2012高考辽宁理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工农医类(辽宁卷

)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(

U A )∩(

U B )＝(

)

A ．{5,8}

B ．{7,9}

C ．{0,1,3}

D ．{2,4,6}

2．复数

2i

2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5

+

3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0

D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0

5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！

6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos α

2，α∈(0，π)，则tan α＝( )

A ．－1

B ．2

C 2

D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤??

≤+≤??≤≤?

则2x ＋3y 的最大值为( )

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )

A ．－1

B ．

23 C ．3

2

D ．4 10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，

CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )

A ．

16 B ．13 C ．23 D ．45

11．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-

，3

2

］上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

12．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )

A ．e x ≤1＋x ＋x 2

B 211

1

24x x ≤-+

C ．cos x ≥1－12x 2

D ．ln(1＋x )≥x －1

8

x 2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．

14．已知等比数列{a n }为递增数列，且25

10a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项

公式a n ＝__________．

15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．

16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；

(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．

(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；

(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．

19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．

附：2

2

11221221121()n n n n n n n n n χ+++-=，

20．如图，椭圆C 0：2221x y a b

+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜

t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C

1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．

(1)求直线AA 1

与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；

(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．

21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32

y x =在(0,0)点相切．

(1)求a ，b 的值；

(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6

x

f x x <

+．

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：

(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．

23．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．

(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 24．选修4—5：不等式选讲

已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；

(2)若()2()2

x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．

1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，

U B ＝{0,1,3,7,9}，

所以(

U A )∩(

U B )＝{7,9}，故选

B ．

2． A

2

22i (2i)44i i 34

i 2i (2i)(2i)555

---+===-++-，故选A ． 3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，

因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ． 4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2

－x 1)＜0，故选C ．

5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有3

3A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333

333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有3

3

3

3

3333A A A A ，故选C ．

6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()

2

a a S +=

，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，

a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，

所以111116

882

S ?=

=，故选B ． 7． A 将sin α－cos α2两边平方得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝1

2

-

，

则

222sin cos tan 1

sin cos tan 12

αααααα==-

++， 整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，

所以tan α＝－1．故选A ．

8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，

则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2

124

S ==--； i ＝2时，22213S ==+； i ＝3时，232223S

==-；

i ＝4时，24322S

==-；

i ＝5时，2124S ==--； i ＝6时，23S =； i ＝7时，32

S

=； i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，

则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为

由几何概型概率公式得，概率为

82

123

=，故选C ．

11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，3

2

］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-

，3

2

］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．

12．C对于e x与1＋x＋x2，当x＝5时，e x＞32，而1＋x＋x2＝31，所以A项不正确；

2

11

1

24

x x

-+，当

1

4

x=

=

，2

1157

1

24645

x x

-+=<，所以B项不正确；令f(x)＝cos x＋

1

2

x2－1，则f′(x)＝x－sin x≥0对x∈［0，＋∞)恒成立，f(x)在［0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0，cos x≥1－

1

2

x2，故C 项正确；令g(x)＝ln(1＋x)－x＋

1

8

x2，则

11

()1

14

g x x

x

'=+-

+

，令g′(x)＝0，得x＝0或x ＝3．当x∈(0,3)时，g′(x)＜0，当x∈(3，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在x＝3时取得最小值g(3)＝ln 4－3＋

9

8

＜0，所以D项不正确．

13．答案：38

解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．

14．答案：2n

解析：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a12·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(a n＋a n＋2)＝5a n ＋1

，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或

1

2

q=，因为数列{a n}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，a n＝2n．

15．答案：－4

解析：由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，

∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，

∴

()

2

1

2

2

42,

22,

y

y

?=

?

?

-=

??

①

②

∴1

2

8,

2,

y

y

=

?

?

=

?

∴P(4,8)，Q(－2,2)．

又∵抛物线可化为2

1

2

y x

=，∴y′＝x，

∴过点P的切线斜率为

4

4

x

y

=

'=．

∴过点P的切线为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8．

又∵过点Q 的切线斜率为2

2x y =-'

=-，

∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,

22,

y x y x =-??

=--?解得x ＝1，y ＝－4，

∴点A 的纵坐标为－4． 16．答案：

3 解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC ＝22．

13

22222322

ABC S ?=???=．

由V P －ABC ＝V B －P AC ，得111

222332

ABC h S ???=????，

所以23h =，因此球心到平面ABC 的距离为3

．

17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1

cos 2

B =

． (2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2

B =， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin

C ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝

34

． 解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2

B =

， 根据余弦定理得22cos 2a c ac

B ac

+-=，解得a ＝c ，

所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝3

4

．

18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，

所以M 为AB ′中点．

又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．

又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．

证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，

所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，

因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．

(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．

设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，

于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M (

2λ，0，12)，N (2λ，2

λ

，1)．

设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，

由0,0

A M MN ??'=???=??u u u u r u u u u r

m m 得11

11

10,2210,22

x z y z λλ?-=????+=?? 可取m ＝(1，－1，λ)．

设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，

由0,0NC MN ??=???=??u u u r u u u u r

n n 得222

22

0,2210,22

x y z y z λλλ?-+-=????+=?? 可取n ＝(－3，－1，λ)．

因为A ′－MN －C 为直二面角，

所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得=2λ． 19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：

非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100

将2×2222

112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533

n n n n n n n n n χ++++-??-?===≈???．

因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为

14

．

由题意X ～B (3，

1

4

)，从而X 的分布列为

E (X )＝np ＝13344

?＝， D (X )＝np (1－p )＝13934416

?

?=． 20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为

1

1()y y x a x a

=

++，① 直线A 2B 的方程为1

1()y y x a x a

-=

--．② 由①②得2

2

22122

1()y y x a x a

-=--．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=．从而y 12＝b 2(1－21

2x a )，代入③得22

221x y a b

-=

(x ＜－a ，y ＜0)．

(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得 4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|， 故x 12y 12＝x 22y 22．

因为点A ，A ′均在椭圆上，

所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－22

2x a

)．

由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，

所以x 12＋x 22＝a 2． 从而y 12＋y 22＝b 2，

因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．

21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1．

由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32

， 又y ′|x ＝0＝(1

1x +＋a )|x ＝0＝32

＋a ，得a ＝0． (2)证法一：由均值不等式，

当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2，

12

x

<+． 记h (x )＝f (x )－96x

x +，

则

2

154()1(6)h x x x '=+-++

22

54654

(6)4(1)(6)x x x x +-<-

+++

＝32

(6)216(1)4(1)(6)

x x x x +-+++． 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，

则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0， 所以h ′(x )＜0．

因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0．

于是当0＜x ＜2时，9()6

x

f x x <

+． 证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋1x +－1．

由均值不等式，当x ＞0时，2(1)1x +?＜x ＋1＋1＝x ＋2， 故112

x

x +<

+．① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，1()1011

x k'x x x -=

-=<++， 故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3

()2

f x x <

． 记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9

＜

3

2

x ＋(x ＋6)(11121x x +++)－9 ＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋1x +)－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］ ＝4(1)

x x +(7x －18)＜0． 因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6

x

f x x <

+． 22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ． 从而

AC AB

AD BD

=，即AC ·BD ＝AD ·AB ． (2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而

AE AD

AB BD

=，即AE ·BD ＝AD ·AB ． 结合(1)的结论，AC ＝AE ．

23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．