初三数学 圆与二次函数综合训练题
圆为背景的二次函数综合训练卷
1．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．
2．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”.
（1）已知⊙O的半径为1.
①在点E（1,1），,M(－2，－2)中，⊙O的“梦之点”为
；
②若点P位于⊙O内部，且为双曲线（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围.
（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围.
（3）若二次函数的图象上存在两个“梦之点”，求二次函数图象的顶点坐标.
3．如图，在平面直角坐标系中，圆D与轴相切于点C(0,4)，与轴相交于A、B两点，且AB=6
（1）D点的坐标是 ，圆的半径为 ；
（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；
（3）设抛物线的顶点为F,试证明直线AF与圆D相切；
（4）在轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大，最大面积是多少？并求出点坐标.
4．（2018年山东省济宁市中考数学模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．
5．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．
7．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；
（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．
①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）
②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；
③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．
9．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
（1）求B点坐标；
（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．
（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．
10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．[来源:]
11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过抛物线与坐标轴的两个交点B和C。
（1）求直线BC的解析式；
（2）点D是线段BC上的一个动点（与两个端点均不重合），过点D引y轴的平行线PD交抛物线于点P，设抛物线的对称轴为直线，如果以点P为圆心的⊙P与直线BC相切，请用点P的横坐标x表示⊙P的半径R。
（3）在（2）的基础上判断⊙P与直线的位置关系。
12．已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0，﹣1）
（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；
（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连接PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围．
最新中考数学复习中考专题：圆与二次函数结合题
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2017年中考数学复习
中考专题： 圆与函数综合题
1、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若二次函数2yxbxc的图象经过点A、B，试确定此二次函数的解析式．
1、解：（1）过点C作CM⊥轴于点M，则点M为AB的中点．
∵CA=2，CM=， ∴AM==1．于是，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）
（2）将（1，0），（3，0）代入得，
解得 所以，此二次函数的解析式为．
2、如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线233yxbxc过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．
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3、如图，抛物线2yaxbxc的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A（0,2），
(1)求a,b,c的值；
(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；
（3）设⊙P与轴相交于M1x,0，N 212x,0xx两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标。
4、如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.
初中数学中考复习 第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)
第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐
【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
【典型例题】
【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−53经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数与圆综合训练(含解析)
..
.
…
. word. … 二次函数与圆综合提高（压轴题）
1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
解答： 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=．
∴S△ABC==；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=x，AG=x，
∴y==x2，
∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
.. .
…
. word. … ∴x=1.5时，y最大=，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=（3﹣x），
∴y=，
=﹣；
（3），如图4，∵y=﹣；
∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，
y=﹣（x﹣2）2+，
2017年中考数学复习中考专题：圆与二次函数结合题
2017年中考数学复习
中考专题： 圆与函数综合题
1、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若二次函数2yxbxc的图象经过点A、B，试确定此二次函数的解析式．
2、如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线233yxbxc过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．
3、如图，抛物线2yaxbxc的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A（0,2），
(1)求a,b,c的值；
(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交； （3）设⊙P与轴相交于M1x,0，N 212x,0xx两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标。
4、如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.
5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD=
。
⑴尝试探究：如图2，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，则CD= （试写出解答过程）。
人教版九年级数学上册：圆与二次函数综合题 复习
word版 初中数学
1 / 11 圆与二次函数综合题复习
例1：抛物线2yaxbxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为1x，(3,0)B，(0,3)C。
（1）求二次函数2yaxbxc的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于MN、两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径。
（1）将(0,3)C代入cbxaxy2，得 3c．将3c，(3,0)B代入cbxaxy2，得 039cba．∵1x是对称轴，∴12ab．将（2）代入（1）得1a， 2b．二次函数得解析式是322xxy．
（2）AC与对称轴的交点P即为到BC、的距离之差最大的点．∵C点的坐标为(0,3)，A点的坐标为(1,0)，∴ 直线AC的解析式是33xy，又对称轴为1x，∴ 点P的坐标(1,6)．
（3）设1(,)Mxy、2(,)Nxy，所求圆的半径为r，则 rxx212，.(1) ∵ 对称轴为1x，∴ 212xx． .(2)由（1）、（2）得：12rx．.(3) 将(1,)Nry代入解析式322xxy，得 3)1(2)1(2rry，.(4)整理得： 42ry．由于 r=±y，当0y时，042rr，解得，21711r ， 21712r（舍去），当0yword版
初中数学
2 / 11 时，042rr，解得，21711r ， 21712r（舍去）．所以圆的半径是2171或2171．
九年级数学上册(二次函数与圆)练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校二次函数与圆
1.如图，抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M〔1，m〕恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．〔1〕求m的值及抛物线的解析式；〔2〕设∠DBC = ，∠CBE = ，求sin〔－〕的值；
〔3〕探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？假设存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．
2.如图，点M〔4，0〕，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．抛物线216yxbxc过点A和B，与y轴交于点C．〔1〕求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．〔2〕点Q〔8，m〕在抛物线216yxbxc上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．
〔3〕CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
3.如图〔13〕，平行四边形ABCD的顶点A的坐标是(016)，，AB平行于x轴，BCD，，三点在抛物线2425yx上，DC交y轴于N点，一条直线OE与AB交于E点，与DC交于F点，如果E点的横坐标为a，四边形ADFE的面积为1352．
〔1〕求出BD，两点的坐标；〔2〕求a的值；
〔3〕作ADN△的内切圆P，切点分别为MKH，，，求tanPFM的值． C
A M B x y
O D
E
4、〔卷〕：如图，抛物线2323333yxx的图象与x轴分别交于AB，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点AC，，点D是劣弧OA上一动点〔D点与AO，不重合〕．
〔1〕求抛物线的顶点E的坐标；〔2〕求M的面积；
〔3〕连CD交AO于点F，延长CD至G，使2FG，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由．
5、〔卷〕如图，2(10)(0)2AE，，，，以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BFAE∥交A于点F，直线FE交x轴于点C．
九年级中考复习 二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析)
精品 Word 可修改 欢迎下载 二次函数与圆的综合习题
类型一 圆的基本性质应用
例1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-52）2+98与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．
（1）求a值及A，B两点坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；
（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（17582，-2）
【解析】解：（1）∵抛物线y=a（x-52）2+98经过点C（0，-2），
∴-2=a（0-52）2+98，
∴a=-12，
∴y=-12（x-52）2+98，
精品 Word 可修改 欢迎下载 当y=0时，-12（x-52）2+98=0，
∴x1=4，x2=1，
∵A、B在x轴上，
∴A（1，0），B（4，0）．
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-12（x-52）2+98，
∴C、D关于对称轴x=52对称，
∵C（0，-2），
∴D（5，-2），
如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，
∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），
∴AC=√5，AD=2√5，
∴AC2+AD2=CD2，
∴∠CAD=90°，
∴CD为⊙M的直径，
∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，
精品 Word 可修改 欢迎下载 ∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．
（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，
∵A（1，0），
∴F（6，0），
作点E关于直线CD的对称点E′，
九年级数学二次函数与圆综合复习练习
第1页共13页
九年级数学二次函数与圆综合复习练习
能利用二次函数的有关知识解决二次函数与圆的综合性问题
点以(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与工轴交于点A,B・已知抛物y = -x2+bx + c过
6
与y轴交于点C.
求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象.
点Q(8,〃?)在抛物线y = Lx2+bx + c±，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+P8最小值.
6
CE是过点C的。M的切线，点E是切点，求QE所在直线的解析式.
【巩固练习1]
已知抛物线y = a.x2+bx + c与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式)，= -x + 2并且线段CM的长为
2^2
(1) 求抛物线的解析式。 学习过程:
展示讨论: 学习目标:
例1.如图, 第2页共13页
(2) 设抛物线与x轴有两个交点A (X. 0)、B (X= , 0),且点A在B的左侧，求线段AB的长。
(3) 若以AB为直径作。N,请你判断直线C顶与ON的位置关系，并说明理由.第3页共13页
例2.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0・4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，
是OC的切线.动点P从点A开始沿仙方向以每秒1个单位长度的速度运动，点。从。点开始沿x轴 正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点F、。从点A和点O同时出发，设运动时间为/(秒).
⑴当f = l时，得到匕、Q两点，求经过A、R、Q三点的抛物线解析式及对称轴
⑵当［为何值时，直线P。与。C相切？并写出此时点P和点。的坐标；
⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴/上存在一点N,使NP + NQ最小，求出点十的坐标并说明理由.
【巩固练习2】
己知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y = kx + \的图象与
二次函数的图象交于A,B两点(A在8的左侧)，且A点坐标为(-4,4).平行于x轴的直线/过(0, -1) 点・
中考数学一轮复习二次函数的综合题二次函数与圆结合试题
创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 专题复习——二次函数的综合题〔与圆结合的问题〕
【典例精析】
例1. (2021⋅)如图，抛物线l交x轴于点A(−3,0)、B(1,0)，交y轴于点C(0,−3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.
(1)求l1的解析式；
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E. F两点，假设以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径。
创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日
【类题打破】
1. 在平面直角坐标系中,点A(−2,0),B(2,0),C(3,5).
(1)求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；
(2)求过点A，B及抛物线的顶点D的P的圆心P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使AQ与P相切，假设存在恳求出Q点坐标。
创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 2.如图,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2−1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式；
(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A. B,求PA2+PB2的最大值；
7-4-二次函数与圆综合题库教师版
7-4-二次函数与圆综合题库教师版
题一：人用竹子和弦绷成的网子捕鱼。网子的形状是一个对称图形，准确地说是一个抛物线段与一个半径相等的半圆段拼接而成的。设弦长为L，要使得网子能捕到最多的鱼，求出L的取值范围。
解析：
设抛物线段的方程为 y = ax^2 ，其中 a 为正数。考虑 1/8 圆的部分，设圆心在原点 O ，半径为 r ，则圆的方程为 x^2 + y^2 = r^2
由对称性可知，抛物线与x轴交于两点(−X_1,0)和(X_1,0)，圆与x轴交于两点(−X_2,0)和(X_2,0)，而抛物线与圆的交点为(−X_3,Y_3)和(X_3,Y_3)。那么：
(−X_1)^2+(aX_1^2)=r^2
(−X_2)^2+r^2=r^2
(−X_3)^2+(aX_3^2)=r^2
通过求解上述方程组，可以得到X_1,X_2,X_3与L的关系。
由于每只鱼只能被网子的抛物线段和圆段中的一个截获，因此最多能捕到的鱼的数量等于两者截获鱼的数量之和。设抛物线段上的鱼的数量为F1，圆段上的鱼的数量为F2，则有F1+F2=Y_3
根据题意可知，捕到的鱼的总数量应为正整数，所以Y_3为整数。
将X_3代入方程(−X_1)^2+(aX_1^2)=r^2，可以解出a。然后根据F1+F2=Y_3，可以得到关于X_1,X_2,L的条件。
根据求解步骤，可以得到L的取值范围。 题二：已知抛物线的形状和一只鸟在该抛物线的焦点上，鸟的出发方向与抛物线的切线方向夹角为α，求鸟的飞行轨迹方程。
解析：
设抛物线的方程为 y = ax^2 ，其中 a 为正数。已知鸟在抛物线的焦点上，那么抛物线的焦点坐标为 F (p, 0) ，其中 p > 0。
设抛物线上的任意一点为 P (X, Y) ，切线方程为 y = kx + b ，求导得到关系式 k = 2ax ，然后代入点 (X, Y) ，可以解得 b = Y -
2aX^2
由于鸟的出发方向与抛物线的切线方向夹角为 α ，所以可以得到关系式 tan(α) = k。