3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
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3..2..2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一．预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容1．基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则．．．<2）推论：<常数与函数的积的导数，等于：）三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．学习过程<一）。
【复习回顾】复习五种常见函数、、、、的导数公式填写下表<二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数的导数为，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
HMjsKuCRe5<三）、【合作探究】1．<1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表数<2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．<1）与<2）与2.<1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点．．．推论：<常数与函数的积的导数，等于：）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.<2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．<1）<2）；<3）；<4）；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．<四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价<单位：元）与时间<单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少<精确到0.01）？HMjsKuCRe5分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少<精确到0.01）？HMjsKuCRe5例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用<单位：元）为HMjsKuCRe5求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：<1）<2）分析：净化费用的瞬时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：<1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：<2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数<1） <2）<3） <4）2.求下列函数的导数<1） <2）课后练习与提高1．已知函数在处的导数为3，则的解读式可能为：A BC D2．函数的图像与直线相切，则A B CD 1 HMjsKuCRe53.设函数在点<1,1）处的切线与轴的交点横坐标为，则A B C D 14.曲线在点<0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2，则P点的坐标为------------HMjsKuCRe56.已知函数的图像过点P<0,2），且在点处的切线方程为，求函数的解读式。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)
2.应用导数运算法则求函数的导数的原则 先化简再求导，即把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、 乘、除的运算，再考虑套用哪种运算法则，使计算简便.(关键 词：先化简再求导)
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知f(x)=(x2+1)2+(x+1)2+1，则f′(x)等于( )
(A)2x2+2x+4
利用导数运算法则求切线方程的注意点 (1)对曲线切线的再认识 直线与曲线相切并不一定只有一个公共点，或者说公共点不一 定是切点.当曲线是二次曲线，直线与其相切时，有且只有一 个公共点，反过来直线与二次曲线有且只有一个公共点时，直 线不一定是曲线的切线. 所以一定要分清是“在某点处的切 线”，还是“过某点的切线”.(关键词：公共点是否是切点)
由切线过点(1,1)，得1-(2x0- x)03=(2-3 x)(012 -x0)，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
∴x0=1或x0=
1 2
.
∴切线方程为x+y-2=0或5x-4y-1=0.
答案：x+y-2=0或5x-4y-1=0
2.设切线的斜率为k，则
k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
(2)解题流程：
分层
∵log2(3x+1)是由log2u,u=3x+1复合而成的,
分别求导 相乘
变量回代
而(log2u)′=
1(3x, +1) ′=3,
u ln 2
∴y′=
yu
ux
3, u ln 2
∴y′=
3. (3x 1)ln 2
(3)y′=［a3xcos(2x+1)］′ =(a3x)′cos(2x+1)+a3x［cos(2x+1)］′ =a3xlna·(3x)′cos(2x+1)+a3x［-sin(2x+1)］(2x+1)′ =3a3xlna·cos(2x+1)-2a3xsin(2x+1).
数学：3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件(新人教A版选修1-1)
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1 4 t 4
2与S :y=-(x-2)2,若直线l与S ,S 均 金太阳新课标资源网 例4. 已知曲线S1:y=x 2 1 2 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
y′＝－1/2cosx.
例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
1 4 9 －4x －9x ＝－ 2－ 3－ 4. x x x
－3 －4
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xsinx－2 xsinx 2 (4)y′＝ cosx －cosx′＝ ′ cosx
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt1 人教课标版
今后我们可 以直接使用下 面的基本初等 函数的求导公 式
1 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) ( a 0 , 且 a 1) ; x ln a 1 可以在理解的基础 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) ; x 上背下来呀！
2
)处的切线的斜率为
___________. 2
复合函数及其求导法则：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g（x），如果 通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为 函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，记为
yf(g (x ))
复合函数的导数：
g (x ))的导数和函数 y f (u) 复合函数 yf( u g(x)的导数间的关系为
5284 2 100 x
' 90 (1)因为 c
5284 52 . 84 ， 所以，纯净度为 100 90
5284 1321 ，所以，纯净度 2 100 98
90﹪时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
' 98 （2）因为 c
为98﹪时，费用的瞬时变化率是1321元/吨.
( 1 ) 求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); (2 ) 求函数的增量与自变量 的增量的比值 : y f(x x ) f(x ) ; x x y f ( 3 ) 求极限，得导函数 y ( x ) lim . x 0 x
1 (3) y ; 2 cos x
(4) y
6x3 x 1 x
2
;
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 3 解： y cos x , y sin x , y | sin x . x 2 3
高中数学 第3章 导数及其应用 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修1
利用导数求函数解析式
[探究问题] 对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？
提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处 的函数值．
【例3】
(1)已知函数f(x)＝
ln x x
＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大
小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，
f′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
B [∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(1)＋1x， 又f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1，故选B．]
课堂 小结 提素 养
求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、 积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函 数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公 式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转 化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬 时速度等问题．
1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数 最值问题及求曲线的切线方程．
2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴 围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题； ③求与切线有关的定值问题等．
[跟进训练]
2．设函数f(x)＝x－
3 x
，求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直
f(x)＝2x3－9x2＋12x [因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2) ＝0，f(1)＝5，
3a＋2b＋c＝0，
所以12a＋4b＋c＝0， a＋b＋c＝5，
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则课件
24
练 1 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11.
25
[解] (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－5(x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
(2)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)
＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
27
求函数的解析式 例 2 已知 f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝ 1 对一切 x∈R 恒成立，求 f(x)的解析式． [分析] 根据 f′(x)为一次函数，可设 f(x)的解析式为 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用对一切 x∈R 方程恒成立，转 化为关于 a，b，c 的方程组，即可求出 f(x)的解析式．
20
(3)两个函数商的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，且 g(x)≠0 ，则[gfxx]′＝f′xgx[g－xf]2xg′x，特别地， 当 f(x)＝1 时， 有[g1x]′＝－g[g′xx]2.
21
利用求导公式和运算法则求导数 例 1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； (3)y＝( x－2)2－sinx2·cos2x. [分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再 求导两种方法，要注意正确区分．
31
[解] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 由 f(0)＝4，得 c＝4.由 f′(0)＝－1，得 b＝－1.由 f′(1) ＝7，得 2a＋b＝7，得 a＝4，所以 f(x)＝4x2－x＋4. (2)由 f′(x)为二次函数可知 f(x)为三次函数，设 f(x)＝ ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 把 f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋ 1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋(2b －c－3d)x＋c－d－5＝0.
练 1 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11.
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[解] (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－5(x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
(2)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)
＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
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求函数的解析式 例 2 已知 f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝ 1 对一切 x∈R 恒成立，求 f(x)的解析式． [分析] 根据 f′(x)为一次函数，可设 f(x)的解析式为 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用对一切 x∈R 方程恒成立，转 化为关于 a，b，c 的方程组，即可求出 f(x)的解析式．
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(3)两个函数商的函数的求导法则 设函数 f(x)，g(x)是可导的，且 g(x)≠0 ，则[gfxx]′＝f′xgx[g－xf]2xg′x，特别地， 当 f(x)＝1 时， 有[g1x]′＝－g[g′xx]2.
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利用求导公式和运算法则求导数 例 1 求下列函数的导数． (1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； (3)y＝( x－2)2－sinx2·cos2x. [分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再 求导两种方法，要注意正确区分．
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[解] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 由 f(0)＝4，得 c＝4.由 f′(0)＝－1，得 b＝－1.由 f′(1) ＝7，得 2a＋b＝7，得 a＝4，所以 f(x)＝4x2－x＋4. (2)由 f′(x)为二次函数可知 f(x)为三次函数，设 f(x)＝ ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 把 f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋ 1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋(2b －c－3d)x＋c－d－5＝0.
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学习目标
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导
数；
2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.
3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。
重点、难点
形成导数的概念，了解导数的内涵。
学习方法了解并掌握导数的概念及求法。
学习过程一，自主学习（预习教材P14~ P19，找出疑惑之处）复习：常见函数的导数公式并且让学生记忆基本初等函数的导数公式进行练习
根据常见函数的导数公式计算下列导数
二，探求新知 1.可导函数的四则运算法则
法则1 '[口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2 两个函数积的导数(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则
法则3两个函数除法的导数口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 例1.
根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，变式训练：
三、课堂小结 1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、
乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.
四，课堂展示分组展示提高学生的积极性和学习兴趣。
122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
栏目 导引
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
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栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
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第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
公式
[Cf(x)]′＝C f′(x)
语言叙述
常数与函数积的导数，等于常 数乘以函数的导数
fx gxf′x－fxg′x gx′＝ g2x
(g(x)≠0)
两个函数商的导数等于分母上 的函数乘上分子的导数，减去 分子乘以分母的导数所得的差 除以分母的平方
[题后感悟]
求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程，关键是确
定切线的斜率，即函数在x＝x0处的导数值，然后用点斜式 写出切线方程，研究其有关性质．
3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在(2，－1)处的切 线方程为y＝x－3，求a，b，c的值．
解析：
a＋b＋c＝1 由题意知 4a＋2b＋c＝－1
1 1．函数 f(x)＝ 的导数 f′(x)等于( x 1 A. 2 x3 1 C. 2x
解析： 1 3.故选 D. 2 x
)
B．－
1 2 x
1 D．－ 2 x3
1 1 1 1 1 3 ′＝(x－ )′＝－ x－ －1＝－ x－ ＝－ 2 2 2 2 2 x
答案： D
1 3 2 2．曲线 f(x)＝ x －x ＋5 在 x＝1 处的切线的倾斜角为 3 ( ) π A.6 π C.4
x x
sin x ′ cos x
2 2 cos x ＋ sin x x x ＝2 ln 2tan x＋2 cos2x
＝2xln 2tan x＋2x＋2xtan2x ＝2x(1＋ln 2tan x＋tan2x)．
题目类型一、利用导数公式求函数导数
例 1.求下列函数的导函数： 1 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；
(4)y′＝(xsin
2 x)′－cos x′＝sin
2sin x x＋xcos x－ cos2x .
x5＋ x7＋ x9 2 3 4 (5)∵y＝ ＝x ＋x ＋x ， x ∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3. (6)先使用三角公式进行化简，得 x x 1 y＝x－sin2cos2＝x－2sin x，
－x
1 ＝ 2 x ，
1 1 x ∴y′＝2 ′＝－2xln
2.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x. 1 ∴y′＝(log2x)′＝ . xln 2 x 2x (5)∵y＝－2sin2(1－2cos 4) x x ＝2sin2cos2＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x.
x x (4)∵y＝2sin cos ＝sin x， 2 2 ∴y′＝cos x. 1 1 (5)y′＝(log2x)′＝ 1. xln 2 (6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
[题后感悟]
(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，
但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程， 降低运算难度，是常用的求导方法． (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择 求导公式，有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能
题目类型二、利用公式及运算法则求函数的导数
例 2.求下列函数的导数． 1 3 (1)f(x)＝3ax ＋bx2＋c； (2)f(x)＝xln x＋2x； x－1 (3)f(x)＝ ； x＋1 (4)f(x)＝x2· ex.
注意导数公式和导数法则的应用，先化简再求导数．
[解题过程]
1 3 2 (1)f′(x)＝3ax ＋bx ＋c′
① ②
又∵y′＝(ax2＋bx＋c)′＝2ax＋b， ∴y′|x＝2＝4a＋b＝1. 由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9. ③
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数．
(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的四则运算法则
求导数．
2． 指数函数、 对数函数的导数公式的记忆， 对于公式(ln 1 1 x x x)′＝ 、(e )′＝e 很好记．但公式(logax)′＝ ，(ax)′ x xln a ＝ax· ln a 的记忆比较难，特别是 ln a 的位置易记混，应从以 下两个方面加深对公式的理解和记忆． (1) 区分公式的结构特征，既要从纵的方面 (ln x)′与 (logax)′， (ex)′与 (ax)′区分，又要从横的方面 (logax)′与 (ax)′区分，找出差异，记忆公式．
12
x x 1 (4)y＝2sin2cos2；(5)y＝log2x；(6)y＝3x.
[解题过程]
－4
(1) y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
－4－1
(2)y′＝(x )′＝－4x 5
3
4 ＝－4x ＝－x5.
－5
3 3 3 (3)y′＝( x )′＝(x5)′＝5x5－1 3 2 3 ＝5x－5＝ . 5 2 5 x
x－1 x＋1－2 2 方法二：∵f(x)＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1
2 2 ∴f′(x)＝1－x＋1′＝－x＋1 ′
0－2x＋1′ 2 ＝－ ＝ 2 2. x＋1 x＋1 (4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′· ex＋x2· (ex)′ ＝2x· ex＋x2· ex ＝ex· (2x＋x2)．
(2) 对公式(logax)′可用 (ln x)′和求导法则证明来帮助 记忆． ln x 1 1 1 (logax) ＝( )′＝ ·＝ . ln a ln a x x· ln a
′
3．两个函数积与商的导数的注意点 (1) 在 两 个 函 数 积 与 商 的 导 数 运 算 中 ， 不 能 出 现
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x
(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ (3)y′＝ x2＋32 －x2－6x＋3 ＝ . x2＋32
解析：
3π B. 4 π D.3
f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，
3π 故切线的倾斜角为 4 .
答案： B
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝ ________.
解析： f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，
于是有 2x－3x2＝－2， 1± 7 解得 x＝ . 3
[题后感悟]
(1)应用基本初等函数的导数公式和导数的四则
运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函 数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知 识的内在联系及其规律． (2) 在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变
形对已知函数解析式进行化简变形．如，把乘积的形式展
开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂， 然后再求导，这样可减少计算量．
中的自变量．本题的自变量是 x ，a的导 数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积．本题把分 数的导数类同于分数的乘方运算了．
够简化运算过程．
1.求下列函数的导数： 1 － (1)y＝x x；(2)y＝log3 x；(3)y＝2 x； x 2x (4)y＝log2x －log2x；(5)y＝－2sin (1－2cos )． 2 4
2
解析：
3 3 3 3 (1)y′＝(x x)′＝(x2)′＝2x2－1＝2 x.
(2)y＝－log3x， 1 y′＝(－log3x)′＝－xln 3. (3)∵2
[规范作答]
1 y＝f(x)＝x＋ x＝x＋x2
1 1 1 ∴f′(x)＝1＋2x－2＝1＋ ，………………3 分 2 x 3 ∴f′(1)＝2，…………………………………5 分 3 ∴函数 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－ 1)，
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
公式
[Cf(x)]′＝C f′(x)
语言叙述
常数与函数积的导数，等于常 数乘以函数的导数
fx gxf′x－fxg′x gx′＝ g2x
(g(x)≠0)
两个函数商的导数等于分母上 的函数乘上分子的导数，减去 分子乘以分母的导数所得的差 除以分母的平方
[题后感悟]
求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程，关键是确
定切线的斜率，即函数在x＝x0处的导数值，然后用点斜式 写出切线方程，研究其有关性质．
3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在(2，－1)处的切 线方程为y＝x－3，求a，b，c的值．
解析：
a＋b＋c＝1 由题意知 4a＋2b＋c＝－1
1 1．函数 f(x)＝ 的导数 f′(x)等于( x 1 A. 2 x3 1 C. 2x
解析： 1 3.故选 D. 2 x
)
B．－
1 2 x
1 D．－ 2 x3
1 1 1 1 1 3 ′＝(x－ )′＝－ x－ －1＝－ x－ ＝－ 2 2 2 2 2 x
答案： D
1 3 2 2．曲线 f(x)＝ x －x ＋5 在 x＝1 处的切线的倾斜角为 3 ( ) π A.6 π C.4
x x
sin x ′ cos x
2 2 cos x ＋ sin x x x ＝2 ln 2tan x＋2 cos2x
＝2xln 2tan x＋2x＋2xtan2x ＝2x(1＋ln 2tan x＋tan2x)．
题目类型一、利用导数公式求函数导数
例 1.求下列函数的导函数： 1 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；
(4)y′＝(xsin
2 x)′－cos x′＝sin
2sin x x＋xcos x－ cos2x .
x5＋ x7＋ x9 2 3 4 (5)∵y＝ ＝x ＋x ＋x ， x ∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3. (6)先使用三角公式进行化简，得 x x 1 y＝x－sin2cos2＝x－2sin x，
－x
1 ＝ 2 x ，
1 1 x ∴y′＝2 ′＝－2xln
2.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x. 1 ∴y′＝(log2x)′＝ . xln 2 x 2x (5)∵y＝－2sin2(1－2cos 4) x x ＝2sin2cos2＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x.
x x (4)∵y＝2sin cos ＝sin x， 2 2 ∴y′＝cos x. 1 1 (5)y′＝(log2x)′＝ 1. xln 2 (6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
[题后感悟]
(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，
但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程， 降低运算难度，是常用的求导方法． (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择 求导公式，有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能
题目类型二、利用公式及运算法则求函数的导数
例 2.求下列函数的导数． 1 3 (1)f(x)＝3ax ＋bx2＋c； (2)f(x)＝xln x＋2x； x－1 (3)f(x)＝ ； x＋1 (4)f(x)＝x2· ex.
注意导数公式和导数法则的应用，先化简再求导数．
[解题过程]
1 3 2 (1)f′(x)＝3ax ＋bx ＋c′
① ②
又∵y′＝(ax2＋bx＋c)′＝2ax＋b， ∴y′|x＝2＝4a＋b＝1. 由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9. ③
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数．
(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的四则运算法则
求导数．
2． 指数函数、 对数函数的导数公式的记忆， 对于公式(ln 1 1 x x x)′＝ 、(e )′＝e 很好记．但公式(logax)′＝ ，(ax)′ x xln a ＝ax· ln a 的记忆比较难，特别是 ln a 的位置易记混，应从以 下两个方面加深对公式的理解和记忆． (1) 区分公式的结构特征，既要从纵的方面 (ln x)′与 (logax)′， (ex)′与 (ax)′区分，又要从横的方面 (logax)′与 (ax)′区分，找出差异，记忆公式．
12
x x 1 (4)y＝2sin2cos2；(5)y＝log2x；(6)y＝3x.
[解题过程]
－4
(1) y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
－4－1
(2)y′＝(x )′＝－4x 5
3
4 ＝－4x ＝－x5.
－5
3 3 3 (3)y′＝( x )′＝(x5)′＝5x5－1 3 2 3 ＝5x－5＝ . 5 2 5 x
x－1 x＋1－2 2 方法二：∵f(x)＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1
2 2 ∴f′(x)＝1－x＋1′＝－x＋1 ′
0－2x＋1′ 2 ＝－ ＝ 2 2. x＋1 x＋1 (4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′· ex＋x2· (ex)′ ＝2x· ex＋x2· ex ＝ex· (2x＋x2)．
(2) 对公式(logax)′可用 (ln x)′和求导法则证明来帮助 记忆． ln x 1 1 1 (logax) ＝( )′＝ ·＝ . ln a ln a x x· ln a
′
3．两个函数积与商的导数的注意点 (1) 在 两 个 函 数 积 与 商 的 导 数 运 算 中 ， 不 能 出 现
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x ＝ cos2x sin xcos x＋x ＝ . cos2x
(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ (3)y′＝ x2＋32 －x2－6x＋3 ＝ . x2＋32
解析：
3π B. 4 π D.3
f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，
3π 故切线的倾斜角为 4 .
答案： B
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝ ________.
解析： f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，
于是有 2x－3x2＝－2， 1± 7 解得 x＝ . 3
[题后感悟]
(1)应用基本初等函数的导数公式和导数的四则
运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函 数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知 识的内在联系及其规律． (2) 在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变
形对已知函数解析式进行化简变形．如，把乘积的形式展
开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂， 然后再求导，这样可减少计算量．
中的自变量．本题的自变量是 x ，a的导 数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积．本题把分 数的导数类同于分数的乘方运算了．
够简化运算过程．
1.求下列函数的导数： 1 － (1)y＝x x；(2)y＝log3 x；(3)y＝2 x； x 2x (4)y＝log2x －log2x；(5)y＝－2sin (1－2cos )． 2 4
2
解析：
3 3 3 3 (1)y′＝(x x)′＝(x2)′＝2x2－1＝2 x.
(2)y＝－log3x， 1 y′＝(－log3x)′＝－xln 3. (3)∵2
[规范作答]
1 y＝f(x)＝x＋ x＝x＋x2
1 1 1 ∴f′(x)＝1＋2x－2＝1＋ ，………………3 分 2 x 3 ∴f′(1)＝2，…………………………………5 分 3 ∴函数 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－ 1)，