工程力学——第2章(力系的简化)
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26
⒊ 均质等截面细杆（线），设其长度为l ，则 其重心坐标公式为
线段重心，曲线的重心一般不在曲线上。
27
三、确定物体重心的方法 • 对称法 均质物体有对称面，或对称轴，或对称中 心 ，该物体的重心必相应地在这个对称面，对 称轴，或对称中心上。 • 积分法
• 组合法（分割法、负面积法）
• 实验法（悬挂法、称重法）
1. FR 0 , M O 0 （为一合力偶，主矩与简化中心无关） 2. FR 0 , M O 0 （为一合力，合力矢 通过简化中心，且等于
3. F 0 , M 0 （为一平衡力系） R O
主矢）
4.
FR 0 , M O 0
FR
（为一般情况，可继续简化为一合力 ）
l l l
16
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
l l l
由 M (F ) M A( F ) A R
可得
x 1 2 FR h xdF x qdx ql 0 0 l 3
l l
所以
1 2 1 2 ql ql 2 3 3 h l 1 FR 3 ql 2
则
yC 1 0.1900m y C 2 0.01900m y C 3 0.0250m
yc
Ay A
i i
Ci
A1 y C 1 A2 y C 2 A3 y C 3 0.150m A1 A2 A3
31
负面积法:将平面薄板 看成矩形ABCD挖去矩形 板EFGH，如图所示。它 们的面积和坐标如下
M F F' F B rBA A B F' F rBA A
B
rBA
A
α
F"
α
F"
α
4
§2-2
平面力系的简化
一、平面力系向一点简化
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 汇交力系 力偶系 力 ，F'R (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
A4 500 380 10 6 0.1900m 2 , yC 4 0.1900m A5 350 330 10 6 0.1155m 2 , yC 5 0.2150m
所以
Ai y i yC Ai
A4 yC 4 A5 yC 5 0.150m A4 A5
5
M2 M1
F'R
Mn
Fn
F'n
n Fi F （主矢与简化中心的选择无关） 为： FR 主矢 FR i 1
主矢在二个坐标轴上的投影 主矢的大小
FR
2
Fx FRx Fy FRy
2
主矢的方向余弦
Fx Fy , i ) Fx cos( FR , j ) Fy cos( FR
结论：三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积，其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解：⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小：
FR1 2q1 1kN 1 FR 2 3 q2 6kN 2
FR
A
q2=4 KN/m
源自文库主矢
FRx FRy 5 5 11.2kN FR
2 2
arctan(
10 ) 63.40 5
主矩
4 3 M O M O ( Fi ) 2F1 3 F2 4 F3 4F4 M 12kN 5 5
13
⑵求合力及作用线的位置 合力FR=F'R=11.1kN； 作用线距O点的距离h为：
2
§2-1
力的平移定理
一、平面问题的力平移定理
但必须附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点B的力矩。
[证]
把作用在刚体上的点A的力 F 平移到任一点B，
力F
力系 F, F, F
力F 力偶（F，F）
M M
3
二、空间问题的力平移定理 作用在刚体上的力可向刚体上任意一点平移， 但必须附加一力偶，这个附加力偶矩矢等于力对平 移点的力矩矢。
G y
i
i
G
, zC
Gz
i
i
G
其积分形式为
xC
xdG ,
V
G
yC
V
ydG G
, zC
zdG
V
G
24
二、均质物体的重心 ⒈ 均质物体，密度ρ为常量，重心坐标公式为
重心与形心重合
25
⒉ 等厚的均质薄板、 薄壳，设其表面积为A， 其重心的坐标公式为
面积重心，曲面的重心 一般不在曲面上
22
将物体连同坐标系一起绕x轴顺时针转90°,再对x轴 取矩，有
GzC ( G1 z1 G2 z 2 Gn z n ) Gi z i
经整理，得重心坐标公式：
xC
Gx
i
i
G
,
yC
G y
i
i
G
, zC
Gz
i
i
23
G
xC
Gx
i
i
G
,
yC
G Gi
设任一微体的坐标为 x i , y i , z i ，重心C的坐标 为 x C , y C , z C ，根据合力矩定理，对x轴、y轴取矩， 有
GxC ( G1 x1 G2 x2 Gn yn ) Gi xi
GyC ( G1 y1 G2 y2 Gn yn ) Gi yi
MO h 1.09m FR
h 1.09 (x 1.21m ) 0 sin sin 63.4
y(m)
F4=8KN
2
F3 =15KN
h
4 2 O 2
MO
F2 =10KN
4
2
x (m)
M=12KN.m
F'R F1=6KN
位置由Mo 的正负确定，如图。
14
三、线分布力的简化
工程上的结构和分布荷载常常 都对称于某一平面， 因此，可将分布荷载简化为作用在对称平面内的线分 布力。如图所示。
FR FR FR
FR
8
FR
MO d FR
y
平面一般力系简化的最终结果
情况 向O点简化的结果 分类 主矢F'R 主矩MO
1 F'R=0 MO=0 2 3 4 F'R=0 F'R0 F'R0 M O 0 MO=0 M O 0
F F R R FR' F R h h O M x
28
[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。
29
解：分割法：将截面分成三部分，坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称，其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
30
三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
x 1 MO 2355 3.51m sin FR sin 70.87 709.4
12
[例2-2 ] 求图示力系的合力。 解：⑴力系向O点简化，有：
y(m)
F4=8KN
2
F3 =15KN F =10KN
2 4 3 M O Fx F1 F2 F3 5kN FRx 5 5 4 2 4 x (m) O 2 3 4 FRy Fy F2 F3 F4 10kN 2 5 5 M=12KN.m F' F =6KN R 1
O
力系简化的最终结果 （与简化中心关系）
平衡状态（力系对物体的移动 和转动作用效果均为零）。 一个合力偶，M=MO。 合力FR=F'R，作用线过O点。 一个合力，其大小为 FR=F'R， 作用线到O点的距离为h=|MO| /F'R FR在O点哪一边，由MO符号决定
平面任意力系向一点简化的最后结果有三种可能： ①一合力偶；②一合力；③平衡力系。
FR FR
6
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
对简化中心的主矩为：
MO M MO( F )
• 主矩是个代数量。
• 一般情况下，主矩与简化中心的选择有关。
7
二、平面力系简化的最后结果 对于平面力系，向平面内任一点O的简化结果一 般为一个力和一个力偶，可能出现以下四种情况：
x
5.7m
10
解：（1）求主矢
FR
y
3m 1.5m 9m
G1 F1
将力系向O点简化 9 cos 0.9574 2.7 2 9 2 2.7 sin 0.2872 2 2 2.7 9
3.9m
G2
900 F2
3m
O
B
A
x
因为 FRx Fx F1 F2 cos 232.98kN 所以 F R
§2–1 力的平移定理 §2–2 平面力系的简化 §2–4 重心
1
• 空间任意力系：由空间任意分布的力组成的力系。 • 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内并呈 任意分布的力系。 • 力系简化：将作用于刚体上的力系用一个与其等效 的最简单的力系来代替，这个过程称为
力系 简化。
•力系简化的基础：力的平移定理。
x
2m
3m
FR2
FR FR 2 FR1 5kN 方向如图。
⑵求合力作用线位置 由合力矩定理得
M A ( FR ) M A ( FR1 ) M A ( FR 2 )
解得
FR x FR1 1 FR 2 3
x 3.4m
18
思考题： 1.如图所示分布力系作用下的结构，用其合力代替分 布力系，这样的受力分析是否正确？
5.7m
Fy G1 G2 F2 sin 670.1kN FRy
FR
Fx 2 Fy 2
232.982 6702
FRy
709.4kN
11
670.1 arctan arctan 70.87 FRx 232.98
不正确。
理由：分布力系合成一集中力应在同一刚体上进行。 但如果考虑整体平衡，则可以将整体刚化，用集中 19 力表示。
应用力系简化结果分析固定端约束的约束力。
20
§2-4
重心
一、重心的概念及其坐标公式 • 重力： 物体内的诸微元体所受到的地心引力，可 以看成一组空间平行力系。该力系的合力成 为物体重力。 • 重心 ：不论物体相对地球如何放置，合力作用线总 通过同一点，该点称为物体重心。 • 确定重心位置的重要性
y
(2) 求力系对点O的主矩MO
M O M O ( Fi )
3F1 1.5G1 3.9G2 2355kN m
9m
3m 1.5m
G1 F1
3.9m
G2
900 F2
3m
(3) 求合力作用线的位置
合力矢
FR FR
O
B
A
x
5.7m
FR
其作用线与基线OA的交点 到O点的距离x为
15
线分布力可简化为一合力FR，需确定其合 力的大小和作用线的位置。 任取一微段dx,该微段 内分布力集度可看成不变， 因此在微段内合力大小为
dF q( x )dx
x q( x ) q l
因此，在全长l上，分布力大小为
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
9
[例2-1] 某重力大坝所受的主动力可简化为如图的平面任意力 系。已知 G1 450kN, G2 200kN, F1 300kN, F2 70kN 。求主动力 系的合力及其作用线与基线OA的交点至点O的距离。
y
3m
1.5m 9m
G1 F1
3.9m
G2
90 0 F2
3m
O
B
A
重心的位置会影响物体的平衡与稳定，如飞机重 心的超前或偏后会影响飞机的起飞、降落以及正常飞 行；而水坝、挡土墙重心的偏移会导致整个建筑物的 21 倾倒。
•物体重心的坐标公式
如图，将物体分割成许多微小 体积，每小块体积为△Vi，所受重 力为Gi。这些重力组成的平行力系 的合力G的大小就是整个物体的重 量，即
32
一重为 W ，边长为
a
的均质正方形薄板与一重为
W / 2 的均质三角形薄板焊接成梯形板，在
A
点悬挂。今若使底边BC 保持水平，求边长 l
33
⒊ 均质等截面细杆（线），设其长度为l ，则 其重心坐标公式为
线段重心，曲线的重心一般不在曲线上。
27
三、确定物体重心的方法 • 对称法 均质物体有对称面，或对称轴，或对称中 心 ，该物体的重心必相应地在这个对称面，对 称轴，或对称中心上。 • 积分法
• 组合法（分割法、负面积法）
• 实验法（悬挂法、称重法）
1. FR 0 , M O 0 （为一合力偶，主矩与简化中心无关） 2. FR 0 , M O 0 （为一合力，合力矢 通过简化中心，且等于
3. F 0 , M 0 （为一平衡力系） R O
主矢）
4.
FR 0 , M O 0
FR
（为一般情况，可继续简化为一合力 ）
l l l
16
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
l l l
由 M (F ) M A( F ) A R
可得
x 1 2 FR h xdF x qdx ql 0 0 l 3
l l
所以
1 2 1 2 ql ql 2 3 3 h l 1 FR 3 ql 2
则
yC 1 0.1900m y C 2 0.01900m y C 3 0.0250m
yc
Ay A
i i
Ci
A1 y C 1 A2 y C 2 A3 y C 3 0.150m A1 A2 A3
31
负面积法:将平面薄板 看成矩形ABCD挖去矩形 板EFGH，如图所示。它 们的面积和坐标如下
M F F' F B rBA A B F' F rBA A
B
rBA
A
α
F"
α
F"
α
4
§2-2
平面力系的简化
一、平面力系向一点简化
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 汇交力系 力偶系 力 ，F'R (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
A4 500 380 10 6 0.1900m 2 , yC 4 0.1900m A5 350 330 10 6 0.1155m 2 , yC 5 0.2150m
所以
Ai y i yC Ai
A4 yC 4 A5 yC 5 0.150m A4 A5
5
M2 M1
F'R
Mn
Fn
F'n
n Fi F （主矢与简化中心的选择无关） 为： FR 主矢 FR i 1
主矢在二个坐标轴上的投影 主矢的大小
FR
2
Fx FRx Fy FRy
2
主矢的方向余弦
Fx Fy , i ) Fx cos( FR , j ) Fy cos( FR
结论：三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积，其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解：⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小：
FR1 2q1 1kN 1 FR 2 3 q2 6kN 2
FR
A
q2=4 KN/m
源自文库主矢
FRx FRy 5 5 11.2kN FR
2 2
arctan(
10 ) 63.40 5
主矩
4 3 M O M O ( Fi ) 2F1 3 F2 4 F3 4F4 M 12kN 5 5
13
⑵求合力及作用线的位置 合力FR=F'R=11.1kN； 作用线距O点的距离h为：
2
§2-1
力的平移定理
一、平面问题的力平移定理
但必须附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点B的力矩。
[证]
把作用在刚体上的点A的力 F 平移到任一点B，
力F
力系 F, F, F
力F 力偶（F，F）
M M
3
二、空间问题的力平移定理 作用在刚体上的力可向刚体上任意一点平移， 但必须附加一力偶，这个附加力偶矩矢等于力对平 移点的力矩矢。
G y
i
i
G
, zC
Gz
i
i
G
其积分形式为
xC
xdG ,
V
G
yC
V
ydG G
, zC
zdG
V
G
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二、均质物体的重心 ⒈ 均质物体，密度ρ为常量，重心坐标公式为
重心与形心重合
25
⒉ 等厚的均质薄板、 薄壳，设其表面积为A， 其重心的坐标公式为
面积重心，曲面的重心 一般不在曲面上
22
将物体连同坐标系一起绕x轴顺时针转90°,再对x轴 取矩，有
GzC ( G1 z1 G2 z 2 Gn z n ) Gi z i
经整理，得重心坐标公式：
xC
Gx
i
i
G
,
yC
G y
i
i
G
, zC
Gz
i
i
23
G
xC
Gx
i
i
G
,
yC
G Gi
设任一微体的坐标为 x i , y i , z i ，重心C的坐标 为 x C , y C , z C ，根据合力矩定理，对x轴、y轴取矩， 有
GxC ( G1 x1 G2 x2 Gn yn ) Gi xi
GyC ( G1 y1 G2 y2 Gn yn ) Gi yi
MO h 1.09m FR
h 1.09 (x 1.21m ) 0 sin sin 63.4
y(m)
F4=8KN
2
F3 =15KN
h
4 2 O 2
MO
F2 =10KN
4
2
x (m)
M=12KN.m
F'R F1=6KN
位置由Mo 的正负确定，如图。
14
三、线分布力的简化
工程上的结构和分布荷载常常 都对称于某一平面， 因此，可将分布荷载简化为作用在对称平面内的线分 布力。如图所示。
FR FR FR
FR
8
FR
MO d FR
y
平面一般力系简化的最终结果
情况 向O点简化的结果 分类 主矢F'R 主矩MO
1 F'R=0 MO=0 2 3 4 F'R=0 F'R0 F'R0 M O 0 MO=0 M O 0
F F R R FR' F R h h O M x
28
[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。
29
解：分割法：将截面分成三部分，坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称，其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
30
三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
x 1 MO 2355 3.51m sin FR sin 70.87 709.4
12
[例2-2 ] 求图示力系的合力。 解：⑴力系向O点简化，有：
y(m)
F4=8KN
2
F3 =15KN F =10KN
2 4 3 M O Fx F1 F2 F3 5kN FRx 5 5 4 2 4 x (m) O 2 3 4 FRy Fy F2 F3 F4 10kN 2 5 5 M=12KN.m F' F =6KN R 1
O
力系简化的最终结果 （与简化中心关系）
平衡状态（力系对物体的移动 和转动作用效果均为零）。 一个合力偶，M=MO。 合力FR=F'R，作用线过O点。 一个合力，其大小为 FR=F'R， 作用线到O点的距离为h=|MO| /F'R FR在O点哪一边，由MO符号决定
平面任意力系向一点简化的最后结果有三种可能： ①一合力偶；②一合力；③平衡力系。
FR FR
6
M2 M1 Mn
F'R
Fn
F'n
对简化中心的主矩为：
MO M MO( F )
• 主矩是个代数量。
• 一般情况下，主矩与简化中心的选择有关。
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二、平面力系简化的最后结果 对于平面力系，向平面内任一点O的简化结果一 般为一个力和一个力偶，可能出现以下四种情况：
x
5.7m
10
解：（1）求主矢
FR
y
3m 1.5m 9m
G1 F1
将力系向O点简化 9 cos 0.9574 2.7 2 9 2 2.7 sin 0.2872 2 2 2.7 9
3.9m
G2
900 F2
3m
O
B
A
x
因为 FRx Fx F1 F2 cos 232.98kN 所以 F R
§2–1 力的平移定理 §2–2 平面力系的简化 §2–4 重心
1
• 空间任意力系：由空间任意分布的力组成的力系。 • 平面任意力系：各力的作用线在同一平面内并呈 任意分布的力系。 • 力系简化：将作用于刚体上的力系用一个与其等效 的最简单的力系来代替，这个过程称为
力系 简化。
•力系简化的基础：力的平移定理。
x
2m
3m
FR2
FR FR 2 FR1 5kN 方向如图。
⑵求合力作用线位置 由合力矩定理得
M A ( FR ) M A ( FR1 ) M A ( FR 2 )
解得
FR x FR1 1 FR 2 3
x 3.4m
18
思考题： 1.如图所示分布力系作用下的结构，用其合力代替分 布力系，这样的受力分析是否正确？
5.7m
Fy G1 G2 F2 sin 670.1kN FRy
FR
Fx 2 Fy 2
232.982 6702
FRy
709.4kN
11
670.1 arctan arctan 70.87 FRx 232.98
不正确。
理由：分布力系合成一集中力应在同一刚体上进行。 但如果考虑整体平衡，则可以将整体刚化，用集中 19 力表示。
应用力系简化结果分析固定端约束的约束力。
20
§2-4
重心
一、重心的概念及其坐标公式 • 重力： 物体内的诸微元体所受到的地心引力，可 以看成一组空间平行力系。该力系的合力成 为物体重力。 • 重心 ：不论物体相对地球如何放置，合力作用线总 通过同一点，该点称为物体重心。 • 确定重心位置的重要性
y
(2) 求力系对点O的主矩MO
M O M O ( Fi )
3F1 1.5G1 3.9G2 2355kN m
9m
3m 1.5m
G1 F1
3.9m
G2
900 F2
3m
(3) 求合力作用线的位置
合力矢
FR FR
O
B
A
x
5.7m
FR
其作用线与基线OA的交点 到O点的距离x为
15
线分布力可简化为一合力FR，需确定其合 力的大小和作用线的位置。 任取一微段dx,该微段 内分布力集度可看成不变， 因此在微段内合力大小为
dF q( x )dx
x q( x ) q l
因此，在全长l上，分布力大小为
x ql FR dF q( x )dx qdx 0 0 0 l 2
9
[例2-1] 某重力大坝所受的主动力可简化为如图的平面任意力 系。已知 G1 450kN, G2 200kN, F1 300kN, F2 70kN 。求主动力 系的合力及其作用线与基线OA的交点至点O的距离。
y
3m
1.5m 9m
G1 F1
3.9m
G2
90 0 F2
3m
O
B
A
重心的位置会影响物体的平衡与稳定，如飞机重 心的超前或偏后会影响飞机的起飞、降落以及正常飞 行；而水坝、挡土墙重心的偏移会导致整个建筑物的 21 倾倒。
•物体重心的坐标公式
如图，将物体分割成许多微小 体积，每小块体积为△Vi，所受重 力为Gi。这些重力组成的平行力系 的合力G的大小就是整个物体的重 量，即
32
一重为 W ，边长为
a
的均质正方形薄板与一重为
W / 2 的均质三角形薄板焊接成梯形板，在
A
点悬挂。今若使底边BC 保持水平，求边长 l
33