 77或155[解析] 考查反比例函数中系数k 的几何意义及等腰三角形的性质． 用B ，A 两点的坐标来表示C 点坐标，得到BC 的长度，然后分三种情况讨论k 值．设B(a ，9a )，A(b ，1b )，∴C(a ，1a )，ka ＝9a ，kb ＝1b ，∴a 2＝9k ，b 2＝1k .又∵BD⊥x 轴，∴BC ＝8a .①当AB ＝BC 时，AB ＝（a －b ）2＋（ka －kb ）2，∴1＋k 2(a －b)＝8a ，∴1＋k 2(3k －1k)＝83k ，∴k ＝3 77.②当AC ＝BC 时，AC ＝（b －a ）2＋（1b －1a）2，∴(1＋k 29)(3k －1k)2＝64k 9，∴k ＝155.③当AB ＝AC 时，∴1＋k 29＝1＋k 2，∴k ＝0(舍去)．综上所述，k ＝3 77或155.3．解：①若∠BAP＝90°，易得P 1(0，2)． ②若∠ABP＝90°，易得P 2(0，－3)．③若∠BPA＝90°，如图，以AB 为直径画⊙O′与x 轴、y 轴分别交于点P 3，P 4，P 5，P 6，AB 与x 轴交于点C ，过点O′作O′D⊥y 轴于D 点．在Rt △DO ′P 5中易知O′D＝2，O ′P 5＝52，则P 5D ＝254－4＝32， OP 5＝P 5D －OD ＝32－12＝1，则P 5(0，1)．易知P 5D ＝P 6D ，则P 6(0，－2)．连结O′P 3，O ′P 4，易求出P 3(2－6，0)，P 4(2＋6，0)．综上所述，存在点P ，使得△ABP 为直角三角形，坐标为P 1(0，2)，P 2(0，－3)，P 3(2－6，0)， P 4(2＋6，0)，P 5(0，1)，P 6(0，－2)．4．解：(1)∵抛物线C 1的顶点坐标为A(－1，4)， ∴设C 1的解析式为y ＝a(x ＋1)2＋4，把D(0，3)代入得3＝a(0＋1)2＋4，解得a ＝－1， ∴C 1的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3，y ＝x ＋m ，得x 2＋3x ＋m －3＝0，Δ＝32－4×1×(m－3)＝－4m ＋21＝0，∴m ＝214. (3)抛物线C 2的顶点坐标为(1，4)，l 2与C 1和C 2共有：①两个交点，这时l 2过抛物线的顶点，∴n ＝4；②三个交点，这时l 2过两条抛物线的交点D ，∴n ＝3；③四个交点，这时l 2在抛物线的顶点与点D 之间或在点D 的下方，∴3<n<4或n<3.(4)根据抛物线的对称性可知，C 2的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3，与x 轴正半轴的交点B 的坐标为(3，0)，又A(－1，4)，∴AB ＝42＋42＝4 2.①若AP ＝AB ，则PO ＝4＋1＝5，这时点P 的坐标为(－5，0)；②若BA ＝BP ，若点P 在点B 的左侧，则OP ＝BP －BO ＝4 2－3，这时点P 的坐标为(3－4 2，0)，若点P 在点B 的右侧，则OP ＝BP ＋BO ＝4 2＋3，这时点P 的坐标为(3＋4 2，0)；③若PA ＝PB ，这时点P 是线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，显然PA ＝PB ＝4，∴P(－1，0)． 综上所述，点P 的坐标为(－5，0)或(3－4 2，0)或(3＋4 2，0)或(－1，0)．5．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)由题易知OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°.同理可知∠OFE＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形．以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H 点，如图①，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取得最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2.(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x ＝2，设D(2，n)，如图②.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2，即(2－0)2＋(n －3)2＋(3 2)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形且D 在C 的下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2，即(2－3)2＋(n －0)2＋(3 2)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.综上所述，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图③，以BC 的中点T(32，32)为圆心，12BC 为半径作⊙T，与抛物线的对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°， 设D(2，m)为⊙T 上一点，由DT ＝12BC ＝3 22，得(32－2)2＋(32－m)2＝(3 22)2， 解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)，又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，则D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜y D ＜32－172或32＋172＜y D ＜5.6．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝8a ＋c ，4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝4，∴所求抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)如图①，设点Q 的坐标为(m ，0)，过点E 作EG⊥x 轴于点G.由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)， ∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2. ∵QE ∥AC ， ∴△BQE ∽△BAC ， ∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26， ∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO －12BQ·EG ＝12(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m ＋43＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m －1)2＋3.∵－2≤m≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时点Q 的坐标为(1，0)． (3)存在．在△ODF 中， ①若DO ＝DF ， ∵A(4，0)，D(2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2.又在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)．由－12x2＋x＋4＝2，得x1＝1＋5，x2＝1－5，∴点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)．②若FO＝FD，如图②，过点F作FM⊥x轴于点M，由等腰三角形的性质得OM＝12OD＝1，∴AM＝3，∴在等腰直角三角形AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)．由－12x2＋x＋4＝3，得x1＝1＋3，x2＝1－3，∴点P的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)．③若OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，∴AC＝4 2，∴点O到AC的距离为2 2，而OF＝OD＝2，与OF≥2 2相矛盾，∴AC上不存在点F，使得OF＝OD＝2，∴不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如下表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数和众数分别是（ ）A.9，4B.9，8C.8，4D.8，82．关于x 的方程（m ﹣2）x 214＝0有实数根，则m 的取值范围（ ） A ．m≤52且m≠2 B ．m ＞52 C ．m≤52D ．m≤3且m≠23．画△ABC ，使∠A=45°，AB=10cm ，∠A 的对边只能在长度分别为6cm 、7cm 、8cm 、9cm 的四条线段中任选，可画出（ ）个不同形状的三角形． A.2 B.3C.4D.64．如图，正的边长为2，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（ ）A. B.2 C. D.45．函数ky x=与y ＝﹣kx 2﹣k （k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是直线x ＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③a ＜﹣23；④若方程ax 2+bx+c ﹣2＝0的两个根为x 1和x 2，则（x 1+1）（x 2﹣3）＜0，正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．47．菱形ABCD 中，605B AB ∠=︒=，，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．208．下列运算正确的是( ) A ．336a a a += B ．222()a b a b +=+C ．22122mm -=D ．2222)2961a a a ÷=-+9．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．已知a ﹣b=3，c+d=2，则（b+c ）﹣（a ﹣d ）的值是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣5 D ．1511．如图①，在菱形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B→C→D→B 运动．设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ．把y 看作x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于（ ）A．B．C．5 D．412．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，侧得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为( )A．B．C．D．二、填空题13．02019的相反数是____.14．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝_____．15．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．16．因式分解：8a3﹣2ab2=_____．17．某种书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分按八折付款．设一次购书数量为x本(x＞10)，则付款金额为___________元．18．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．三、解答题19．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A 种树苗5棵，B种树苗3棵，需要840元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，需要760元．（1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于30棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，现需购进这两种树苗共100棵，怎样购买所需资金最少？20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当x＞0时，的解集．（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．21．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE ：EB ＝1：2，BC ＝12，求AE 的长．22．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）当自变量x 的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，求m 的值．23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE ． (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CD ＝6cm ，DE ＝5cm ，求⊙O 直径的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2ax-3a （a≠0）顶点为P ，且该抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．我们规定：抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．（1）求抛物线y=ax 2-2ax-3a 顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）如果抛物线y=ax 2-3ax-3a 经过（1，3）． ①求a 的值；②在①的条件下，直接写出“G 区域”内整点的个数．（3）如果抛物线y=ax 2-2ax-3a 在“G 区域”内有4个整点，直接写出a 的取值范围．25．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，EDF ∠的顶点D 在线段BC 上，不与,B C 重合. （1）如图①，若,DE AC DF AB ∥∥且点D 在BC 中点时，四边形AEDF 是什么四边形并证明？（2）将EDF ∠绕点D 旋转至如图②所示位置，若,,B C EDF BD m CD n α∠=∠=∠===，设BDE ∆的面积为1S ；CDF ∆的面积为2S ，求12S S ⋅的值（用含有,,m n α的代数式表示）.图① 图②【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．-1 14．2019 15．5×108．16．2a （2a+b ）（2a ﹣b ）． 17．4x+1618．（a ﹣b+1）（a ﹣b ﹣1）． 三、解答题19．（1）购买A 种树苗每棵需要120元，B 种树苗每棵需要80元；（2）当购买A 种树苗30棵、B 种树苗70棵时，所需资金最少，最少资金为9200元 【解析】 【分析】(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答本题; (2)根据题意可以列出相应的一元一次不等式组,从而可以解答本题; 【详解】（1）设购买A 种树苗每棵需要x 元，B 种树苗每棵需要y 元，依题意，得：5384035760x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得：120{80x y == ．答：购买A 种树苗每棵需要120元，B 种树苗每棵需要80元． （2）设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗（100﹣m ）棵，依题意，得：3012080(100)10000mm m≥⎧⎨+-≤⎩，解得：30≤m≤50．设购买树苗的总费用为w元，则w＝120m+80（100﹣m）＝40m+8000．∵40＞0，∴w的值随m值的增大而增大，∴当m＝30时，w取得最小值，最小值为9200．答：当购买A种树苗30棵、B种树苗70棵时，所需资金最少，最少资金为9200元．【点睛】此题主要考查二元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解题关键在于列出方程20．（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.【解析】【分析】（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；（2）根据图像解答即可；（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线AB′的解析式为，令y＝0，得，解得x＝，∴点P的坐标为（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.21．（1）详见解析；（2）AE=【解析】【分析】（1）连接OE、EC，根据已知条件易证∠1+∠3＝∠2+∠4=90°，即可得∠OED＝90°，所以DE是⊙O的切线；（2）证明△BEC∽△BCA，根据相似三角形的性质可得BE BCBC BA=，即BC2＝BE•BA，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，代入可得122＝2x•3x，解得x＝，即可得AE＝．【详解】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知：∠BEC＝90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE BC BC BA，∴BC2＝BE•BA，∵AE：EB＝1：2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝12，∴122＝2x•3x，解得：x＝，即AE＝．【点睛】本题考查了切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）m的值为﹣5或1．【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣m）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m＜﹣3时，根据二次函数性质得到x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【详解】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝0没有实数解，所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝﹣（x﹣m）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而减下，则x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m ）2﹣1＝﹣5，解得m 1＝﹣5，m 2＝﹣1（舍去）； 当﹣3≤m≤﹣1时，x ＝m ，y 的最大值为﹣1，不合题意；当m ＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y 随x 的增大而增大，则x ＝﹣1时，y ＝﹣5， 所以﹣（﹣1﹣m ）2﹣1＝﹣5，解得m 1＝1，m 2＝﹣3（舍去）； 综上所述，m 的值为﹣5或1． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 23．(1)证明见解析；(2)152. 【解析】 【分析】(1)连结DO ，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点得到DE ＝CE ＝BE ，则利用等腰三角形的性质得∠EDC ＝∠ECD ，∠ODC ＝∠OCD ，由于∠OCD+∠DCE ＝∠ACB ＝90°，所以∠EDC+∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE 与⊙O 相切； (2)根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】(1)证明：连结DO ，如图， ∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ， 又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD+∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC+∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∴DE 与⊙O 相切； (2)BC=2DE=10BD ==8， ∵∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△BCA ∽△BDC ，AC BCCD BD ∴= 1068AC ∴=∴AC ＝152，∴⊙O 直径的长为152．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．24．（1）顶点P的坐标为（1，-4a）．（2）①a=-34．②“G区域”有6个整数点．（3）a的取值范围为-23≤a＜-12或12＜a≤23．【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；（2）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当x=0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；（3）分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：（1）∵y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3）=a（x-1）2-4a，∴顶点P的坐标为（1，-4a）．（2）∵抛物线y=a（x+1）（x-3）经过（1，3），∴3=a（1+1）（1-3），解得：a=-34．当y=-34（x+1）（x-3）=0时，x1=-1，x2=3，∴点A（-1，0），点B（3，0）．当x=0时，y=-34（x+1）（x-3）=94，∴（0，1）、（0，2）两个整数点在“G区域”；当x=1时，y=-34（x+1）（x-3）=3，∴（1，1）、（1，2）两个整数点在“G区域”；当x=2时，y=-34（x+1）（x-3）=94，∴（2，1）、（2，2）两个整数点在“G 区域”．综上所述：此时“G 区域”有6个整数点．（3）当x=0时，y=a （x+1）（x-3）=-3a ，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3a ）．当a ＜0时，如图1所示，此时有{24332a a <-≤-≤， 解得：-23≤a＜-12； 当a ＞0时，如图2所示，此时有{34232a a -≤-<--≥-， 解得：12＜a≤23． 综上所述，如果G 区域中仅有4个整数点时，则a 的取值范围为-23≤a＜-12或12＜a≤23．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“G 区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a 的一元一次不等式组．25．（1）菱形；（2）2221sin 4n m α. 【解析】【分析】（1）根据菱形的判定方法进行证明即可；（2）首先证明△EBD ∽△DCF ，设BE=x ，CF=y ，可得xy=mn ，由S 1=12•mx•sin α，S 2=12nysin α，可得S 1•S 2=14（mn ）2sin 2α;【详解】（1）菱形，∵点D 为BC 的中点，且,DE AC DF AB ∥∥∴,DE DF 为三角形中位线， ∴11,,22DE AC DF AB ==∵,AB AC =∴DE=DF∵,DE AF DF AE ,∴AEDF 是平行四边形，∴AEDF 是菱形.（2）设BE=x ，CF=y ．∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BEF ，∠MDN=∠B ，∴∠BED=∠FDC ，∵∠B=∠C ，∴△BED ∽△CDF ， ∴BE BD CD CF=， ∴x m n y=， ∴xy mn =∵S 1=12•BD•BE•sin α=12mxsin α，S 2=12CD•CF•sin α=12ysin α， ∴1211sin sin 22S S mx ny αα⋅=⋅=2221sin 4n m α 【点睛】 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为8 （8＞）的等边三角形内任意运动，则在该边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是（ ）A ．283r πB ．24)3r πC ．8﹣πr 2D ．（π）r 22．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）A ．3mB ．C ．D ．4m 3．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 4．北京市将在2019年北京世园会园区、北京新机场、2022年冬奥会场馆等地，率先开展5G 网络的商用示范.目前，北京市已经在怀柔试验场对5G 进行相应的试验工作.现在4G 网络在理想状态下，峰值速率约是100Mbps ，未来5G 网络峰值速率是4G 网络的204.8倍，那么未来5G 网络峰值速率约为( )A ．1×102 MbpsB ．2.048×102 MbpsC ．2.048×103 MbpsD ．2.048×104 Mbps5．实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a b >B ．0a b +>C ．0ac >D ．a c >6＝（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．2 7．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）A B ．2 C ．D ．(1+ 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝35°，则∠C 的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．65°D ．55°9．据报道，截至2018年12月，天津轨道交通运营线路共有6条，线网覆盖10个市辖区，运营里程215000米，共设车站154座.将215000用科学计数法表示应为( )A ．321510⨯B ．421.510⨯C ．52.1510⨯D ．60.21510⨯10．若点()1A 1,y -，()2B 1,y ，()3C 3,y 在反比例函数6y x =-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y << 11．下列说法正确的是（ ）A ．周长相等的两个三角形全等B ．面积相等的两个三角形全等C ．三个角对应相等的两个三角形全等D ．三条边对应相等的两个三角形全等 12．下列运算结果正确的是（ ）A ．()322x x x x x x -+÷=-B ．()236a a a -⋅=C ．236(2x )8x -=-D ．2224a (2a)2a -=二、填空题 13．如图，以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若AD BD ＝23，且AB ＝10，则CB 的长为_____．14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的余弦值等于_____．15．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于_____度．16．某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为__．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于_____．18．已知扇形的半径为6，弧长为2π，则它的圆心角为_____度．三、解答题19．黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为，底角平分线与腰的交点为黄金分割点．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点；（2）如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，若12AB BC =，则请你求出∠A 的度数； （3）如图3，如果在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 上的高，∠A 、∠B 、∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ．若点D 是AB 的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a ，b ，c 之间是什么数量关系？并证明你的结论．20．已知a 、b 、c 是等腰ABC ∆的三条边，其中4a =，如果b 、c 是关于x 的一元二次方程260x x m -+=的两个根，求m 的值． 21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 与Rt △ACD 的两直角边分别交于点E 、F ，点F 是弧BE 的中点，∠C=90°，连接AF ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线．（2）若BD=1，OB=2，求tan ∠AFC 的值．22．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠ABD ＝90°，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分∠BAD ，BC ＝2，求AC 的长．23012sin 45(12︒-⨯-+24．已知：如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE ＝BF ，CE 与AF 相交于点G ．（1）求证：∠FGC ＝∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：BE•CH＝AF•AC．25．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于260件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3490元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.【参考答案】***一、选择题二、填空题1314．1215．1440 16．2717．918．60三、解答题19．（1）见解析；（2）108°；（3）该直角三角形的三边a ，b ，c 之间应满足2b ac =，见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，求出∠ABC=∠ACB=72°，再根据CD 是∠ACB 的角平分线，求出∠ACD=∠BCD=36°，所以△BCD 和△ABC 是相似的两个等腰三角形，并且AD=BC ，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可证明；（2）在BC 边上截取BD=AB ，连接AD ，再根据“AB=AC，AB BC =分别求出CD AC 与AC BC ，所以△ACD ∽△ACB ，根据相似三角形对应角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用三角形内角和定理列式即可求出∠A 的度数；（3）根据相似三角形对应边成比例分别求出AD 、BD 的长，再根据AB=AD+BD 代入整理即可得到a 、b 、c 之间的关系．【详解】解：（1）证明：∵在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°，又CD 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACD ＝∠BCD ＝36°，∴∠A ＝∠DCA ，∠BDC ＝72°，∴AD ＝CD ＝BC ，在△BCD 和△BAC 中，∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴BC BD AB BC=， ∴BC 2＝AB•BD 又BC ＝AD ， ∴AD 2＝AB•BD，∴D 是AB 的黄金分割点；（2）在底边BC 上截取BD ＝AB ，连接AD ，∵AB BC =，AB ＝AC ，BD BC ∴=，AC BC ∴=，CD CD 1BD AC 2∴==， CD AC AC BC∴=， 又∠C ＝∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∴设∠CAB ＝∠CDA ＝x ，∴∠BAD ＝∠BDA ＝2x ，∴x+2x+x+x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠BAC ＝108°；（3）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，。
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2．实数的分类 (1)按实数的定义分类： 正整数 自然数 零 整数 有理数 负整数 实 正分数 有限小数或无 数 分数 负分数 限循环小数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
____ 加减，如果有括号，先算
____，同级运算应 大括号
，最后算
从左到右依次进行
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1．常见的四种无理数： (1)开方开不尽的数： 2， 3， 5等； (2)部分三角函数值：sin60°，tan30°等； (3)有规律但不循环的小数：如 0.1010010001…(每两个 1 之间 0 的个数 依次加 1)等； (4)化简后含 π(圆周率)的数：π，π－1 等． 2．科学记数法中 a 与 n 的确定 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数． (1)确定 a：a 是只有一位整数的数，即 1≤|a|＜10； (2)确定 n： ①当原数的绝对值≥10 时，n 是正整数，n 等于原数的整数位数减去 1， 或等于原数变成 a 时，小数点移动的位数； ②当 0＜原数的绝对值＜1 时，n 是负整数，n 的绝对值等于原数中左起 第一个非零数前零的个数(含整数位数的零)；或 n 的绝对值等于原数变为 a 时，小数点移动的位数． 版权所有-
4．零指数幂，负整数指数幂 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1，即
任何不等于零的数的－p 次幂，等于这个数 p 次幂的倒数， 1 －p a ＝ p(a≠0，p 为正整数) a 即 ．
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5．实数的运算 实数的运算顺序是先算 乘方和开方 ，再算乘除 ____，最后算 小括号 ，再算 中括号 ．
≥0 ． |a|是一个非负数，即|a|____ (5)平方根，算术平方根，立方根：
平方根 算术平方 根 立方根
a 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作__x＝±__
正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根
3 如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作__x＝__a
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(2)根据需要，我们也可以按符号进行分类
正实数 实数零 负实数
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3．科学记数法，近似数 把一个绝对值大于10(或者小于1)的实数记为 a×10n 的形式( 其中1≤|a|<10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法；一个近似 数， 四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．如：3.14549 3.15，精确到0.001为 精确到0.01为____ 3.145 ． a0＝1(a≠0) ；
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1．(2015· 威海)检验 4 个工件，其中超过标准质量的克数记作正数， 不足标准质量的克数记作负数．从轻重的 角度看，最接近标准的工件是( A ) A．－2 B．－3 C．3 D．5 2．(2015· 黔南州)下列说法错误的是( D ) A．－2 的相反数是 2 1 B．3 的倒数是3 C．(－3)－(－5)＝2 D．－11，0，4 这三个数中最小的数是 0
3．实数比较大小的五种常用方法 (1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的 点表示的数大． (2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负 数，绝对值大的数反而小． (3)差值比较法：设 a，b 是两个任意实数，则：a－b＞0⇔a＞b；a－b ＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b. 1 1 (4)倒数比较法：若a＞b，a＞0，b＞0，则 a＜b. (5)平方比较法：∵由 a＞b＞0，可得 a＞ b，∴可以把 a与 b的大小 问题转化成比较 a 和 b 的大小问题。
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5．(2015·海南)据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的 值是( C ) A．4 B．5 C．6
D．7
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22 【例 1】 (2015· 泰州)下列 4 个数： 9， 7 ，π，( 3)0， 其中无理数是( C ) A. 9 22 B. 7 C．π D．( 3)0
数学
第一章 数与式
实数及其运算
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1．实数的有关概念 (1)数轴：规定了____ 原点， 正方向 和 单位长度 ，数轴上所有的点与全体 实数 一一对应． 的直线叫做数轴
符号不同，而 绝对值 (2)相反数：只有____ 0 ． 数．a，b互为相反数⇔a＋b＝____
【点评】 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否 写成无限不循环小数，掌握常见无理数的四种类型有助 于识别无理数．2
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[对应训练] 3 1．(1)(2013· 安顺)下列各数中，3.14159，－ 8，0.131131113…，－π， 1 25，－7无理数的个数有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 (2)(2015· 广州)四个数－3.14，0，1，2 中为负数的是( A ) A．－3.14 B．0 C．1 D个数互为倒数．a，b互为倒数⇔ab＝____ 0 没有倒数． ．特别地，____
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(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离原点的 数的绝对值． a ，（a＞0）
距离
，叫做这个
|a|＝ 0 ，（a＝0） －a Ｗ.（a＜0）
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3．(2015· 长沙)下列实数中，为无理数的是( C ) A．0.2 1 B.2 C. 2 D．－5 4．(2015· 六盘水)下列运算结果正确的是( A ) A．－87×(－83)＝7221 B．－2.68－7.42＝－10 C．3.77－7.11＝－4.66 101 102 D．－102＜－103