2008年数四 考研数学真题及解析
全国2008年4月2008年4月高等教育自学考试
全国2008年4月2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（）A ．-15B ．-6C ．6D ．152．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d b a 04=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32c b a ，则（ ）A ．a=3,b=-1,c=1,d=3B ．a=-1,b=3,c=1,d=3C ．a=3,b=-1,c=0,d=3D ．a=-1,b=3,c=0,d=33．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332221114．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ）A ．（-5）n AB ．-5AC ．5AD ．5n A5．设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则*A=（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．46．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ ）A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示7.设3元线性方程组Ax=b,A 的秩为2，1η，2η，3η为方程组的解，1η+2η=（2，0，4）T ，1η+3η=（1，-2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax=b 的通解为（ ）A ．(1,0,2)T +k(1,-2,1)TB ．(1,-2,1)T +k(2,0,4)TC ．(2,0,4)T +k(1,-2,1)TD ．(1,0,2)T +k(1,2,3)T8．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ）A ．E-AB ．-E-AC ．2E-AD ．-2E-A9．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ）A ．41B ．21 C ．2 D ．410．二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4)=x 21+x 22+x 23+x 24+2x 3x 4的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2008年考研数学(四)试题
(I) 求 dz ；
(II)
记 u ( x, y) =
1 x−
⎛ ∂z
y
⎜ ⎝
∂x
−
∂z ⎞ ∂u
∂y
⎟ ⎠
，求
∂x
.
(19)(本题满分 10 分)
f ( x) 是周期为 2 的连续函数，
∫ ∫ (I) 证明对任意实数 t ，有 t+2 f ( x) dx = 2 f ( x) dx
t
0
∫ ∫ (II)
.
三、解答题.
(15)(本题满分 9 分)
1 sin x
求极限
lim
x→0
x2
Байду номын сангаас
ln
x
.
(16) (本题满分 10 分)
∫ 设 f ( x) = 1 t (t − x) dt ， 0 < x < 1，求 f ( x) 的极值、单调区间以及曲线 y = f (x) 的 0
凹凸区间.
(17)(本题满分 11 分)
−2
⎟ ⎠
(
B)
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
−1⎞
2
⎟ ⎠
(C
)
⎛ ⎜ ⎝
2 1
1⎞
2
⎟ ⎠
(
D
)
⎛ ⎜ ⎝
1 −2
−2 ⎞
1
⎟ ⎠
(7) 随机变量 X,Y 独立同分布且 X 的分布函数为 F( x) , 则 Z = max{X,Y} 的分布函数为( )
( A) F2 (x) .
(B) F (x)F (y).
( A) E − A 不可逆， E + A 不可逆.
( B) E − A 不可逆， E + A 可逆.
2008年南开大学数学分析考研试题及解答
南开大学2008年数学分析考研试题.一．计算题1．求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+。
2．求和()()∑∞=-+-1121n n n n 。
3．已知()()()1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4．设2ln 261txdt e π=-⎰，则x =？5．设区域()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求Dx y dxdy -⎰⎰。
二．设61-≥x 61+=+n n x x ，(1,2,)n = ，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。
三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，使得()0=ξf .四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分()af x dx +∞⎰收敛，求证()0lim =+∞→x f x 。
五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤， 其中10<<m ，任取实数0a ，1ln ()n n a f a -=，(1,2,)n = ，证明级数11||n n n a a ∞-=-∑收敛。
六．证明函数项级数()1nxn f x ne∞-==∑，（1）在()+∞,0上收敛，但不一致收敛；（2）和函数()x f 在()+∞,0上任意次可导。
七．作变换xy u =，x v =，w xz y =-，将方程2222z z yyyx∂∂+=∂∂变换为w 关于自变量(),u v 方程。
八．求由曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分的体积之比。
九、设()f x 是(0,)+∞上具有二阶连续导数的正函数，且()0f x '≤，(0,)x ∈+∞，()f x ''在(0,)+∞上有界，则lim ()0x f x →+∞'=。
2008年数学考研考试大纲(数四)
2008年数学考研考试大纲（数四）考试科目：高等数学、线性代数、概率论试卷结构一、总分试卷满分为150分二、内容比例微积分 约56%线性代数 约22%概率论与数理统计 约22%三、题型比例填空题与选择题 约37%解答题（包括证明题）约63%高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 0sin 1lim 1,lim 1xx x x e x x →→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念.6．了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法.7．理解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最小值考试要求1. 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解倒数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5．理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单运用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及应用。
2008考研数四真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设0a b <<，则()1lim nn nn ab--→∞+( )()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.(2) 设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的( )()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点()D 振荡间断点(3) 设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{}(,)01,D x y x x y x=≤≤-≤≤则正确的( )()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y dxdy =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.(4) 如图，曲线段方程为()y f x =， 函数在区间[0,]a 上有连续导数，则 定积分()axf x dx '⎰等于( )()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(5) 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则( ) ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.yC (0, f (a )) A (a , f (a ))y =f (x )O B (a ,0) xD(6) 设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭ (7) 随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x , 则{}max ,Z X Y =的分布函数为( ) ()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(8) 随机变量()0,1XN ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则( )()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .(10) 已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . (11)211ln y dx x xdy =⎰⎰ .(12) 微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=通解是y = .(13) 设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 . (14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)求极限201sin limln x x x x→. (16) (本题满分10分) 设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间以及曲线()y f x =的凹凸区间.(17)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值. (18)(本题满分10分)设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-，(I) 求dz ； (II) 记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (19)(本题满分10分)()f x 是周期为2的连续函数，(I) 证明对任意实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰(II) 证明()()()202xt t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(20) (本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，(I)证明行列式()1nA n a =+；(II)当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； (III)当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+. (1)证明123,,ααα线性无关；(2)令()123,,P ααα=，求1P AP -.(22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+.求：(I) 102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； (II) Z 的概率密度()Z f z ． (23)(本题满分11分)设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34的产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】提出na -，剩余部分注意01ab <<，当n →∞时，0na b ⎛⎫→ ⎪⎝⎭.所以 (){}1111lim lim 1()1nnnn n nn n aba ab a a -----→∞→∞⎡⎤+=+=⨯=⎣⎦(2)【答案】B【详解】 ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点．(3)【答案】A【详解】因为()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续偶函数，所以()()f y g x 是关于y 的奇函数. 又D 关于x 轴对称，故()()0Df yg x dxdy =⎰⎰(4)【答案】C 【详解】00()()()()()()aaaaaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(6)【答案】D 【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim lim x cx cf x x c++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以 ()()lim lim ()x c x cf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=(10) 【答案】2y x =【详解】0()lim2x f x x→=，0lim ()0x f x →∴=. 由()f x 在0x =处连续知0(0)lim ()0x f f x →==所以 00()(0)()(0)limlim 2x x f x f f x k f x x→→-'==== 故切线方程为02(0)y x -=-， 即2y x =(11)【答案】12 【详解】212122101010111ln (1)2y y y dx x xdy dx dx x dx x dx ⎡⎤===-=⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰(12)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x xx x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰(13)【答案】2【详解】设A 的特征值为123,,λλλ，由123||0A λλλ==知123,,λλλ中至少有一个为0. 因为123λλλ≠≠，所以123,,λλλ中只有一个为0，且A 相似于对角矩阵33⨯Λ（其主对角元中有两个不为0，因而秩为2）. 由相似矩阵的秩相等知()2r A =(14)【答案】112e - 【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题 (15) 【详解】 方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x→→→--=洛必达法则 20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则(16)【详解】 方法一：13011()()()323xxx f x t x t dt t t x dt x =-+-=-+⎰⎰ 令21()02f x x '=-=，得2222x x ==-（舍去）因()20(01)f x x x ''=> << 故22x =为()f x 的极小值点，极小值212(1232f =-，且曲线()y f x =在(0,1)内是凹的.方法二：111220()()()xx x xxxf x t x t dt t t x dt x tdt t dt t dt x tdt =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以根据变限积分求导公式，有 122201()()2xxf x tdt x x x x tdt x x x '=+⋅----⋅=-⎰⎰ 令()0f x '=，得2222x x ==-（舍去）. 以下方法同方法一.(17) 【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6.(18) 【详解】(I)()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+()()221x dx y dydz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II)由上一问可知22,11z x z y x y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+， 所以 ()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++ 所以()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x xϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++.(19) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II) 由(1)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰. 所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =. 而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即220()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II) 由(I)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰ ， ()20(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=-所以 ()(2)()0G x G x '+-=，从而 (2)()G x G x +-是常数 即有 (2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-= 所以()G x 是周期为2的周期函数.(20)【详解】(I) 证法一：222212212121321122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a aa a a aa aA r ar aaa aa a a n a a n ar ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a aD aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】方法一：设i X 为第i 件产品的获利，则3{80}0.96(10.96)0.80.9844i P X ==+-⨯⨯=，{20}10.9840.016i P X =-=-=于是()800.984(20)0.01678.4i E X =⨯+-⨯= 平均获利为11()()()78.4n n E X X E X E X n ++=++=由78.420000n ≥解得255.1n ≥，因此每天至少应生产256件产品. 方法二：进行再加工后，产品的合格率0.960.040.750.80.984p =+⨯⨯=记X 为n 件产品中的合格产品数，()T n 为n 件产品的利润，则 (,),0.984XB n p EX np n ==()8020()T n X n X =--[]()8020201002078.4E T n EX n EX EX n n =-+=-=要78.420000n ≥，则256n ≥，即该企业每天至少应生产256件产品.。
2008-2014历年考研数学一真题及答案详解资料
个区域 Dk k 1,2,3,4 , I k
y cos xdxdy , 则 max I k
1k 4
Dk
(A) I1 (C) I 3
(B)
I2
(D)
I4
(3) 设函数 y f x 在区间 1,3 上的图形为 f (x)
x
则函数 F x f t dt 的图形为 0
O
-2
0 12
3
x
-1
f (x)
1
-2
0 123
二、填空题 (9-14 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分, 请将答案写在答题纸指定位置上 .)
(9) 微分方程 xy y 0 满足条件 y 1 1 的解是 y
.
(10) 曲线 sin xy ln y x x 在点 0,1 处的切线方程为
.
(11) 已知幂级数 an x 2 n 在 x 0 处收敛 , 在 x 4 处发散 , 则幂级数 an x 3 n 的
BO
6
(A) O 3B*
2A* O
(C) O 3A*
2B* O
(B) O 2B*
3 A* O
(D) O 2 A*
3B* O
(7) 设随机变量 X 的分布函数为 F x 0.3 x 0.7 x 1 , 其中 x 为标准正态分
2
布函数 , 则 EX
(A)0
(B)0.3
(C)0.7
(D)1
(8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 且 X 服从标准正态分布 N 0,1 , Y 的概率分布为
x y 3z 5
(16)( 本题满分 10 分) 计算曲线积分 sin 2xdx 2 x2 1 ydy , 其中 L 是曲线 y sin x 上从点 0,0 到点 ,0 的
西交大2008年数学分析考研试题
这个圈子人口稀少，有七十一个王子被这种血液所吸引。皇家僵尸必须追逐他们的脚步去Shibo。还请高博师傅帮助我。 “对于王皓的话，四只眼睛和一个休息的主人都听了。两江湖的僵尸习惯不明确。即使王皓不说他们原先想到的第一个说服王皓明天回来。成千上万的起重机都是 灰烬。毕竟，此刻，他们两个的学徒和镣铐很可能与皇家僵尸发生了巨大的碰撞。此刻的时间更加激烈。木屋，后院的竹林，微风吹过，一道阴影闪过，竹子摇曳的声音为安静的夜晚敲响了一夜！
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲)
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（19选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：1. (2008广东文、理)已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径, PC 与圆O 交于点B,PB=1, 则圆O 的半径R=___3____.1.解: 如图,因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，PA=2, PB=1.由切割线定理,知PC PB PA ⋅=2,所以PC=4. 在Rt △PAC 中,由购股定理AC 2=16-4=12,所以AC=23.所以, 圆O 的半径R=3.2、(2008海南、宁夏文、理)如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP垂直直线OM ，垂足为P 。
（1）证明：O M ·OP = OA 2；（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。
过B 点的切线交直线ON 于K 。
证明：∠OKM = 90°。
2．解：（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥．又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，2OA OM OP =g ．（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥．同（Ⅰ），有2OB ON OK =g，又OB OA =， 所以OP OM ON OK =g g ，即ON OMOP OK=． 又NOP MOK =∠∠，所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN ==o∠∠．3．(2008江苏) 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =g ． 证明：如图，因为AE 是圆的切线， 所以，ABC CAE ∠=∠,又因为AD 是BAC ∠的平分线， 所以 BAD CAD ∠=∠从而 ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠ 因为 ADE ABC BAD ∠=∠+∠, DAE CAD CAE ∠=∠+∠ 所以 ADE DAE ∠=∠,故EA ED =.因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知, 2EA EC EB =⋅,而EA ED =,所以2ED EC EB =gK BPA OMNB C ED A二、坐标系与参数方程：1．(2008重庆文)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为 (C )(A)(x -1)2+(y +1)2=1 (B) (x +1)2+(y +1)2=1(C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=12．. (2008湖北文)圆34cos ,()24sin x C y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数的圆心坐标为 （3，－2），和圆C 关于直线0x y -=对称的圆C ′的普通方程是 （x ＋2）2＋（y －3）2＝16 .3．(2008福建理)若直线3x+4y+m=0与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 (,0)(10,)-∞⋃+∞ .4．(2008广东文、理)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__⎪⎭⎫⎝⎛6,32π___. 4.解: 曲线21,C C 的直角坐标方程分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点的 直角坐标为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π.5．(2008江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．5．解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin sin )2sin()23S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以。
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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则(
)
10
lim n
n
n
n a
b
--→+（ ）
()A a .
()B 1a -. ()C b .
()D 1b -.
（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0
()()x f t dt g x x
=
⎰的（ ）
()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.
()C 无穷.
()D 振荡.
（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域
{
(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ）
()A ()()0D
f y
g x dxdy =⎰⎰.
()B ()()0D f x g y d x d y =
⎰⎰.
()C [()()]0D
f x
g y dxdy +=⎰⎰.
()D [()()]0D
f y
g x dxdy +=⎰⎰.
（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分
'0
()a
xf x dx ⎰
（ ）
()A 曲边梯形ABCD 面积.
()B 梯形ABCD 面积.
()C 曲边三角形ACD 面积.
()D 三角形ACD 面积.
（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3
0A =，则（ ）
()A E A -不可逆，E A +不可逆.
()B E A -不可逆，E A +可逆.
()C E A -可逆，E A +可逆.
()D E A -可逆，E A +不可逆.
（6）设1221A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫
⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪
⎝⎭
()D 1221-⎛⎫
⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）
()A ()2F x .
()B ()()F x F y .
()C ()2
11F x --⎡⎤⎣⎦
.
()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）
()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.
()D {}211P Y X =+=.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数21,()2,x x c
f x x c x ⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩
在(,)-∞+∞内连续，则c = .
（10）已知函数()f x 连续且0
()
lim
2x f x x
→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2
1
1
3
ln y dx x xdy =⎰
⎰ .
（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .
（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .
（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}
2
P X EX == .
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限20
1sin lim
ln x x x x
→. (16) （本题满分10分） 设()()1
f x t t x dt =
-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.
(17)（本题满分10分）
求函数222u x y z =++在在约束条件22
z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.
(18)（本题满分10分）
设(),z z x y =是由方程()2
2
x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导
数且1ϕ'≠-时，
求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=
- ⎪-∂∂⎝⎭
，求u x ∂∂.
(19)（本题满分10分）
()f x 是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
()()2
2
t t
f x dx f x dx +=⎰
⎰
（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰是周期为2的周期函数． （20）（本题满分11分）
设矩阵22
21212n n
a a a A a a ⨯⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，
（1）求证()1n
A n a =+
（2）a 为何值，方程组有唯一解
（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）
设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足
323A ααα=+，
证明（1）123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1
P AP -.
（22）（本题满分9分）
设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()1
1,0,13
P X i i ==
=-，Y 概率密度为()101
0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它
，记Z X Y =+
（1）求102P Z X ⎧⎫≤
=⎨⎬⎩⎭
（2）求Z 的概率密度
（23）（本题满分9分）
设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有
3
4
产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。