广东省汕头市2016年高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，那么函数y=f（x）的定义域为（）A．[2，4]B．[1，2]C．[0，1]D．（0，1]2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1763．若m为实数且（2+mi）（m﹣2i）=﹣4﹣3i，则m=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．在三角形ABC中，已知AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，点E是AD的一个三等分点（靠近点A），则=（）A．12 B．6 C．24 D．45．给出下列4个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x﹣lnx≤0”；②“tanx＞0”是“sin2x＞0”的充要条件；④计算：9192除以100的余数是1．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b分别可能为（）A．15、18 B．14、18 C．13、18 D．12、187．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（）A．64 B．56 C．53 D．519．已知正三棱锥S﹣ABC的六条棱长都为，则它的外接球的体积为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A．B．C．D．11．设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）12．已知定义在R上的函数满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（）A．函数y=f（x）是周期函数，且周期T=3B．函数y=f（x）在R上有可能是单调函数C．函数y=f（x）的图象关于点对称D．函数y=f（x）是R上的偶函数二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若x，y满足约束条件，则的最小值为．14．已知等比数列{a n}，满足a1=1，a2016=2，函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），那么f′（0）=．15．二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式中的常数项是．16．已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（a，b）．三、解答题：（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤．）17．如图，在四边形ABCD中，CB=CA=AD=1，=﹣1，sin∠BCD=．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积；（3）求sinB的值．18．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面中，DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．（1）求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值；（2）若异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，求二面角B﹣A1C1﹣A的正切值．19．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．21．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2016年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，那么函数y=f（x）的定义域为（）A．[2，4]B．[1，2]C．[0，1]D．（0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，即x∈[1，2]，求得log2x的范围即可得到函数y=f（x）的定义域．【解答】解：∵函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，可得0≤log2x≤1，即函数y=f（x）的定义域为[0，1]．故选：C．2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．3．若m为实数且（2+mi）（m﹣2i）=﹣4﹣3i，则m=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（2+mi）（m﹣2i）=﹣4﹣3i，∴4m+（m2﹣4）i=﹣4﹣3i，∴，解得m=﹣1．故选：A．4．在三角形ABC中，已知AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，点E是AD的一个三等分点（靠近点A），则=（）A．12 B．6 C．24 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，再利用数量积的运算性质计算．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，点E是AD的一个三等分点（靠近点A），∴=，=，，∴==（）==4．故选：D．5．给出下列4个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x﹣lnx≤0”；②“tanx＞0”是“sin2x＞0”的充要条件；④计算：9192除以100的余数是1．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误．二项式定理判断④的正误．【解答】解：①若“命题p∧q为真”，则p，q都为真命题，所以“命题p∨q为真”，故正确；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x﹣lnx≤0”，满足命题的否定形式，正确；③“tanx＞0”可得x∈（kπ，kπ+），k∈Z；“sin2x＞0“可得2x∈（2kπ，2kπ+π），即x∈（kπ，kπ+），k∈Z；所以“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．正确；④由于9192=92=C920•10092•（﹣9）0+…+C9291•1001•（﹣9）91+C9292•1000•（﹣9）92，在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于C9292•1000•（﹣9）92=992除以100的余数，而992=（10﹣1）92=C920•1092•（﹣1）0+…+C9291•101•（﹣1）91+C9292•100•（﹣9）92，故992除以100的余数等价于C9291•101•（﹣1）91+C9292•100•（﹣9）92除以100的余数，而C9291•101•（﹣1）91+C9292•100•（﹣9）92=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余数是81．不正确．故选：C．6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b分别可能为（）A．15、18 B．14、18 C．13、18 D．12、18【考点】程序框图．【分析】由程序框图的输出功能，结合选项中的数据，即可得出输入前a，b的值．【解答】解：根据题意，执行程序后输出的a=3，则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是3，分析选项中的四组数，满足条件的是选项A．故选：A．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（）A．64 B．56 C．53 D．51【考点】计数原理的应用．【分析】对数真数为1和不为1，对数底数不为1，分别求出对数值的个数．【解答】解：由于1只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0．从1除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8×7=56个对数式，log24=log39，log42=log93，log23=log49，log32=log94重复了4次，要减去4．共有1+56﹣4=53个故选：C．9．已知正三棱锥S﹣ABC的六条棱长都为，则它的外接球的体积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由正三棱锥S﹣ABC的所有棱长均为，所以此三棱锥一定可以放在棱长为的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入球的体积公式计算即可．【解答】解：∵正三棱锥S﹣ABC的所有棱长都为，∴此三棱锥一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此三棱锥．∴正方体的棱长为=，∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的半径为R=××=2，∴球的体积为V=πR3=π，故选：A．10．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象．【分析】由f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Acosφ=0结合已知0＜φ＜π，可求φ=，再由△EFG是边长为2的等边三角形，可得=A，结合图象可得，函数的周期T=4，根据周期公式可得ω，从而可得f（x），代入可求f（1）．【解答】解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数∴f（0）=Acosφ=0∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx∵△EFG是边长为2的等边三角形，则=A又∵函数的周期T=2FG=4，根据周期公式可得，ω=∴f（x）=﹣Asin x=﹣则f（1）=故选D11．设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）【考点】等比数列．【分析】取一个具体的等比数列验证即可．【解答】解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．故选D12．已知定义在R上的函数满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（）A．函数y=f（x）是周期函数，且周期T=3B．函数y=f（x）在R上有可能是单调函数C．函数y=f（x）的图象关于点对称D．函数y=f（x）是R上的偶函数【考点】函数的周期性．【分析】题目中条件：f（x+）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【解答】解：对于A：∵f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，B不对．对于C：∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数f（x）的图象是由y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到，∴函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（﹣+x），用+x换x，可得：f（﹣﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立，令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，D对．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若x，y满足约束条件，则的最小值为﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（3，0）连线的斜率，数形结合得到的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（3，0）连线的斜率联立，解得B（1，1），联立，解得C（2，2）∴的最小值为=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知等比数列{a n}，满足a1=1，a2016=2，函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），那么f′（0）=21008．【考点】导数的运算．【分析】由题意，设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），利用导数的运算，得到f'（x），得到所求为g（0）．【解答】解：由已知，设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），则f（x）=xg（x），f'（x）=g（x）+xg'（x），所以f'（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）...（﹣a2016）=a1a2 (2016)等比数列{a n}，满足a1=1，a2016=2，得到a1a2…a2016=（a1a2016）1008=21008；故答案为：21008．15．二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式中的常数项是15．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=•（4x）6﹣r•（﹣1）r•（2﹣x）r，令2的指数次幂为0即可求得答案．【解答】解：设二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=•（4x）6﹣r•（﹣1）r•（2﹣x）r=（﹣1）r••212x﹣3rx，∵x不恒为0，令12x﹣3rx=0，则r=4．∴展开式中的常数项是（﹣1）4•==15．故答案为：15．16．已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（a，b）（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的值域先求出满足条件的条件x，结合函数的定义域进行求解即可．【解答】解：由f（x）=﹣1=0得=1，得|x|+2=4，即|x|=2，得x=2或﹣2，由f（x）=﹣1=1得=2，得|x|+2=2，即|x|=0，得x=0，则定义域为可能为[﹣2，0]，[﹣2，1]，[﹣2，2]，[﹣1，2]，[0，2]，则满足条件的整数数对（a，b）为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2），故答案为：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2），三、解答题：（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤．）17．如图，在四边形ABCD中，CB=CA=AD=1，=﹣1，sin∠BCD=．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积；（3）求sinB的值．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；解三角形．【分析】（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用=﹣1，利用向量的数量积的性质求得cos∠DAC的值，进而求得∠DAC，进而利用余弦定理求得DC的长．求得BC2+AC2=AB2．判断AC⊥CD，（2）在直角三角形中求得cos∠ACB的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACB，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．（3）在△ACB中利用余弦定理求得AB的长，最后利用正弦定理求得sinB的值．【解答】解：（1）CB=CA=AD=1，=﹣1，∴•=||•||•cosA=1×2•cos∠CAD=1，∴cos∠CAD=，∴∠CAD=由余弦定理CD2=AC2+AD2﹣2AD•ACcos∠CAD=1+4﹣2×2×=3．∴CD=，∴AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=．∴AC⊥CD，（2）由（1）∠ACD=，∴sin∠BCD=sin（+∠ACB）=cos∠ACB=．∵∠ACD∈（0，π），∴sin∠ACB=．∴S△ACB=×1×1×=．∴S=S△ABC+S△ACD=+．四边形ABCD（3）在△ACB中，AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB=1+1﹣2×1×1×=．∴AB=，∴=，∴sinB==18．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面中，DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．（1）求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值；（2）若异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，求二面角B﹣A1C1﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据直线和平面所成角的定义先作出线面角，根据三角形的边角关系即可求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值；（2）根据异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，先求出直四棱柱高的值，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角B﹣A1C1﹣A 的正切值．【解答】解：（1）∵DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．∴CD=AD=2，BC=AB=2，AC=2，即三角形ABC是正三角形，则AC⊥BD，取BC的中点P，则AP⊥BC，AP⊥平面BB1C1C，则∠ACB是直线AC与平面BB1C1C所成的角，则∠ACB=60°，则sin∠ACB=sin60°=，即直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值是；（2）∵A1C1∥AC，∴直线BC1与A1C1所成的角即是直线BC1与AC所成的角，连接A1B，设A1A=m，则A1B==，BC1==，A1C1=AC=2，则cos∠A1C1B===，∵异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，∴=，即=4，则12+m2=16，则m2=4，m=2，取A1C1的中点F，连接FO，则FO⊥A1C1，∵A1B=BC1=，∴BF⊥A1C1，即∠BFO是二面角B﹣A1C1﹣A的平面角，则tan∠BFO==．19．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为P（k）=，由此能求出这批产品通过检验的概率．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，∴这批产品通过检验的概率：p==+5×+（）5=．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，P（X=1000）=（）5=，P（X=1200）==，P（X=1400）=++=，X的分布列为：X 1000 1200 1400P20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴=，．∴，即点M在直线y=﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时，=．21．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）先由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，进而得到结论；（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，再结合∠ADE=∠BDA，得到△EAD∽△ABD，最后结合第一问的结论即可得到AC=AE成立．【解答】证明：（Ⅰ）由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理∠ACB=∠DAB，所以△ACB∽△DAB，从而，即AC•BD=AD•AB．（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，得△EAD∽△ABD，从而，即AE•BD=AD•AB．结合（Ⅰ）的结论，AC=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）首先把直角坐标方程转化成极坐标方程，进一步建立极坐标方程组求出交点坐标，再转化成极坐标．（Ⅱ）利用二元二次方程组解得交点坐标再转化成参数方程．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，转化成极坐标方程为：ρ=2．圆C2：（x﹣2）2+y2=4．转化成极坐标方程为：ρ=4cosθ，所以：解得：ρ=2，，（k∈Z）．交点坐标为：（2，2kπ+），（2，2k）．（Ⅱ）已知圆C1：x2+y2=4①圆C2：（x﹣2）2+y2=4②所以：①﹣②得：x=1，y=，即（1，﹣），（1，）．所以公共弦的参数方程为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．2016年7月25日。