初中数学 四边形的折叠与剪拼试题赏析
中考数学压轴题分析：平行四边形折叠与面积问题
中考数学压轴题分析：平行四边形折叠与面积问题本文内容选自2021年临沂中考数学压轴题。
本题以正方形为背景，将正方形进行折叠，得到一个十字模型。
再结合半角模型与四点共圆。
图形比较典型，值得探究。
【中考真题】（2021·山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF （F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD 于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【分析】（1）由垂直想到直角三角形，由中点想到倍长。
因此可以分别延长ED与BF并交于一点，利用全等与直角三角形斜边中线的性质进行解决。
当然，也可以取BE的中点，构造梯形的中位线进行求解。
（2）有了（1）中的结论，可以考虑连接CC′，那么根据斜边中线的性质的逆定理可以得到CC′与DG垂直，再根据轴对称的性质，可以得到BF垂直平分CC′，那么就可以得到四边形BFDG为平行四边形，进而得到G为AB的中点。
（3）由平行四边形的面积与边长，可以得到对应边上的高。
那么就可以得到BH为4，进而得到A′H=1，也可以根据勾股定理得到CH=√5。
那么再根据△BCH与△NA′H相似，可以得到AH与NH的长。
先求出△AMB或△A′MB的面积，再减去△A′HN的面积即可。
【答案】解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DFCD，∴BGAB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB·DJ，∴DJ4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tanA2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x，∴MT，∵tanA＝tanA′2，∴NH＝2，∴5，∴1×2．。
四边形的折叠与剪拼试题赏析.doc
四边形的折叠与剪拼试题赏析由于特殊的四边形具有许多的特殊性，所以命题专家常在中考命题时将特殊四边形设计为折叠或剪拼型试题，以考查同学们的动手操作、探究创新的能力．为方便同学们的学习，现以中考试题为例说明如下：一.折叠问题例1 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（）A. 70°B. 65°C. 50°D. 25°解析:∵AD ∥BC ,∴∠DEF =∠EFB ＝65°,由折叠性质可知, ∠D ′EF=∠DEF ＝65°,∴∠AED ′=180°-2∠DEF = 50°,故本题应选 C.评注:求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．例2 如图2,矩形纸片ABCD 中，AB=4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为()A.1B.43C.32D.2解析:本题以矩形为依托,利用折叠提出问题,这种在中考中屡有出现.在解答本题时,首先要了解矩形的性质,同时要注意在折叠过程中只是部分图形的位置发生了变化,而形状和大小关系没有改变.解答时可以先利用勾股定理算出DB =5.由折叠可知3,2,A DAD A B 设4AGA Gx BGx ，，利用勾股定理列方程得:22224xx,解之得:32x.评注:有关折叠问题的计算通常要想到直角三角形，利用勾股定理构造出方程求解．二.裁剪问题例3 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是A ．B ．C ．D ．CBDAGA图2EDBC ′FCD ′A图1解析:由于折叠的图形是正方形，所以经过两次折叠后得到的是一个等腰直角三角形，且直角的顶点是原来正方形对角线的交点，腰是正方形对角线的一半，又等腰三角形中剪去的图形是三个圆孔，那么所剪的三个圆孔的圆心所在的直线平行于等腰直角三角形的斜边(即正方形边)，而且展开后应为12个圆孔,所以观察图形只有D 图形符合要求，故应选D ．评注:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”．我们知道，通过动手实践获取知识,并且了解知识发生的过程，其效果胜于直接吸收书本知识,本题以学生信手拈来的纸片为道具,通过纸条的折叠考查对称思想,真正体现了动手实践的教学理念.例4 如图3，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm 解析:本题是在动手操作的基础上考查菱形的性质，具有一定的灵活性.在解答过程中,要理解菱形的对角线把菱形分割成了四个全等的直角三角形，其面积实际上就是剪下的直角三角形的面积的四倍.所以面积为:1544402.也可根据题意得AC=8,BD=10.面积为1810402.评注:通过对本题的操作，不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．ABCD图3动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。
中考数学考点剖析24 图形的折叠与剪拼_答案
专题24 图形的折叠与剪拼例110例2 A 提示：作RE⊥y轴于E，RF⊥x轴于F，则Rt△QRE∽Rt△PRF，从而，设R(x，y)，又PR＝OP＝3，QR＝OQ＝6，于是，得x＝，y＝．例37 提示：过F作FM⊥BC于M，证明△FGM≌△ADE，则FG＝AE＝13，DE＝5例4（1）OP＝6－t，OQ＝t＋（2）D(1，3)（3）①PQ能与AC平行，若PQ∥AC，则，即＝．得t＝，而0≤t≤，∴t＝．②PE不能与AC垂直．若PE⊥AC，延长QE交OA于F，则，即，QF＝(t＋)．∴EF＝QF －QE＝QF－OQ＝(t＋)－(t＋)＝(－1)t＋(－1)．又Rt△EPF∽Rt△OCA，∴，即，t≈3.45，而0≤t≤，∴t不存在．例5（1）10个正方形的面积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．因为所拼成的长方形面积是3055．长方形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提示：（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a-x.在Rt△DEM 中，∠D=90°，∴,DE-2.+,DM-2.=,EM-2.，∴,x-2.+,,,a-2..-2.=，∴，EM=,5-8.a，∴DE：DM：EM=：：,5-8.a=3:4:5（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.,△CMG周长-△DEM周长.=,CM-DE.=,x-y.△CMG的周长，在△DEM中，由勾股定理得,（2a−y）-2.=,y-2.+,（2a−x）-2.，化简得4ay=x （4a-x）即. ∴△CMG的周长=,4a-4a−x.∙（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.,65-6. 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提示：长方形纸片折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。
第五节 折叠与剪拼(含答案)...八年级数学 学而思
第五节折叠与剪拼1.图形的折叠是指把某个图形或部分沿直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变．2.折叠问题的实质是轴对称折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，3.图形的分割就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．4.图形的拼合就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，得到一个新的图形，5.图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变．图形折叠与剪拼问题可考查我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与想象结合起来．1.翻折四部曲(1)翻折问题的本质是轴对称全等，首先还原原图形；(2)对应点的连线被折痕垂直平分；(3)折痕问题易出等腰三角形；(4)计算线段或面积用勾股定理．2.把图形分割成面积相等的几部分（等面积）(1)三角形：任意一边的中线，如图8 - 5-18--555-8-8--48-51-25-38-5(2)四边形：①平行四边形：过对角线交点0的任意一条直线；如图8-5-2所示．②梯形：取上下底中点E，F，连EF，取EF中点0(或中位线中点O)，过点0且与上下底相交的任意一条直线，如图8-5-3所示．③普通四边形658-- 758--方法一：如图8-5-4所示，先用折线等分面积，再利用等积变换，连结BD ，取BD 中点E ，连结AE ，CE ，AC ．过点E 作AC 的平行线EF 交BC 于点F ．则AF 为所求；方法二：如图8-5-5所示，先将四边形转化成三角形．连结AC ，过点D 作DE//AC 交BC 延长线于点E ，连结AE ，取BE 中点F ．连结AF ，AF 为所求．(3)五边形：如图8-5-6所示，连结AC ．作BM∥AC，连接AM ，AD ，过点E 作EN∥AD．连接AN ．取MN 中点F ，连接AF ，AF 为所求，3. 按要求分割把图形分割成满足特定要求的几部分，如：把一个三角形分割成两个三角形，只有符合下列条件之一的三角形才能被分割成两个等腰三角形：①一个角等于;90ο②一个角是另一个角的2倍（三个角为);45,31802οο≤-ββββ，，③一个角是另一个角的3倍，如图8-5-7所示．4.图形的剪拼实质是图形的新组合，位置变化但面积不变 解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，结合全等三角形、勾股定理、等面积法、方程思想来解题．例1．（江苏无锡中考）如图8-5-8，ABC Rt ∆中，,90ο=∠ACB ,4,3==BC AC 将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B 处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E ，F ，则线段BF 的长为( )53.A 54.B 32.C 23.D858--检测1.（北京门头沟一模）如图8-5-9所示，把矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，如果,8,4==BC AB则BE 的长为958-- 1058-- 1158--例2．如图8-5-10所示，将边长为cm 12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为,8cm 则MN 的长为( )cm A 12. cm B 225.cm C 104. cm D 227.检测2.如图8 -5 - 12所示，在平行四边形ABCD 中，,70ο=∠A 将平行四边形折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E处（点F ，E 都在AB 所在的直线上），折痕为MN ，则AMF ∠等于( )ο70.A ο40.B ο30.C ο20.D1258--第五节 折叠与剪拼(建议用时30分钟)实战演练1．如图8-5-1所示是一张矩形纸片,10,cm AD ABCD =若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若,6cm BE =则=CDcm A 4. cm B 6. cm C 8. cm D 10.2．如图8-5-2所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置．若,65ο=∠EFB 则AED ∠等于( )ο70.A ο65.B ο50.C ο25.D158-- 258-- 358-- 458-- 558--3．如图8-5-3所示，把一个长为m 、宽为n 的长方形)(n m >沿虚线剪开，拼接成图8-5-4，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为( )2.nm A - n m B -. 2.m C 2.n D4．如图8-5-5所示，矩形纸片ABCD 中，,3,4==AD AB 折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为( )1.A 34.B 23.C 2.D5．如图8-5-6所示，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处．点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是( )．cm A 3. cm B 4. cm C 5. cm D 6.6．如图8-5-7所示，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF.若,6=CD 则AF 等于( )34.A 33.B 24.C 8.D658-- 758-- 858--7．如图8-5-8所示，在矩形ABCD 中，P ，Q 分别是边AD ，BC 的中点，沿过点C 的直线折叠矩形ABCD ，使点B 落在线段PQ 上的点F 处，折痕交AB 边于点E ，交线段PQ 于点G.若BC 的长为3，则线段FG 的长为( )2.A 23.B3.C 233.D8．（北京西城二模）有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中.90ο=∠B 按如图8-5-9所示的方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC 中，若,1651ο=∠则2∠的度数为958-- 1058-- 1158-- 1258--9．如图8 -5 - 10所示，在矩形ABCD 中，.6,12cm BC cm AB ==点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ．D 分别落在矩形ABCD 外部的点D A ,处．则整个阴影部分图形的周长为 10.将矩形纸片ABCD 按如图8-5 -11所示的方式折叠，AE ，EF 为折痕，AB BAE ,30ο=∠,3=折叠后，点C 落在AD 边上的1C 处，并且点B 落在1EC 边上的1B 处．则BC 的长为11．如图8 -5 -12所示，将边长为12 cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若FG 的长为13 cm ，则线段CE 的长为 cm. 12.如图8-5 - 13所示，一张矩形纸片ABCD ，其中,6,8cm AB cm AD ==先沿对角线BD 对折，点C 落在点C 的位置，BC 交AD 于点G ． (1)求证：;CG AG =(2)如图8-5 -14所示，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长．1358-- 1458--拓展1．（陕西中考）将一个无盖正方体纸盒展开（如图8 -5 - 22所示），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图8 -5 - 23所示）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是 ．2258-- 2358--拓展2．一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？请写出一种折法，并简要说明折法的正确性，极限挑战15.（上海市竞赛题）如图8-5 - 24所示．EF 为正方形ABCD 的对折线，将A ∠沿着DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则DKG ∠的度数是-8-524答案。
初三复习 数学几何中折叠问题 4大类 分类 含答案
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ， 由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形， 在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）． 则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm ， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
八年级数学竞赛例题专题-图形的折叠与剪拼
八年级数学竞赛例题专题-图形的折叠与剪拼专题24 图形的折叠与剪拼阅读与思考图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质：①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是对应点连线的中垂线.例题与求解【例1】如图，矩形ABcD中，AB＝8，Bc＝4，将矩形沿Ac折叠，点D落在处，则重叠部分△AFc的面积为＿＿＿＿＿.例1题图例2题图解题思路：△AFc的高为Bc，只需求出AF，注意到＝，AF＝Fc【例2】如图，直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，把△PoQ沿PQ翻折，点o落在R处，则点R的坐标是A.B.c.D.解题思路：过点R作x轴，y轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求得点R的坐标.解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.【例3】如图，将边长为12c的正方形ABcD折叠，使得A点落在cD边上点E处，然后压平折痕FG，若FG＝13c，求cE长.解题思路：由折叠可得A与E关于FG对称，则FG⊥AE，可证明FG＝AE，这是解本例的关键.【例4】将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为．用含的代数式表示；当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．解题思路：对于，假设能，由比例线段求出t的值，关键是看相应t的值是否在t的取值范围.折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.【例5】用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.求这个长方形的长和宽；请画出拼接图.解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.【例6】将正方形纸片ABcD折叠，使顶点A与cD边上的点重合，折痕交AD 于E，交Bc于F，边AB折叠后与Bc交于点G.如果为cD边的中点，求证：DE：D：E＝3：4：5；如果为cD边上的任意一点，设AB＝2a，问△cG的周长是否有与点的位置关系？若有关，请把△cG的周长用含c的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．解题思路：折痕EF两旁部分图形是关于EF成对称的，对于，通过相似三角形性质，把△cG的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.对于例6，如图，当为cD边上的中点，则有，即G为Bc的三等分点，这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺定理.作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论：无论怎样折叠，若点落在cD上，则G＝D＋BG；无论怎样折叠，若点落在cD上，连A，GA，则∠AG＝450.能力训练如图，在矩形ABcD中，AB＝6c，Bc＝8c，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿c.如图，矩形ABcD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.如图，EF为正方形纸ABcD的对折线，将∠A沿D折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DG＝_______度.如图，已知等边△ABc中，点D，E分别在边AB，Bc上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边Ac于点F，G，若∠ADF＝，则∠EGc的度数为________.第4题图第5题图第6题图将一张长为70c的长方形纸片ABcD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与cD间的距离为60c，则原纸片的宽AB是______c.如图，在矩形纸片ABcD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线Ac重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF ＝3，则AB的长为A.3B.4c.5D.6如图，在△ABc中，∠c＝900，Bc＝6，D，E分别在AB，Ac上，将△ABc沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为cE的中点，则折痕DE的长为A.B、2c、3D、4第7题图第8题图第9题图如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.10、如图，折叠矩形纸片ABcD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折线DG，若AB＝2，Bc＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABcD的一边AD，使点D落在Bc边上的点F处，已知折痕，求矩形ABcD的周长.12、如图1，一张矩形纸片ABcD，其中AD＝8c，AB＝6c，先沿对角线BD对折，点c落在点c′处的位置，Bc′交AD于点G.求证：AG＝；如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点，求E的长.B级如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABcD，先沿对角线BD对折，点c落在c′的位置，Bc′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点，则E的长为__________.如图，矩形纸片ABcD中，AB＝3c，Bc＝4c，现将A，c 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.第1题图第2题图第3题图如图，矩形ABcD沿直线BD折叠，使点c落在c′处，Bc′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.如图，把矩形纸片oABc放入平面直角坐标系中，使oA，oc分别落在x轴上，y轴上，连结Ac，将矩形纸片oABc沿Ac折叠，使点B落在点D的位置，若B，则点D的横坐标是______.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点c是y轴上一点，把坐标平面沿直线Ac折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点c的坐标是_________.第4题图第5题图第6题图如图，矩形纸片ABcD，AB＝5c，Bc＝10c，cD上有一点E，ED＝2c，AD上有一点P，PD＝3c，过P作PF⊥AD交Bc 于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____c.在三角形纸片ABc中，已知∠ABc＝900，AB＝6，Bc＝8，过点A作直线l平行于Bc，折叠三角形纸片ABc，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为N，当点T在直线l上移动时，折痕的端点，N也随之移动，若限定端点，N分别在AB，Bc边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为__________如图，矩形纸片ABcD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF的长.9、如图，已知三角形纸片ABc 的面积为25，Bc的长为10，∠B，∠c都为锐角，是AB边上的一动点，过点作N∥Bc交Ac于点N，设N＝.使点B落在AD边上的点处，点c落在点N处，N与cD 交于点P，连结EP.如图②，若为AD边的中点，①△AE的周长＝_________c；②求证：EP＝AE＋DP；随着落点在AD边上取遍所有的位置，△PD的周长是否发生变化？请说明理由.如图1，在矩形ABcD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，再将纸片还原.当时，折痕EF的长为________；写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；令＝y，当点E在AD上、点F在Bc上时，写出y与x 的函数关系式，当取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似．若相似，求出的值；若不相似，请说明理由.。
初中绝招数学-四边形中的折叠问题
四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）（1）证明：由题意可知21∠=∠，∵AD ∥BC , ∴31∠=∠. ∴32∠=∠. ∴MF ME = 同理 FM FN =. ∴FN ME =. 又∵ME ∥FN ,∴四边形MNFE 是平行四边形.（2）60例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.（1）证明：由题意可知△AB C ≌△ACD ≌△ACE, 所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC 是等腰三角形； （2）解：设CF=AF=x ，且AD=BC=6,CD=AB=4 Rt △CDF 中，DF=AD-AF=6-x 由勾股定理得，2224(6)x x +-= 133x =ABC DABC D6-x=53Rt △ABC 中，AC=213 △FAC 的周长=263+213 △FAC 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的面积=263例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 解：由题意可知△ADE ≌△AFE . ∴AF AD =，FE DE =.在矩形ABCD 中，16==AB CD ，CB AD =，︒=∠=∠=∠90D C B ,∵6=CE ,∴10=-==CE CD DE EF .在Rt △CEF 中，822=-=CE EF FC .设x BF =，则x BF FC BC +=+=8, ∴x BC AD AF +===8.在Rt △ABF 中，222AF BF AB =+, 即222)8(16x x +=+,解得 12=x ，即12=BF （cm ）.例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明．（1）证明：根据题意可知CDE C DE '△≌△，CD C DC DE CDE CE C E '''∴===，，∠∠． AD BC ∥，C DE CED '∴=∠∠．CDE CED ∴=∠∠．CD CE ∴=． CD C D C E CE ''∴===．∴四边形CDC E '为菱形．（2）解：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形． 证明：由（1）知CE CD =．又BC CD AD =+，BE AD ∴=．又AD BE ∥，∴四边形ABED 为平行四边形．FEDCB A。
初二数学四边形的折叠问题技巧
初二数学四边形的折叠问题技巧摘要：1.引言2.四边形折叠问题的基本概念3.解题步骤与技巧4.常见题型分析5.总结与建议正文：【引言】四边形的折叠问题一直是初二数学中的热点和难点，很多同学在面对这类问题时感到无从下手。
其实，只要掌握一定的解题技巧和方法，四边形的折叠问题就可以变得不再神秘。
本文将为你详细解析四边形折叠问题的解题技巧，助你轻松应对这类题目。
【四边形折叠问题的基本概念】四边形折叠问题是指在平面几何中，将一个四边形通过折叠变换成为一个平面图形，并在此基础上求解相关问题。
这类问题主要包括四边形的折叠、展开、切拼等操作，以及与这些操作相关的性质和定理。
【解题步骤与技巧】1.分析题意：首先要对题目进行仔细阅读，了解题目所给出的条件和要求。
2.画图辅助：对于复杂的题目，可以通过画图来辅助理解和解题。
画出四边形折叠后的图形，有助于找出解题的关键信息。
3.寻找关系：分析题目中所给条件，找出四边形折叠前后的关系，如对应边相等、对应角相等等。
4.运用定理和公式：根据找出的关系，运用相关定理和公式进行计算和证明。
5.归纳总结：在解题过程中，要不断总结经验和规律，以便在遇到类似题目时能够迅速找到解题思路。
【常见题型分析】1.四边形折叠后的对边相等问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对边相等，可以通过这一性质求解相关问题。
2.四边形折叠后的角度问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对应角相等，可以通过这一性质求解相关问题。
3.切拼四边形问题：通过对四边形进行切拼操作，将其变为已知图形，进而求解相关问题。
【总结与建议】四边形的折叠问题虽然看似简单，但实际上涉及到的知识点较多。
要想掌握这类问题，需要同学们在平时的学习中多加练习，熟练掌握相关定理和公式。
同时，要善于总结经验和规律，提高解题速度。
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四边形的折叠与剪拼试题赏析由于特殊的四边形具有许多的特殊性，所以命题专家常在中考命题时将特殊四边形设计为折叠或剪拼型试题，以考查同学们的动手操作、探究创新的能力．为方便同学们的学习，现以中考试题为例说明如下：一. 折叠问题例1 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）A . 70°B . 65°C . 50°D . 25°解析:∵AD ∵BC ,∵∠DEF =∠EFB ＝65°,由折叠性质可知, ∠D ′EF =∠DEF ＝65°, ∵∠AED ′=180°-2∠DEF = 50°,故本题应选C .评注:求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．例2 如图2,矩形纸片ABCD 中，AB =4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为( )A .1B .C .D .2解析:本题以矩形为依托,利用折叠提出问题,这种在中考中屡有出现.在解答本题时,首先要了解矩形的性质,同时要注意在折叠过程中只是部分图形的位置发生了变化,而形状和大小关系没有改变.解答时可以先利用勾股定理算出DB =5.由折叠可知设利用勾股定理列方程得:,解之得:. 评注:有关折叠问题的计算通常要想到直角三角形，利用勾股定理构造出方程求解． 二.裁剪问题例3 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是43323,2,A D AD A B ''===4AG A G x BG x '===-，，()22224x x +=-32x =A ．B ．C ．D ．CBDAG图2EDBC′ FCD ′A 图1解析:由于折叠的图形是正方形，所以经过两次折叠后得到的是一个等腰直角三角形，且直角的顶点是原来正方形对角线的交点，腰是正方形对角线的一半，又等腰三角形中剪去的图形是三个圆孔，那么所剪的三个圆孔的圆心所在的直线平行于等腰直角三角形的斜边(即正方形边)，而且展开后应为12个圆孔,所以观察图形只有D 图形符合要求，故应选D ．评注:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”.我们知道，通过动手实践获取知识,并且了解知识发生的过程，其效果胜于直接吸收书本知识,本题以学生信手拈来的纸片为道具,通过纸条的折叠考查对称思想,真正体现了动手实践的教学理念.例4 如图3，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．解析:本题是在动手操作的基础上考查菱形的性质，具有一定的灵活性.在解答过程中,要理解菱形的对角线把菱形分割成了四个全等的直角三角形，其面积实际上就是剪下的直角三角形的面积的四倍.所以面积为:.也可根据题意得AC =8,BD =10.面积为.评注:通过对本题的操作，不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．210cm 220cm 240cm 280cm 1544402⨯⨯⨯=1810402⨯⨯=ABCD图3动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。
一、从三角形纸片中折出菱形例1、将一张三角形的纸片ABC 按照如下的折叠步骤进行折叠：（1）将三角形的纸片ABC 沿过B 点的某条直线折叠，使BC 与BA 重合，得到折痕与AC 的交点D 。
（2）再将三角形的纸片ABC 沿某条直线折叠，使点B 与点D 重合，得到折痕与BA 、BC 的交点E 、F 。
则四边形EBFD 是菱形。
分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。
本题说明四边形EBFD 是菱形的方法很多，下面一一予以说明。
解：由第一步折叠可知：∠ABD =∠CBD ，由第二步折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BE =DE ，DF =BF ，OD =OB ，∴∠ABD =∠EDB ． ∴∠EDB =∠CBD ．又∴∴EOD =∴FOB ，∴∴EOD ∴∴FOB ，∴DE =BF ． ∴ BE =DE =DF =BF ．∴四边形EBFD 是菱形（四边相等的矩形是菱形）． 二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸ABCD 按照如下的折叠步骤进行折叠：将矩形的纸片ABCD 沿某条直线折叠，使点B 与点D 重合，得到折痕与AD 、BC 的交点E 、F 。
则四边形EBFD 是菱形。
分析：虽然纸片不同，但方法同例1一样，说明四边形EBFD 是菱形的方法还有很多，下面只选一种予以说明。
解：由折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BE =DE ，DF =BF ，OD =OB ， ∴∠EBD =∠EDB ．∴四边形ABCD 是矩形，∴AD ∴BC ，∴∴EDB =∴FBD ，O图1O又∴∴EOD=∴FOB，∴∴EOD∴∴FOB，∴DE=BF．∴BE=DE=DF=BF．∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．多边形折叠的新变化因折叠型试题对考生的能力（动手能力、想象能力、综合运用知识的能力等）要求较高，故近几年全国各地的中考题中，形式新颖、结构独特、解法灵活的折叠题倍受命题者青睐。
翻阅2008年的中考试卷，不难发现此类试题的新变化。
一、由一次、二次折叠向多次折叠变化［例1］如图（1）（2）所示，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图（3）中的虚线AB剪下，将△AOB 完全展开。
（1）画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；（2）若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出△AOB应满足的条件。
思路分析（1）紧扣折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，是解折叠题的主要依据，其思维过程和操作程序如下（自右到左）：（2）最快、最可靠的方法是利用草稿纸动手折一折，中间的菱形立即跃然纸上。
解：（1）展开图如图（4）所示，它是菱形证明：由操作过程可知OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵OA⊥OB，即AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形（2）△AOB中，∠ABO=45°（或∠BAO=45°或OA=OB）经验提升（1）在考试中，不必“沿图（3）中的虚线AB剪下”（没有剪刀，难以操作），只须沿AB 再折一次，完全展开后可发现长方形纸片中间是一个菱形，因此，此题可看作是3次折叠。
［例2］将一张纸片沿任一方面翻折，得到折痕AB（如图1），再翻折一次，得到折痕OC（如图2），翻折使OA与OC重合，得到折痕OD（如图3），最后翻折使OB与OC重合，得到折痕OE（如图4），展开恢复成图1，则∠DOE的大小是___________度。
思路分析此题共有4次折叠，前两次折叠没有特别的限制条件，第3次折叠“使OA与OC重合”，可知折痕OD是图（2）中∠AOC的角平分线，第4次折叠由“OB与OC重合”，可知折痕OE是图（3）中∠BOC 的角平分线，展开恢复成图1，∠AOB是一平角，故可知，两条角平分线的夹角为90°。
解填90°。
经验提升折叠次数多、图形较复杂，不易看出各个角之间关系，如果想不到上面的分析思路，那么折紧时间动手一试，便见分晓。
二、由四边形折叠向五边形、六边形折叠变化［例3］将五边形ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E'、D'，已知∠AFC=76°，则∠CFD'等于（）A.31°B.28°C.24°D.22°思路分析图中的四边形AEDF与四边形AE'D'F是全等形，故有∠AFD=∠AFD'因为∠AFC＋∠AFD=180°，若设∠CFD'=x°则∠AFD=∠AFD'=76°＋x°故可列方程求x。
解：设∠CFD'=x°，由题意得，解之，得x =28所以∠CFD '=28°，应选B 。
经验提升 一般情况下，一次折叠题无须动手折叠，但要抓住折叠的本质特征——折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称（或折叠前后的两个图形全等），此外，挖掘隐含条件——∠CFD 是平角，是解决此例的关键。
180)x 76(76=++折叠梯形 全等立功用全等的方法解决梯形中的这类折叠问题，可以达到事半功倍的效果。
下面举几例，供同学们参考。
例1、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠ABC =720，现平移腰AB 至DE ，再将△DCE 沿DE 对折，得△，求的度数。
分析：利用等腰梯形的性质可得△CDE 为等腰三角形，∠C =∠DEC =720，根据△DCE ≌△可得，∠C =∠，∠CED =∠ED ，在△中，利用三角形的内角和定理就能求出的度数。
解：由题意可得△DCE ≌△ ∴∠C =∠，∠CED =∠ ∵四边形ABED 为平行四边形 ∴AB =DB 又∵AB =CD ∴CD =DE ∴∠C =∠DEC∵梯形ABCD 为等腰梯形， ∴∠ABC =∠C =720， ∴=720在△中，=答：的度数为360。
例2、如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为BC 边上的点。
将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折叠，使△ABD 与△EBD 重合。
若∠A =1200，AB =4cm ，求梯形ABCD 的高CD 的长。
分析：因为△ABD ≌△EBD ，所以∠A =∠BED =1200， 易得四边形ABED 为平行四边形，所以可得DE =AB =4。
在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求得CD 的长。
解：由题意得△ABD ≌△EBD ， ∴∠A =∠BED =1200， ∴∠DEC =600. ∵AD ∥BC ，∠A =1200， ∴∠ABC =600， ∴∠DEC =∠ABC =600 ∴AB ∥DE ,又∵AD ∥BC ∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴DE =AB = 4 在Rt △CDE 中, ∵∠DEC =600 ∴∠CDE =300 CE =DE =2 则CD . 答：梯形ABCD 的高CD 的长是.例3、如图3，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD >CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在点处，'DC E 'EDC ∠'DC E 'C 'C 'C DE 'EDC ∠'DC E 'C 'C ED ''C DEC ∠=∠'C DE 'EDC ∠0000180727236--='EDC ∠122216423()DE CE cm -=-=23cm 'C折痕DE交BC于点E，连结E。