原卷——江苏省百校联考2020届高三年级第五次试卷(学生版)

江苏省百校联考2020届高三年级第五次试卷

数学

数学I试题

2020年5月参考公式：

样本数据X],心，…，X,,的标准差s = J'£（x,._xV，其中X=-^j X i ;

V j=i 1 /=i

柱体的体积公式：V = Sh,其中S为柱体的底面积，H为柱体的高.

锥体的体积公式：V =、Sh ,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.

填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1.已知集合A = {1, 2}. A U B={1, 2, 3）,则集合中8必定含有的元素是▲

2.已知复数z（O+z）的模为1 （其中i为虚数单位），则实数a的值是▲.

3.下图是一个算法的流程图，则输岀。的值是▲.

4.已知一组数据1, 3, 5, 7, 9,则该组数据的方差是▲.

5.巳知双曲线員一—=1（0〉0）的左、右顶点与点（0,3）构成等腰直

9

角三角形，则该双曲线的渐近线方程是▲.

6.己知函数＞= tanx与＞=sin（3x—卩）（0 W 9＜兀），它们图象有一个交

点的横坐标为;则。的值是▲.

7.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以

兔子繁殖为例而引入，故又称为“免子数列”.在数学上，斐波那契

数列被以下递推方法定义：数列{两满足=々2=1, Cln+2= a n + a n+\,

现从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是―A

8.己知等比数列{臨的前乃项和为S",且々2 04+。3= 0, S3= —1,

则a n= ▲.

9.己知正方体ABCD-AxBxCxDx的棱长为2,则三棱锥

B—A\C\D的体积是▲.

10.已知角％ 0满足 tana = 2tanP ,若 sin（a+P）=―,贝!J

（第3

题）

sin(a—p)的值是▲

11.若函数八x)=(x—a)・'Jx (其中0〉0)在区间［1, 9］上的最小值为*则a的值是▲

8

12.如图，已知/为椭圆弓+壬=1 (。>3>0)上一点，它关于原点的

a1 b2-

对称点为3,点F为圆的右焦点，且以AB为直径的圆过点当ZABF=手

时，该椭圆的离心率是▲.

6

13.已知x, v均为正实数，且x+-=l,则〃+8v的最小值是▲

y x

14.已知当

x>0 吐函数/(x)=<71nx(<7>0),且/(x)=/(-x).若 g(X)=2x2-/M(7M>0)的图象与/'(X)的图象在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数四变化时.实数a的取值范围是▲.

二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡拒定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步驟.

15.(本小题满分14分)

在△48。中,角的对边分别是a,b,c. EEL知 C=—, »?=(sin/, — 1), w=(cosS,l),且所〃".

6

(1)求/的值；

(2)若点。为边BC±靠近3的四等分点，且AD = M求△/3C的面积.

16.(本小题满分14分)

在三棱柱A-BCD中,卩分别为AD,DC的中点，且BA=BD,平面0BD丄平面ADC.

(1)证明:EF〃平面/3C.

(2)证明：CZ)丄BE.

(第16题)

一胸针图样由等腰三角形6U3及圆心C在中轴线上的圆弧如构成，已知OA=OB=\, ZACB^.为了增加

胸针的美观程度,设计师准备焊接三条金丝线CO,CA,CB,且/C长度不小于。。长度.设ZAOC=0.

(1)试求出金丝线的总长度L(0),并求出的取值范围；

(2)当。为何值时，金丝线的总长度1(。)最小，并求出1(。)的最小.

A

O

（第17

题）

18.(本小题满分16分)

已知椭圆。：W+壬=1(0>3>0)右集点卩的盤标为(1,0),点户(1,3)为椭圆。上一点.

i (1)求椭圆c的方程；

(2)过椭圆C的右焦点卩作斜率为一击的直线，交椭圆。于",》两点，且

面积.

已知函数/(x) = x3 + x2—W R ) ? g(x) = xlnx .

(1)求曲线在x=l处的切线方程；

(2)对任意(0, a], /(x) > g(x)恒成立，求实数々的取值范围;

(3)当(0,们时,试求方程/(x) = g(x)的根的个数.

20.(本小题满分16分)

I己知数列S满足们=；'

⑴若1=1,

(i)求数列｛爾的通项公式;

(ii)证明：对VwG N*, <71 <72 <73 + <72 <73 04---------------------- Ct n <7,卄 1 <7*2 = (2) 若1=2,且对V"GN*,有0证明:

n ("+5)

12 ("+2) («+3)

21A.［选修4-2:矩阵与变换］（本小题满分10分）

1 k

J ） 1_

。点为极点，

Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线。的极坐标方程为/尸2cos

（1）求直线/的倾斜角;

（2）若直线/与曲线。交于3两点，求08的长度.

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数学II （附加题）

2020年5月

1

_0

己知矩阵4= 22B.［选修4-4:坐标系与参数方程］ （本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为 （?为参数）.若以直角坐标系xOy 的

（第23C

题）