初中数学二次函数与圆的综合压轴题带答案,中考二次函数与圆结合的经典题及答案解析
圆与二次函数难度题(含答案)
时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 水尾中学中考专项训练（压轴题）谜底之阿布丰王创作
时间：二O二一年七月二十九日
1．（四川模拟）如图,Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB＝90°,AC＝23,BC＝1．以AC为一边,在AC的右侧作等边△ACD,连接BD,交⊙O于点E,连接AE,求BD和AE的长．
解：过D作DF⊥BC,交BC的延长线于F
∵△ACD是等边三角形
∴AD＝CD＝AC＝23,∠ACD＝60°
∵∠ACB＝90°,∴∠ACF＝90°
∴∠DCF＝30°,∴DF＝12CD＝3,CF＝3DF＝3
∴BF＝BC＋CF＝1＋3＝4
∴BD＝BF2＋DF2＝16＋3＝19
∵AC＝23,BC＝1,∴AB＝AC2＋BC2＝13
∵BE＋DE＝BD,∴AB2－AE2＋AD2－AE2＝BD
即13－AE2＋12－AE2＝19
∴13－AE2＝19－12－AE2
两边平方得：13－AE2＝19＋12－AE2－219(12－AE2)
整理得：19(12－AE2)＝9,解得AE＝71957
2．（四川模拟）已知Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,D为△ABC外接圆⊙O上AC︵的中点．
（1）如图1,P为ABC︵的中点,求证：PA＋PC＝3PD；
（2）如图2,P为ABC︵上任意一点,（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
A
B D
C E O A
B D
C E O
F
D A
P O D A
P
O 时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 （1）证明：连接AD
∵D为AC︵的中点,P为ABC︵的中点
∴PD为⊙O的直径,∴∠PAD＝90°
∵∠B＝60°,∴∠APC＝60°
∵D为AC︵的中点,∴∠APD＝∠CPD＝30°
∴PA＝PD·cos30°＝32PD
∵P为ABC︵的中点,∴PA＝PC
∴PA＋PC＝3PD
（2）成立
理由如下：
延长PA到E,使EA＝PC,连接DE、AD、DC
二次函数与圆综合训练(含解析)
..
.
…
. word. … 二次函数与圆综合提高（压轴题）
1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
解答： 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=．
∴S△ABC==；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=x，AG=x，
∴y==x2，
∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
.. .
…
. word. … ∴x=1.5时，y最大=，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=（3﹣x），
∴y=，
=﹣；
（3），如图4，∵y=﹣；
∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，
y=﹣（x﹣2）2+，
二次函数与圆结合的压轴题
图6xyFEHNMPDCBAO 二次函数与圆
【例题1】 (芜湖市) 已知圆P得圆心在反比例函数图象上,并与x轴相交于A、B两点.
且始终与ｙ轴相切于定点C(0,１）.
(1) 求经过A、B、C三点得二次函数图象得解析式；
(2) 若二次函数图象得顶点为D,问当k为何值时，四边形ADＢＰ为菱形.
【例题2】(湖南省韶关市)
25、如图６,在平面直角坐标系中,四边形OABC就是矩形,OA=4,AＢ=２,直线与坐标轴交于D、E。设M就是AB得中点，Ｐ就是线段DE上得动点、
(1)求M、D两点得坐标;
(2)当Ｐ在什么位置时，PA=ＰＢ?求出此时P点得坐标;
(3)过P作PＨ⊥BC,垂足为H,当以PＭ为直径得⊙F与ＢＣ相切于点N时,求梯形PMＢH得面积、
【例题３】(甘肃省白银等７市新课程）28、 在直角坐标系中,⊙A得半径为４,圆心A得坐标为（2,0)，⊙A与ｘ轴交于E、Ｆ两点,与ｙ轴交于C、Ｄ两点,过点C作⊙Ａ得切线BC,交x轴于点Ｂ.
(1）求直线ＣB得解析式；
(2)若抛物线y=ax2+bx＋c得顶点在直线BC上,与x
轴得交点恰为点E、F，求该抛物线得解析式；
(3)试判断点C就是否在抛物线上?
（4) 在抛物线上就是否存在三个点，由它构成得三角形与
△AOC相似?直接写出两组这样得点.
【例题4】(绵阳市)25、如图,已知抛物线ｙ = ａx2 + bx－3与x轴交于Ａ、B两点，与ｙ轴交于C点，经过A、B、Ｃ三点得圆得圆心M(1,m)恰好在此抛物线得对称轴上,⊙Ｍ得半径为.设⊙Ｍ与ｙ轴交于D,抛物线得顶点为E.
(1)求m得值及抛物线得解析式;
（2)设∠DＢC = ,∠CBE = ,求ｓiｎ(-)得值;
(3）探究坐标轴上就是否存在点P,使得以P、A、Ｃ为顶点得三角形与△BCE相似？若存在,请指出点Ｐ得位置,并直接写出点P得坐标;若不存在，请说明理由.
2020年中考数学压轴解答题06 二次函数与圆的综合问题(教师版)
压轴解答题·直面高考
精品资源·战胜高考 备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律
专题06 二次函数与圆的综合问题
【典例分析】
【例1】（2019·湖南中考真题）如图,抛物线26yaxax(a为常数,a＞0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(﹣3＜t＜0),连接BD并延长与过O,A,B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1,求证：CE＝DE；②如图2,连接AC,BE,BO,当33a,∠CAE＝∠OBE时,求11ODOE的值
思路点拨
（1）令y=0,可得ax（x+6）=0,则A点坐标可求出；
（2）①连接PC,连接PB延长交x轴于点M,由切线的性质可证得∠ECD=∠COE,则CE=DE；
②设OE=m,由CE2=OE•AE,可得m＝262tt,由∠CAE=∠OBE可得BDDOBEOE,则m＝66tt,综合整理代入11tm可求出11ODOE的值．
满分解答
（1）令ax2+bax=0
ax（x+6）=0
∴A（－6,0） 压轴解答题·直面高考
精品资源·战胜高考 （2）连接PC,连接PB延长交x轴于M
PQe过O、A、B三点,B为顶点
PMOA,90PBCBOM
又∵PC=PB
PCBPBC,
∵CE为切线
90PCBECD°,
又BDPCDEQ
ECDCOE,
∴CE=DE,
（3）设OE=m,即E（m,0）
由切割定理：CE2=OE·AE
22662tmtmmmt①,
CAECBDQ,
已知CAEOBE,CBOEBO
由角平分线定理：BDDOBEOE
即：2232766327tttmmtm②
由①②得22618360626tttttt
专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(解析版)
挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题9二次函数与圆综合问题
解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：
1. 直线与圆的位置关系：
平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：
（1） 利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题
（2） 利用勾股定理解决问题
（3） 利用相似列出比例式解决问题
2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟
3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.
【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；
（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；
（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．
二次函数和圆综合[压轴题 例题 巩固 答案解析]
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专业.资料.整理 【例1】.如图，点40M，，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点AB，．已知抛物216yxbxc过点A和B，与y轴交于点C．
⑴ 求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
⑵ 点8Qm，在抛物线216yxbxc上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB 最小值．
⑶ CE是过点C的M⊙的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
【巩固】已知抛物线2yaxbxc与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 2yx并且线段CM的长为22
（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
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【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C，为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，
AB是C⊙的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)．
⑴当1t时，得到1P、1Q两点，求经过A、1P、1Q三点的抛物线解析式及对称轴l；
二次函数和圆结合的题
二次函数和圆结合的题
题目1：已知二次函数 y = x^2 + 2x + 1 和圆的方程为 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4，请问是否存在二次函数与圆相交的点？如果存在，请求出交点坐标。
解答1：我们可以将二次函数和圆的方程联立，解方程组来求解交点坐标。
将二次函数的方程 y = x^2 + 2x + 1 代入圆的方程中，得到：
(x-1)^2 + ((x^2 + 2x + 1) - 2)^2 = 4
化简等式，得到二次方程：
(x-1)^2 + (x^2 + 2x - 1)^2 = 4
展开并合并同类项，得到：
x^4 + 4x^3 + 6x^2 - 12x + 6 = 0
这是一个四次方程，我们可以使用数值方法或图像法求解，得到两个实根：
x ≈ -2.59 和 x ≈ -0.69
将这两个 x 值代入二次函数的方程，可以得到相应的 y 值：
当 x ≈ -2.59 时，y ≈ 5.16
当 x ≈ -0.69 时，y ≈ 2.37
所以，二次函数与圆相交的点的坐标为：
(-2.59, 5.16) 和 (-0.69, 2.37)
题目2：已知二次函数 y = x^2 + 3x - 2 和圆的方程为 (x-2)^2 + (y-1)^2 = 9，请问是否存在二次函数与圆相切？如果存在，请求出相切点的坐标。
解答2：我们可以将二次函数和圆的方程联立，并判断切点的情况。
将二次函数的方程 y = x^2 + 3x - 2 代入圆的方程中，得到：
(x-2)^2 + ((x^2 + 3x - 2) - 1)^2 = 9
化简等式，得到二次方程：
x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0
这是一个四次方程，我们可以使用数值方法或图像法求解。
通过求解，我们发现这个方程没有实根，即二次函数与圆没有交点。所以，二次函数与圆不相切。
综上所述，对于给定的二次函数和圆的方程，存在交点的情况可以通过解方程组来判断，并可以求解交点的坐标；而相切的情况则需要判断方程是否有实根来确定。
初中考试数学专题讲解：二次函数与圆结合的压轴题
二次函数和圆
【例题1】
(芜湖市) 已知圆P
的圆心在反比例函数k
y
x=(1)k>
图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且
始终与y轴相切于定点C(0，1)．
(1) 求经过A、B、C三点的二次
函数图象的解析式;
(2) 若二次函数图象的顶点为
D，问当k为何值时，四边
形ADBP为菱形．
【例题2】
(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，
直线3
2yx=−+
与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.
（1）求M、D两点的坐标；
（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.
【例题3】
(甘肃省白银等7市新课程
)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，
0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax2
+bx+c的顶点在直线BC上，与x
轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上？
（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与
△AOC相似？直接写出两组这样的点．
【例题4】
（绵阳市）25.如图，已知抛物线y
= ax
2
+ bx
－3与x
轴交于A
、B
两点，与y
轴交于
C
点，经过A
、B
、C
三点的圆的圆心M
（1，m
）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M
的半径为5．设
⊙M
与y
轴交于D
，抛物线的顶点为E
．
（1）求m
的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC
= α
，∠CBE
= β
，求sin（α
－β
）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P
，使得以P
、A
、C
为顶点的三角形与△BCE
相似？若存在，请指
出点P
的位置，并直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由
．
【例题5】（南充市）
25.如图，点M
二次函数与圆综合训练(含解析) 2
1 / 10 二次函数与圆综合提高（压轴题）
1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
解答： 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=．
∴S△ABC==；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=x，AG=x，
∴y==x2，
∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y最大=，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=（3﹣x），
∴y=，
=﹣；
（3），如图4，∵y=﹣；
∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，
y=﹣（x﹣2）2+，
∵a=﹣＜0，开口向下，
∴x=2时，y最大=，
∵＞，
∴y最大时，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．
∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°，
∴△MDO是等边三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． 2 / 10 ∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°，
∴∠DME=90°，
∴DE是直径，
S⊙O=π×12=π．
2、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点
1圆与二次函数结合型压轴题专题
通用的解题思路：
一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告
诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。
二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r，第二
步，表示出圆心到直线的距离d，第三步，比较半径r和距离d的大小：若半径r>距离d，则直线与圆相交，若
半径r=距离d，则直线与圆相切，若半径r
三、记直线l被圆C截得的弦长为|AB|的常用方法
弦长公式：AB=2r2-d21(长沙中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和
(a，1
16)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．
(1)求a，b，c的值；
(2)求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
(3)设⊙P与x轴相交于M(x
1，0)，N(x2，0)(x1
2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐
标．
【解答】
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(a，116)
两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴1
16=a(a)2，解得：a=±1
4，∵图象开口向上，∴a=1
4，∴抛物线
解析式为：y=1
4x2，故a=1
4，b=c=0；
(2)设P(x，y)，⊙P的半径r=x2+y-22，又∵y=1
4x2，则r=x2+1
4x2-22
，
化简得：r=1
16x4+4>1
4x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；
2(3)设P(t
，1
4t2)，∵r2-y2=4，∴MH=NH=2，∴M(t-2，0)，N(t+2，0)，A(0，2)，
∵△AMN为等腰三角形，∴AM=AN，AM=MN，AN=MN，(t-2)2+(2-0)2=(t+2)2+(2-0)2，
∴t=0，(t-2)2+(2-0)2=42，∴t=2±23，(t+2)2+(2-0)2=42，∴t=-2±23，