博弈论复习题(1)

1.设一四阶段两博弈方之间的动态博弈如图所示。

试找出全部子博弈，讨论该博弈中的可信性问题，求子博弈完美纳什均衡策略组合和博弈的结果。

2.假设一个工会是一个寡头垄断市场中所有企业唯一的劳动力供给者，就像汽车工人联合会对于通用、福特、克莱斯勒等大的汽车厂家。

令博弈各方行动的时间顺序如下：（1）工会确定单一的工资要求w ，适用于所有的企业（2）每家企业i 了解到w ，然后同时分别选择各自的雇佣水平L i ；（3）工会的收益为（w-w α）L ，其中w α为工会成员到另外的行业谋职可取得的收入，L=L 1+…L n 为工会在本行业企业的总就业水平；企业i 的利润为π（w ，L i ），其中决定企业i 利润水ABB A h g （2，4）（8，5）（3，6）（4，3）b （5，3）a c d f e平的要素如下。

所有企业都有同样的生产函数：产出等于劳动力q i=L i。

市场总产出为Q=q1+…+q n时的市场出清价格为p（Q）=a-Q。

为使问题简化，假设企业除了工资支出外没有另外的资本。

求出此博弈的子博弈精炼解。

在子博弈精炼解中，企业的数量是如何影响工会的效应的？为什么？（吉本斯2.2节 2.7答案）3.下图所示的同时行动博弈重复进行两次，并且第二阶段开始前双方可观测到第一阶段的结果，不考虑贴现因素。

变量x大于4，因而（4，4）在一次性博弈中并不是一个均衡收益。

对什么样的x，（双方参与者同时采取）下述战略是一个子博弈完美纳什均衡？第一阶段选择Q i，如果第一阶段的结果为（Q1,Q2），在第二阶段选择P i；如果第一阶段的结果为（y，Q2），其中y≠Q1，第二阶段选择R i；如果第一阶段的结果为（Q1，z），其中z≠Q1，第二阶段选择S i；如果第一阶段结果为（y，z），其中y≠Q1，且z≠Q2，则在第二阶段选P iP2 Q2 R2 S2P1Q1R1S1（2.10吉本斯）思路：逐个分析上述的四种情形：第一种情形，第一阶段选择Qi，第二阶段选择Pi，即双方均采取合作的策略，得益均为6；第二种情形和第三种情形下，实际上有一方是采取了不合作，其得益为x，另一方即利益受损方得益为2；第四种情形实际上是双方都不采取合作的策略，而根据题目要求，对于x，下述战略是一个子博弈精炼纳什均衡，所以x必须小于双方均合作时的收益6，否则第一种情形不会出现，因为既然x>6了，双方均会选择不合作而使情形一不会出现。

由题目先前给定的条件x<4，综合之得x的取值为（4,6）。

（可参见教材68页的分析）4.两个人A,B分一个冰淇淋。

第一阶段A提出分割方案，B可以接受或者拒绝，接受则博弈结束，若拒绝B提出分配方案；同样，A可以接受或者拒绝，如果拒绝，就提出自己的分配比例。

博弈结束。

假定接受的利益和拒绝的利益相同的时候，大家都会选择接受。

冰淇淋在每个阶段会化掉1/3（整体的1/3）。

试分析这个博弈的子博弈完美纳什均衡是什么。

如果每阶段冰淇淋只化掉1/3，采用逆向归纳法。

最后一个阶段应该是A在分，如果B拒绝，两人都是0，A的分配不会使B得到的更差，所以为了最大化自己的利益，A便让自己得到1/3，B一丁点也得不到。

为了防止这一点，在第二阶段B分配的时候，就不会让A 分到的比1/3少，否则A会拒绝，B就得不到好处了。

B会将剩下的2/3平分，两人各得1/3。

深知这一点后，第一阶段在冰淇淋没化的时候A如果让B得到的不少于1/3，B就不会拒绝。

这样A可以将2/3分给自己，1/3分给B，实现自己利益最大化。

此时便达到了纳什均衡如果每阶段冰淇淋只化掉1/3，采用逆向归纳法。

最后一个阶段应该是A在分，如果B拒绝，两人都是0，A的分配不会使B得到的更差，所以为了最大化自己的利益，A便让自己得到1/3，B一丁点也得不到。

为了防止这一点，在第二阶段B分配的时候，就不会让A 分到的比1/3少，否则A会拒绝，B就得不到好处了。

B会将剩下的2/3平分，两人各得1/3。

深知这一点后，第一阶段在冰淇淋没化的时候A如果让B得到的不少于1/3，B就不会拒绝。

这样A可以将2/3分给自己，1/3分给B，实现自己利益最大化。

此时便达到了纳什均衡5. 两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是()q c aq p ++--=21π，企业2的利润函数是()p b q +--=22π，其中p 是企业1的价格，q 是企业2的价格。

求： （1）两企业同时决策的纯策略纳什均衡； （2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡； （3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数a ，b ，c 的特定值或范围，使得两个企业都希望自己先决策（博弈论习题【1】P9 习题三）6. 试分析为什么在很多商业街上麦当劳与肯德基都是选在商业街的中心段，且比邻而居。

（博弈论习题【1】P5 最后一句）假设在一条繁华的商业街有A、B、C、D、E五个商业点可以作为开店的位置，每个商业点消费者数量相同，麦当劳和肯德基可以选择A、B、C、D、E五个地点中任意一个作为店址。

（1）两家店不同时决策。

不妨设肯德基先决策，麦当劳再决策（这也符合中国实际情况，中国肯德基数量为麦当劳的3倍，整体发展优于麦当劳，所以一般会先有肯德基），而消费者会选择距离他们最近的店面去消费，若距离一样，则消费者以等概率选择两家店。

基于以上假设就可以对参与人麦当劳（记为M）、肯德基（记为K）决策进行分析。

K首先进行决策，作为一个理性决策者，K会考虑M的决策。

若K选择A，则M会选择B，此时，K只能得到A的顾客，其收益不妨记为1，而M的收益则为4，这显然不是最优策略。

若K选择B，则M会选择C，在这种情况下，K的收益为2，M的收益为3。

按照这样的思路分析下去，可以得知K选择C是最优策略。

此时，无论M选择哪里作为店址，K的收益都不会小于M。

之后轮到M进行决策，若选择A，则K的收益为3.5，M的收益为1.5，不是最佳应对。

以此对每个店址进行分析，可知M选择C是对K选择C的最佳应对。

在这种情况下，K和M 的收益都为2.5，两家店平分所有的顾客，两家店的决策也互为最佳应对，达到了纳什均衡。

所以，肯德基和麦当劳的店址会选择在同一地点。

（2）两家店同时决策。

此时两家店的收益矩阵，如下：在这种情况下，直接寻找纳什均衡不是那么容易，但是通过上面的收益矩阵可以看出，对于肯德基，策略A和策略E是严格非优策略，因为在肯德基选择A或E的任何场合，它也可以通过选择B来获得一个严格的较高收益。

与此类似，对于麦当劳，策略A和策略E也是严格非优策略，因为在任何场合，麦当劳可以选择通过选择B来获得一个严格的较高收益。

理性的参与人不会有任何兴趣去选择采取一个非优策略，因为那总是可以通过一个其他收益更高的策略来替代。

因此，肯德基不会选择A和E，并且因为麦当劳知道这个博弈的结构，包括肯德基的收益情况，所以麦当劳也知道肯德基不会采取选择A和E。

因此这两个策略在博弈中会被有效的去除。

同样的道理，对于麦当劳也是如此。

这是，我们可以得到一个化简后的博弈收益矩阵，这个矩阵只包括B、C、D三个策略，如下：这时可以再次发现对于肯德基，策略B和D是严格非优策略，对于麦当劳，策略B和D也是严格非优策略，化简后对于每个参与人都只有一种策略C，即可得到策略组（C，C）。

当然一种更简单和更方便的方法是直接发现该博弈结构中存在纳什均衡（C，C）。

这表明肯德基和麦当劳同时决策时，最后的结果也会是两家店选址在一起。

综合上面的讨论，可见肯德基和麦当劳总是比邻而开，并不是偶然，而是理性博弈后的必然。

7. 设有一批选民在一个单位区间从左（x=0）到右（x=1）均匀分布，为一个职位参加竞选的每个候选人同时选择其竞选基地（即在x=0与1之间的一个点）。

选民观察候选人的选择，然后每一投票人把票投给其基地离自己最近的候选人。

比如，如果有两个候选人，他们分别在x=0.3和x=0.6选择基地，则处于x=0.45左边的所有选民都会把票投给候选人1，右边的人都会把票投给候选人2，这样候选人2就可以得到55%的选票赢得这场选举。

假设候选人只关心他能否当选，他们根本一点都不关心其基地。

如果有两个候选人，博弈的纯策略纳什均衡是什么？（吉本斯1。

8）8. 假定古诺的寡头垄断模型中有n个企业，令qi代表企业i的产量，且Q=q1+……+qn表示市场总产量，p表示市场出清价格，并假设反需求函数由p（Q）=a-Q给出（设Q＜a，其他情况下p=0）.并设企业i生产出的qi的总成本Ci（qi）=cqi，即没有固定成本，且边际成本为常数c，这里设c＜a，根据古诺的假定，企业同时就产量进行决策。

求出博弈的纳什均衡。

当n趋向于无穷时，将会发生什么情况？（博弈论习题【1】P3 第八题）不完全信息博弈1. 考虑两企业采用伯川德竞争，即静态情况下的价格竞争。

两企业间存在着信息不对称，并且产品存在差异。

对企业i 的需求(,)i i j i i j q p p a p b p =--，两企业的成本都为0。

企业i 的需求对企业j 价格的敏感程度有可能高，也可能较低，也就是说，b i 可能等于b H ，也可能等于b L ，这里b H ﹥b L ﹥0。

对每个企业，b i =b H 的概率为θ，b i =b H 的概率为1-θ，并且与b j 的值无关。

每一企业知道自己的b i ，但不知道对方的，所有这些都是共同知识。

此博弈中的行动空间、类型空间、推断以及效用函数各是什么？双方的策略空间各是什么？此博弈对称的纯策略贝叶斯纳什均衡应满足那些条件？求出这样的均衡解。

2、试分析下面完全但不完美动态博弈的贝叶斯精炼均衡。

贝叶斯精炼均衡应该满足如下四个条件：条件 1：在各个信息集处，轮到选择的博弈方必须有关于博弈达到该信息集中每个节点的可能性的“判断”。

对非单节点信息集，一个“判断”就是博弈达到该信息集中各个节点可能性的概率分布，对单节点信息集，则可理解为“判断达到该节点的概率为1”条件2：给定轮到选择博弈方的“判断”，他的后续策略必须是“序列理性”的。

即在给定此判断和“其他博弈方后续策略”的情况下，该博弈方其后的行为选择意在使自己的期望得益最大。

条件3：在均衡路径上的信息集处，“判断”要符合贝叶斯法则和各博弈方的均衡策略。

条件4：在非均衡路径上的信息集处，“判断”也要符合贝叶斯法则和各博弈方在此处可能有的均衡策略。

当一个策略组合及相应的判断满足这四个条件时称为“完美贝叶斯均衡”。

第一种解释分析：上图是一个有三个博弈方的三阶段不完美信息动态博弈。

在该博弈中，博弈方3 的信息集是一个两节点信息集。

如果博弈方1第一阶段选F ，则博弈过程会经历多节点信息集假设博弈方3“判断”博弈方2选L 和R 的概率分别是 p 和1-p，最终共有四种可能的结果，各方得益如图所示。