2009年高考数学二轮复习专题课件：专题六 不等式解答题的解法
不等式解答题的解法 试题特点
2.主要特点 2. 不等式是中学数学的重要内容，在数学的各个分支中都有广泛的 应用，是进一步学习高等数学的基础和重要工具，所以不等式一直是 高 考 数 学 命 题 的 重 点 和 热 点 . 历 年 高 考 试 题， 涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型： ①解不等式； ②证明不等式； ③取值范围问题； ④应用问题.
3 + 17 x ≥ a x ≥ a a 9 x( x a ) ≤ 2a 2 即 9 x 2 9ax 2a 2 ≤ 0 ∴a≤x≤ 6 x < a x < a 当x<a时，不等式可化为 2 即 9 x 2 9ax + 2a 2 ≥ 0 9 x ( a x ) ≤ 2 a
a 2a ≤ x < a 故不等式的解集为 ∴x≤ 或 3 3 a 2a 3 + 17 (∞, ] U [ , a] 3 3 6
b 2 4ac | b 2 4ac | 1 故 | f ( x0 ) |=| |= > 4a 4|a| 4|a|
1 . 4|a|
［分析］ 因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点
b 2 4ac 4a
不等式解答题的解法 考题剖析
由b2－4ac<－1<0可知当x∈R时， |f(x)|≥|f(x0)|.所以|f(x)|> 即|ax2＋bx＋c|>
an－ 2 = 2 ( 2 －1)n， 即an的通项公式为an= 2 ［( 2 －1)n＋1］，n=1，2，3，… （Ⅱ）用数学归纳法证明： （ⅰ）当n=1时，因 2 <2，b1=a1=2，所以
2 <b1≤a1，结论成立. （ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即 2 <bk≤a4k－3，
也即0<bk－ 2 ≤a4k－3－
a2 + b2 a+b 2 ① ≥( ) ; 2 2 2 a+b a2 + b2 ≤ ② 1 1 ≤ ab ≤ ,(其中a,b∈R＋). 2 2 + a b
考题剖析
不等式解答题的解法 考题剖析
2a 2 1.（2007石家庄质检题）解关于x的不等式：x|x－a|≤ (a>0). 9
［解析］当x≥a时，不等式可化为
不等式解答题的解法 试题特点
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛 的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数 学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依 据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归 结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯穿在 整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性 的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几 何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多 问题，最终都可归结为不等式的求解或证明.
(1)二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转
a+b ≥ ab (当且仅当a=b时，取“=”) 2
不等式解答题的解法 应试策略
(3)“和定积最大，积定和最小”，即2个正数的和为定值，则可求 其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值. 应用此结论求值要注意三个条件： ①各项或因式非负； ②和或积为定值； ③各项或各因式都能取得相等的值. 必要时要作适当的变形，以满足上述前提.
2.
不等式解答题的解法 考题剖析
当n=k＋1时，bk＋1－
2=
3bk + 4 2 2bk + 3
(3 2 2 )bk + (4 3 2 ) (3 2 2 )(bk 2 ) = >0 2bk + 3 2bk + 3 1 1 又 < = 3 2 2, 2bk + 3 2 2 + 3 (3 2 2 )(bk 2 ) 所以bk＋1－ 2 = 2bk + 3 =
不等式解答题的解法 应试策略
(3)解绝对值不等式的常用方法： ①讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝 对值符号，转化为一般不等式. ②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形 ｜x｜＞a x2＞a2 x＞a或x＜－a(a＞0) ｜f(x)｜＞g(x) f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x) ｜x｜＜a x2＜a2 －a＜x＜a(a＞0)
由①和②得0<a<1，即为a的取值范围.
1 有意义， xa
∴a＋2－a>0，即a∈R ②
（2）要判断f1(x)与f2(x)在区间［a＋2，a＋3］上是否是接近的， 只须检验|f1(x)－f2(x)|≤1在区间［a＋2，a＋3］上是否恒成立. ∵|f1(x)－f2(x)|=|loga(x－3a)－loga
应试策略
不等式解答题的解法 应试策略
1.不等式的解法 在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练与复习.解不 等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)， 以快速、准确求解. (1)解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类 不等式的基础.必须熟练掌握，灵活应用. (2)解高次不等式、分式不等式，首先使不等式一边是零，一边是 一次因式（一次项系数为正）或二次不完全平方式的积与商的形式（注 意二次因式恒正恒负的情况），然后用数轴标根法写出解集（尤其要 注意不等号中带等号的情形）.
一般地有：｜f(x)｜＜g(x) －g(x)＜f(x)＜g(x) (4)对于解含参数不等式，要充分利用不等式性质.对参数的讨论，要不“重复”
不“遗漏”.一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划分，三要使得 划分后，不等式的解集的表达式是确定的.
不等式解答题的解法 应试策略
2.掌握算术平均数与几何平均数定理 ［定理］ 如果a,b∈R,那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时，取“=”）. ［定理］ 如果a,b是正数，那么 化为“和式”的放缩功能. (2)创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解 题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立.
不等式解答题的解法 考题剖析
4.对于在区间［m，n］上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈［m， n］，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在区间［m，n］上是接近的，否则是 非接近的.设f1(x)=loga(x－3a)与 f2(x)=loga
（1）求a的取值范围；
3bn + 4 ，n=1，2，3，…. 2bn + 3
［解析］（Ⅰ）由题设：an＋1=( 2 －1)(an＋2) =( 2 －1)(an－ 2 )＋( 2 －1)(2＋ 2 ) =(
2 －1)(an－ 2 )＋ 2 ， 2 －1)(an－ 2 ).
an＋1－ 2 =(
不等式解答题的解法 考题剖析
2 所以，数列{an－}是首项为2－ 2 ，公比为 2 －1的等比 数列，
a+b ≥ ab, a,b∈R＋; 2
不等式解答题的解法 应试策略
④a＋b＋c≥3 3 ,a,b,c∈R＋; abc 利用基本不等式的变式：
分析法是从要证的结论入手，寻找其充分条件，即执果索因；综合 法为分析法的逆过程，即由因导果；复杂的不等式证明要注意几种方法 的结合使用. (4)涉及到数列或与自然数有关的不等式可考虑数学归纳法的运用,涉 及到函数的不等式可考虑构造函数,应用导数来解决.
不等式解答题的解法 应试策略
(2)比较法有求差比较法和求商比较法两种模式.求差比较法中的变 形可以变成平方和、常数、因式的积；求商比较法要注意对分母的符号 进行讨论.比较法在符号确定的前提下，可以转化为乘方问题来解决：如 果a，b＞0,则a2＞b2
a＞b.
(3)利用综合法、分析法证明不等式经常使用的基本不等式有： ①a2≥0,a∈R; ②a2＋b2≥2ab,a,b∈R; ③
1 (a>0，a≠1)是区间［a＋2，a＋3］上的两个函数. xa
（2）讨论f1(x)与f2(x)在区间［a＋2，a＋3］上是否是接近的.
不等式解答题的解法 考题剖析
［解析］ （1）∵a>0且a≠1，当x∈［a＋2，a＋3］时， 要使函数f1(x)=loga(x－3a)有意义， ∴a＋2－3a>0，即a<1 ① 要使函数f2(x)=loga
.
［点评］本题主要考查含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想.本 题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对未知数进行讨论， 得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式 的解集.
不等式解答题的解法 考题剖析
2.（2007湖北八校联考题）设函数f(x)=ax2 ＋bx＋c的图象与两直线 y=x，y=－x均不相交.试证明对一切x∈R都有|ax2＋bx＋c|> 确定，故设f(x)=a(x－x0)2＋f(x0). ［证明］ 由题意知，a≠0.设f(x)=a(x－x0)2＋f(x0)，则f(x0)= 又二次方程ax2＋bx＋c=±x无实根，故 1=(b＋1)2－4ac＜0，2=(b－1)2－4ac＜0. 所以(b＋1)2＋(b－1)2－8ac＜0，即2b2＋2－8ac＜0， 即b2－4ac＜－1，所以|b2－4ac|＞1.
专题六 不等式解答题的解法
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不等式解答题的解法
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不等式解答题的解法 试题特点
1.近三年高考各试卷不等式考查情况统计 2005年、2006年、2007年、 2008年高考卷的解答题中，每年都有 不等式的题出现，但单独作为一个题的形式不是很多，2005年有3道， 2007年的19套试卷中，也只有2道，是关于解不等式，处于第一个题的 位置，属于容易题.而一般都是与其它知识综合，考查解不等式、证不 等式，有一定的难度.不等式与数列、导数、解析几何、三角、函数等 问题综合，其中与数列综合是最多的，但近两年出现了二项式的函数 与不等式相结合的题.
2009年高考数学专题复习之函数与不等式高考题赏析课件
( ,1) （B）
1 1 ( , ) （C） 3 3
命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的 函数的定义域的求法
1 x 0 1 x 1 故选B. 解：由 3 3 x 1 0
2017/3/15 1
函数与不等式高考题赏析
函数与不等式高考题赏析
7.以集合为背景的不等式
以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法 和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将 不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准 确解题
例11.(全国卷)设集合 （A）M∩N=Ф （C）M∪N=M
1.函数的定义域及其求法 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重 点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域 的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关 问题. 例1(广东卷)函数
1 ( （A） , ) 3
f ( x)
1 3
3 x2 1 x
lg(3 x 1)
的定义域是（ ）
命题意图: 本题主要考查利用函数的奇偶性定义判断函 数奇偶性的能力 解:A中F(x)=f(x) f(-x)则F(-x)=f(-x) f(x)=F(x)， 即函数F(x)=f(x) f(-x)为偶函数. B中F(x)=f(x)| f(-x)|,F(-x)=f(-x)| f(x)|,此时F(x)与F(-x)的关 系不能确定,即函数F(x)=f(x)| f(-x)|的奇偶性不确定. C中F(x)= f(x) -f(-x)，F(-x)= f(-x) -f(x)= - F(x)， 即函数F(x)= f(x) -f(-x)为奇函数 D中F(x)= f(x)+ f(-x)，F(-x)= f(-x)+ f(x)= F(x)，即函数 F(x)= f(x)+ f(-x)为偶函数.故选D.
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
高三数学第二轮复习课件：不等式ppt 人教课标版
试题特点 特点二:考大题,经常与其它知识相结合 考查不等式的大题中，有时是单独出现，如2007年 山东的线性规划解答题，难度不算大；但经常是与其它知 识相结合，如不等式与数列、数列归纳法、函数、导数等 知识综合，难度属中等偏难，主要考查学生对基本知识, 基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况. 特点三:考方法,常用在证明题中 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法， 反证法，换元法，放缩法；在不等式证明过程中，应 注重与不等式的运算性质联合使用；证明不等式的过
考题剖析 例 2、 （2006 上海文）如果 a 0, b 0 ，那么，下列不等 式中正确的是（ ）
1 1 （A） a b
（B） a b
2
（C） a b
2
（D） | a || b |
a b
1 1 解： 0 , 0 ，故（A）正确。 因为 a＜0，b＞0，所以，
而｜a｜与｜b｜的大小不知，故 B、C、D 都不一定正确。 所以，选（A） 。
【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出 现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、 最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形 式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能 力。 12.02.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
程中，放大或缩小应适度。
12.02.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
高考命题趋势
纵观2008年高考全国卷和有关省市自主命题卷，关于不等式的命
题有如下几个显著特点：
1.高考题型：不等式的试题一般是选择题或填空题为主，不等式与其它 知识结合的试题多为解答题，经常与导数、数列相结合。 2.难易程度：不等式的选择题、填空题为基础题或中档题，考查基础知 识和基本技能；而在不等式与导数相结合的试题一般考查函数的单调性， 为中档题，不等式与数列结合中等偏难试题。 3.高考热点：随着课改的深入，线性规划的考查是高考的热点，如2008
高考数学：专题六 第二讲 概率、随机变量及其分布列课件
本 讲 栏 目 开 关
解析 设 AC＝x，CB＝12－x，
所以 x(12－x)<32，所以 x>8 或 x<4 4＋4 2 又因为 0<x<12，所以 P＝ 12 ＝3.
考点与考题
0≤x≤2， 3.(2012· 北京)设不等式组 0≤y≤2
第二讲
表示的平面区域为 D， 在区域 D
本 讲 栏 目 开 关
本 讲 栏 目 开 关
解析 分别从两个集合中各取一个数共有 15 种取法，其中满足 b>a 3 1 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P＝15＝5.
题型与方法
第二讲
(2)学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画 4 条直 线 x＝0，x＝5，y＝－2，y＝1 围成矩形，再画 2 条曲线 y＝log2x，y ＝log2(x－3)， 2 条直线 y＝－2， 称 y＝1 和 2 条曲线 y＝log2x， y＝log2(x
本 讲 栏 目 开 关
回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
解 (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i＝
1,2,3,4)，
4 3 2 则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ， 5 5 5 1 P(A4)＝5，
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
ξ P
0 3 8
1 7 16
2 1 6
3 1 48
3 7 1 1 5 所以 E(ξ)＝0×8＋1×16＋2×6＋3×48＝6.
题型与方法
第二讲
方法提炼 求出概率.
(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变
高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)
高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。
【重点难点】1。
教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
由常见问题的解决和总结，使学。
高三数学(理科)二轮复习-不等式
第3讲不等式一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。
（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4）掌握某些简单不等式的解法。
（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。
三、热点分析1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。
最新高考数学二轮复习-专题六-第1讲-直线与圆-学案讲义
第1讲直线与圆[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1(1)(多选)已知直线l 的倾斜角等于30°，且l 经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A ．直线l 的方程为y ＝33x ＋1B ．l 的一个方向向量为n 33，1C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0平行D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0垂直答案ACD解析由题意知直线l 的斜率为tan 30°＝33，且过点(0,1)，所以直线l 的方程为y ＝33x ＋1，方向向量为n ＝(1，k )1，33，A 正确，B 错误；直线3x －3y ＋2＝0的斜率为33，且不过点(0,1)，故两直线平行，C 正确；直线3x ＋y ＋2＝0的斜率为－3，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，D正确．(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于() A．2 B.47C．－2D．－4答案C解析将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，＝－1，＝－2，所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时4m－1m－1×－3－(－2)2－(－1)＝－1，解得m＝－2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝32，此时直线方程为y＝32x，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程x＋y－5＝0，x－3y＋7＝0，解得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角θ＝π2时，此时直线的斜率不存在，tanθ无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确．(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是25，则m＋n ＝________.答案3解析因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以21＝n－2≠－6m，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为25，所以|2m－(－6)|22＋(－4)2＝25，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0－D2，－为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，(－2)＝－1，×a 2＋b2＋5＝0，＝－4，＝－2，所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即＋(y－1)2＝1＋m 24，圆心为－m2，直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，－y＝0，－1＝0，＝1，＝1，即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以－m2＝1，解得m＝－2，所以圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半径r＝2，显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2＝(22)2＝8≥2|OA |·|OB |，即|OA |·|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，所以(|OA |＋|OB |)2＝|OA |2＋|OB |2＋2|OA |·|OB |＝8＋2|OA |·|OB |≤16，即|OA |＋|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，即|OA |＋|OB |的最大值等于4.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x 2＋y 2＝1外切，并与直线y ＝33x 及y 轴都相切的圆的方程____________．答案(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1或(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为与圆x 2＋y 2＝1外切，所以a 2＋b 2＝1＋r ，又因为与直线y ＝33x 及y 轴都相切，所以r ＝|a |＝|3a －3b |(3)2＋(－3)2＝|a －3b |2，所以2|a |＝|a －3b |，即|2a |＝|a －3b |，所以2a ＝3b －a 或2a ＝a －3b ，所以b ＝3a 或a ＝－3b ，当b ＝3a 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得3a 2＝2|a |＋1，＝1，＝3或＝－1，＝－3，r ＝1，所以求得圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1，当a ＝－3b 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得13a 2＝2|a |＋1，＝3＋23，＝－3－2＝－3－23，＝3＋2，r ＝3＋23，所以求得圆的方程为(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123.(写出其中一个即可)(2)(2023·福州模拟)已知⊙O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4，⊙O 1关于直线ax ＋2y ＋1＝0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a 等于()A ．－32或56B ．－56或32C ．－32或－56 D.56或32答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF 所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E ，F 又接近于对称轴时，EF 长度最小，此时圆心O 1到对称轴的距离为4，所以|2a ＋6＋1|a 2＋4＝4，即(2a ＋7)2＝16(a 2＋4)，解得a ＝32或a ＝56.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，联立方程＋By ＋C ＝0，－a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0.则下列说法正确的是()A ．直线l 过定点(－2,2)B ．直线l 与圆C 相离C ．圆心C 到直线l 距离的最大值是22D ．直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A ，因为l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )，即y ＝k (x ＋2)＋2，令x ＋2＝0，即x ＝－2，得y ＝2，所以直线l 过定点(－2,2)，故A 正确；对于B ，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0的内部，所以直线l 与圆C 相交，故B 错误；对于C ，如图，因为圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0，可化为x 2＋(y －1)2＝9，圆心C (0,1)，当圆心C 与定点(－2,2)的连线垂直于直线l 时，圆心C 到直线l 的距离取得最大值，此时其值为(－2)2＋(2－1)2＝5，故C 错误；对于D ，由弦长公式|AB |＝2r 2－d 2可知，当圆心C 到直线l 的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为2×9－5＝4，故D 正确．(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值为________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设直线x －my ＋1＝0为直线l ，点C 到直线l 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，又d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±12或m ＝±2.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023·淄博模拟)“a ≥22”是“圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：(x －a )2＋(y ＋a )2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即a2＋(－a)2≥1，解得a≤－22或a≥22，所以“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B．若r＝2，两圆的相交弦长为3C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D．当r>3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r＝2时，如图，两圆的一条公切线分别与⊙O，⊙O1切于点A，B，交x轴于点Q，|OQ| |O1Q|＝|OA||O1B|＝12⇒|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正确；当r＝2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x＝14，相交弦长为＝152，故B错误；若MO⊥MO1，则|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，则r＝3，故C错误；当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确．规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l ：x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是____________．答案22＋3解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，则圆C 的圆心为C (1,2)，半径r ＝3，圆心C 到直线l (弦AB )的距离d ＝|1－2＋5|2＝22，则|AB |＝2r 2－d 2＝29－8＝2，则M 到弦AB 的距离的最大值为d ＋r ＝22＋3，则△MAB 面积的最大值是12×|AB |×(22＋3)＝22＋3.(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5,5)作圆E 的切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中真命题是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与⊙E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与⊙E 交于G ，H 两点，则当△EHG 面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5,5)，所以|PE |＝(5－2)2＋(5－1)2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以点P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F 的方程为＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；如图，设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S △EHG ＝12|EH |·|EG |sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·丹东模拟)若直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．1C ．－2或1D ．－1或2答案A解析由题意知，直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，∴1×2＝a (a ＋1)，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝－2时，l 1：x －2y －3＝0，l 2：－x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2.当a ＝1时，l 1：x ＋y －3＝0，l 2：x ＋y －3＝0，l 1与l 2重合．综上所述，a ＝－2.2．(2023·蚌埠质检)直线l ：x ＋my ＋1－m ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定答案A解析已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于()A.455B.655C.855D．25答案B解析依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，＋D＋F＝0，＋2D＋E＋F＝0，＋2D－3E＋F＝0，＝－6，＝2，＝5，则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(3，－1)，半径r＝5，点(3，－1)到直线x－2y－1＝0的距离d＝|3－2×(－1)－1|12＋(－2)2＝45所以|MN|＝2r2－d2＝＝655.4．(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为()A.14B.12C．1D．2答案B解析由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，故圆心到直线l的距离d＝1m2＋n2＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤m2＋n22＝12，当且仅当m＝n＝22时取等号．5．(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为()A ．5B ．3C ．2D ．1答案B 解析由圆C 1：(x －4)2＋(y －1)2＝1，可得圆心C 1(4,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1，可得圆心C 2(0,4)，半径r 2＝1，可得圆心距|C 1C 2|＝(4－0)2＋(1－4)2＝5，如图，|PM |≥|PC 1|－r 1，|PN |≥|PC 2|－r 2，所以|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－r 1－r 2＝|PC 1|＋|PC 2|－2≥|C 1C 2|－2＝3，当点M ，N ，C 1，C 2，P 共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，故|PM |＋|PN |的最小值为3.6．(2023·信阳模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0与过原点O 的直线l ：y ＝kx (k ≠0)相交于A ，B 两点，点P (m ，0)为x 轴上一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0，则实数m 的值为()A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案D 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的方程为y ＝kx ，代入圆C 的方程，得(k 2＋1)x 2＋2x －3＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋1，x 1x 2＝－3k 2＋1.所以k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝kx 1x 1－m ＋kx 2x 2－m ＝2kx 1x 2－km (x 1＋x 2)(x 1－m )(x 2－m )＝(2m －6)k (x 1－m )(x 2－m )(k 2＋1)＝0.因为k ≠0，所以2m －6＝0，解得m ＝3.7．(2023·全国乙卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C 解析方法一令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.方法二由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故x －y 的最大值为32＋1.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x －y －22＝0上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当∠APB 最大时，记劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ，则()A ．2<S <3B ．1<S ≤2C ．1<S ≤3D ．0<S <1答案D 解析如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为在Rt △OBP 中，sin ∠OPB ＝r |OP |＝1|OP |，且y ＝sin x 所以当|OP |最小时，∠OPB 最大，即∠APB 最大，此时OP 垂直于直线l ，且|OP |＝2212＋(－1)2＝2，|PA |＝|PB |＝3，从而四边形OAPB 的面积为S 四边形OAPB ＝2×12×3×1＝3，设∠AOP ＝θ，则∠AOB ＝2θ，S 扇形OAB ＝12×12×2θ＝θ，从而劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ＝3－θ，又因为sin θ＝32，θθ＝π3，从而0<S ＝3－θ＝3－π3<1.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)B ．直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线3x ＋3y ＋5＝0的倾斜角为120°D ．过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0答案AD 解析对于A 选项，直线方程可化为y ＝a (x －2)＋4，－2＝0，＝4，＝2，＝4，所以直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)，A 正确；对于B 选项，直线方程可化为y ＝3x －1，故直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为－1，B 错误；对于C 选项，直线3x ＋3y ＋5＝0的斜率为－33，该直线的倾斜角为150°，C 错误；对于D 选项，过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程可设为2x ＋y ＋c ＝0，则2×(－2)＋3＋c ＝0，可得c ＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0，D 正确．10．(2023·湖南联考)已知直线l 1：y ＝kx ＋1，l 2：y ＝mx ＋2，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝6，下列说法正确的是()A ．若l 1经过圆心C ，则k ＝1B ．直线l 2与圆C 相离C ．若l 1∥l 2，且它们之间的距离为55，则k ＝±2D ．若k ＝－1，l 1与圆C 相交于M ，N ，则|MN |＝2答案AC 解析对于A ，因为圆心C (1,2)在直线y ＝kx ＋1上，所以2＝k ＋1，解得k ＝1，A 正确；对于B ，因为直线l 2：y ＝mx ＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C 内，所以l 2与圆C 相交，B 错误；对于C ，因为l 1∥l 2，则m ＝k ，故kx －y ＋1＝0与kx －y ＋2＝0之间的距离d ＝1k 2＋1＝55，所以k ＝±2，C 正确；对于D ，当k ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0，因为圆心C (1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d 2＝21＋1＝2，所以|MN |＝26－(2)2＝4，D 错误．11.如图所示，该曲线W 是由4个圆：(x －1)2＋y 2＝1，(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y ＋1)2＝1，x 2＋(y －1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A ．曲线W 围成的封闭图形的面积为4＋2πB ．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与曲线W 有8个交点，则2≤r ≤2C.BD ︵与DE ︵的公切线方程为x ＋y －1－2＝0D ．曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离的最小值为4答案ACD 解析曲线W 围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A 正确；当r ＝2时，交点为B ，D ，F ，H ；当r ＝2时，交点为A ，C ，E ，G ；当0<r <2或r >2时，没有交点；当2<r <2时，交点个数为8，故B 错误；设BD ︵与DE ︵的公切线方程为y ＝kx ＋t (k <0，t >0)，由直线和圆相切可得|t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k 2，解得k ＝－1，t ＝1＋2(t ＝1－2舍去)，则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2，即x ＋y －1－2＝0，故C 正确；同理可得HB ︵，HG ︵的公切线方程为x ＋y ＋1＋2＝0，则两平行线间的距离d ＝|52＋1－1－2|2＝4，因为曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离最小值为HB ︵，HG ︵上的切点到直线的距离，即为两平行线间的距离，为4，故D 正确．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．圆O与圆C有四条公切线B．|PQ|的取值范围是[32－4，32＋4]C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析对于选项A，由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝32>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝32＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝32－4，B 正确；对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设直线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即|t|2＝2，则t＝±22，故y＝x±22，故C不正确；对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|＝22时，∠MQN ＝90°，故D正确．三、填空题13．(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程__________________．答案x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，圆心到直线的距离为|2－k|1＋k2＝1，解得k＝34，故直线方程为34x－y－32＋4＝0，即3x－4y＋10＝0.综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.14．(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4x cosθ－4y sinθ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________________．答案x2＋y2＝16解析圆C的标准方程为(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，则圆C的圆心为(2cosθ，2sinθ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C 上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D 的方程是x 2＋y 2＝16.15．(2023·烟台模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋b 2－4a ＋3＝0，则a 2＋(b ＋2)2的最大值为____________．答案9＋42解析方程a 2＋b 2－4a ＋3＝0整理得(a －2)2＋b 2＝1，设点A (a ，b )，即点A 是圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上一点，又点B (0，－2)在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外，所以|AB |＝a 2＋(b ＋2)2，则|AB |max ＝|BC |＋r ＝(2－0)2＋(0＋2)2＋1＝22＋1，所以a 2＋(b ＋2)2的最大值为(22＋1)2＝9＋4 2.16．(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆．某自动驾驶讯车在车前O 点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB .如图所示，在平面直角坐标系中，O (0,0)，直线OA ，OB 的方程分别是y ＝12x ，y ＝－12x ，现有一个圆形物体的圆心为C ，半径为1m ，圆C 与OA ，OB 分别相切于点M ，N ，则|MN |＝________m.答案455解析如图，连接MC ，NC ，MN ，由题意可设C (a ，0)(a >0)，又圆C 与OA 相切，则d ＝|12a |14＋1＝r ＝1，解得a ＝5，由题意可得MC ⊥OM ，NC ⊥ON ，在Rt △MOC 中，|OM |＝|OC |2－|MC |2＝2，所以S △MOC ＝12|OM |×|MC |＝1，同理S △NOC ＝1，所以S 四边形MONC ＝2，又MN ⊥OC ，所以S 四边形MONC ＝12|MN |×|OC |＝52|MN |＝2，即|MN |＝455.。
2009届高考数学二轮复习教案——不等式(3课时)
选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库2009届高考数学二轮复习教案——不等式（3课时）一、高考考试主要内容1、不等式．2、不等式的基本性质3、不等式的解法（特别一元二次不等式（特别是含参数）的解法）．4、不等式的证明5、含绝对值的不等式．二、09高考大纲考试要求（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．三、高考复习目标（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式：①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.四、09高考热点预测预计2009年的高考主要有以下几点：（1）不等式的性质是进行不等式的变换、证明不等式的依据，所以它仍是高考的一个重点内容，常以选择题、填空题形式出现：（2）解不等式主要与求函数的定义域、值域问题及单调性相结合；（3）不等式的证明基本上与数列结合，另外还用注意利用导数证明不等式。
五、精典例题剖析例1（08安徽）设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
高三数学《不等式的解法》复习课件
4.已知f(x)=x2-ax+2，当x≥-1时，f(x)≥a恒成立， 求a的取值范围。
11
不等式的解法
1
课前演练：
1.不等式(x-1) x1
C.x≥1或者x=-2 D.x≥－2且x≠１
2.已知函数f(x)=
x+2(x≤0) -x+2(x>0)，则不等式
f(x)≥x2的解集是( A )
A.［-1,1］ B.［-2,2］ C.［-2,1］ D.［-1,2］
2. 分式不等式与一元二次不等式的关系：
(1) x a 0 (x a)(x b) 0
xb
(2)
x x
a b
0
(x a)(x x b 0
b)
0
4
2.指数不等式的解法：转化为代数不等式
af(x)>ag(x)(a>1) ①f(x)>g(x) ; af(x)>ag(x)(0<a<1) ②f(x)<g(x) ;
(2)-3x2-2x+8≥0;
探 究 1 ： 已 知 不 等 式 x2+ax-b≥0 的 解 集
为｛x|x≤-2或x≥3｝,则不等式x2+ax-
b<0的解集为
{x|-2<.x<3}
注意：一元二次不等式的解区间的端点值即对应 一元二次解的根.
6
探究2：解关于x的不等式：
(1)ax2-(a+1)x+1<0;
(2)
xa x a2
0.
注意：解含参数一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次： ①根据二次项系数的符号进行分类讨论； ②根据根是否存在进行分类讨论； ③根据根的大小进行分类讨论；
高考数学二轮复习 考点六不等式课件 理
第十六页，共29页。
考题 ●解法类编
类型四 求字母参数(cānshù)的取值范围
例题(lìtí)精编
通性通法 名师推荐 创新发现 探究演练
例 4：(2013·高考全国新课标卷Ⅰ) 已知函数 f(x)＝－ lnx（2＋x＋2x1，）x，≤x0>，0. 若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0]
2 易错点
必考的热点． ①不等式的变形不等价．②忽视字母的取值范围． ③基本不等式求最值时，条件不够．
3 综合点 多与集合、函数、数列、三角函数等知识交汇．
第二页，共29页。
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考题 ●解法类编
类型(lèixíng)一 两数的大小比较
例题(lìtí)精编
例 1：小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和
设甲、乙两地的路程为 s，则往返时间分别是 t1＝sa，t2＝sb，所以平均速率是 v＝t12＋st2＝as2＋ssb＝a2＋abb，
因为 a＜b，所以 2ab ＞ 2a2 ＝a， a＋b a＋a
2ab 2ab a＋b＜2 ab＝
ab，即 a＜v＜
ab.
故选 A.
类型一 类型二
考题解法类编
揭秘解题绝招
D．v＝a＋2 b
思考(sīkǎo)：利用作差法可以求解吗？
还以：
∵a＋b＞2
ab＞0，∴a＋1 b＜2
1 ab，
2ab 2ab ∴a＋b＜2 ab＝
ab，∴v＜
ab.
故选 A.
答案(dá àn)：A
考题解法类编
揭秘解题绝招
试题体验应用