中考数学压轴题二次函数问题解答题解析版
27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）．
（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；
（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．
【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3.
（2）把点代入抛物线，得
把点代入抛物线，得
解得
当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，
时，，
解得，（舍去）
综上，或3．
【关键点拨】
本题考査的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．
28．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
【答案】(1) 50千克 (2) 12.5
29．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w（元）.
（1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？
（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？
【答案】（1）；（2）30；（3）36人，3168元.
（2）20×120=2400＜3000，
由题意得：w=xy=x（-2x+160）=3000，
-2x2+160x-3000=0，
x2-80x+1500=0，
（x-50）（x-30）=0，
x=50或30，
当x=50时，y==60，不符合题意，舍去，
当x=30时，y==100＞88，符合题意，
答：报名旅游的人数是30人；
（3）w=xy=x（-2x+160）=-2x2+160x=-2（x2-80x+1600-1600）=-2（x-40）2+3200，
∵-2＜0，
∴x＜40，w随x的增大而增大，
∵x=36时，w有最大值为：-2（36-40）2+3200=3168，
∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．
【关键点拨】
本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题的关键．
30．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） （2），，144元
（2）根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【关键点拨】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
31．综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．
(1)求抛物线的解析式
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；
(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为 ；
②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()
【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).
【解析】
(1)将代入
将和代入
抛物线解析式为
(3)①当时，
，则关于抛物线对称轴对称
的面积为
当时
由已知为等腰直角三角形，
过点作于点，设点坐标为
，
则为，
代入
解得
的面积为4 故答案为：或4
【关键点拨】
本题考查了直角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关键.
32．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
【关键点拨】
本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
33．知识背景
当a＞0且x＞0时，因为（﹣）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x=时取等号）．
设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．
应用举例
已知函数为y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2=4．
解决问题
（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？
【答案】（1）6；（2）w有最小值，最小值=201.4元．
【关键点拨】
本题考查二次函数的应用，反比例函数的应用，函数的最值问题，完全平方公式等知识，解题的关键是学会构建函数解决问题，属于中考常考题型．
34．如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）或.
（2）由已知，
点坐标为
点坐标为
轴
（3）如图，过点做于点
由（2）
同理
四边形是平行四边形
整理得：
，即
由已知
周长
时，最大．
点坐标为，，此时点坐标为，
当点、位置对调时，依然满足条件
点坐标为，或，
【关键点拨】
本题考查一次函数与二次函数的综合运用，解题的关键是能够根据题意找到有限条件列出解析式或表示出相关坐标.
35．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．
【解析】
（1）将、代入，得：
，解得：，
此二次函数解析式为．
中考数学二次函数压轴题(含答案)
中考数学(Xue)二次函数压轴题(含答案)
面(Mian)积类
1．如(Ru)图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三(San)点．
（1）求抛物线的(De)解析式．
（2）点(Dian)M是线(Xian)段BC上(Shang)的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
， 解得； 故(Gu)直线BC的解(Jie)析式：y=﹣x+3．
已(Yi)知点M的横坐标(Biao)为m，MN∥y，则(Ze)M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故(Gu)MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如(Ru)图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当(Dang)m=时，△BNC的面积最大，最大值为．
2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
解答： 解(Jie)：（1）将(Jiang)B（4，0）代入抛物线的解析式(Shi)中，得：
0=16a﹣×4﹣2，即(Ji)：a=；
∴抛物线的解析式(Shi)为：y=x2﹣x﹣2．
2023年中考数学压轴题专题20 二次函数与对称变换综合问题【含答案】
专题20二次函数与对称变换综合问题
【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像
抛物线”．
例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．
（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x
﹣2）2+4的顶点坐标．写出抛物线的“镜像抛物线”为．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标
为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛
物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．
②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）
【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB
相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于
C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？
若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，
求M点的横坐标．
中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)
1 / 163
中考数学二次函数压轴题集锦
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．
已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）求d（点O，△ABC）；
（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；
（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H， 2 / 163
点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；
（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
备战中考数学二次函数-经典压轴题及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．
【解析】
【分析】
(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；
(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．
【详解】
解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A(1，0)，
∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，
∴309330abab＝＝ ，解得：12ab＝，＝
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动， ∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴2231yxxyx＝＝ ，解得：1145xy＝＝，2210xy＝，＝
专题05 二次函数函数综合的压轴真题训练(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
1挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编
专题05二次函数函数综合的压轴真题训练
一．二次函数的图象
1．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该
函数的图象可能为（）
A
．B
．
C
．D
．
【答案】C
【解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x
＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x
＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C
二．二次函数的性质
2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2
﹣2x﹣3的自变量x
1，x
2，x
3对应的函数值
2分别为y
1，y
2，y
3．当﹣1＜x
1＜0，1＜x
2＜2，x
3＞3时，y
1，y
2，y
3三者之间
的大小关系是（）
A．y
1＜y
2＜y
3B．y
2＜y
3＜y
1C．y
3＜y
1＜y
2D．y
2＜y
1＜y
3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2
﹣2x﹣3＝（x﹣1）2
﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2
﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x
1＜0，1＜x
2＜2，x
3＞3时，y
2＜y
1＜y
3，
故选：D．
3．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2
﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x
p，
y
p）是该函数图象上一点，当0≤x
p≤4时，y
p≤﹣3，则m的取值范围是（）
A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝mx2
﹣4m2x﹣3，
∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），
∵点P（x
p，y
p）是该函数图象上一点，当0≤x
p≤4时，y
p≤﹣3，
∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，
此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42
﹣4m2
•4﹣3≤﹣3，
解得m≥1；
②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤x
p≤4时，y
中考数学与二次函数有关的压轴题及详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333yxx与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2323y=x+33；（-2，23）；（1,0）；
（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）E（-1，-433）、F（0，233）或E（-1，43-3），F（-4，1033）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可
【详解】
（1）∵223432333yxx，a=233，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33；
联立两解析式求交点2234323332323y=x+33yxx，解得x=-2y=23或x=1y=0，
∴A（-2，23），B（1,0）；
中考数学压轴题精选(二次函数)_附详细解答和评分标准
1 压 轴 题
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－32x2+bx+c经过A（0，－4）、B（x1，0）、 C（x2，0）三点，且x2-x1=5．
（1）求b、c的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
解：（1）解法一：
∵抛物线y=－32x2+bx+c经过点A（0，－4），
∴c=－4 „„1分
又由题意可知，x1、x2是方程－32x2+bx+c=0的两个根，
∴x1+x2=23b， x1x2=－23c=6 ················································································· 2分
由已知得（x2-x1）2=25
又（x2-x1）2=（x2+x1）2－4x1x2=49b2－24
∴ 49b2－24=25
解得b=±314 ······························································································································· 3分
当b=314时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b=－314． ······························································································································ 4分
2023年中考数学压轴题专题17 二次函数与公共点及交点综合问题【含答案】
专题17二次函数与公共点及交点综合问题
【例1】．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y
＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接
写出m的取值范围．
【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，
与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小
值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射
线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．
【例3】．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），B
（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运
动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随
之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛
物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别
与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及详细答案
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及详细答案
一、二次函数
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3， ∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC•xG=×3×1=，
中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2ymx2mx3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为2716
（3）2m2或1m时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）在2ymx2mx3m中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则2mx2mx3m0，
∵m＜0，∴2x2x30，解得：1x1，2x3．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为yax1x3（a0）， 把C（0，32）代入可得，12a．
∴Ｃ1的表达式为：1yx1x32，即213yxx22．
设P（p，213pp22），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=23327p4216（）．
∵3a4<0，∴当3p2时,S△PBC最大值为2716．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，3m），M（1，4m），