同济大学《高等数学》8.8节 多元函数的极值
第八节多元函数的极值及其求法
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具 有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但 点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数，且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
高等数学课件 同济四版
2. 判别定理 定理1(必要条件 必要条件) 定理 必要条件 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 )处偏导数 处取得极大值. 证明 不妨设 z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处取得极大值 存在,并取得极值 存在 并取得极值, 则 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 并取得极值 处取得极大值。 则一元函数 f ( x , y 0 )在 x = x 0 处取得极大值。 由一元函数极值必要条件知, 由一元函数极值必要条件知
) 例如 z = −x2 + y2 (鞍形面
z
O
y
x
4
定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 设函数 z = f ( x , y )在点( x 0 ,
y 0 )某邻域内
有一阶及二阶连续偏导,且 有一阶及二阶连续偏导 且 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 令 A = f xx ( x 0 , y 0 ), B = f xy ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x 0 , y 0 ) 时有极大值. A < 0 时有极大值 有极值, (1) 若 AC − B > 0,有极值 且 时有极小值. A > 0 时有极小值 (保证 、C同号的不等式 保证A、 同号的不等式 同号的不等式) 保证
1.定义 定义 设函数 z = f ( x , y )在点 P ( x 0 , y 0 )某邻域 内有定义, 内有定义 对于该邻域内异于点 P ( x 0 , y 0 ) 的任 意点 ( x , y ), 若恒有 1) f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ), 则称该函数在点P处有极大值 则称该函数在点 处有极大值 f ( x 0 , y 0 ) 处有 2) f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) 则称该函数在点P处有极小值 f ( x 0 , y 0 ) 则称该函数在点 处有极小值 处有 极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 极值
大学 多元函数的极值
为极小值.
二、最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P ) 为极小(大) 值 f (P ) 为最小(大)值
例3.
某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水，问当长、宽、高
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x 0 , y 0 ) 0 , f y ( x 0 , y0 ) 0
令 A f x x ( x 0 , y0 ) , B f x y ( x 0 , y0 ) , C f y y ( x 0 , y0 )
设 F f ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下 水箱表面积： S 2( x z y z ) x y 最小. 令 F 2( x z y z ) x y ( x y z V0 )
3
2 3 2 2
3 2
时, 水箱所用材料最省.
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大？ 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积为
1 2 2 2 24 x sin 2 x sin x cos sin ( 24 2 x 2 x cos
多元函数的极值及其求法
令 F ( x, y, z) xyz (2xy 2 yz 2xz a2 ),
Fx yz (2 y 2z) 0,
则
FFzy
xz (2x 2z) xy (2 y 2x)
0, 0,
2xy 2 yz 2xz a2 0.
f
y
(
x,
y)
y
(
x,
y)
0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数 u f ( x, y, z, t ) 在条件 ( x, y, z, t ) 0， ( x, y, z, t ) 0 下的极值。
先构造函数（其中1, 2 均为常数） F ( x, y, z, t) f ( x, y, z, t ) 1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t )
求解方程组
Fx ( x, y, z, t) 0,
F
y
(
x,
y,
z
,
t
)
0,
Fz ( x, y, z, t ) 0, Ft ( x, y, z, t ) 0,
则
Fx Fy Fz
3x 2x x3
2y2z 0 3 yz 0 y2 0
3x2 y2z ,
2x3 yz x3 y2 ,
,
(1) ( 2) ( 3)
x
y
z
(同济大学)高等数学课件D8_8极值与最值
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如求二元函数 z = f (x, y)在条件 (x, y) = 0下的极值, 设拉格朗日函数 F = f (x, y) + λ(x, y) 解方程组 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 R2 2π 3 3 2 Smax = 3sin = R . 2 3 4
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xz y
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2. 求平面上以 a, b, c, d 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 提示
a α
d
b
1 1 目标函数 : S = absinα + cd sin β 2 2 ( 0 <α < π , 0 < β < π )
第八节 多元函数的极值及其求法
一,多元函数的极值 二,最值应用问题 三,条件极值
第八章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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一, 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
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4
z
y
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
同济第五版高数下册答案
高等数学同步练习第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1. 求定义域(1){(x,y ) 1xy e e≤≤}；(2)},122),{(22N k k y x k y x ∈+≤+≤； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.2.求极限(1)001)2x y →→=;(2)0 ;(3)22222002sin2lim 0()xyx y x y x y e →→+=+; (4)20sin cos lim.2x y xy xyx xy →→=.3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222222201lim 1x x k x k x k x k→--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y,极限为0，不存在 ;(3)222222221100x y x y x y x y x y x y x y x y+≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .4.因当220x y +≠时，2222220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.1. 求下列函数的偏导数(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 22()1()x y x y --+-. 2.6π.3.11(11xy y =+-==. 4.1222222222222222222222222222221ln()ln(),212.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y -=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+5.22002202010sin,lim (,)0(0,0),1sin00lim 10sin 00(0,0)lim 0x y x y x x x yf x y f x f x x xf y y y→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆g 因为所以连续.（0，0），不存在，.1. 求下列函数的全微分 解：(1)21z z dz dx dy x y x ∂∂=+∂∂-=+=.(2)1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y zyzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=++∂∂∂=++.2.解：33222222220033332222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 11x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x yx f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.所以连续.两个偏导数都存在，为222222211(0,0)0,.x y x y x yx y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-∆+∆∆+∆=→==≠g g 当沿时，故不可微第四节 1.解：322235221''(1)22323(21)(5456)1(2)1(3)()ln()v vdzuv w u v w x u v x x x xdxdzdx xdz z du z duvu f x u u g xdx u dx v dx-=⋅+⋅+⋅=++-===+∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂...2.解：(1)222221121(arctan ln21()uxy xy vz z x z y u uvye xe e u vuu x u y u u v u v vv∂∂∂∂∂=+=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂∂+++.221(arctanuvz z x z y ue u vv x v y v u v v∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂+.(2)'''()(1)()()()uf x xy xyz y yzxuf x xy xyz x xzyuf x xy xyz xyz∂=++++∂∂=+++∂∂=++⋅∂3. 解：''''1212.z z zf a f b f ft x yz z za bt x y∂∂∂=⋅+⋅==∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂，，，所以，4. 解：'222'222''2222''22''22()22(()2())2()24()zf x y xxzf x y x f x yxzx f x y y xyf x yx y∂=+⋅∂∂=+++∂∂=⋅+⋅=+∂∂第五节1.解：令(,,)sin()01cos()1cos()1cos()1cos()x z y z F x y z x y z xyz F z yz xyz x F xy xyz F z xz xyz y F xy xyz =++-=∂-=-=-∂-∂-=-=-∂- 2. .解：令22222222(0,0,1)2(,,)10()|1x z F x y z x y z F z x x F z z xz x z x zx z x z zzx=++-=∂=-=-∂∂-⋅--∂∂=-=-∂∂=-∂ 3.证明：''11''''1212'1''12()().x z c c zx a b a b c z y a b z zab C x yφφφφφφφφφφφ⋅⋅∂=-=-=∂-+-+⋅∂=∂+∂∂+=∂∂所以6.（1）解：方程两边对y 求导，得：222460222642146212622242(62)(62)2(61)(61)22(61)61dz dxx ydy dy dx dz x y z dydy dx dz x y dy dy dx dz x z y dy dyy y z x x zx yx ydx y z y z dyx z x z dz y dy x z z =+++=-=-+=-------⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩-++===-++-==++（3）''12''12()(1)2u u v f u x f x x x v u vg g vy x xx ∂∂∂=⋅++⋅∂∂∂∂∂∂=⋅-+⋅⋅∂∂∂⎧⎨⎩'''121'''121''12'''''''1212121''''''''21212112''12''11''11'''''212121(1)(21)212221121122u v xf f uf x x u v g vyg g x xuf f g vyg uvyf g uf f g u x vyg vxyf g xf f g xf f g vyg xf uf g g uy vyg vxyf g xf f g ∂∂-⋅-=∂∂∂∂+-=∂∂---+∂==∂-++-----∂=∂-++'''''11111'''''''2121211221g xf g uf g vyg vxyf g xf f g --=--++-7.证明：x t dy f dx f dt =+ →x tdy dtf f dx dx=+ ① 0x y t dF F dx F dy F dt =++= → x y tF dx F dydt F +=-→y x t t F F dtdy dx F F dx=--⋅ ② ②代入①，得：()(1)y x x t t t t y t x x t tt t y x t t xt t x t t x t t yF F dydy f f dx F F dx f F f Fdy f F dx F F f F f F f F dy F dx F f F f F dy dx F f F =+--⋅+=-+-⋅=-∴=+第六节 多元函数微分学的几何应用1．解：切向量),cos ,sin (=b t a t a T 。
多元函数极值和最值知乎
多元函数极值和最值
多元函数的极值和最值是在数学中研究多元函数的重要概念。
在多元函数中，有多个自变量，因此需要使用多元微积分的方法来求解极值和最值。
以下是对多元函数极值和最值的基本概念和求解方法的解释：
1.极值：在多元函数中，极值是指函数取得的最大值或最小
值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最
小值。
极值点是函数极值所对应的自变量的取值。
在数学
中，通过求解函数的偏导数或海森矩阵，可以找到函数的
极值点。
2.最值：最大值是函数取得的最大值，最小值是函数取得的
最小值。
最值点是函数最值所对应的自变量的取值。
在多
元函数中，求解最值需要考虑函数的取值范围和约束条件。
求解多元函数的极值和最值通常需要以下步骤：
a. 求解函数的偏导数：对于多变量函数，需要求取每个自变量的偏导数，然后令其等于零，得到极值点的一组可能解。
b. 检查偏导数的零点：对于求得的极值点，需要检查哪些是临界点，即是否是真正的极值点。
这可以通过进行二阶偏导数测试或观察局部整体性质进行判断。
c. 检查边界条件：如果多元函数的定义域是有界的，需要检查定义域的边界上是否存在可能的极值点。
d. 比较和确定最大值和最小值：通过比较各个候选的极值
点的函数值，确定多元函数的最大值和最小值。
需要注意的是，求解多元函数的极值和最值是一个复杂的过程，并且在实践中可能会遇到各种难题。
合理使用数学工具和技巧，以及仔细分析问题的特性和约束条件，能够有效地求解多元函数的极值和最值。