必修5数列复习题精华
高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)
第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。
③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。
④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。
iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。
iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。
3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。
② 通项时为常数列)。
③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。
iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。
人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解
人教版数学高中必修5数列习题及知识点第二章 数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．41 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ ；当n ＞4时，f (n )＝ ．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列. 18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{nS n }是等比数列． 20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.第二章 数列参考答案一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21．5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，又由a 1，a 3，a 4成等比数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．8．A(第6题)解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．二、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝xx 22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216． 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋， ∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21． （2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ， 故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 所以1＋1＋n S n ＝n S n 2． 故{nS n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3， 变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，∴q 3＝－41或q 3＝1(舍)． 由3612S S ＝qq a q q a ----1)1(121)1(3161＝1213q +＝161； 6612S S S -＝612S S －1＝qq a q q a ----1)1(1)1(61121－1＝1＋q 6－1＝161； 得3612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.。
最新高一下数学暑假专题练习精选题(培优)必修五：数列
必修五：数列一．选择题（共20小题）1．在正项等比数列中a3a5+2a5a6+a6a8＝9，则a4+a7＝（）A．1B．2C．3D．42．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（）A．29B．31C．33D．363．已知数列{a n}前n项的平均数等于2n+1，其中n∈N*，则数列的前2020项和等于（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝2，a n+1﹣a n＝，若数列的前n项和为4，则n为（）A．81B．80C．64D．635．在等差数列{a n}中，首项a1＝1，且a2是a1与a4的等比中项，S n为{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．10B．55C．10或55D．10或606．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，a3＝3a5，则下列说法错误的是（）A．数列{a n}单调递减B．当n＝5，n＝6时，S n同时达到最大值C．＝D．满足不等式S n≥0的n的最大值为107．已知数列{a n}中，a1＝1，，则a2021＝（）A．1B．C．﹣2D．﹣18．已知递增等比数列{a n}中，a2+a5＝18，a3•a4＝32，若a n＝128，则n＝（）A．5B．6C．7D．89．已知数列{a n}中，a1＝1，若，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．10．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．令数列的前n项和为S n，则S2021＝（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足，S n为{a n}的前n项和，则S20＝（）A．300B．320C．340D．36012．已知数列{a n}满足a n+1＝，a1＝1，数列{b n}满足b1＝1，b n﹣b n﹣1＝（n≥2），则b8＝（）A．64B．81C．80D．8213．已知数列{a n}中，a1＝，a2＝2，a n＝2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3，n∈N*），则（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝2•3n﹣214．记数列{a n}前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，且数列{}的前n项和T n 对任意的n∈N*都有T n﹣2λ+1≥0恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1]15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3+x）＝f（x），f（﹣2）＝﹣3，数列{a n}满足a1＝1，且当n≥2时，有2a n＝a n S n﹣S n2（其中S n为{a n}的前n项和，且S n≠0）．则f（）+f（）＝（）A．3B．﹣2C．﹣3D．216．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＞9（n∈N*），则n的最小值为（）A．98B．99C．100D．10117．在等差数列{a n}中，其前n项和是S n，若S9＞0，S10＜0，则在中最大的是（）A．B．C．D．18．在数列{a n}中，若a1＝0，a n+1﹣a n＝2n，则++…+的值为（）A．B．C．D．19．设数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+2，则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2•3n﹣1B．a n＝2•3n﹣1﹣1C．a n＝2•3n﹣1+1D．a n＝2•3n+1﹣120．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C 在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．473二．多选题（共1小题）（多选）21．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1三．填空题（共8小题）22．已知数列{a n}满足a1a2a3•a n＝n，则数列{a n}的通项公式为．23．在数列{a n}中，a1＝1，（n≥2，n∈N*），则数列的前n项和为．24．设数列{a n}满足na n+1﹣（n+1）a n＝（n∈N*），a1＝，a n＝25．已知数列{a n}满足，则{a n}的通项公式．26．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2），则a n＝．27．设数列{a n}，若a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），则称数列{a n}为“凸数列”，已知数列{b n}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝﹣2，则b2017＝．28．已知数列{a n}通项为a n＝n cos（nπ），n∈N*，则a1+a2+a3…+a2016＝．29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，且a，b，c成等比数列，则A＝度，C＝度．四．解答题（共31小题）30．已知数列{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．31．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．32．已知数列{a n}满足a1＝2，a n a n+1﹣2a n+1＝0，n∈N*．（1）证明：{}是等差数列；（2）设b n＝a2n+n﹣1，求数列{b n}的前n项和．33．已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），前n项和为S n，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b＝，求{b n}的前n项和为T n．34．已知{a n}是等差数列，a2，a3是函数f（x）＝x2﹣a4x+a5的两个不同零点．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a m，a r，a s，a t都是数列{a n}前51项中的项，a m，a r，a s是公比为q（q∈N*）的等比数列，a r，a s，a t成等差数列．当最大时，求a t．35．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝λa n﹣1+2（λ≠0，n≥2）且{a n+1}为等比数列．（1）求实数λ的值；（2）求数列{a n}的前n项的和S n．36．已知数列{a n}满足+++……+＝n2+3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n＝（n+1）a n•22n，求数列{b n}的前n项和S n，当S n≥m2+m+1对一切正整数n恒成立时，求实数m的取值范围．37．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝2，na n+1＝S n+n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，求T n；（3）设b n＝，证明：≤b1+b2+b3+…+b n＜．38．已知数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝a n+1，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若对任意的n∈N*，都有a n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．39．已知数列{a n}的各项均不为零．设数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）证明数列{a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅲ）证明：．40．若正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，P（，S n+1）点在曲线y＝（x+1）2上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝，T n表示数列{b n}的前n项和，若T n m﹣1对n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．41．数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1＝1，b n•b n+1＝a n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：≥2n﹣1．42．数列{a n}的前项n和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若（4λ﹣1）a n＞9（n﹣3）对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．43．已知数列{a n}中，a1＝1，且对任意m，n∈N*，有a m+n＝a m+a n．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知p，k∈N*，且满足a p+a p+1+⋯+a p+k＝39，求p，k；（3）若（其中k＞0）对任意n∈N*恒成立，求k的最大值．44．已知数列{a n}满足，且a1＝2，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，证明：．45．已知等差数列{a n}的首项a1≠0，前n项和为S n，且S4+a2＝2S3；等比数列{b n}满足b1＝a2，b2＝a4．（1）求证：数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项；（2）若a1＝2，设c n＝，求数列{c n}的前n项的和T n．（3）在（2）的条件下，若有f（n）＝log3T n，求f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值．46．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，b n＝3b n﹣1+a n（n≥2）．（ⅰ）证明：数列为等差数列．（ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．47．数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n．（1）设b n＝，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意实数λ都有λ2≥a n成立，求n的最大值．48．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{2n﹣1•a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，且S n+a n＝λ（λ为常数，n∈N*）．令c n＝b2n，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，正整数t满足t2﹣3t＞9T n恒成立，求t的最小值．49．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a n＝S n+2n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）令b n＝，求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）若数列{∁n}满足∁n＝1+，对任意的p、q∈N*，λ≥|∁p﹣∁q|恒成立，求实数λ的取值范围．50．若数列{a n}满足．（1）求a1，a2，a3及{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和S n．①求S n；②对于任意n∈N+，均有恒成立，求m的取值范围．51．记S n为数列{a n}的前n项和．已知+n＝2a n+1．（1）证明：{a n}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求S n的最小值．52．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．53．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．（Ⅰ）证明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．54．如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，P A＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面P AC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，P A＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．55．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．56．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．57．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．58．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．（1）证明：BD⊥P A；（2）求PD与平面P AB所成的角的正弦值．59．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．60．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．（1）证明：BF⊥DE；（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？参考答案一．选择题（共20小题）1．C；2．B；3．B；4．B；5．C；6．D；7．B；8．D；9．A；10．D；11．C；12．A；13．D；14．C；15．A；16．C；17．C；18．A；19．B；20．B；二．多选题（共1小题）21．CD；三．填空题（共8小题）22．；23．；24．；25．；26．2n﹣1（n∈N*）；27．1；28．1008；29．60；60；。
2020年高中数学必修5 等差数列 基础复习(含答案)
2020年高中数学必修5 等差数列 基础复习一、选择题1.在数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=a n ＋1，则a 2 017等于( )A ．2 009B ．2 010C ．2 018D ．2 0172.已知数列3,9,15，…，3(2n-1)，…，那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．153.在等差数列{a n }中，a 2=-5，a 6=a 4＋6，则a 1等于( )A ．-9B ．-8C ．-7D ．-44.若等差数列{a n }中，已知a 1=13，a 2＋a 5=4，a n =35，则n=( )A ．50B ．51C ．52D ．535.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=( )A ．100B ．99C ．98D ．976.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8=10，则3a 5＋a 7=( )A ．10B ．18C ．20D ．287.设{a n }是公差不为0的等差数列，且a 24＋a 25=a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10=( )A ．－10B ．－5C ．0D ．58.设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2=35,2a 4－a 6=7，则d=( )A ．4B ．3C ．2D ．1 9.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( )A.64B.31C.30D.1510.首项为－20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A.d ＞920 B.d ≤25 C.920＜d ≤25 D.920≤d ＜25 11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5=3，则S 5=( )A ．5B ．7C ．9D ．1112.设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }的前8项和为( )A ．128B ．80C ．64D ．5613.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 4=20，则S 6=( )A ．16B ．24C ．36D ． 4814.等差数列{a n }中，d=2，a n =11，S n =35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或-1D ．3或-115.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．216.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．2317.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．22018.在等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．4819.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6=13，则S 6S 12为( )A.310B.13C.18D.1920.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．-1C ．2 D.12二、填空题21.已知48，a ，b ，c ，-12是等差数列的连续5项，则a ，b ，c 的值依次是________．22.数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n =b n ，则n 的值为________．23.已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y=ax 2＋2bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴的交点有______个．24.设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2＋a 5=36，则{a n }的通项公式为________． 25.等差数列{a n }中，若a 10=10，a 19=100，前n 项和S n =0，则n=________.26.等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=________.27.有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n =2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．28.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4=1，S 5=10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．三、解答题29.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n }，a 1和a 3是方程x 2-8x ＋7=0的两个根，求它的通项公式．30.在等差数列{a n }中，(1)已知a 5=－1，a 8=2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6=12，a 4=7，求a 9.31.在等差数列{a n }中，a 10=18，前5项的和S 5=-15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．32.已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35，求k的值．33.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=－7，S3=－15．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．34.记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=－6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断S n＋1，S n，S n＋2是否成等差数列．参考答案1.2.答案为：D ；解析：由于a n ＋1-a n =1，则数列{a n }是等差数列，且公差d=1， 则a n =a 1＋(n-1)d=n ，故a 2 017=2 017.3.答案为：C ；解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列， ∴a n =3＋(n-1)×6=3(2n -1)=6n-3，由6n-3=81，得n=14.4.答案为：B ；解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1=-8.法二：由a n =a m ＋(n-m)d(m ，n ∈N *)，得d=a n －a m n －m ，∴d=a 6－a 46－4=66－4=3.∴a 1=a 2-d=-8.5.答案为：D ；解析：依题意，a 2＋a 5=a 1＋d ＋a 1＋4d=4，将a 1=13代入，得d=23.所以a n =a 1＋(n-1)d=13＋(n-1)×23=23n-13，令a n =35，解得n=53.6.答案为：C ；解析：由已知，⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以a 1=－1，d=1，a 100=a 1＋99d=－1＋99=98，故选C.7.答案为：C ；解析：由题意可知a 3＋a 8=a 5＋a 6=10，所以3a 5＋a 7=2a 5＋a 5＋a 7=2a 5＋2a 6=20，故选C ．8.答案为：C ；解析：由a 24＋a 25=a 26＋a 27得a 24－a 26=a 27－a 25，即(a 4－a 6)(a 4＋a 6)=(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，也即－2d×2a 5=2d×2a 6，由d≠0，得a 6＋a 5=a 1＋a 10=0，所以S 10=5(a 1＋a 10)=0．故选C ．9.答案为：C ；10.D.11.答案为：C ；解析：由题意知a 10>0,a 9≤0,即-20+9d>0,-20+8d ≤0即920＜d ≤25.12.答案为：A ；解析：a 1＋a 3＋a 5=3a 3=3⇒a 3=1，S 5=5a 1＋a 52=5a 3=5.13.答案为：C ；解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8=8a 1＋a 82=8a 2＋a 72=8×3＋132=64.14.答案为：D ；解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n =n 2＋n n －12d ，∴S 4=2＋6d=20，∴d=3，∴S 6=3＋15d=48.15.答案为：D ；解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2n －1＝11，na 1＋n n －12×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.16.答案为：C ；解析：由S 2=4，S 4=20，得2a 1＋d=4,4a 1＋6d=20，解得d=3.17.答案为：C ；解析：由a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，可知d=3，a 1=-4.∴S 10=-40＋10×92×3=95.18.答案为：B ；解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20=a 2＋a 19=a 3＋a 18. 又a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78， ∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18=54. ∴3(a 1＋a 20)=54.∴a 1＋a 20=18.∴S 20=20a 1＋a 202=180.19.答案为：B ；解析：由S 10=10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10=S 105=1205=24.20.答案为：A ；解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，因为S 3=1，S 6－S 3=3－1=2，所以S 9－S 6=3，S 12－S 9=4.所以S 12=S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)=1＋2＋3＋4=10.所以S 6S 12=310.21.答案为：A ；解析：S 9S 5=92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1.一、填空题22.答案为：33,18,3；解析：∵2b=48＋(-12)，∴b=18，又2a=48＋b=48＋18，∴a=33，同理可得c=3.23.答案为：5；解析：a n =2＋(n －1)×3=3n－1，b n =－2＋(n －1)×4=4n－6， 令a n =b n ，得3n －1=4n －6，所以n=5.24.答案为：1或2；解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b=a ＋c ，又因为Δ=4b 2－4ac=(a ＋c)2－4ac=(a －c)2≥0所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．25.答案为：a n =6n －3；解析：法一：设数列{a n }的公差为d.∵a 2＋a 5=36，∴(a 1＋d)＋(a 1＋4d)=36， ∴2a 1＋5d=36.∵a 1=3，∴d=6，∴a n =6n －3.法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5=a 1＋a 6=36，a 1=3，∴a 6=33，∴d=a 6－a 15=6.∵a 1=3，∴a n =6n －3.26.答案为：17；解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d=10，a 1=-80.∴S n =-80n ＋n n －12×10=0，∴-80n ＋5n(n-1)=0，n=17.27.答案为：104；解析：因为a 1＋a 13=a 2＋a 12=2a 7，又a 2＋a 7＋a 12=24，所以a 7=8.所以S 13=13a 1＋a 132=13×8=104.28.答案为：3115；解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n =2n ＋1n ＋2，不妨设S n =kn(2n ＋1)，T n =kn(n ＋2)(k≠0)，则a n =3k ＋4k(n-1)=4kn-k ，b n =3k ＋2k(n-1)=2kn ＋k.所以a 8b 7=32k －k 14k ＋k =3115.29.答案为：4或5；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42 d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1.所以a 5=a 1＋4d=0， 所以S 4=S 5同时最大．所以n=4或5.二、解答题30.解：由题意，知a 1＋a 3=8，a 1a 3=7，又{a n }为正项等差数列，∴a 1=1，a 3=7， 设公差为d ，∵a 3=a 1＋2d ，∴7=1＋2d ， 故d=3，a n =3n-2.31.解：(1)因为a 5=－1，a 8=2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d.由已知得， ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n =1＋(n －1)×2=2n－1， 所以a 9=2×9－1=17.32.解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15，解得a 1=-9，d=3，∴a n =3n-12.(2)S n =n a 1＋a n 2=12(3n 2-21n)=32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722-1478，∴当n=3或4时，前n 项的和取得最小值为-18.33.解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n =a 1＋(n-1)d.由a 1=1，a 3=-3可得1＋2d=-3，解得d=-2. 从而a n =1＋(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知a n =3-2n.所以S n =n[1＋3－2n ]2=2n-n 2.进而由S k =-35可得2k-k 2=-35，即k 2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.又k ∈N *，故k=7为所求结果． 34.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d=－15． 由a 1=－7，得d=2．所以{a n }的通项公式为a n =－7＋(n －1)×2=2n－9．(2)由(1)，得S n =n×(－7)＋n (n －1)2×2=n 2－8n=(n －4)2－16．所以当n=4时，S n 取得最小值，最小值为－16． 35.解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q=－2，a 1=－2． 故{a n }的通项公式为a n =(－2)n．(2)由(1)可得S n =a 1(1－q n )1－q =－23＋(－1)n·2n ＋13．由于S n ＋2＋S n ＋1=－43＋(－1)n ·2n ＋3－2n ＋23=2－23＋(－1)n·2n ＋13=2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．。
必修5数列复习
必修五第二章数列及等差数列复习一、数列知识要点 一、 数列的概念： 二、数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
三、数列的分类1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑==++++=ni in n aa a a a S 13212．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n课前热身1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) Ａ．)1(2--=n n a n B ．12-=n a n C ．2)1(+=n n a n D ．2)1(-=n n a n 2.在数列 ,55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．133．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( ) A ．第４项 B ．第５项 C ．第６项 D ．第７项4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是___. 5．数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ,，则____典例精析题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…⑵,638,356,154,32-- ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…题型二 应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式. ⑴23-=nn S ⑵)0()2(812>+=n n n a a S三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴141,21211-+==+n a a a n n（2）121,111+==+n n a a a点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若),(1n f a a nn =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。
高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)
高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结及练习（一）一．数列的概念及简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类及通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项及序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n及它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅及构成它的“数”有关，而且还及这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列及数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．3.考点（一）由数列的前几项求数列的通项公式[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝－1n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，….[答案] C 由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项及n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.（二）由a n 及S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1及n ≥2两段来写．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n .(1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n＋1.[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )A.56B.65 C.130D ．30 解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130.（三）数列的性质[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？ [自主解答] (1)因为a n ＝n2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列及函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值； (2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．二．等差数列及其前n 项和 知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项及它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.三、等差数列的性质1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd .3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d .4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．1.及前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)S n ＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元及解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断及证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列；(2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6.(1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列． 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列. 等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．[自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)． 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.(2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d 9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案：(1)44 (2)6等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广及变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 答案：(1)35 (2)B三．等比数列及其前n 项和 [知识能否忆起]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项及它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 及b 的等比中项．即：G 是a 及b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k ；数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；a n＝a m q n－m.1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．(2)由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.2．等比数列的前n项和S n(1)等比数列的前n项和S n是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1及q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定及证明典题导入[例1] 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n＋S n＝n，①∴a n＋1＋S n＋1＝n＋1.②②－①得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，∴2a n＋1＝a n＋1，∴2(a n＋1－1)＝a n－1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，c 1＝－12. 又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n .在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n . ∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log a a n ＋1a n＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列． 等比数列的基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列，求下列各值：(1)a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求a n ；(2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q.解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 6－a 4＝a 1q 3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q 32＝64. ②由②得a 1q 3＝±8，将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)．将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1qn －1＝－(－2)n －1. ∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1. (2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝3，a 7＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝12，a 7＝3. ∴q 4＝a 7a 3＝4或14. ∴q ＝±2或q ＝±22.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )，解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n 1－9＝98(9n －1)． 等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12 B .32C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3， 故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34. [答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列及等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以及等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．练习题1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3 D ．a n ＝n2n ＋3 答案：B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝1n ＋1n ＋2>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：545．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：941．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2a 4－π3＝( )A.32B.12C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176 解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n . 答案：1 14n 2＋14n1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列．(2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝nn ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n n ＋12.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22.(1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值， 应有1<n <32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )A ．4B ．8C ．16D ．32 解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32n －1. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n1－2＝2n －1－12. 答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－21．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( )A ．－12 B ．1C ．－12或1 D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152B.154C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152.3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝( )A.32B.32或23C.23D ．以上都不对 解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14n，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14n1－14＝13⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－14n . 答案：2 13⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－14n10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q＝7×1－49m1－49＝7×72m－148＝72m＋1－7.48。
必修五数列精选练习
一．选择题〔共6小题〕1．x+1是5和7的等差中项，那么x的值为〔〕A．5 B．6 C．8 D．92．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+1，那么a3=〔〕A．3 B．7 C．15 D．183．数列{a n}中，假设a1=1，，那么这个数列的第10项a10=〔〕A．19 B．21 C．D．4．数列的前n项和为〔〕A．B．C．D．5．等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，假设S16＞0，S17＜0，那么当S n最大时n的值为〔〕A．8 B．9 C．10 D．166．设等比数列{a n}的前n项和为S n，假设=4，那么=〔〕A．3 B．C． D．4二．解答题〔共10小题〕7．数列{a n}的前n项和S n=3+2n，求a n．8．数列{a n}是一个等差数列〔1〕a1=1，a4=7，求通项公式a n及前n项和S n；〔2〕设S7=14，求a3+a5．9．等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4=﹣12，a8=﹣4．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕求S n的最小值及其相应的n的值．10．数列{a n}与{b n}，假设a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和S n=n2+n．〔1〕求数列{a n}，{b n}的通项公式；〔2〕求数列的前n项和T n．11．等差数列{a n}的公差不为零，a1=11，且a2，a5，a6成等比数列．〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设S n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，求 S n．12．等差数列{a n}中，a3=8，a6=17．〔1〕求a1，d；〔2〕设b n=a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．13．等比数列{a n}的前n项和为S n=a•2n+b，且a1=3．〔1〕求a、b的值及数列{a n}的通项公式；〔2〕设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．14．设数列{a n}的前n项和S n=〔n∈N*〕．〔1〕求a1，a2的值；〔2〕求数列{a n}的通项公式；〔3〕设T n=〔n∈N*〕，证明：T1+T2+…+T n＜．15．在数列{a n}中，a1=1，3a n a n﹣1+a n﹣a n﹣1=0〔n≥2〕〔Ⅰ〕证明：是等差数列；〔Ⅱ〕求数列{a n}的通项；〔Ⅲ〕假设对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．16．设各项均为正数的等比数列{a n}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设b n=log2a n．〔1〕求数列{b n}的通项公式；〔2〕假设c1=1，c n+1=c n+，求证：c n＜3．〔3〕是否存在正整数k，使得++…+＞对任意正整数n均成立？假设存在，求出k的最大值，假设不存在，说明理由．17、数列{a n}和{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=2a n〔n∈N*〕，b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1〔n ∈N*〕〔Ⅰ〕求a n与b n；〔Ⅱ〕记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．。
新人教A版必修5期中复习(2)《数列》
高二数学期中复习（2）《数列》 2010.11一.选择题1.在等比数列中，32,31,891===q a a n ，则项数n 为 （A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）62.在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为 （A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）103.等比数列{}n a 中，===+q a a a a 则,8,63232（A ）2 （B ）21 （C ）2或21 （D ）－2或21- 4.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ）15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 5.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = （A ） 2 （B ） 4 （C ）152 （D ） 1726． 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =， 则其公差d =( ) （Ａ）23-（Ｂ）13-（Ｃ）13(Ｄ)237．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k = (A) 9 ( B) 8 (C)7 (D)68． 已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是( ) (Ａ)0 (Ｂ)1 (Ｃ)2(Ｄ)49.等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（A ）66 （B ）64 （C ）2663 （D ）260310．在数列{}n a 中，21n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a 的值是 （A ）－3 （B ）32 （C ） 31 （D ）1911数列{}n a 中，121321,,,...,n n a a a a a a a ----…是首项为1,公比为31的等比数列，则n a 等（A ）23（1－n 31） （B ）23（1－131-n ）（C ）32（1－n 31） （D ）32（1－131-n ）12． 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=(Ａ)(21)n n - (Ｂ)2(1)n + (Ｃ)2n (Ｄ)2(1)n -二.填空题：13.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 14. 若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = .15. 等比数列{n a }的公比0q >,已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = .16.三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列，且22,1,a b 依次成等比数列，则11a b+＝ .二.填空题（每小题4分，共16分）13. 14. 15. 16. 三.解答题17.设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 及n S 最大值.18.数列}{n a 的前n 项为n S ，23()n n S a n n N *=-∈．（1）证明：数列{}3+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a .19.数列}{n a 是首项为14a =的等比数列，n S 为前n 项和，且324,,S S S 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，设n T 为数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，求证：12nT <.20.在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+． （Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．高二数学期中复习（2）《数列》 2010.111-12 BACAC DBDDC AC 13.13 14.16 15.15216. 2± 17. （1）211n a n =-+；（2）28n S n n =-+，当5n =时取得最大值25. 18.解：（1）由n a S n n 32-=，得)2)(1(3211≥--=--n n a S n n ，则有3221--=-n n n a a a ，即)2(321≥+=-n a a n n ．所以132(3)(2)n n a a n -+=+≥， ,32111-==a S a 31=∴a ，所以1360a +=≠，由此可得23120a +=≠，以此类推30n a +≠， 所以132(2)3n n a n a -+=≥+，∴数列{}3+n a 是以6为首项，2为公比的等比数列． (2）,32111-==a S a 31=∴a ．由（1）知112)3(3-⋅+=+n n a a ，323-⋅=∴n n a ． 19．（1）解：由已知324,,S S S 成等差数列可得2342S S S S -=-， 334a a a ∴-=+ 432,a a ∴=- 2q ∴=-11422()()()n n n a n N -+*∴=⨯-=-∈(2)证明：21log n n b a n ==+， 111111212()()n n b b n n n n +∴==-⋅++++111111233412111222n T n n n ∴=-+-++-++=-<+20 （1）证明：122n n n a a +=+， 11122n nn n a a +-∴=+， ∴11n n b b +=+， 则n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=⋅．（2）1221022)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-两式相减，得1222222121210+-⨯=----⨯-⨯=-n n n n n n n S。
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必修5数列复习题一、选择题1、若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列2、等差数列{a n }中，a 1=3,a 100=36,则a 3＋a 98等于 ( )(A)36 (B)38 (C)39 (D)423、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)nn 12+ (B)n n 1+ (C)n n 1- (D)n n 21+ 4、设等差数列的首项为a,公差为d ，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是( )(A)a ＞0,d ＞0 (B)a ＞0,d ＜0 (C)a ＜0,d ＞0 (D)a ＜0,d ＜05、在等差数列{a n }中，公差为d ，已知S 10＝4S 5，则da 1是 ( ) (A)21 (B)2 (C)41 (D)4 6、设{a n }是公差为－2的等差数列，如果a 1+ a 4+ a 7+……+ a 97=50，则a 3+ a 6+ a 9……+ a 99=( )(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－847、等差数列{a n } 中，S 15=90，则a 8= ( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)128、等差数列{a n }中，前三项依次为xx x 1,65,11+，则a 101= ( ) (A)3150 (B)3213 (C)24 (D)328 9、数列{a n }的通项公式n n a n ++=11，已知它的前n 项和为S n =9，则项数n=( )(A)9 (B)10 (C)99 (D)10010、等差数列{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，求a 2+a 8= ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)30011、已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)2412、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)1213、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)16014、等差数列{a n }的公差为21，且S 100=145，则奇数项的和a 1+a 3+a 5+……+ a 99=( ) (A)60 (B)80 (C) (D)其它的值15、等差数列{a n }中，a 1+a 2+……a 10=15，a 11+a 12+……a 20=20，则a 21+a 22+……a 30=( )(A)15 (B)25 (C)35 (D)4516、等差数列{a n }中，a 1=3，a 100=36，则a 3+a 98= ( )(A)36 (B)39 (C)42 (D)4517、{a n }是公差为2的等差数列，a 1+a 4+a 7+……+a 97=50，则a 3+a 6+……+ a 99= ( )(A)－50 (B)50 (C)16 (D)18、若等差数列{a n }中，S 17=102，则a 9= ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)619、夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低℃，已知山顶的温度是℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是 ( )(A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)180020、若x ≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么=--31b y x a( )(A)43 (B)34 (C)32 (D)值不确定 21、一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大，则该数列的项数是 ( )(A)4 (B)8 (C)12 (D)2022、等差数列{a n }中如果a 6=6，a 9=9，那么a 3= ( ) (A)3 (B)32 (C)916 (D)4 23、设{a n }是等比数列，且a 1=32，S 3=916，则它的通项公式为a n = ( ) (A)1216-⎪⎭⎫ ⎝⎛•n (B)n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-•216 (C)1216-⎪⎭⎫ ⎝⎛-•n (D)1216-⎪⎭⎫ ⎝⎛-•n 或23 24、已知a 、b 、c 、d 是公比为2的等比数列，则dc b a ++22= ( ) (A)1 (B)21 (C)41 (D)81 25、已知等比数列{a n } 的公比为q ，若21+n a =m （n 为奇数），则213+n a = ( ) (A)mq n －1 (B) mq n (C) mq (D) 8126、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )(A)60 (B)70 (C)90 (D)12627、若{a n }是等比数列，已知a 4 a 7=－512，a 2+a 9=254，且公比为整数，则数列的a 12是( )(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－51228、数列{a n }、{b n }都是等差数列，它们的前n 项的和为1213-+=n n T S n n ，则这两个数列的第5项的比为 ( ) (A)2949 (B)1934 (C)1728 (D)以上结论都不对 29、已知c b b a a c lg lg 4lg 2•=，则a ，b ，c ( ) (A)成等差数列 (B)成等比数列(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列30、若a+b+c ，b+c －a ，c+a －b ，a+b －c 成等比数列，且公比为q ，则q 3+q 2+q 的值为( )(A)1 (B)－1 (C)0 (D)231、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( )(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( ) (A)2113 (B)04111或 (C)2110 (D)219 33、数列1，211+，3211++，……，n+⋅⋅⋅++211的前n 项和为 ( ) (A) n n 12+ (B)122+n n (C)12++n n (D)12+n n 34、设数列{a n }各项均为正值，且前n 项和S n =21（a n +n a 1），则此数列的通项a n 应为 ( )(A) a n =n n -+1 (B) a n =1--n n(C) a n =12+-+n n (D) a n =12-n35、数列{a n }为等比数列，若a 1+ a 8=387，a 4 a 5=1152，则此数列的通项a n 的表达式为( )(A) a n =3×2n -1 (B) a n =384×（21）n -1 (C) a n =3×2n -1或a n =384×（21）n -1 (D) a n =3×（21）n -1 36、已知等差数{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，则a 1+ a 9= ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)30037、已知等比数列{a n }中，a n ＞0，公比q ≠1，则 ( )(A)26242723a a a a +〉+ (B)26242723a a a a +〈+(C)26242723a a a a +=+ (D)的大小不确定与26242723a a a a ++38、在等比数列中，首项89，末项31，公比32，求项数 ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)639、等比数列{a n }中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)2140、某厂产量第二年增长率为p ，第三年增长率为q ，第四年增长率为r ，设这三年增长率为x ，则有 ( ) (A)3r q p x ++= (B)3r q p x ++< (C)3r q p x ++≤ (D)3r q p x ++≥ 二、填空题1、已知等差数列公差d ＞0,a 3a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20=_______2、数列{a n }中，若a 1,a 2,a 3成等差数列,a 2,a 3,a 4成等比数列,a 3,a 4,a 5的倒数又成等差数列，则a 1,a 3,a 5成_______数列3、已知{a n }为等差数列,a 1=1,S 10=100,a n =_______.令a n =log 2b n ,则的前五项之和 S 5′=_______4、已知数列ΛΛ)2)(1(1,,201,121,61++n n 则其前n 项和S n =________. 5、数列前n 项和为S n =n 2+3n,则其通项a n 等于____________.6、等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为187, 则n 的值为____________.7、已知等差数列{a n }的公差d ≠0, 且a 1,a 3,a 9成等比数列, 1042931a a a a a a ++++的值是________. 8、等差数列{a n }中, S 6=28, S 10=36(S n 为前n 项和), 则S 15等于________.9、等比数列{a n }中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a 3+a 6+a 9+…a 99等于________.10、等差数列{a n }中, a 1=1,a 10=100,若存在数列{b n }, 且a n =log 2b n ,则b 1+b 2+b 3+b 4+b 5等于____________.11、已知数列1,Λ,3,2,1nn n n n n --- , 前n 项的和为____________. 12、已知{a n }是等差数列,且有a 2+a 3+a 10+a 11=48, 则a 6+a 7=____________.13、等比数列{a n }中, a 1+a 2+a 3+a 4=80, a 5+a 6a 7+a 8=6480, 则a 1必为________.14、三个数a 1、1、c 1成等差数列，而三个数a 2、1、c 2成等比数列， 则22c a c a ++等于____________.15、已知12, lgy 成等比数列, 且x ＞1,y ＞1, 则x 、y 的最小值为________. 16、在数列{a n }中, 5221-=+n n n a a a , 已知{a n }既是等差数列, 又是等比数列,则{a n }的前20项的和为________.17、若数列{a n }, )1)(2(1,3211+++==+n n a a a n n 且 (n ∈N), 则通项a n =________. 18、已知数列{a n }中, n n a a a )12(,22314-=-=+(n ≥1), 则这个数列的通项公式a n =________.19、正数a 、b 、c 成等比数列, x 为a 、b 的等差中项, y 为b 、c 的等差中项, 则a c x y +的值为________.20、等比数列{a n }中, 已知a 1·a 2·a 3=1,a 2+a 3+a 4=47, 则a 1为________. 三、解答题1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和,(1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除.2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由.3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值.4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S .5、已知数列{n a }的前n 项和31=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和.6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;(2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 11+n m ,…也成等差数列.7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a 1=2时,试求c 100的值.8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.9、有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列{log 2x n }的第m 项等于n ，第n 项等于m(其中mn)，求数列{x n }的前m ＋n 项的和。