增长率问题
22.3 实际问题(增长率)
2000(1 x) 2420
2
即 (1 x) 2 1.21
1 x 1.1 1 x 1.1 或 1 x 1.1 x1 0.1 , x2 2.1 x2不合题意,舍去
答：
热身练习:
3、某厂今年一月的产量为500吨,三月的产量为720吨, 平均每月增长率是x,列方程( B ) A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500
增长率问题
热身练习:
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零 件1200个，那么二月份比一月份增产 个，增 200 长率是 20% 。
归纳： （1）增长的量= 增长后的量－增长前的量
（2） 增长率=
由（1）知： (3) 后量=
增长量 前量 前量 + 增长的量
又由（2） 知：
=前量资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程 为 .
5、某超市一月份的营业额为200万元， 第一季度的营业额为950万元，问二、三 月份的平均增长率是多少？ 解析：设月平均增长率为x,则二月份的产值 是 200(1+x) ；三月份的产值是 200(1+x)2 。
x
∴(1 x)2 1 36% ∴1 x 0.8
∴ x1 0.2 x2 1.8
． 答：平均每月降价
x2 1.8 不合题意舍去． ∴ x 0.2 20%
20％ ．
测一测试一试
1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨. 设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意, 列出方程为 __________________ .
21.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)
为增长次数，b为增长
均
后的量.
变
化
率
a(1-x)2=b,其中a为降低
问
前的量，x为降低率，2
题
降低率问题
为降低次数，b为降低 后的量.注意1与x位置
不可调换.
再见 教科书第60页第3、
6题
解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下 降率约为22.5％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
例题1.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种 药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成 本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平 均下降率较大?
解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
答：这个增长率为50%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x, 根据题意，得
2.降低率问题： a(1-x)
＿．
类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若变化前后的量分别为a,b ,变化的增长率（降低率）为x，增长或降 低的的次数为2,则它们的数量关系可表示为
a(1 x)2 b (其中增长取+,降低取－)
用直接开平方法解这类方程比较简单
更一般的增长或降低的的次数为n,则它们的数量关系可表示为
21.3 实际问题与一元二次 方程（增长率问题）
分析：
a 第一次
aX10%
高考数学复习点拨：增长率问题例析
增长率问题例析山东 杨道叶在实际问题中，常常遇到平均增长率问题．如果原来产值的基础数为H ，平均增长率为P ,则对于时间x 的总产值y ，有公式(1)x y H P =+表示，解决平均增长率问题，要用这个公式．本文列举数例，供参考．例1 某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量提高到14000吨，问平均每年需增长百分之几？解析:设平均每年增长率为x ，由题意可得58000(1)14000x +=，5(1) 1.75x ∴+=． 两边取常用对数，得lg1.75lg(1)0.04865x +=≈． 故1 1.2x +=．12x ∴=%，即平均每年增长12%．例2 1980年我国人均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平，即人均收达到817美元，则年平均增长率是多少?若按不低于此增长率的速度递增，则到2010年人均收入至少是多少美元？解析：设年平均增长率为x ,则1981年人均收入为255(1)x +;1982年人均收入为2255(1)x +；；2000年人均收入为20255(1)x +，由题意可得20255(1)817x +=，解得0.0606x ≈≈%．又设2010年人均收入为y 美元，则30255 1.061465y =⨯≈．故年平均增长率为6%,到2010年人均收入至少是1465美元．例3 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ,存期 为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少？ 解析：已知本金为a 元． 一期后的本利和为1(1)y a a r a r =+⨯=+； 二期后的本利和为22(1)(1)(1)y a r a r r a r =+++=+； 三期后的本利和为33(1)y a r =+；x 期后的本利和为(1)x y a r =+． 将1000a =， 2.25r =%，5x =代入上式，得51000(1 2.25)1117.68y =+≈%(元)． 注：按复利计算利息，也是增长率问题．增长率问题的实质是指数函数模型的应用．。
增长率问题练习题
增长率问题练习题一、填空：1某林场现有木材a 立方米，(1) 预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材________立方米.(2) 预计在今后两年内年平均减少p%，那么两年后该林场有木材________立方米.(3) 若第一年的增长率为p%，第二年比第一年的增长率还 高出10个百分点，则两年后该林场有木材_______________立方米.(4) 若第一年的增长率为p%,第二年减少了q%，则两年后该林场有木材_______________立方米.2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为__________．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．4、某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品C 的销售金额占总销售金额的40%。
由于受国际金融危机的影响，今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C 是今年销售的重点。
若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C 的销售金额应比去年增加 %。
二、选择题1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）22．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+ 三、解答题：1、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．2、某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．3、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系260050+-=x y ，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，（1（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了%5.1m 。
增长率问题
若设该校今明两年在实验器材投资上
的平均增长率是x，则可列方程 为 .
当 堂 训 练
4、某超市一月份营业额为200万元，一月、 二月、三月的营业额共 1000 万元，如果平 均月增长率为x，可得方程为 ( D )
A、200(1+x)2=1000
B、200+200×2×x=1000 C、200+200×3×x=1000
1210 斤。
7.某试验田去年亩产1000斤,今年比去年增产
了X%，今年亩产为 1000(1+X%) 斤,明年 再增产X%,明年产量为1000(1+X%) 斤。
2
课前热身
8.某厂一月份产钢50吨，二月份的增长率是
50(1+x) 吨。 x，则该厂二月分产钢____________
9.某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长
3.某产品，原来每件的成本价是200元，若
每件售价280元，则每件利润是
80元 。
每件利润率是 40% 。 利润=成本×利润率 4.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台, 第二个月增产了50%,则第二个月比第一个
5000×50% 台,第二个月生产 了 5000(1+50%) 台。
月增加了
课前热身
5. 康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产到150%,则第二个月生产了
5000(1+50%) 台;第二个月比第一个月
增加了 5000×50% 台, 增长率是
50% 。
课前热身
6.某试验田去年亩产1000斤,今年比去年增产
1100 斤,计划明年再 10%，则今年亩产为______
增产10%，则明年的产量为
2.某厂今年一月总产量为500吨,三月总产量
增长率问题
1 x 1 .2
x 1.2 (不合题意，舍去) 1
1 x 1.2 a 600 40%(1 x )
600 40% 1.2 1800 答：2001年预计经营总收入为1800万元.
练习
1、2002年我国上网计
算机为892万台，到2004
年以有2083台，问这两年 间上网计算机平均增长率 （精确0.1百分之）. 2、某公司8月售电脑200台，十月售
2 2 解得：x1 , x2 3 3 2 x2 不 符 题 意 ， 舍 去 . 3 2 x 3 2 答 ： 缉 私 艇 从 地 到B地 用 了 小 时 。 C 3
练习
如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B 再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿直 线匀速航行，将一批物品送达客轮．两船同时 起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处. 已知AB＝BC＝200海里， A ∠ABC＝90°,客轮速度 是货轮速度的2倍．求货 D 轮从出发到两船相遇共 航行了多少海里？(结果 B C 保留根号)
解：设平均每年的增长率为x，根据 题意，得 50(1+x)2=60.5 ∴(1+x)2=1.21 解之得x1=0.1=10%,
x2=-2.1(不合题意，舍去)
答：平均每年ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ产10%。
2、某电脑公司2000年的 各项经营收入中，经营电脑 配件的收入为600万元，占全年经营总收入 的40%，该公司预计2002年经营总收入要 达到2160万元，且计划从2000年到2002年， 每年经营总收入的年增长率相同，问2001 年预计经营总收入为多少万元？
200x2+100×2x×4=6400
解得 x1= - 8，x2= 4
一元二次方程实际问题1(增长率)
如果答案不符合实际情况或题目 要求，需要重新审视已知条件和 求解过程，找出问题所在并进行
修正。
在检查答案时，可以使用代入法 或估算法等方法进行验证。
05 增长率问题拓展与应用
拓展到其他领域如物理、化学等
在物理学中，一元二次方程可以用来描述物体自由落体的运 动规律，通过解方程可以求得物体下落的时间、速度等关键 参数。
03
经济增长方式
指主要通过增加自然资源、劳动力和资本等生产要素的投入数量来实现
经济增长的模式，其表现形式是高投入、高消耗、低产出、低质量、低
效益。
科技发展增长问题
1 2
科技投入增长率
科技投入总额的增长速度，反映科技投入的增长 快慢程度。
科技产出增长率
科技产出总额的增长速度，反映科技产出的增长 快慢程度。
3
科技对经济增长的贡献率
科技进步对经济增长的贡献份额，反映科技对经 济增长的推动作用大小。
04 增长率问题求解技巧与策 略
合理利用已知条件进行求解
仔细阅读题目，明确已知条件和 未知量，理解增长率的概念和计
算方法。
根据已知条件建立一元二次方程， 注意方程的各项系数和常数项的
确定。
利用求根公式或配方法求解一元 二次方程，得到未知量的值。
经济增长问题
01 02
经济增长率
末期国民生产总值与基期国民生产总值的比较，以末期现行价格计算末 期GNP,得出的增长率是名义经济增长率，以不变价格（即基期价格） 计算末期GNP，得出的增长率是实际经济增长率。
人均经济增长率
人均经济增长率是人均国内生产总值增长率的简称，指一定时期内人均 国内生产总值的增长速度。
通过解一元二次方程，可以得到指标随时间变化的具体数值，从而预测未来的发展 趋势。
增长率问题
5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子）。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？6.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
7.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。
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宿豫区实验初级中学“333”课堂教学模式
九年级数学学科“学练一体案”
课题用一元二次方程解决问题（二）增长率类
主备：陈召敏审核人：马晓铭
1.学什么——【学习目标】
1.掌握列方程解应用题的一般步骤。
2.熟悉增长率类问题中基本数量关系，掌握解决增长率类问题基本方法。
怎样学——【教学过程】
一、自学
1.扎西家2006年收入是2万元，以后每年增长10％，则扎西家2007年的收入是万元，
2008年的收入是万元；
2.扎西家2006年收入是2万元，以后每年的增长率为x，则扎西家2007年的收入是万元，
2008年的收入是万元.
【课前演练】
1.某公司今年利润预计是300万元，设该公司利润的年平均增长率是x，填空：
(1)该公司明年年利润达到万元； (2)该公司后年年利润达到万元；
(3)该公司第三年年利润达到万元； (4)该公司第十年年利润达到万元.
2.某商店6月份利润是2500元，要使8月份利润达到3600元，这两个月的月平均增长率是多少？
分析：设月平均增长的百分率为x．
根据题意列方程，得 .
解方程，得 x1= ，x2= .
答：该公司利润的年平均增长率是 %.
题型总结归纳：增长率类基本数量关系为
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为_________，
增长两次后的产值为__________，…………增长n次后的产值为____________．
基本等量关系为
二、导学
例题1：某公司4月份售出电脑200台，6月份售出电脑242台，这两月平均每月增长:百分率是多少？例题2：某衬衫经过连续两次的降价后，由原来的150元降至96元，平均每次降价的百分率是多少？
例题3:目前市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年。
如果第一年的折旧率为20%，以后其折旧率有所变化。
现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆轿车第二、第三年平均每年折旧率。
例题4：某工厂两年内使产值翻一番,求该工厂产值年平均增长的百分率.
变式1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值180万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少？
变式2：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元
及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。
三．探究
1.小红同学将100元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入银行，到期后，将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩下的又全部按一年定期存入银行，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金和利息共63元，求第一次存款的年利率。
2.某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，2009年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）
Ａ.12%+7%=x% Ｂ.(1+12%)(1+7%)=2（1+x%）Ｃ.12%+7%=2×x% Ｄ.(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2
3. （南通市）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
学怎样——【课堂检测】
1.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个。
设该厂五、六月份平均每月底增
长率为x，那么x满足的方程是（）
A. 50(1+x)2=182
B. 50+50(1+x) +50(1+x)2=182
C. 50(1+2x)=182
D. 50+50(1+x) +50(1+2x)=182
2.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么
宿豫区实验初级中学“333”课堂教学模式
九年级数学学科“学练一体案”
求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A 、(1-x)2=15%
B 、(1+x)2=1+15%
C 、(1-x)2=1+15%
D 、(1-x)2=1-15%
3.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m 元，则原价是（ ）
（A ）22.1m 元 （B ）1.2m 元 （C ）28
.0m 元 （D ）0.82m 元
4.某村粮食产量，第一年为a 千克，以后每年的增长率都为x ，则第二年的粮食产量为_______千克， 第三年的粮食产量为_________千克，这三年粮食总产量为________千克．
5. 某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x ，则应列出的方程是 ____________ ____________。
6..某服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51.2元，则平均每次降低的百分率为 。
7.．某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率. 设平均增长率为x 则列方程为 。
8...某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
9..小张将自己参加工作后第一次工资收入的400元钱，按一年定期存入银行，到期后，小张支取了200 元钱捐给希望工程，剩下的200元钱和应得的利息全部按一年定期存入银行．若存款每年利率保持 不变，到期后可得本金和利息共212．16元。
求这种存款方式的年利率．(只要设未知数、列方程、 不需解答)
【课后作业】：
1.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均10m 2提 高到1
2.1m 2，若每年的年增长率相同，则年增长率为____________.
2.某商品连续两次降价20%后价格为a 元，则原价为( )
A ．21.2a
B ．1.2a
C ．0.64a
D ．0.64a
3.某款手机连续两次加价，售价由原来的580元升到1185元．设平均每次增长的百分率为x ，则下面 列出的方程中正确的是（ ）
Ａ.21185580x = Ｂ.()211851580x -= Ｃ.()211851580x -= Ｄ.()2
58011185x += 4．若设每年平均增长的百分数为x ，分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b 倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a 万元增加到b 万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b 倍，求每年增长的百分数．
5.某人购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种
债券，定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元。
求这种债券的年利率。
6.某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。
求这种债券的年利率。
7..某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6 万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
8．（2007南京）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩
大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．
9.某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8﹪。
该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余。
若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。