工程力学——第2章(力系的简化)
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力系的简化
作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。
F
1 2
ql
要求掌握
q
ql
xC
2 3
均布载荷的合力。 载荷集度为q。
l
A
l 2
B
l
方向：与分布力q 相同。
大小：等于载荷集度q乘以分布长度，即 ql。 作用线：通过分布长度的中点。
P29
其他不作要求
17
2.4.2 物体的重心、质心和形心 1、重心
xc
zc
zi Fi FR
x i Fi FR
yc
yi Fi FR
zc
zi Fi FR
15
2.4 平行力系的中心 重 心
【例2.2】水平梁AB长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的最大
值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置。
解：合力F的方向向下。
求合力的大小：建立坐标系Axy。 y 在任意截面 x 处
xC
S
y
y
xdA
A
0
A
yC
ydA
A
A
C 形心 x O
22
反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。）
5、确定物体重心的方法
（1）简单几何形状的物体的重心
均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称 面、对称轴、对称中心上。
MA
MA FAy
FA
FAx
也可按前面所讲的确定约束力的原则，固定端所限制的运动：水 平移动、竖直移动、转动。因此，约束力为正交分力和一个力偶。
工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
工程力学(静力学与材料力学)-2-力系的简化
力系的主矢和主矩
力系等效与简化的概念
力系的主矢和主矩
F2 F1 mn m1 m2
力
系
两个或两个以上的 力所组成的系统，称为 力系,又称力的集合。
Fn
F3
力系等效与简化的概念
力系的主矢和主矩
力系的主矢
F2 F1
mn
m1
m2
一般力系中所有力的矢量和，称 为力系的主矢量，简称为主矢 （principal vector），即
力系简化的基础－力向一点平移定理
－F
F
M=Fd
F
F
力向一点平移的结果: 一个力和一个力偶,力偶的 力偶矩等于原来力对平移点之矩。
M＝M O F Fh
施加平衡力系后由3个力所组成的力系，变成了由作用 在O点的力和作用在刚体上的一个力偶矩为M的力偶所 组成的力系。
力系简化的基础－力向一点平移定理 力向一点平移定理 作用于刚体上的力可以平移到任一点， 而不改变它对刚体的作用效应，但平移后 必须附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等 于原力对平移点之矩。此即力向一点平移 定理。 力向一点平移结果表明，一个力向任 一点平移，得到与之等效的一个力和一个 力偶；反之，作用于同一平面内的一个力 和一个力偶，也可以合成作用于另一点的 一个力。
力系的主矢和主矩
需要注意的是，工程力学课程中的主 矢量与主矩，在物理学中称为合外力和合 外力矩。实际上如果有合外力，也只有大 小和方向，并未涉及作用点（或作用线）。
力系等效与简化的概念
力系等效的概念
如何判断力系等效
FB
力系1
MC
MD
FC
力系2
FA 怎样判断不同力系的运动效应是否相同？
第二章 力系的等效与简化
rB
M M O ( F ) M O ( F ) F rA F rB F rA F rB ( F ) (rA rB ) F M rBA F
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
F F
F A O d
F
F
M O
A
O
d
A
三、平面任意力系向一点简化
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个
力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这 种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化 中心。
FR
F1
F2 A2
A1 O A3
=
F3
F2
M1 M2 O
F1
M3
=
MO
O
F3
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。
F1 F2 F3 FR F1 F2 F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这 力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
R x
F cos( F , j )
R
FR
y
FR
说明
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位
置无关。
F1 F2 Fn F 主矢： FR
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
结论： 平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作 用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。
M M O ( F ) M O ( F ) F rA F rB F rA F rB ( F ) (rA rB ) F M rBA F
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
F F
F A O d
F
F
M O
A
O
d
A
三、平面任意力系向一点简化
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个
力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这 种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化 中心。
FR
F1
F2 A2
A1 O A3
=
F3
F2
M1 M2 O
F1
M3
=
MO
O
F3
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。
F1 F2 F3 FR F1 F2 F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这 力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
R x
F cos( F , j )
R
FR
y
FR
说明
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位
置无关。
F1 F2 Fn F 主矢： FR
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
结论： 平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作 用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 力系的等效与简化
工程力学（静力学与材料力学）习题第2章力系的等效与简化2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。
已知F、d1和d2。
试求产生最大弯曲变形的角度 。
习题2－1图2－2 作用于铣刀上的力系可以简化为一个力和一个力偶。
已知力的大小为1200N，力偶矩的大小为240N·m，方向如图所示。
试求此力系对刀架固定端点O的力矩。
习题2－2图2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。
习题2－3图习题2－6图2－4 图示作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。
2－5 齿轮箱有三个轴，其中A 轴水平，B 和C 轴位于yz 铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。
试求合力偶。
2－6 槽钢受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－7 截面为工字形的立柱受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－8 平行力（F ,2F ）间距为d ，试求其合力。
2－9 已知图示一平面力系对A （3,0），B （0,4）和C （–4.5,2）三点的主矩分别为：M A = 20kN ·m ，M B = 0，M C =–10kN ·m 。
试求该力系合力的大小、方向和作用线。
习题2－4图习题2－5图习题2－7图 习题2－8图75习题2－11图2－10 空间力系如图所示，其中力偶矩M = 24N·m，作用在Oxy平面内。
试求此力系向点O简化的结果。
2－11 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。
试求此力系向点A简化的结果。
2－12 对于图示作用在平板上的平行力系，试求其合力。
习题2－9图习题2－10图习题2－12图z2－13 试确定作用在曲轴的各曲柄销中点的力系F k（k = 1,2,...,6）是否平衡。
假定各力F i（i = 1,2, (6)的大小均为F，其作用线均通过曲轴的轴线并与之相垂直，指向背离轴线。
《工程力学》力系的简化
24/48
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
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2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
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2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
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FR FR
6
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
对简化中心的主矩为：
MO M MO( F )
• 主矩是个代数量。
• 一般情况下，主矩与简化中心的选择有关。
7
二、平面力系简化的最后结果 对于平面力系，向平面内任一点O的简化结果一 般为一个力和一个力偶，可能出现以下四种情况：
G Gi
设任一微体的坐标为 x i , y i , z i ，重心C的坐标 为 x C , y C , z C ，根据合力矩定理，对x轴、y轴取矩， 有
GxC ( G1 x1 G2 x2 Gn yn ) Gi xi
GyC ( G1 y1 G2 y2 Gn yn ) Gi yi
则
yC 1 0.1900m y C 2 0.01900m y C 3 0.0250m
yc
Ay A
i i
Ci
A1 y C 1 A2 y C 2 A3 y C 3 0.150m A1 A2 A3
31
负面积法:将平面薄板 看成矩形ABCD挖去矩形 板EFGH，如图所示。它 们的面积和坐标如下
结论：三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积，其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解：⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小：
FR1 2q1 1kN 1 FR 2 3 q2 6kN 2
FR
A
q2=4 KN/m
9
[例2-1] 某重力大坝所受的主动力可简化为如图的平面任意力 系。已知 G1 450kN, G2 200kN, F1 300kN, F2 70kN 。求主动力 系的合力及其作用线与基线OA的交点至点O的距离。
y
3m
1.5m 9m
G1 F1
3.9m
G2
90 0 F2
3m
O
B
A
§2–1 力的平移定理 §2–2 平面力系的简化 §2–4 重心
1
• 空间任意力系：由空间任意分布的力组成的力系。 • 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内并呈 任意分布的力系。 • 力系简化：将作用于刚体上的力系用一个与其等效 的最简单的力系来代替，这个过程称为
力系 简化。
•力系简化的基础：力的平移定理。
26
⒊ 均质等截面细杆（线），设其长度为l ，则 其重心坐标公式为
线段重心，曲线的重心一般不在曲线上。
27
三、确定物体重心的方法 • 对称法 均质物体有对称面，或对称轴，或对称中 心 ，该物体的重心必相应地在这个对称面，对 称轴，或对称中心上。 • 积分法
• 组合法（分割法、负面积法）
• 实验法（悬挂法、称重法）
5
M2 M1
F'R
Mn
Fn
F'n
n Fi F （主矢与简化中心的选择无关） 为： FR 主矢 FR i 1
主矢在二个坐标轴上的投影 主矢的大小
FR
2
Fx FRx Fy FRy
2
主矢的方向余弦
Fx Fy , i ) Fx cos( FR , j ) Fy cos( FR
M F F' F B rBA A B F' F rBA A
B
rBA
A
α
F"
α
F"
α
4
§2-2
平面力系的简化
一、平面力系向一点简化
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 汇交力系 力偶系 力 ，F'R (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
1. FR 0 , M O 0 （为一合力偶，主矩与简化中心无关） 2. FR 0 , M O 0 （为一合力，合力矢 通过简化中心，且等于
3. F 0 , M 0 （为一平衡力系） R O
主矢）
4.
FR 0 , M O 0
FR
（为一般情况，可继续简化为一合力 ）
A4 500 380 10 6 0.1900m 2 , yC 4 0.1900m A5 350 330 10 6 0.1155m 2 , yC 5 0.2150m
所以
Ai y i yC Ai
A4 yC 4 A5 yC 5 0.150m A4 A5
主矢
FRx FRy 5 5 11.2kN FR
2 2
arctan(
10 ) 63.40 5
主矩
4 3 M O M O ( Fi ) 2F1 3 F2 4 F3 4F4 M 12kN 5 5
13
⑵求合力及作用线的位置 合力FR=F'R=11.1kN； 作用线距O点的距离h为：
MO h 1.09m FR
h 1.09 (x 1.21m ) 0 sin sin 63.4
y(m)
F4=8KN
2
F3 =15KN
h
4 2 O 2
MO
F2 =10KN
4
2
x (m)
M=12KN.m
F'R F1=6KN
位置由Mo 的正负确定，如图。
14
三、线分布力的简化
工程上的结构和分布荷载常常 都对称于某一平面， 因此，可将分布荷载简化为作用在对称平面内的线分 布力。如图所示。
x
2m
3m
FR2
FR FR 2 FR1 5kN 方向如图。
⑵求合力作用线位置 由合力矩定理得
M A ( FR ) M A ( FR1 ) M A ( FR 2 )
解得
FR x FR1 1 FR 2 3
x 3.4m
18
思考题： 1.如图所示分布力系作用下的结构，用其合力代替分 布力系，这样的受力分析是否正确？
G y
i
i
G
, zC
Gz
i
i
G
其积分形式为
xC
xdG ,
V
G
yC
V
ydG G
, zC
zdG
V
G
24
二、均质物体的重心 ⒈ 均质物体，密度ρ为常量，重心坐标公式为
重心与形心重合
25
⒉ 等厚的均质薄板、 薄壳，设其表面积为A， 其重心的坐标公式为
面积重心，曲面的重心 一般不在曲面上
重心的位置会影响物体的平衡与稳定，如飞机重 心的超前或偏后会影响飞机的起飞、降落以及正常飞 行；而水坝、挡土墙重心的偏移会导致整个建筑物的 21 倾倒。
•物体重心的坐标公式
如图，将物体分割成许多微小 体积，每小块体积为△Vi，所受重 力为Gi。这些重力组成的平行力系 的合力G的大小就是整个物体的重 量，即
l l l
16
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
l l l
由 M (F ) M A( F ) A R
可得
x 1 2 FR h xdF x qdx ql 0 0 l 3
l l
所以
1 2 1 2 ql ql 2 3 3 h l 1 FR 3 ql 2
x
5.7m
10
解：（1）求主矢
FR
y
3m 1.5m 9m
G1 F1
将力系向O点简化 9 cos 0.9574 2.7 2 9 2 2.7 sin 0.2872 2 2 2.7 9
3.9m
G2
900 F2
3m
O
B
A
x
因为 FRx Fx F1 F2 cos 232.98kN 所以 F R
2
§2-1
力的平移定理
一、平面问题的力平移定理
但必须附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点B的力矩。
[证]
把作用在刚体上的点A的力 F 平移到任一点B，
力F
力系 F, F, F
力F 力偶（F，F）
M M
3
二、空间问题的力平移定理 作用在刚体上的力可向刚体上任意一点平移， 但必须附加一力偶，这个附加力偶矩矢等于力对平 移点的力矩矢。
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[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。
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解：分割法：将截面分成三部分，坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称，其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
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三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
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线分布力可简化为一合力FR，需确定其合 力的大小和作用线的位置。 任取一微段dx,该微段 内分布力集度可看成不变， 因此在微段内合力大小为
dF q( x )dx
x q( x ) q l
因此，在全长l上，分布力大小为
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
5.7m
Fy G1 G2 F2 sin 670.1kN FRy