初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案
初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案
一、二次函数
1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y万件)与销售单价(x元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．
1求y与x的函数关系式；
2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x定为每件多少元时，厂家每月获得的利润w最大？最大利润是多少？
【答案】（1）2280yx；（2）当销售单价x定为每件80元时，厂家每月获得的利润w最大，最大利润是4800元．
【解析】
【分析】
1根据函数图象经过点40,200和点60,160，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
2先根据利润销售数量(销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．
【详解】
解：1设y与x的函数关系式为0ykxbk，
Q函数图象经过点40,200和点60,160，
4020060160kbkb，解得：2280kb，
y与x的函数关系式为2280yx．
2由题意得：224022802360112002(90)5000wxxxxx．
Q试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，
自变量x的取值范围是4080x．
20Q， 当90x时，w随x的增大而增大，
80x时，w有最大值，
当80x时，4800w，
答：当销售单价x定为每件80元时，厂家每月获得的利润w最大，最大利润是4800元．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．
2．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+2，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．
（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得 304233abab
解得12ab
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
023kbkb 解得11kb
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2．
∴P（1+2，﹣2）
【点睛】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．
3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；
（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，然后利用二次函数的性质解决问题．
试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303bcc，解得：43bc，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；
（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；
当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；
（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=22PG=﹣22t2+322t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．
点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）638，315,24E .
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；
（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标． 【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴309330abab，
解得：12ab．
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如答图1，
∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x＝22＝﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝53，
∴P点坐标为：P1（﹣1，53）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±10，
∴P点坐标为：P2（﹣1，10）或P3（﹣1，﹣10）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；
（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：
如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．
中考培优专题用待定系数法求二次函数解析式(含答案)
最新试卷
中考培优专题
用待定系数法求二次函数解析式（含答案）
一、单选题（共有3道小题）
1.函数20yaxa,（）的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ）
A.±2 B.－2 C.2 D.3
2.二次函数21,0yaxbxa的图象经过点(1，1)，则1ab 的值是（ ）
A.-3 B.-1 C.2 D.3
3.若抛物线2＝＋＋yxaxb与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1＝x，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A．(－3，－6) B．(－3，0) C．(－3，－5) D．(－3，－1)
二、填空题（共有11道小题）
4.已知二次函数2yax. 若当1x时，2y，那么a=______
5.已知二次函数mxxy2的图象过点（1，3），则m的值为
6.二次函数2axy的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________.
7.已知一条抛物线的形状与22xy相同，但开口方向相反，且与x轴的交点坐标是（1,0）、（-4,0），则该抛物线的关系式是 .
8.若二次函数的图象开口向下，且经过（2,﹣3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为 .
9.若抛物线cbxaxy2的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .
10.已知一条抛物线的开口大小、方向与2xy均相同，且与x轴的交点坐标是（-2,0）、（3,0），则该抛物线的关系式是 .
11.将抛物线221yxx向上平移，使它经过点A(0，3)，则所得新抛物线的表达式为
12.如图，已知抛物线2yxbxc的对称轴为直线1x，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式为
初中数学二次函数的应用培优练习题2(附答案详解)
初中数学二次函数的应用培优练习题2（附答案详解）
1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=﹣15x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+6与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝2x2于B、C两点，则BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．22 D．23
3．一学生推铅球，铅球行进的高度ym与水平距离xm之间的关系为21251233yxx，则学生推铅球的距离为（ ）
A．35m B．3m C．10m D．12m
4．直线5yx22与抛物线21yxx2的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．互相重合的两个
5．如图，隧道的截面是抛物线，可以用y= 21416x表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于4m B．恰好4m C．不小于4m D．大于4m，小于8m
6．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
7．函数2yaxbxc与ykx的图象如图所示，有以下结论：①240bac；②10abc；③9360abc；④当13x时，2()0axbkxc.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高( )
(完整版)初三二次函数专题强化训练及提高测试+详细答案
nd All t g
1初三二次函数专题训练及强化提高一、选择题：1.抛物线的对称轴是（ ）3)2(2xyA. 直线B. 直线C. 直线D. 直线3x3x2x2x2.二次函数的图象如右图，则点cbxaxy2在（ ）),(acbMA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知二次函数，且，，则一定有（ ）cbxaxy20a0cbaA. B. C. D. ≤0042acb042acb042acbacb424.把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式cbxxy2是，则有（ ）532xxyA. ，B. ，3b7c9b15cC. ，D. ，3b3c9b21c 5.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数cxcaaxy)(2的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）caxy O x y A O x y B O x y C O x y D 6.抛物线的对称轴是直线（ ）322xxyA. B. C. D. 2x2x1x1x O x y re goo
27.二次函数的最小值是（ ）2)1(2xyA. B. 2C. D. 1218.二次函数的图象如图所示，若cbxaxy2cbaM24，，则（ ）cbaNbaP4A. ，，0M0N0PB. ，，0M0N0PC. ，，0M0N0PD. ，，0M0N0P二、填空题：9.将二次函数配方成的形式，则322xxykhxy2)(y=______________________.10.已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的cbxaxy202cbxax根的情况是______________________.11.已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.cxaxy21ca12.请你写出函数与具有的一个共同性质：_______________.2)1(xy12xy13.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.14.如图，抛物线的对称轴是，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是，则A1x)0,3(点的坐标是________________. O x y A B 1 1 16题图 三、解答题：1.已知函数的图象经过点（3，2）.12bxxy（1）求这个函数的解析式； （2）当时，求使y≥2的x的取值范围.0x 2 1 -1 O x y and All things in th g
【每日一练】九年级数学：《二次函数》培优习题
【每日一练】九年级数学：《二次函数》培优习题
试题导读
初三数学《二次函数》培优试题，答案在文末。
三、解答题
19. 难度：中等
甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）.
路程（千米） 运费
甲库 乙库 甲库 乙库
A地 20 15 12 12
B地 25 20 10 8
设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.
（1）写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？
（2）如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？
20.
难度：中等
已知二次函数.
（1）在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象；
（2）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式．
21. 难度：中等 进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x元 （x为正整数），每星期的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．
（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？
22. 难度：中等
已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标；
（3）请说明x在什么范围内取值时，函数值y＜0？
23.
难度：中等
已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？
2020-2021学年九年级数学人教版上册第22章二次函数 专项培优习题【含答案】
2020-2021年九年级数学人教版（上）二次函数
专项培优习题
一、选择题（本大题共10道小题）
1. （2021·哈尔滨中考）把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
所得到的抛物线是（ ）A.B.C.D.
2. 若二次函数y＝(m＋1)x2－mx＋m2－2m－3的图象经过原点，则m的值必为( )A．－1或3 B．－1 C．3 D．－3或13. （2020秋•遂川县期末）关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（
）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．不论a为何值，都过定点（1，﹣2）
D．a＞0时，对称轴在y轴的左侧
4. （2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用
房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽
为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．yx2+26x（2≤x＜52）
B．yx2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．yx2+27x﹣52（2≤x＜52）
5. 以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值
范围是( )
A. b≥ B. b≥1或b≤－154
C. b≥2 D. 1≤b≤2
6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a＋c
b2－4ac>0，其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. （2021•江夏区校级模拟）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的
最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9B．8C．1D．8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立
平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-
x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
备战中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010bcbc，解得43bc，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
人教版数学九年级上册 第二十二章 《二次函数》压轴题综合培优训练(含答案)
《二次函数》压轴题综合培优训练
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）判断△ABC的形状；
（2）过点C的直线y＝交x轴于点H，若点P是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P作PQ∥y轴交直线CH于点Q，作PN∥x轴交对称轴于点N，以PQ、PN为邻边作矩形PQMN，当矩形PQMN的周长最大时，在y轴上有一动点K，x轴上有一动点T，一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度沿R→K→T的路径运动到点T，再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到B点处停止运动，求动点G运动的最少时间及此时点T的坐标；
（3）如图2，将△ABC绕点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，点A、C的对应点分别为A′、C′，且点C′恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC′．点E是y轴上的一个动点，连接AE、C′E，将△AC′E沿直线C′E翻折为△A″C′E，是否存在点A′，使得△BAA″为等腰三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）△ABC是以AC为底的等腰三角形．理由如下：
由题意知抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴令x＝0，解得y＝；令x＝0，解得：x1＝，x2＝4；
∴A（，0），，； ∴AC2＝AM2+MC2＝＝30，
BC2＝OB2+OC2＝＝75，
AB2＝（OA+OB）2＝＝75
∴AB＝BC
∴△ABC是以AC为底的等腰三角形．
（2）如图1中，过点C的直线y＝交x轴于点H，
令y＝0，解得x＝，
∴
设P（m，﹣﹣3），则Q（m，﹣3），
∵y＝＝﹣
∴抛物线对称轴为：直线x＝，
∴QP＝（﹣3）﹣（﹣﹣3）＝﹣+，NP＝m﹣，
∴矩形PQMN的周长C矩形PQMN＝2（QP+NP）＝2（﹣+﹣）＝+
∵﹣＜0，开口向下，
∴当m＝3时，C矩形PQMN最小，此时，P（3，﹣3），
2020年中考数学培优专练：二次函数图像和性质(含答案)
2020年中考数学培优专练：二次函数图像和性质（含答案）
一、单选题（共有10道小题）
1.抛物线247yxx的顶点坐标是（ ）
A．(2，-11) B．(-2，7) C．(2，11) D．(2，-3)
2.把抛物线23yx先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A.2332yx B.2322yx
C.2332yx D.2332yx
3.若抛物线22yxxc与y轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）
A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1
C.当x=1时，y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。
4.如图，二次函数2,0yaxbxca的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为1x，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（ ）
①20ab；
②420abc-；
③0ac；
④当0y时，1x－或2x．
A．1 B．2 C．3 D．4
5.将抛物线216212＝－＋yxx向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )
A．21(8)52＝－＋yx B．21(4)52＝－＋yx C．21(8)32＝－＋yx D．21(4)32＝－＋yx
6.已知二次函数²,0yaxbxcc的图象如图所示，下列说法错误．．的是
( )
A.图像关于直线1x对称
B.函数²,0yaxbxcc的最小值是－4
C.－1和3是方程²0,0axbxcc 的两个根
D.当1x时，y随x的增大而增大 CAB-1x=1xyO-11-4xyO
7.对于二次函数22yxx，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（
哈尔滨中考数学二次函数(大题培优)
哈尔滨中考数学二次函数(大题培优)
一、二次函数
1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
103bcc
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用
一、单选题
1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数（为𝑦=𝑥2
−𝑥+𝑐𝑐
常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）−2<𝑥<4𝑐
A．B．C．D．−2<𝑐<1
4−4<𝑐<9
4−4<𝑐<1
4−10<𝑐<9
4
2．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点𝑦=𝑘𝑥+2𝑦=𝑘𝑥+2𝑦=𝑥2
−2𝑥+3
个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
3．抛物线 （其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段 𝑦=𝑥2
+𝑏𝑥+𝑐
（ ）有交点，则c的值不可能是（ ） 𝑦=2𝑥−11≤𝑥<3
A．5B．7C．10D．14
4．函数y=ax+b和y=ax
2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A
．B
．
C
．D
．
5．已知0＜x＜1，10＜y＜20，且y随x的增大而增大，则y与x的关系式不可以是（ ）
A．y＝10x+10B．y＝﹣10（x﹣1）2+20
C．y＝10x2+10D．y＝﹣10x+20
6．在同一坐标系中，函数y=ax
2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（ ）
A
．B
．
C
．D
．
7．对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整
数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
8．将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图𝑦=−𝑥2
+2𝑥+3
所示.当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ） 𝑦=𝑥+𝑏
A． 或 B． 或 −21
4−3−13
4−3
C． 或 D． 或 21
4−313
4−3