相似三角形判定第3课时练习与答案-数学9年级下第27章相似27.2.1人教版
第27章相似
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 27.2.1相似三角形的判定（三）
测试题
知识点：利用“两角法”判定两个三角形相似
1．下列各组（每组两个）三角形中，不相似的是（）
A．直角边长分别是6、4利4.5、3的两个直角三角形
B．底角为40°的两个等腰三角形
C．有一个角为30°的两个直角三角形
D．有一个角为30°的两个等腰三角形
2．（2015春•相城区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形的对数有（）
A．0对B．1对C．2对D．3对
3．已知40°和50°分别为两个Rt△中的一个锐角，判定这两个Rt△（填写是或否）相似．4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽，△BAD∽△ACD（写出一个三角形即可）．
5．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是．
①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．
6．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有对．
7．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线MN截△ABC交AC于点N，使截得的△CMN与△ABC相似．已知AB=6，AC=8，CM=4，则CN=．
8．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．
9．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．
10．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F，求证：△ABE∽△DFA．
知识点相似三角形判定综合
11．能使△ABC∽△DEF的条件是（）
A．∠C=98°，∠B=98°，
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，EF=8，DE=10，FD=16
C．∠A=∠F=90°，AC=5，BC=13，DF=10，EF=26
D．∠A=46°，∠B=54°，∠E=54°，∠F=80°
12．（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=
13．（2015•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED 的是（）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=
14．（2015•裕华区模拟）已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）
A．只有（1）相似B．只有（2）相似C．都相似D．都不相似
15．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE 与△ABC相似，则AE的长为（）
A．B．C．3 D．或
16．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；
③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（）
A．①②B．①②③ C．①②④ D．①②③④
17．（2015春•江津区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A．B． C．或D．或
18．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．
19．（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，
连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
20．（2014秋•内江期末）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=°，∠DEF=°，BC=，DE=；（2）判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由．
【参考答案】
1 D
2 D
3 是
4 △DBA
5 ①②
6 3
7 3.2或5
8 证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAE+∠AFE=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAD=∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．
9 证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，
∵∠ADE=45°，
∴∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．
10 证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠AFD=90°．
又∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．
∴△ABE∽△DFA．
11 D
12 D
13 D
14 C
15 D
16 A
17 C
18 2或4
19 1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10
20 （1）解：∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，
BC==2．
DE==
故答案为：135；135；2；．（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=∠DEF=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=，∴==，==．
∴=，
∴△ABC∽△DEF．。
人教版九年级下册数学第27章27.2.1《相似三角形的判定》课后练习：15道经典题目(含答案解析)
27.1.1 相似三角形的判定：课后练习一、选择题。
1、已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A．B．C．D．2、如图已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，则图中相似（但不全等）的三角形共有（）A．6对B．8对C．9对D．10对3、如图，已知∠ACB=∠CBD=90。
，BC=a，AC=b，当CD为（）时，△CDB∽△ABC？A. B.C.D.4、如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，∠BEF=90。
，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个三角形中一定相似的是（）A.Ⅰ 和ⅡB.Ⅰ和ⅢC.Ⅱ和ⅢD.Ⅲ和Ⅳ5、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、B D，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25C．2：3：5 D．4：10：256、如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：2D．2：17、如图，Rt△ABC∽Rt△ACD，且AB=10cm，AC=8cm，则AD的长是（）A．2厘米B．4厘米C．6厘米D．6.4厘米8、如图，△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．3：2 B．2：3 C．3：5 D．5：39、△ABC中，AB=63，BC=15，AC=49，和它相似的三角形的最短边是5，则最长边是（）A．18 B．21 C．24 D．1710、如图，在△ABC中，点D在BC上，在下列四个条件：①∠BAD=∠C；②∠ADC+∠BAC=180°；③BA2=BD·BC；④中能使△BDA∽△BAC的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题。
11、在△ABC中，D为AB的中点，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE=______．12、△ABC经相似变换后得△DEF，若对应边AB=3DE，则△ABC的周长是△DEF的周长的_ _____倍．13、已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：2，则CD：AB =______，S△COB：S△COD=______．14、如图，已知∠ABC=∠CDB=90°，若两直角三角形相似，且AC=5，BC=4，则AB的对应边BD的长为______．三、解答题。
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，锐角ABC ，P 是AB 边上异于A 、B 的一点，过点P 作直线截ABC ，所截得的三角形与原ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP △相似的是（ ）A ．APB EPC ∠=∠ B ．90APE ∠= C ．P 是BC 的中点D ．:2:3BP BC =3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别在BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，下列比例式成立的是（ ）A ．AD DE DB BC = B ．AD DE AB BC = C ．AD AE DB AC = D ．AD AB AE EC= 4．下列说法正确的是（ ）A ．两个直角三角形相似B ．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C ．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D ．有一个角为100°的两个等腰三角形相似5．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）A ．DE 垂直平分ACB ．△ABE ∽△CBAC ．2BD BC BE =⋅ D ．CE AB BE CA ⋅=⋅6．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，30B ∠=︒且8AB =，点P 是边BC 上一动点，点D 在边AB 上，且14BD AB = 则PA PD +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．D二、解答题8．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AD ＝BD ．(1)求证：△ABC ∽△BDC ．(2)若∠C ＝90°，BC ＝2，求AB 的长．9．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥10．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB于点E ，1OC 交BC 于点F ，则AE 与BF 的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ，直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ，直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，且m n ⊥，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG 的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，顶点E 在BC 的延长线上，且6BC =，2CE =在直线BE 上是否存在点P ，使APF 为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．11．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点.(1)若E 为边OA 上的一个动点，求CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.12．图，点P ，M ，N 分别在等边△ABC 的各边上，且MP ⊥AB 于点P ，MN ⊥BC 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．(1)求证：△PMN是等边三角形；(2)若AB＝12cm，求CM的长．三、填空题13．如图所示，在四边形ABCD中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）14．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．参考答案与解析1．D【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B.【详解】（1）如图1，作PE 平行于BC ，则△APE △ABC ,（2）如图2，作PE 平行于AC ，则△BPE △BAC ,（3）如图3，作PE ，使AE ：AB =AP ：AC ,此时∠A.是公共角，△APE △ACB ,（4）如图4，作PE ，使BP ：CB =BE ：AB ．此时∠B 是公共角，△PEB △ACB所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D ．【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键.2．C【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】A ．APB EPC ∠=∠根据正方形性质得到∠B =∠C ，可以得到ABP ∆∽ECP △，不合题意；B.90APE ︒∠=根据正方形性质得到∠B =∠C ，根据同角的余角相等，得到APB PEC ∠=∠，从而有ABP ∆∽PCE ，不合题意；C ．P 是BC 的中点，无法判断ABP ∆与ECP △相似，符合题意；D ．:2:3BP BC = 根据正方形性质得到::3:2AB BP EC PC ==，又∵∠B =∠C ，则ABP ∆∽ECP △，不合题意．故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．3．B【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质可逐一判断．【详解】解：∵DE ∥BC∴AD AE DB EC =，故C 错误； ∴AD DB AE EC=，故D 错误； ∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC∴AD DE AB BC =，故B 正确，A 错误 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解题的关键．4．D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．【详解】解：A 、∵两个直角三角形只有一组角相等∴两个直角三角形不一定相似，故选项A 不合题意；B 、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似故选项B 不合题意；C 、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C 不合题意；D 、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似∴选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．D【分析】根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线AB AD =，根据SAS 证明ABE ADE ≌，可得EB ED = 90ADE ABE ∠=∠=︒根据面积法可得11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅，可得AB BE AC EC =即可判断D 选项正确，其他选项无法证明．【详解】解：根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线，AB AD =∴EAB EAD ∠=∠在ABE △与ADE 中AE AE EAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ADE ≌∴EB ED =90ABC ∠=︒∴90ADE ABE ∠=∠=︒∴,BE AB ED C ⊥⊥11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅ ∴AB BE AC EC= 即CE AB BE CA ⋅=⋅．A,B,C 选项无法证明．故选：D ．【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．6．D【分析】由题意知△ABC 是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB =AC =6，∠B =75°∴∠C =75°，∠A =30°A 、三角形各角的度数都是60°B 、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°C 、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°D 、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°∴只有D 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等故选：D ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握．7．C【分析】延长AC 到点A '，使得AC CA ='，连接A D '，A P '过D 作DE AC ⊥于点E ，则PA PD PA PD A D +='+'当点A '、P 、D 三点共线时PA PD A D +='为最小值，求得A D '的值便可．【详解】解：延长AC 到点A'，使得AC CA ='，再连接A D '，A P '过D 作DE AC ⊥于点E ，如图90ACB ∠=︒，30B ∠=︒且8AB =142A C AC AB ∴'===BC ∴==14=BD AB ∴34AD AB = DE AC ⊥ 90ACB ∠=︒DE BC ∴∥∴AED ACB ∽∴34AE DE AD AC BC AB === 334AE AC ∴== 34DE BC ==4435A E AA AE ∴'='-=+-=A D ∴'PA PD PA PD A D +='+'∴当点A '、P 、D 三点共线时，取等号∴PA PD A D +='=PA PD +的最小值．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握求PA PD +的最小值的方法．8．(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A ＝∠DBA ，进而得到∠A ＝∠CBD ，再根据∠C ＝∠C ，即可证明△ABC ∽△BDC ；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD∴∠A＝∠DBA∵BD平分∠ABC交AC于点D∴∠CBD＝∠DBA∴∠A＝∠CBD∵∠C＝∠C∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°∴∠A＋∠ABC＝90°由（1）得∴∠A =∠ABD＝∠CBD∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°∴∠A＝30°∵BC＝2∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．9．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明PBE △和ABD △相似，即可证明．（2）先证明ABC ∽CBE △，再证明PBC ∽CBD △，得到90BPC BCD ∠=∠=︒，即可证明．（1）证明：A EPB ∠=∠ PBE ABD ∠=∠PBE ∴∽ABD △ ∴BE BP BD BA= BE BA BP BD ∴⋅=⋅．（2）证明：A ECB ∠=∠ ABC CBE ∠=∠ABC ∴∽CBE △BC BA BE BC∴= 2BE BA BC ∴⋅=又∵BE BA BP BD ⋅=⋅2BC BP BD ∴=⋅BC BP BD BC∴= PBC CBD ∠=∠PBC ∴△∽CBD △90ACB ∠=︒90BPC BCD ∴∠=∠=︒CP BD ∴⊥．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．10．(1)AE BF =(2)16(3)BP 的长度为2或3或6或7．【分析】（1）由正方形的性质可得,BAO OBC AO BO ∠=∠=，AOE BOF ∠=∠根据ASA 可证AOE BOF ∆≅∆ 由全等三角形的性质可得结论；（2） 过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ，交BC 于点N ，作.TR AD ∥交AB 于点T ，交CD 于点R ，证明△OME OTG ≅∆，进而证明16ATOM AEOG S S ==正方形四边形；（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠90BAD ABC ︒=∠=∵,AC BD 是对角线 ∴∠11,,22BAO BAD OBF ABC AC BD =∠∠=∠= ∴∠11,,9022BAO OBC AO BO AC BD AOB ︒=∠===∠= ∵四边形111A B C O 是正方形∴∠1190A OC ︒=∴∠1190AOB BOC ︒+∠= 又∠1190AOA A OB ︒+∠=∴AOE BOF ∠=∠∴AOE BOF ∆≅∆∴AE BF =故答案为: AE BF =（2）过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ，交BC 于点N ，作.TR AD ∥交AB 于点T ，交CD 于点R ，如图∵点O 是正方形ABCD 的中心∴11=,22AT TO OM MA AB AD ==== 又∠A =90°∴四边形ATOM 是正方形 ∴21116,44ATOM ABCD S S AB ===正方形正方形 同（1）可证△.OME OTG ≅∆∴16ATOM AEOG S S ==正方形四边形（3）解：在直线BE 上存在点P ，使△APF 为直角三角形①当∠AFP =90°时，如图④，延长EF ，AD 相交于点Q∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形∴EQ =AB =6，∠BAD =∠B =∠E =90°∴四边形ABEQ 是矩形∴AQ =BE =BC +CE =8，EQ =AB =6，∠Q =90°=∠E∴∠EFP +∠EPF =90∵∠AFP =90°∴∠EFP +∠AFQ =90°∴△EFP ∽△QAF∴EP EF QF AQ = ∵QF =EQ -EF =4∴248EP = ∴EP =1∴BP =BE -EP =7；②当∠APF =90°时，如图⑤同①的方法得，△ABP∽△PEF∴AB BP PE EF=∵PE=BE-BP=8-BP∴682BPBP=-∴BP=2或BP=6；③当∠PAF=90°时，如图⑥过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N 同①的方法得，四边形ABPM是矩形∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°同①的方法得，四边形ABEN是矩形∴AN=BE=8，EN=AB=6∴FN=EN-EF=4同①的方法得，△AMP∽△FNA∴PM AM AN FN=∴684AM =∴AM=3∴BP =3即BP 的长度为2或3或6或7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．11．(2)2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，先求出直线CD '的关系式，得出点E 的坐标，求出AE =2，根据勾股定理求出CD =DE =CE =（2）将点D 向右平移1个单位得到1,2D '（），作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-（），连接CD ''交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，用待定系数法求出CD ''的关系式，然后求出与x 轴的交点坐标，即可得出答案．（1）解：如图，作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知CDE 的周长最小∵在矩形OACB 中，OA =3，OB =4，D 为OB 的中点∴D （0，2），C （3，4）和02D '-（，）设直线CD '为y =kx ＋b ，把C （3，4），02D '-（，）代入得34k b =＋，2b =-解得k =2和2b =-∴直线CD '为22y x =-令y =0，得x =1∴点E 的坐标为（1，0）.∴OE =1，AE =2利用勾股定理得CD =DE =CE =∴△CDE =（2）解：如图，将点D 向右平移1个单位得到1,2D '（），作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-（），连接CD ''交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，连接D F ''，此时四边形CDEF 周长最小理由如下：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值∴DE ＋CF 最小时，四边形CDEF 周长最小∵DD EF '∥，且DD EF '=∴四边形DD FE '为平行四边形∴DE D F '=根据轴对称可知D F D F '''=∴DE CF D F CF FD CF CD '''''===＋＋＋设直线CD ''的解析式为y =kx ＋b ，把C （3，4），1,2D ''-（）代入得342k b k b =⎧⎨=-⎩＋＋，解得35k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD ''的解析式为35y x =-令y =0，得53x =∴点F 坐标为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭∴点E 坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．12．(1)见解析(2)4cm【分析】（1）根据等边三角形的性质得出A B C ∠=∠=∠进而得出===90MPB NMC PNA ∠∠∠︒再根据平角的意义即可得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠即可证得PMN △是等边三角形；（2）易证得PBM MCN NAP ≌≌，得出PA BM CN ==，PB MC AN ==从而求得12BM PB AB +==cm 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB BM =，即可求得PB 的长，进而得出CM 的长．（1）证明：∵ABC 是正三角形∴A B C ∠∠∠＝＝．∵MP AB ⊥，MN BC ⊥且PN AC ⊥∴90MPB NMC PNA∠∠∠︒＝＝＝ ∴PMB MNC APN ∠∠∠＝＝∴NPM PMN MNP ∠∠∠＝＝∴ABC 是等边三角形；（2）解：∵PMN △是等边三角形，ABC 是正三角形∴PM MN NP == ===60B C A ∠∠∠︒在PBM 和MCN △中===90=B C BPM CMN PM MN ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()PBM MCN AAS ≌在MCN △和NAP 中===90=C A CMN ANP MN NP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()MCN NAP AAS ≌同理可得()PBM NAP AAS ≌∴()PBM MCN NAP AAS ≌≌∴PABM CN ＝＝ PB MC AN ＝＝ ∴12BM PB AB +＝＝cm∵△ABC 是正三角形∴60AB C ∠∠∠︒＝＝＝ ∴2PB BM ＝∴212PB PB +＝cm∴4PB ＝cm∴4MC ＝cm ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠是本题的关键．13．B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD AC AC BC（答案不唯一） 【分析】先由AD ∥BC ，得到∠DAC =∠ACB ，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可．【详解】解：∵AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB∴当∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC∴都可得相似．故答案为：∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC （答案不唯一）． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．14．【分析】过A 点作AE ⊥AC ，交CD 的延长线与点E ，证明△ABC ≌△ADE ，从而得到四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积，然后证明出△ACE 是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC 的长度．【详解】如图，过A 点作AE ⊥AC ，交CD 的延长线与点E ．∵BD 为⊙O 的直径∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°∵CA 平分∠BCD∴∠BCA ＝∠ACD ＝45°∴∠E ＝∠ACD ＝45°∴AC ＝AE∵AE ⊥AC∴∠CAE ＝90°∴∠CAD +∠DAE ＝90°又∵∠BAC +∠CAD ＝90°∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠BCA ＝∠E ＝45°在△ABC ≌△ADE 中BCA E AC AEBAC DAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△ADE （ASA ）∴＝ABC ADE SS ∴四边形＝＝30ADE ABCD SS ∴21302＝AC ∴＝AC故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．。
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 课时作业(含答案)
人教版九年级数学下册第27章相似课时作业一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()A．(2,4) B．(－1，－2)C．(－2，－4) D．(－2，－1)2. 已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为() A．3 B．2 C．4 D．53. （2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm4. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)5. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E 是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（）A ．B ．C ．D ．6. （2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:57. （2020·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）8. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则ABCD EFGHS S 正方形正方形的值是（ ）A ．12B ．22+C ．52-D ．154二、填空题9. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．10. (2019•百色)如图，ABC △与A'B'C'△是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()22A ，， ()34B ，，()61C ，，()68B'，，则A'B'C'△的面积为__________．11. (2019•吉林)在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为__________m ．12.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.13. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD 上的点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．14. 在由边长均为1的小正方形组成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图27－Y －7，已知Rt △ABC 是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt △ABC 相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________．15. 如图，直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是________________．16. （2020·长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ,N 不重合）PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F . (1)PMPEPQ PF ＋＝____________． (2)若MN PM PN •＝2,则NQMQ＝____________．FEQ NOMP三、解答题17. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．图①图②图③18. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．19.（2020·达州）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90B ∠=︒，6AB cm =，2CD cm =．P 为线段BC 上的一动点，且和B 、C 不重合，连接PA ，过点P 作PE PA ⊥交射线CD 于点E ．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：BD PAC E E（1）通过推理，他发现△ABP ∽△PCE ，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC 的长度，运动点P ，得到不同位置时，CE 、BP 的长度的对应值：当6BC cm =时，得表1：当8BC cm =时，得表2：这说明，点P 在线段BC 上运动时，要保证点E 总在线段CD 上，BC 的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP 和CE 的长度这两个变量中，______的长度为自变量，______的长度为因变量；②设BC mcm =，当点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求m 的取值范围．人教版 九年级数学下册 第27章 相似 课时作业-答案一、选择题1. 【答案】C 解析：根据以原点O 为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】A3. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20 cm．因此本题选A．4. 【答案】B【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与x轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥x轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，∴EF BF ACBC，即269BF，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为(2，2)．5. 【答案】B．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD 的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．6. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质，∵△ABC与△DEF位似，且1=2OAOD，∴211=24ABCDEFSS⎛⎫=⎪⎝⎭，因此本题选C．7. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝13，可得C（413,--）因此本题选B．8. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG =.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ， ∴BG ＝x ，∴BC2＝BG2+CG2(22221)4x x x =+=+，∴(22422ABCD EFGHx S S x +==正方形正方形D ．二、填空题 9. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．10. 【答案】18【解析】∵ABC △与A'B'C'△是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()34B ，，()68B'，，∴位似比为31=62， ∵()22A ，，()61C ，， ∴()()44122A'C'，，，， ∴A'B'C'△的面积为：1116824662818222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：18．11. 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ，∴1.8390h=，解得h =54(m)．故答案为：54．12. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.13. 【答案】18【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3， ∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18，∴1S +2S =PAD S ∆=18．14. 【答案】5 2 [解析] ∵在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ＝5，AC ∶BC ＝1∶2，∴与Rt △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2.若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 2，∴画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4.在图中尝试，可画出DE ＝10，EF ＝2 10，DF ＝5 2的格点三角形． ∵101＝2 102＝5 25＝10， ∴△ABC ∽△DFE ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为10×2 10÷2＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为5 2.15. 【答案】(－73，0)或(－173，0)[解析] 如图，依题意可知A (－4，0)，B (0，－3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5.设⊙P 与直线AB 相切于点D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD ＝1.易得△APD ∽△ABO ，∴PD OB ＝AP AB ，即13＝AP 5， ∴AP ＝53，∴OP ＝73或OP ＝173， ∴点P 的坐标是(－73，0)或(－173，0)．16. 【答案】1；215－ 【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，（1）作EH ⊥MN ，又∵MN 是直径，NE 平分∠MNP ，PQ ⊥MN ，∴易证出PE ＝EH ＝HF ＝PF ，EH ∥PQ ，∴△EMH ∽△PMQ ，∴PQPF PQ EH PM ME ＝＝，∴1＝＋＝＋PM PE PM ME PM PE PQ PF ； （2）由相似基本图射影型得：解得MN QN PN •＝2又∵MN PM PN •＝2，∴QN ＝PM ，设QN ＝PM ＝a ，MQ ＝b ，由相似基本图射影型得：解得MN MQ PM •＝2，∴()b a b a ＋＝2解得()251a b ＋－＝或()251a b －－＝（舍去）∴215－＝＝a b NQ MQ ； 因此本题答案为1；215－．三、解答题17. 【答案】(1)证：∵AB ∥CB ′，∴∠BCB ′＝∠ABC ＝30°，∴∠ACA ′＝30°；又∵∠ACB ＝90°，∴A ′CD ＝60°，又∠CA ′B ′＝∠CAB ＝60°.∴△A ′CD 是等边三角形．(2)证：∵AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ，∴AC BC ＝A ′C B ′C. 又∠ACA ′＝∠BCB ′，∴△ACA ′∽△BCB ′.∵AC BC ＝tan30°＝33，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝1∶3.(3)120，3a 2.18. 【答案】解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．(写出两对即可)以下证明△AMF∽△BGM.由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，而∠AFM＝∠DME＋∠E，∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，∴AM＝BM＝2 2.由△AMF∽△BGM得，AF·BG＝AM·BM，∴BG＝8 3.又AC＝BC＝42cos45°＝4，∴CG＝4－83＝43，CF＝4－3＝1，∴FG＝（43）2＋12＝53.19. 【答案】（1）∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=90°，∵PE⊥PA，∠B=90°，∴∠APB＋∠EPC=90°，∠APB＋∠PAB=90°，∴∠PAB=∠EPC，在△APB和△EPC中，∠PAB=∠EPC，∠B=∠C=90°，∴△APB∽△EPC. （2）①BP；CE；②∵△APB∽△EPC，∴，∵CD=2，∴CE的最大值为2，，即BP·CP=12，由表格可知：当BP=2时，CE=2，此时CP=6，BC=BP＋CP=8，∴BC的最大值为8，即0＜m＜8.。
2021年人教版数学九年级下册学案27.2.1《相似三角形的判定》(含答案)
27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例学习目标：1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.预习：阅读教材P29-31，自学“探究”与“思考”，弄懂相似三角形的概念，掌握平行线分线段成比例定理，理解相似三角形判定的预备定理.自学反馈学生独立完成后集体订正①如果△ABC∽△A1B1C1的相似比为k，则△A1B1C1∽△ABC的相似比为 .②如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；错误!未找到引用源。
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.③如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.错误!未找到引用源。
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④平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形 . 点拨：找准对应线段是关键.探究：活动1 小组讨论如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3,BC∶CD=2∶1,则试求AE∶EC的值.解:∵l1∥l2，∴△AGF∽△BDF，△AGE∽△CDE.∴错误!未找到引用源。
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BD.又∵错误!未找到引用源。
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,BC+CD=BD，∴CD=错误!未找到引用源。
BD.∴错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=2.即AE∶EC=2.点拨：可从AE∶EC出发，只需要证得他们所在的两个三角形相似及他们的相似比即可，而AF与FB所在的两个三角形相似，两个相似关系可以得到线段AG、CD与线段BD的数量关系，从而就可以得出AG与CD的比，即△AGE与△CDE的相似比.课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？第2课时相似三角形的判定定理1,2学习目标：掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.预习：阅读教材P32-34，自学“探究2”、“探究3”、“思考”与“例1”，掌握相似三角形判定定理1与判定定理2.自学反馈学生独立完成后集体订正①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形 .②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学:这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，错误!未找到引用源。
2017-2018 人教版九年级数学下册 第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 同步练习 含答案
人教版九年级数学下册 第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1相似三角形的判定同步练习1．如图，DF ∥AC ，若AF BF ＝35，则△DBF 和△CBA 的相似比为( )A.53 B ．35 C ．32D ．582．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．123．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C ；直线DF 分别交l 1、l 2、l 3于点D 、E 、F.AC 与DF 相交于点H ，且AH ＝2，HB ＝1，BC ＝5，则DEEF 的值为( ) A.12 B ．2 C ．25D ．354．如图，若DE∥BC，DE＝12，BC＝15，则△OED∽，相似比为，△ABC ∽△ADE，相似比为.5．如图，直线l1、l2、…、l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F，若BC＝2，则EF的长是.6．已知△ABC和△DEF，∠C＝∠E＝75°，AC＝4cm，BC＝5cm，DE＝6cm，要使△ABC ∽△DFE，则EF的长应为.7．如图所示，在△ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且AD∶AB＝AE∶AC＝1∶3，BC ＝12，则DE＝.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝60°，∠B＝40°，∠A′＝60°，当∠C′＝时，则△ABC∽△A′B′C′.9．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为.10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，M 为DE 中点，CM 的延长线交AB 于N ，若AD ∶AB ＝2∶3，求ND ∶BD.11．如图所示，l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝2BC ，DF ＝5cm ，AG ＝4cm ，求GF 、AF 、EF 的长．12．已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 的中点，D 为AO 上一点，连接AC 、BD 交于P 点． (1)如图①，当OA ＝OB 且D 为AO 中点时，求APPC 的值；(2)如图②，当OA ＝OB ，AD AO ＝14时，求APAC的值．答案： 1. D 2. B 3. D4. △OBC 45 545. 56.7.5cm 7. 48. 80°9. 1010. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC.∴DE BC ＝AD AB ＝23.∵M 为DE 中点，∴DMBC ＝13.∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC.∴ND NB ＝DM BC ＝13，∴ND∶BD＝1∶2. 11. 解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF .又∵AB＝2BC ，∴DE EF ＝2，∴DF＝3EF.∴EF＝13DF ＝13×5＝53cm.∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝AG GF ，∴2＝AG GF ，∴GF＝42＝2cm ，∴AF＝AG ＋GF ＝4＋2＝6cm.故GF ＝2cm ，AF ＝6cm ，EF ＝53cm.12. 解：(1)过C 作CE∥OA 交BD 于E ，则△BCE∽△BOD，得CE ＝12OD ＝12AD.再由△ECP∽△DAP 得AP PC ＝ADCE＝2；(2)过C 作CE∥OA 交BD 于E ，设AD ＝x ，则AO ＝OB ＝4x ，则OD ＝3x.由△BCE∽△BOD 得CE ＝12OD ＝32x.再由△ECP∽△DAP 得AP PC ＝AD EC ＝23.则AP AC ＝25.。
人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习(附答案)
专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA2FE＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，∴△PAD∽△DBC.5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.∴CBAM ＝CPAN，即AM·CP＝AN·CB.6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC. 又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。
人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定 同步练习(附答案)
27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。
人教版九年级数学下册： 27.2.1 相似三角形的判定 学案(含答案)1
完成情况相似三角形的判定班级： 姓名： 组号：第四课时一、旧知回顾1．如图，D 是ABC ∠平分线上一点，AB=15cm ，BD=12cm ， 要使△ABD ∽△DBC ，则BC 的长应为 2．如图，∠DAB=∠CAE ，6=AD ，4=AE ，3=AB ，2=AC ，求证：△ABC ∽△ADE 。
二、新知梳理3．完成证明。
已知：'B B ∠=∠'C C ∠=∠求证：△ABC ∽△A 'B 'C ' 要求：用三边来判定。
学前准备预习导航：认真阅读课本P35-36内容，你可以类比全等三角形的（AAS ）的判定方法，你将学会相似三角形的第四种判定方法（两角分别相等的两个三角形相似）。
归纳：相似三角形判定4：若两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似几何语言：三、试一试4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ．5．如图所示，已知：AB//DE ，求证：DE BC CE AB ∙=∙★通过预习你还有什么困惑？一、课堂活动、记录1．相似三角形的判定定理4（用符号语言描述）课堂探究E DCBA二、精练反馈 A 组1．已知：B D ∠=∠，再添加一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE 。
2．如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，求AD 的长。
B 组3．如图，在矩形中，，，点在边上，且，交于（1）求证：；（2）求的长三、课堂小结1．相似三角形的判定定理3（用符号语言描述）。
2．你的其他收获。
四、拓展延伸（选做题）ABCD 6AB =12AD =E AD 8AE =EF BE ⊥CD F ~ABE DEF △△EF如图：AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，点M 在边AC 上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将△MCN 翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为P ，（1）P 是边AB 中点时，求证：CN CMPB PA =； （2）P 不是边AB 中点时，CNCMPB PA =是否仍成立？请证明你的结论M NA P B【答案】 【学前准备】1．5482．证明：∵∠DAB=∠CAE ， ∴∠DAE=∠CAB ， ∵2==AC AEAB AD ∴△ABC ∽△ADE3．大△A 'B 'C '中构造一个与△ABC 全等的三角形，如图 解：取AC E A AB D A =='',∵，'B B ∠=∠，'C C ∠=∠ ∴'A A ∠=∠ ∴△ABC ≌DE A '∆ ∴∠A 'DE=∠B ∵'B B ∠=∠ ∴DE ∥''C B ∴DE A '∆∽'''C B A ∆ ∴△ABC ∽△A 'B 'C '几何语言：∵'B B ∠=∠'C C ∠=∠∴△ABC ∽△A 'B 'C4．解：∵DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ∵EF ∥AB ∴∠EFC=∠B ∴∠ADE=∠EFC ， ∵∠AED=∠C ∴△ADE ∽△EFC5．证明：∵AB//DE ，∴∠A=∠D ，∠B=∠E ， ∴△ABC ∽△DEC ，∴ECBCDE AB = ∴DE BC CE AB ∙=∙ 【课堂探究】 课堂活动、记录 略 精练反馈 1．∠C=∠AED2．解：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE ∴△ABC ∽△ADE ∴DE BC AE AC =，即DE423=， ∴DE=38∵在Rt △AED 中，∠E=90°，∴31022=+=DE AE AD3．证明：（1）∵在矩形中，∠A=∠D=90° ∴∠DEF+∠DFE=90°， ∵，即∠BEF=90° ∴∠DEF+∠AEB=90° ∴∠DFE=∠AEB ∴（2）∵，，∴DE=4∵∠A=90°，∴10862222=+=+=AE AB BE∵，∴EF1046,==即EF BE DE AB ∴EF=320 课堂小结 略拓展延伸（选做题）解：（1）点P 是边AB的中点时，比例式=成立。
人教版九年级数学下册 第27章 相 似 相似三角形 相似三角形的判定 第3课时 由两角判定三角形相似
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 由两角判定三角形相似
知识点❶：两角对应相等的两个三角形相似
1．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°，
则这两个三角形( )
B
A．全等 B．相似
C．不相似 D．无法确定
14．如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F， 使 AE＝CF，连接 AF，BE 相交于点 P.
(1)求证：AF＝BE，并求∠APB 的度数； (2)若 AE＝2，试求 AP·AF 的值．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，在△ABE 和
4．(南京中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分 ∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为__1_0_．
5．(通辽中考)如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB·PA， 求证：AB⊥CD.
证 明 ： 连 接 AC ， BD ， ∵ ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ B ， ∴ △ APC∽△DPB ， ∴ PC∶PB ＝ PA∶PD ， ∴ PC·PD ＝ PA·PB ， ∵ PC2 ＝ PB·PA ， ∴ PC ＝ PD ， ∵ AB 为 直 径 ， ∴AB⊥CD
解：(1)在△AOF 和△EOF 中，
பைடு நூலகம்
OA＝OE， ∠AOD＝∠EOD， ∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF＝∠OEF，∵BC 与⊙O 相 OF＝OF，
切，∴OE⊥FC，即∠OEF＝90°，∴∠OAF＝90°，即 OA⊥AF，又∵OA 是⊙O 的半径，
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-习题-含答案
人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证C D C EAC C B=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明C D C EAC C B=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴C D C EAC C B=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵C D C EAC C B=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证C D C EAC C B=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或a b cd ef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。