第三章差分方程模型 ppt课件
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差分方程初步-PPT课件
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只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程 是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1byt=0
与方程
ayt+2byt+1=0
都是相互等价的．
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四、 线性差分方程及其基本定理 形如 yt+n+a1(t)yt+n1+a2(t)yt+n2+…+an1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)
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二、一阶差分的性质
（1）若yt=C(C为常数),则Dyt=0; （2） 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; （3） D(yt+zt)=Dyt+Dzt． （ 4）
y zn y n n y n z n = zn zn+1 zn
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三、
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一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
k k 1 D yt =D (D yt ) k 1 k 1 =D yt+1 D yt i = ( 1 )i C ky t+ki i=0 k
(k =1 ,2 ,3 , )
这里
k! C = i!(k i )!
i k
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如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有
yt+n+a1yt+n1+a2yt+n2+…+an1yt+1+anyt=f(t)，
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
差分方程及其应用(周义仓,曹慧,肖燕妮编著)PPT模板
on)
第4章差分方 程的分支
4.3二维差分方程组平衡解和稳定 性的分支
4.3.2一个非线性差分方程 组平衡解的稳定性和分支
4.3.1常系数线性齐次方程 组平衡解的稳定性和相图
第4章差分方程的分支
4.4不变闭曲线的分支
01
4.4.1hopf分支
02
4.4.2不变闭曲 线族的分支
第4章差分方程的分支
02 4.6.2 平衡解的稳定
性
03 4.6.3模型(4.6.5)
的flip分支
04 4.6.4 模型(4.6.5)
05 4.6.5模型(4.6.5)
的鞍结点分支
的hopf分支
09
第5章差分方程在生态和传 染病问题中的应用
第5章差分方程在生态 和传染病问题中的应用
5.1人口和种群增长的 leslie矩阵模型
变化的描述
第1章绪 论
1.2差分方程的概念和 求解
1.2.1差分算 子及其性质
1.2.3不定 和
1.2.2初等 函数的差分
1.2.4差分 方程
第1章绪论
1.3简单差分方程的复杂 性态
01
1.3.1差分方 程的平衡解及
其稳定性
02
1.3.2虫口方 程的倍周期分
叉
03
1.3.3一个非 线性模型的混
沌性态
第1章绪 论
1.1一些应用差分方程 的例子
01 1 .1 .1 兔子对数 的递 02 1 .1 .2 从两个简 单问
推关系
题导出的差分方程
03 1 .1 .3 近似计算 与差 04 1 .1 .4 经济学中 两个
分方程
问题
05 1 .1 .5 随机现象 中概 06 1 .1 .6 一个种群 数量
第4章差分方 程的分支
4.3二维差分方程组平衡解和稳定 性的分支
4.3.2一个非线性差分方程 组平衡解的稳定性和分支
4.3.1常系数线性齐次方程 组平衡解的稳定性和相图
第4章差分方程的分支
4.4不变闭曲线的分支
01
4.4.1hopf分支
02
4.4.2不变闭曲 线族的分支
第4章差分方程的分支
02 4.6.2 平衡解的稳定
性
03 4.6.3模型(4.6.5)
的flip分支
04 4.6.4 模型(4.6.5)
05 4.6.5模型(4.6.5)
的鞍结点分支
的hopf分支
09
第5章差分方程在生态和传 染病问题中的应用
第5章差分方程在生态 和传染病问题中的应用
5.1人口和种群增长的 leslie矩阵模型
变化的描述
第1章绪 论
1.2差分方程的概念和 求解
1.2.1差分算 子及其性质
1.2.3不定 和
1.2.2初等 函数的差分
1.2.4差分 方程
第1章绪论
1.3简单差分方程的复杂 性态
01
1.3.1差分方 程的平衡解及
其稳定性
02
1.3.2虫口方 程的倍周期分
叉
03
1.3.3一个非 线性模型的混
沌性态
第1章绪 论
1.1一些应用差分方程 的例子
01 1 .1 .1 兔子对数 的递 02 1 .1 .2 从两个简 单问
推关系
题导出的差分方程
03 1 .1 .3 近似计算 与差 04 1 .1 .4 经济学中 两个
分方程
问题
05 1 .1 .5 随机现象 中概 06 1 .1 .6 一个种群 数量
差分方程初步-PPT精选文档
+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．
定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如 果 y1(t),y2(t),…,yn(t) 是 齐 次 线 性 差 分 方 程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关 的特解,则方程 的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，
三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解 .含有 n 个任意 ( 独立 ) 常数 C1,C2,…,Cn 的解
yt=j(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．
差分方程稳定性PPT课件
则称 a是差分方程(1-1)的平衡点.
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
THANK YOU
2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
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补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk
《差分方程》PPT课件
方程变为yt+1+ayt=b, a,b均为非零常数．
试以 yt (为待定常数)形式的特解代入方程得 +a (1+a) b．
当a≠-1时,可求得特解
b yt 1 a
当a1时,改设特解 yt t (为待定系数),将其代 入方程得 (t+1)+a t(1+a) t+ b
返回 上页 下页 求得特解 yt bt
6
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三、 差分方程的解 定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解
yt=(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有
D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,
………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,
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定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方 程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下 标的最大差,称为差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,
微分-差分-模型
x(0) x(t)
x0 x(t)
将上式代入(1.5)，得
❖
t
T ln 2
ln
x(0) x(t)
(1.8)
这么由(1.8)可知，只要懂得生物体在死亡时体
内14C旳蜕变速度 x(0) 和目前时刻t旳蜕变速
度x(t) ,就能够求得生物体旳死亡时间了，在实
际计算上，都假定当代生物体中14C旳蜕变
速度与生物体死亡时代生物体中14C旳蜕变
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (3-6)
若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k 则称xn = x (n)是差分方程(3-6)旳解, 包括个任意常 数旳解称为(3-6)旳通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称 为(3-6)旳初始条件,通解中旳任意常数都由初始条 件拟定后旳解称为(3-6)旳特解. 若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 旳差分方程旳解能够在计算机上实现.
性差分方程旳通解为
xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根
时,二阶常系数线性差分方程旳通解为
xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程旳任一特征根 |i |＜1
时, 平衡点x*是稳定旳.
M
2
D
d
x
x
y
y
《高数3差分方程》PPT课件
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
10
又如： 可化为
yt2 2 yt1 yt 3t , yt 2 yt1 yt2 3t2 ,
2 yt 2 yt 3t.
定义5.1.3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
kbt1 akbt cbt 即 k(b a) c ,
于是
yt*
b
c
a
bt
.
28
(2) 当 b a 时 ， 令yt* ktbt 代 入 方 程(6) , 得 ：
k(t 1)bt1 aktbt cbt
即 k(t 1)b akt c ,
解得 k c . a
于是
yt*
c a
tbt
ctbt1 .
当b a 和 b a 时，方程(6) 的通解分别为：
yt
c ba
bt
Aa t
和
yt ctbt1 Aat .
29
例6 求差分方程
yt 1
1 2
yt
5 t
的2 通解。
解 对应齐次差分方程的通解为 Y A 1 t .
2
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
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单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
求解公式
xk
c11k
c2k2
b 1 a1 a2
,
k 0,1,2,
1, 2～特征根 2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, பைடு நூலகம்始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk
x
1
b a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k) a12x2 (k) a1n xn (k) b1 x2 (k 1) a21x1(k) a22x2 (k) a2n xn (k) b2 xn (k 1) an1x1(k) an2x2 (k) ann xn (k) bn
x(k 1) Ax(k) b, k 0,1,2,
• 由x(0)按照方程递推地计算x(1), x(2), … • 求解公式
x(k) Ak (x(0) (I A)1b) (I A)1b, k 1,2,
A的特征根 <1
k→∞, x(k) x (I A)1b ~稳定平衡点
4. 简单的非线性差分方程
例 离散形式的阻滞增长模型
xk 1
xk
r(1
xk N
)
xk
,
k 0,1,2,
r,N~已知常数
• 由初始值x0按照方程递推计算x1, x2, …
3.1 贷款购房
贷款购房需考虑的问题
网上的房贷计算器
买多大的房子
一共贷多少钱
每月还多少钱
贷款购房——最简 单的差分方程模型
x0 (1
r)n
a
(1
r)n r
1
贷款到期时xn=0
(1 r)n a x0r (1 r)n 1
a =3000, r =0.035/12, n =125 (月) xn= 196,012.50
等额本息贷款和等额本金贷款
房贷计算器的选项 • 贷款类别：商业贷款, 公积金, 组合型 年利率不同 • 计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算. • 按揭年数：可选１至30年. 选择20年.
• 银行利率：基准利率、利率上限或下限. 选择商业 贷款的基准利率6.55%.
• 还款方式：等额本息还款或等额本金还款.
等额本息贷款和等额本金贷款
等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同. 等额本金还款~每月归还本金数额相同, 加上所欠本金 的利息. 所欠本金逐月减少 每月还款金额递减
例1 “房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷 款总额100万元, 期限20年, 年利率6.55%. 点击“开始 计算”得: 还款总额1796447.27元, 月均还款7485.2元.
单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：
单利本息：1+nr
复利本息：(1+r)n >1+nr 利滚利！
单利和复利 按单利计算的业务——零存整取
零存整取 ~ 每月固定存额，约定存款期限，到期 一次支取本息的定期储蓄. 方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.
例 每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%） 零存整取 累计存入金额180,000元
a,b~常数
• 由x0按照方程递推计算x1, x2, …
•
求解公式
xk
ak (x0
b) 1 a
b, 1 a
k 1,2,
a <1
k→∞,
xk
x b 1 a
~稳定平衡点
2. 二阶线性常系数差分方程
xk 2 a1xk 1 a2xk b, x0, x1已知，k 0,1,2,
x(k)=[x1(k), x2(k), ,xn(k)]T b=[b1, b2, ,bn]T
a11 A a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
an2
ann
x(k 1) Ax(k) b, k 0,1,2,
3. 线性常系数差分方程组
计算器 到期本息总额196,012.50元
勤俭节约、科学理财
单利和复利 按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月) xk ~存入k个月后的本息 x1=a+ar x2= x1+a+a2r
xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n k=n递推至k=１ xn= na+ar(1+2+…+n)
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn=
x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
3. 差分方程模型
• 差分方程~若干离散点上未知变量数值的方程. • 描述离散时间段上客观对象的动态变化过程. • 现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似.
例 湖泊污水浓度 受上游河流的流量、污 水浓度等因素影响，湖泊污水浓度随时间变化. 每周对湖泊和上游河流监测一次, 获取数据. 建立湖泊污水浓度以周为时段的差分方程模型.