2024届高考数学总复习《立体几何》附答案
2024年高考数学复习拓展考点精讲精练讲义 25 立体几何中的截面问题含详解
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展25立体几何中的截面问题（精讲+精练）
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过
程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行
线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F
是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点一、知识点梳理方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附答案
数学《空间向量与立体几何》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知正方体1111ABCDABCD的棱1AA的中点为E，AC与BD交于点O，平面过点E且与直线1OC垂直，若1AB，则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )
A．64 B．62
C．32 D．34
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体的垂直关系可得BD平面11ACCA，进而1BDOC，可考虑平面BDE是否为所求的平面，只需证明1OEOC即可确定平面.
【详解】
如图所示，正方体1111ABCDABCD中，E为棱1AA的中点，
1AB，则2113122OC，2113424OE，2119244EC，
22211OCOEEC，1OEOC；又BD平面11ACCA，
1BDOC，且OEBDOI，1OC平面BDE，
且113622224BDESBDOEg，
即截该正方体所得截面图形的面积为64.
故选:A.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A．132 B．7 C．152 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，
可得：该几何体的表面积为：22141212274．
故选：B．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习习题：第七章 立体几何 课时提升作业 四十四 7.4 含答案
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业 四十四
直线、平面平行的判定及其性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设α,β,γ为平面,a,b为直线,给出下列条件:
①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;
②α∥γ,β∥γ;
③α⊥γ,β⊥γ;
④a⊥α,b⊥β,a∥b.
其中能推出α∥β的条件是 ( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【解析】选C.①中条件得到的两个平面α,β,也可能相交,故①不正确;②由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,故②正确;③中α⊥γ,β⊥γ,可得α与β相交或平行,故③不正确;④a⊥α,b⊥β,a∥b,得a⊥β,所以α∥β,故④正确.
2.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;
②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.若m⊥n,m⊥α,则直线n与平面α平行或在平面α内,所以①错误;若m⊥α,n⊥β,m∥n,则n⊥α,垂直于同一直线的两平面平行,所以α∥β,所以②正确;若m,n是两条异面直线,过空间内一点O作m′∥m,n′∥n,则m′,
n′确定一个平面γ,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥γ,β∥γ,所以α∥β,则③正确;由线面垂直的判定定理可知④正确. 3.下面四个正方体图形中,点A,B为正方体的两个顶点,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是 (
)
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
【解析】选A.由线面平行的判定定理知①②可得出AB∥平面MNP.
2024高考数学专题分类之立体几何解析版
1立体几何经典真题
1【2023年新课标全国乙卷第19题】
如图,在三棱雉P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中
点分别为D,E,O,AD=5DO,点F在AC上,BF⊥AO.(1)证明:EF⎳平面ADO;
(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;
(3)求二面角D-AO-C的正弦值.
ABCDE
FOP
【答案】1见解析;2见解析;3见解析.【解析】1【解法一】∵A,F,C三点共线,故设BF=λBA+1-λBC,
又OA=BA-BO=BA-12BC,BF⊥OA,BA⊥BC,
∴BF∙OA=λBA+1-λBC∙BA-12BC=λBA2-121-λBC2
=λ∙22-121-λ∙222=8λ-4=0,
解得λ=12,
∴BF=12BA+12BC,故F为AC的中点,
∵D,E,O分别为BP,BC,AP的中点,∴DO∥BC∥EF,
∵EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,
∴EF∥平面ADO;
【解法二】∵AB⊥BC,故以B为原点,BA,BC所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标
系,如图所示,则B0,0,A2,0,C0,22,D0,2,
∵点F在AC上,直线AC方程为x2+y22=1,
∴设Fa,22-a,
∵AD⊥BF,∴kAD∙kBF,即2-00-2∙22-aa=-1,
解得a=1,
∴F12,即F为AC的中点,
∵D,E,O分别为BP,BC,AP的中点,
∴DO∥BC∥EF,xy
ABC
FD
2∵EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,
∴EF∥平面ADO;
2∵OA=BO2+BA2=6,OD=12PC=62,AD=5DO=302,
∴AD2=OD2+OA2,∴OA⊥OD,
∵OD∥EF,∴OA⊥EF,
又∵OA⊥BF,BF∩EF=F,
∴OA⊥平面BEF,
∵OA⊂平面ADO,
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案
数学《空间向量与立体几何》复习知识点
一、选择题
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．23
83
+
B ．823+
C ．
283
D ．10
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可. 【详解】
几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为
31123
2+232832V ==+
, 故选A. 【点睛】
本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.
2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA
===,而对角线1A B 上存
在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A 7
B ．3
C ．3
D ．2
【答案】A 【解析】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，
Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B
∠==∴∠=．
所以11=90+60=150MA D ∠o o o
221111111113
2cos 13223()72
MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??-
=
故选A ． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( ) A ．
2019届高考数学二轮复习第一部分小题精练4【立体几何】及答案解析
2019届高考数学二轮复习第一部分小题精练4【立体几何】及答案解析
12019届高考数学二轮复习第一部分
小题精练4【立体几何】
1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可
能是()
A．①②B．①④C．②③D．②④
2．已知四面体ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，BF＝FC，
CH＝2HD，AG＝2GD，则下列说法错误的是()
A．AC∥平面EFH
B．BD∥平面EFG
C．直线EG，FH，BD相交于一点
D．EF∥GH
3．(2018·惠州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面ABCD是正方形，
侧棱AA1⊥底面ABCD)中，点P是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面
积之和的最小值为()2019届高考数学二轮复习第一部分小题精练4【立体几何】及答案解析
2A.3
2B．1C．2D．5
4
4．(2018·唐山模拟)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()
5．(2018·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几
何体的体积为()2019届高考数学二轮复习第一部分小题精练4【立体几何】及答案解析
3A．π＋6B．2π
3＋6C.π
3＋6D．π
3＋2
6．(2018·山西八校联考)某装饰品的三视图如图所示，则该装饰品的表面积为()
A．16＋πB．16－(5－1)πC．16＋(5－1)πD．20＋(5－1)π
7．如图直三棱柱ABCA′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分
别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面
ACC′A′，则动点P的轨迹长度为()2019届高考数学二轮复习第一部分小题精练4【立体几何】及答案解析
2024年高考数学复习大题全题型专练：空间向量与立体几何(解析版)
专题9立体几何中的探索性问题
1．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱
111ABCABC
的体积为4，
1ABC的面积为
22．
(1)求
A到平面
1ABC
的距离；
(2)设
D为
1AC
的中点，
1AAAB
，平面
1ABC
平面
11ABBA
，求二面角ABDC的正弦值．
【答案】
(1)
2(2)3
2
【解析】
【分析】（
1）由等体积法运算即可得解；
（
2）由面面垂直的性质及判定可得BC平面
11ABBA
，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解
.
(1)在直三棱柱
111ABCABC
中，设点
A到平面
1ABC
的距离为
h，则
1111111122114
33333AABCAAABCAABCABBCCCBVShhVSAAV
，
解得2h
，
所以点
A到平面
1ABC的距离为
2
；
(2)
取
1AB
的中点
E,连接
AE,如图，因为
1AAAB
，所以
1AEAB
,
又平面
1ABC
平面
11ABBA
，平面
1ABC∩
平面
111ABBAAB
，
且
AE平面
11ABBA
，所以
AE⊥平面
1ABC
，
在直三棱柱
111ABCABC
中，
1BB
平面ABC，
由BC平面
1ABC
，BC平面ABC可得
AEBC，
1BBBC
，
又
1,AEBB
平面
11ABBA
且相交，所以BC平面
11ABBA
，
所以
1,,BCBABB
两两垂直，以
B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（
1
）得2AE
，所以
12AAAB，
122AB，所以2BC，
则
10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC
,所以
1AC
的中点
1,1,1D
，
则
1,1,1BD
，
0,2,0,2,0,0BABC
,
设平面
ABD的一个法向量
,,mxyz
，则0
20mBDxyz
mBAy
，
可取
1,0,1m
，
设平面BDC的一个法向量
,,nabc
，则0
20mBDabc
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》分类汇编附答案解析
新数学《空间向量与立体几何》试卷含答案
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．643 B．83163 C．28 D．82163
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积222211832422316333Vrhrl，故选B．
【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
2．如图，在长方体1111ABCDABCD中，13,1ABADAA,而对角线1AB上存在一点P，使得1APDP取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7
B．3
C．1+3 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD并求出，就
是最小值．
【详解】
把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD．1MD就是1||||APDP的最小值，
Q||||3ABAD，1||1AA，0113tan3,601AABAAB．
所以11=90+60=150MADooo
2211111111132cos13223()72MDADAMADAMMAD
故选A．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
3．在以下命题中：
①三个非零向量ar，br，cr不能构成空间的一个基底，则ar，br，cr共面；
②若两个非零向量ar，br与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则ar，br共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若222OPOAOBOCuuuruuuruuuuruuuur，则P，A，B，C四点共面
空间向量与立体几何 2024高考题目及答案
空间向量与立体几何 2024高考题目及答案
2024年高考题目及答案：空间向量与立体几何
【引言】
2024年高考数学试题中，空间向量与立体几何是一个重要的考点。在此次试题中，考查了空间向量的定义、运算和应用，以及立体几何中的线面交角、直线方程和平面方程等内容。本文将对这些题目进行具体分析和解答，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。
【题目一：空间向量的定义和运算】
题目描述：已知点A(1, 2, -3)、B(4, -1, 2)，向量AB可以表示为OA减去OB。求向量AB的模长和方向余弦。
解答：
首先，根据向量的定义，向量AB可以表示为OB减去OA，即AB
= OB - OA。
则有向量AB = (4, -1, 2) - (1, 2, -3) = (4-1, -1-2, 2-(-3)) = (3, -3, 5)。
其次，求向量AB的模长，使用模长的定义：|AB| = √(3^2 + (-3)^2
+ 5^2) = √(9 + 9 + 25) = √43。
最后，利用方向余弦的定义，设向量AB与空间坐标轴的夹角为α、β、γ，则有：
cosα = 3 / √43，cosβ = -3 / √43，cosγ = 5 / √43。 【题目二：空间向量的应用】
题目描述：在空间直角坐标系中，已知向量a = (3, 0, 4)，向量b =
(1, -2, 2)。求向量a与向量b的数量积、向量积和夹角。
解答：
首先，求向量a与向量b的数量积，使用数量积的定义：a·b = 3*1
+ 0*(-2) + 4*2 = 3 + 0 + 8 = 11。
其次，求向量a与向量b的向量积，使用向量积的定义：a×b = |i j
k |
|3 0 4 |
|1 -2 2 |
高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习附答案
新数学《空间向量与立体几何》复习资料
一、选择题
1．如图，在正方体1111ABCDABCD中，M， N分别为棱111,CDCC的中点，以下四个结论：①直线DM与1CC是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与1MB是异面直线；④直线AM与1DD是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.
【详解】
①：1CC与DM是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AMBN、平行，又ADBC、平行且,AMADABNBCB，所以平面BNCP平面ADM，明显不正确，故错误；
③：1BNMB、不共面，所以是异面直线，故正确；
④：1AMDD、不共面，所以是异面直线，故正确；
故选C.
【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．163 B．643 C．16643 D．1664
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 221116644444333V， 故选C.
3．如图，在长方体1111ABCDABCD中，13,1ABADAA,而对角线1AB上存在一点P，使得1APDP取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 B．3 C．1+3 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
把面1AAB绕1AB旋转至面1BAM使其与对角面11ABCD在同一平面上，连接1MD并求出，就