初中数学竞赛决赛试卷
初中数学竞赛决赛试题分析及答案
初中数学竞赛决赛试题分析及答案试题一：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，已知∠C=90°，AB为斜边，AC=5cm，BC=12cm，求斜边AB的长度。
分析：此题考查了勾股定理的应用。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
解答：根据勾股定理，AB² = AC² + BC²。
将已知数值代入公式，得到AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。
因此，AB = √169 =13cm。
试题二：代数问题题目：若x² - 5x + 6 = 0，求x的值。
分析：此题考查了解一元二次方程的能力。
可以通过因式分解法求解。
解答：首先对方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
由此可知，x的值为2或3。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求这个数列的第10项。
分析：此题考查了等差数列的通项公式。
已知数列的前三项，可以求出公差，进而求出第10项。
解答：首先求出公差d，d = 5 - 2 = 3。
根据等差数列的通项公式，an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，an为第n项。
将已知数值代入公式，得到a10 = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 27 = 29。
试题四：组合问题题目：从5个不同的球中选出3个，有多少种不同的选法？分析：此题考查了组合数的计算。
从n个不同元素中选出m个元素的组合数可以用公式C(n, m) = n! / [m! * (n - m)!]来计算。
解答：根据组合数公式，C(5, 3) = 5! / [3! * (5 - 3)!] = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / [(3 * 2 * 1) * (2 * 1)] = 10。
试题五：概率问题题目：一个袋子里有3个红球和5个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球都是红球的概率。
初中中数学竞赛试题及答案
初中中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333D. √22. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或13. 若a，b，c是三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，则这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形4. 一个多项式f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，它的根是：A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 1, 3, 4D. 2, 2, 35. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为4，那么直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 内切6. 以下哪个是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆7. 一个数列1, 3, 5, ..., 19，这个数列共有多少项？A. 10B. 11C. 12D. 138. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是：A. 29B. 32C. 35D. 389. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长增加2米，宽增加1米，面积增加8平方米，求原长方形的宽是多少？A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米10. 一个分数的分子与分母的和是21，如果分子增加5，分母增加1，新的分数等于1，求原分数是多少？A. 3/18B. 4/17C. 5/16D. 6/15二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________。
12. 一个数的绝对值是它本身，这个数是非负数，即这个数是________。
13. 一个多项式f(x) = x^2 - 5x + 6可以分解为________。
14. 一个数的立方根等于它本身，这个数是________。
15. 如果一个数列的前三项是1, 2, 3，且每一项都是前一项的两倍，这个数列的第5项是________。
初中竞赛数学第六届“华杯赛”初一组第二试决赛试题(含答案)
第六届“华杯赛”初一组第二试决赛试题1． 代数式tvx tuy swx suz rwy ruz -++--中，r ，s ，t ，u ，v ，w ，x ，y ，z 可以分别取1或-1，( i)证明该代数式的值都是偶数；（ii ）求该代数式所能取到的最大值．2． 用1，2，…99，100共一百个数排成一个数列： 1a ，2a ， …，99a ， 100a已知数列中第6个是606=a ，第94个是9894=a ，其他的i a 不知是什么数，如果相邻两个数1+>i i a a ，就将它们交换位置，如此操作直到左边的数都小于右边的数为止，请回答最少实行了多少次交换？最多实行了多少次交换？3．将10到40之间的质数填入下图的圆圈中，使得三组由“→”所连的四个数的和相等，如果把和数相同的填法看成同一类填法，请说明一共有多少类填法？并画图填入你的填法．4．某工厂生产一批玩具，形状为圆环，环上均匀分布安装12个小球，其中3个为红球，9个是白球，如右图所示．若两个环可以圆心对圆心，红球对红球，白球对白球叠放在一起，我们说它们属于同一规格．问该工厂生产的这类玩具一共可以有多少种不同的规格？5．在1到20之间求8个质数（不一定不同），使它们的平方和比它们的乘积的4倍小36294．第六届“华杯赛”初一组第二试决赛试题答案1. 解：（i ）该代数式共有6项，每项取值都只能是奇数（1或-1），其和为偶数．（ii ）该式≤6，若等于6，则第1、4、5项的值都是1，第2、3、6项的值都是-1，六项之积是-1．但是，这六项之积是222222222z y x w v u t s r ，不可能是-1，因此最大值不能是6．取1===t s r ，1-=u ，1==w v ，1-==y x ，z=1，该式的值为4，所以该式的最大值是4． 2．58；4825 解：数列中任一个数交换完成时，它一定与它的右边并且比它小的每一个数都交换一次． 数列最好的排列（交换次数最少）是：1，2，3，4，5，60，6，7，…，58，59，61，…92，93，98，94，95，96，97，99，10060与6，7，…，58，59依次交换54次，98与94，95，96，97依次交换4次，共交换58次．数列最差的排列（交换次数最多）是：100，99，97，96，95，60，94，…，…，8，7，98，6，5，4，3，2，1100需要交换99次，99交换98次，98交换6次，97交换96次，96交换95次，95交换94次，94交换92次，93交换91交，…，61交换59次，60交换59次，59交换58，58交换57次，57交换56次，…，2交换1次；共交换 1+2+…+57+58+59+59+60+…+92+94+95+96+6+98+99 =（1+2+3+…+97+98+99）+59-93-97+6=4825（次） 答：最少交换的次数是58次，最多时是4825次． 3．解：将10至40之间的8个质数从小到大排列成： 11 13 17 19 23 29 31 37 （*） 或者排列为：11 13 17 1931 23 37 29 （ * * ）这8个质数的和是3的倍数，所以根据题目要求，填入图中最左和最右两个圆圈的两个质数之和也是3的倍数，从（*）去掉这两个质数后，余下的6个质数从小到大排列为：654321a a a a a a <<<<<则应当有 435261a a a a a a +=+=+ 当然，这些和的个位应该相等．两个质数和的个位是偶数，我们分别按个位等于8，6，4，2，0来判断如何得到正确解答．①当个位为8时，从（**）可以判断应该选出13和23填在图的左边和右边的圆圈，余下11 17 19 29 31 37则有解答见下图．②当个位为6时，从（**）我们可以判断8个质数中应该去掉11和31，余下13 17 19 23 29 37因为13+37=50，个位不是6，因此不能给出符合要求的填法．③当个位为4时，从（* *）我们可以判断8个质数中应该去掉19和29，余下11 13 17 31 37因为11+37=48，个位不是4，不能给出符合要求的填法．④当个位为2时，8个质数中应该去掉17和37，余下1113 17 23 29 31则有解答见下图⑤当个位为0时，8个质数中应该去掉11，19，或31，29，或13，17，或23，27，类似于②和③的讨论，对于这四种情况都不能给出符合要求的填法．4．55解：如右图，我们假定12个球都为白色，要将其中三个涂成红色，通过旋转将A处的球保证为红色．看有多少种涂法．由A开始顺时针方向标数，A处的球标0，其他的球顺序标为1，2，…，10，11．三红球所在位置标的数记为（0，i，j），0<i<j．是然，j可以取值2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．当j=2时，i只能取值1，只有一种取法；当j=3时，i可以取值1，2共2种；当j =4时， i 可以取值1，2，3共3种……；当j =11时，i 可以取值1，2，…，10共10种取法．因此，当保证位于A 处的球是红色时，共有：1+2+3++10=55种涂法．5．2，2，2，2，2，2，11，13 解：设这8个质数是1212+<====k k x x x x ≤…7x ≤8x ， 0≤k ≤7令28212822214x x k x x x S k +++=+++=+ ，818212x x x x x P k k ⨯⨯⨯==+ ，则36294)()(442821=++--=-+x x k P S P k （1）可以判断：（i ）k 不能为奇数，这是因为，k 为奇数时，（1）的左边是奇数，而右边是偶数； （ii ）k 不能是0，这是因为，奇数的平方除以8余1，S 是8的倍数，也是4的倍数，（1）的左边是4倍数，而右边不是；所以k ≥2且k 为偶数．282136294)(4x x k P k +++=-+ （2）（2）的左边为8的倍数，36294除以8余6， 2821x x k +++ 除以8余（8-k ），所以， 6+（8-k ），即k =6．我们有：即 28278736318256x x x x ++= （3） 由于7x ，8x 是1到20之间的质数，183322=+≤2827x x +≤722191922=+ 所以，36336≤87256x x ≤37040141.9≤87x x ≤144.7 142≤87x x ≤144若7x ≤7，则8x ≥20（2）与题意矛盾，所以，7x ≥11． 将117=x 代入（3），288364392816x x +=≤3680019364392=+ 所以， 8x ≤13． 将117=x ， 138=x 代入（3），等式成立． 答：这8个质数是2，2，2，2，2，2，2，11，13。
初中数学竞赛题试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-1C. πD. 0.1010010001……2. 已知a，b是实数，且a+b=0，则下列选项中错误的是（）A. a和b互为相反数B. a和b都是0C. ab>0D. ab≤03. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，则该三角形的周长是（）A. 32cmB. 34cmC. 36cmD. 38cm4. 若x^2-4x+3=0，则x的值是（）A. 1或3B. 2或3C. 1或2D. 2或45. 下列各式中，正确的是（）A. 2a + 3b = 2(a + b)B. 2a - 3b = 2(a - b)C. 2a + 3b = 2a + 3bD. 2a - 3b = 2a - 3b6. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(3)的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 87. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，则该长方形的对角线长是（）A. 5cmB. 8cmC. 10cmD. 13cm8. 若a > b，且a + b = 0，则下列选项中正确的是（）A. a < 0，b > 0B. a > 0，b < 0C. a = 0，b = 0D. 无法确定9. 下列各式中，分式有意义的条件是（）A. 分子为0，分母为0B. 分子为0，分母不为0C. 分子不为0，分母为0D. 分子不为0，分母不为010. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 以上都是二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a，b是实数，且a + b = 0，则ab的值是______。
12. 一个圆的半径是r，则该圆的周长是______。
13. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x^2 - 4x + 4的值是______。
14. 函数f(x) = 2x - 1的图象是一条______。
初中数学竞赛试卷真题
一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，则a10的值为（）A. 31B. 32C. 33D. 342. 若函数f(x) = 2x - 3在x=2时取得最小值，则该函数的解析式为（）A. f(x) = 2x - 3B. f(x) = 2x + 3C. f(x) = -2x + 3D. f(x) = -2x - 33. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=6，b=8，c=10，则角C的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1、x2，则x1 + x2的值为（）A. 2B. 5C. 6D. 75. 下列各组数中，不能构成三角形的三边长是（）A. 3，4，5B. 5，12，13C. 2，3，5D. 6，8，10二、填空题（每题5分，共25分）6. 若等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则第10项an的值为______。
7. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在x=______时取得最大值。
8. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=10，b=12，c=15，则角A的余弦值为______。
9. 已知一元二次方程x^2 - 2x - 15 = 0的解为x1、x2，则x1^2 + x2^2的值为______。
10. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点为______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1=2，S2=5，S3=10，求an和Sn 的通项公式。
12. （15分）已知函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
13. （15分）在△ABC中，已知a=8，b=6，角A的余弦值为1/2，求△ABC的面积。
数学竞赛初中试题及答案
数学竞赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 3) = ?A. 4x^2 + 2x - 2B. 4x^2 + 2x + 2C. 5x^2 + 2x - 2D. 5x^2 + 2x + 2答案：D3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案：C4. 如果一个数的平方是36，那么这个数是？A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案：B5. 以下哪个分数是最简分数？A. 6/8B. 9/12C. 5/10D. 7/14答案：B6. 一个等差数列的第一项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A7. 下列哪个图形的面积是最大的？A. 边长为4的正方形B. 半径为2的圆C. 长为5，宽为3的矩形D. 底为6，高为2的三角形答案：B8. 一个正方体的体积是27立方厘米，那么它的表面积是多少？A. 54平方厘米B. 63平方厘米C. 81平方厘米D. 108平方厘米答案：A9. 一个数的立方根是2，那么这个数是？A. 6B. 8C. 2D. 4答案：D10. 下列哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 9 = 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。
答案：2213. 如果一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是________。
八年级世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)总决赛试卷
（第15小题图）世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛八年级数学试卷（满分120分）一、选择题。
（每小题3分，共18分）(将正确答案的字母填在括号内)1．下列调查,比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（ ）。
A ．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率 B ．为了了解夏季冷饮市场上一批冰淇淋的质量情况C ．为了了解初三某班的每个学生周末（星期六）晚上的睡眠时间D ．为了考察一片试验田里某种水稻的穗长情况2．如果分式x x 2－1的值为零，那么x 的取值是（ ）。
A ．0B ．1C ．－1D ．±1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）。
4．某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8m ，旗杆的影子长为7m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为（ ）。
A ．8cmB ．10mC ．12mD ．14m 5．下列四个命题中是真命题的有（ ）。
（1）同位角相等 （2）相等的角是对顶角（3）直角三角形的两个锐角互余 （4）三个内角相等的三角形是等边三角形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）。
A ．a 2―b 2＝(a ―b)2B ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．(a ―b)2＝a 2―2ab ＋b 2D ．a 2―b 2＝(a ＋b) (a ―b)二、填空题。
（每小题3分，共33分）7．今年我市约有6万名初中毕业生参加升学考试，为了解6万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中总体是______________________。
8．当x____________时，分式x ＋1x －1有意义。
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题第一试一、填空题（每题8分，共64分）1．函数()cos f x x =的图象与直线(0)y kx k =>恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则tan αα⋅=________.2．已知正三棱锥P -ABC ，M 是侧棱PC 的中点，PB ⊥AM ．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________.3．已知数列{}n a 满足则11a =，1(2)1n n na n a +=++，则n a =________.4．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒．P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且BPA DPC ∠=∠，AQB DQC ∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=________.5．在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=________.6．14cos124cos36tan 78+︒+︒=︒________.7．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+->>的焦点，P 是M 上一点，△12PF F 的周长是6，且41a c+的最小值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A 、B ，则||||QA QB ⋅的取值范围是________.8．已知复数a 、b 、c 满足22222211i a ab b b bc c c ca a ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩，则ab bc ca ++=________.二、解答题（共56分）9．（16分）已知实数122018,,,x x x 满足201810i i x ==∑，2018212018i i x ==∑，求122018x x x 的最大值．10．（20分）已知直线y x =与曲线2:2()(0)M y p x a a =->相切．（1）若F 是曲线M 的焦点，P 是M 上任意一点，求||||PF PO 的最小值；（2）已知直线y kx =分别与曲线M 及曲线2:2()N y p x a =-+分别交于H 、I ．若Q 是圆22(4)1x y +-=上任意一点，且2a p =，求QH QI ⋅ 的最大值．其中H 、I 关于原点O 对称．11．已知x ，y ，0z >，且1xy yz zx ++=，求222115111x y z +++++的最大值。
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初中数学竞赛决赛试卷
（时间 120分钟 满分 140分）
一、选择题：（每小题6分，共42分）
1．使分式6
3
||2---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）
（A ）―3 （B ）―2 （C ）3或―2 （D ）±3 2．设m=|1|-+x x ，则m 的最小值是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）―1 （D ）2 3．如图，直线MN 和EF 相交于点O ，∠EON=60°，AO=2m ，∠AOE=20°．设点A 关于EF 的对称点是B ，点B 关于MN 的对称点是C ，则AC 的距离为（ ） （A ）2m
（B ）3m
（C ）23m
（D ）22m
4．已知03132=+++x x ，则2004321x x x x +++++ 的值为（ ） （A ）0
（B ）1
（C ）―1
（D ）2004
5．估计1711+大小的范围，正确的是（ ） （A ）7.2<1711+<7.3 （B ）7.3<1711+<7.4
（C ）7.4<1711+<7.5
（D ）7.5<1711+<7.6
6．如图A 、B 、C 是固定在桌面上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大．现想将这三个圆片移动到B 柱上，要求是每次只能移动一片(叫移动一次)，被移动的圆片只能放入A 、B 、C 三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 7．如图是一个正方体纸盒，在其中的三个面上各画一条线段构成
△ABC ，且A 、B 、C 分别是各棱上的中点．现将纸盒剪开展成平面，则不可能的展开图是（ B ）
二、填空题：（每小题6分，共42分）
1．分解因式：xy y y x x -+--42222=______________________．
2．如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，S △ABD ∶S △BCD =3∶7，则S 梯形AEFD ∶S 梯形EBCF =______________．
A B
C (A)(B)(C)(D)A
B C A
B
C
D
E F
3．已知0132
=+-x x ，则1
242
++x x x 的值为_______________．
4．如图，数一数，图中共有多少个(包含大小不同的)正方形？ 答案________．
5．如图A 是一个面积为a 的正三角形，现将它作如下变换：取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形，这样得到一个六角星（如图B ）；继续对六角星各边施行相同的变换，得到“雪花形”（如图C ）．则雪花形的面积为_____________． 6．已知21=x ，n
n x x 1
11-
=+（n=1，2，3，……），则2004x =________________．
7． 右图是由数字组成的三角形，除最顶端的1以外，以下出现的数字都有一定的规律．根据它的规律，则最下排数字x 的值是_____________．
三、解答题：（共56分） 1．（16分）某商场对顾客购物实行优惠，规定：（1）一次购物不超过100元不优惠；（2）一次购物超过100元但不超过300元，按标价的九折优惠；（3）一次超过300元的，300元内的部分按（2）优惠，超过300元的部分按八折优惠．老王第一次去购物享受了九折优惠，第二次去购物享受了八折优惠。
商场告诉他：如果他一次性购买同样多的商品还可少花19元；如果商品不打折，他将比现在多花67元钱。
问老王第一次购物、第二次购物实际各支付了多少钱？
2．（20分）如图，△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AC=BC=AD ． 求证：BD=CD ．
3．（20分）讨论一道开放性试题，老师要求同组每个同学至少要和三个同学交换意见．某学习小组共有11位同学，讨论完成后有两位同学说自己和4个同学交换了意见．请证明至少还有一位同学也至少和4个同学交换了意见．
A B C
D
A B C 10000002221111554510141616616156463216****
***x
2004年重庆市初中数学竞赛决赛初二年级试题
参考答案和评分意见
一、选择题：（每小题6分，共42分） CBCB 、CBB 二、填空题：（每小题6分，共42分）
1．)2)(2(-+-y x y x ； 2．2∶3； 3．8
1
； 4．55；
5．2； 6．1-； 7．178．
三、解答题： 1．解：设老王第一次购物的标价为x 元，实际支付0.9x 元，第二次购物的标价为y 元，实际支付8.0)300(9.0300⨯-+⨯y 元． ………………………………………………………………………（4分） 依题意，得 19]8.0)300(9.0300[]9.03008.0)300(9.0[=⨯-++⨯-⨯+⨯-+y x y x ……①
67]9.03008.0)300(9.0[)(=⨯+⨯-+-+y x y x …………………………②……（8分）
由①得，191.0=x ，∴x = 190（元） ……………………………………………………………（12分） 由②得，972.01.0=+y x ，
将x 代入，得 y =390 （元） 故，第一次支付 0.9×190=171（元），第二次支付270+(390―300)×0.8=342（元） 答：老王第一次支付了171（元），第二次支付了342（元）……………………………………（16分） 2．证法一：
如图，过C 作CE ⊥AD 于E ，过D 作DE ⊥BC 于F ． …………（4分）
∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=
2
1
AC ，………………（8分）
∵AC=AD ，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠FCD=90°―∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD ―∠ACE=15°……（12分） ∴△CED ≌△CFD ，
∴CF=CE=21AC=2
1
BC ，∴CF=BF ． ………………………………（16分）
∴Rt △CDF ≌Rt △BDF ， ∴BD=CD ． ……………………………………………………（20分） 证法二： 如图，作△AEB ，使AEBC 为正方形，连结ED ． ………………（4分） ∵∠BAD=45°―∠CAD=45°―30°=15°，
∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°， …………………………………（8分） 又AD=AC=AE ， ∴△ADE 是等边三角形，……………………………………………（12分） ∴ED=AD=AC=EB ， ∴∠DEB=90°―∠AED=30°………………………………………（16分） ∴△ACD ≌△EBD ， ∴CD=BD ．……………………………………………………………（20分）
A B
C
D
E
F A
B
C
D
E
3．证明：因为甲、乙二人相互讨论一次，每人都说自己讨论了一次，统计时，就被算作了两次．
………………………………………………………（4分）11个人，如果每人刚好只讨论了3次，总次数将是11×3=33次，
由于其中有两人是讨论的4次，则总次数是：33+2=35次．…………………………………（8分）根据前面的分析，对每一次讨论都有两人报数，故总次数应该是2的倍数，………………（12分）所以，总次数 3535+1=36．…………………………………………………………………（16分）即总次数至少是36次，故，一定至少还有一人是讨论的4次．……………………………（20分）。