金融数学课件(电子科大)
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金融数学ppt课件
考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期 权的内在价值为V(T)=g(P(T));
设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值, 利用Ito公式可得到如下Black-Scholes方程
终V t端(t,条x 件) r V(T x x( ,tx,)x V ) g(1 2 x)2 x 2 V x(t x ,x ) r( V t,x () 5.2)
解上述联立方程可得
0 V S 1 1 ( ( H H ) ) V S 1 1 ( ( T T ) ) ,V 0 1 1 r 1 u r d d V 1 ( H ) u u ( 1 d r ) V 1 ( T ) *
注
0 称为套期保值比。 注意若取
向量自回归模型及其应用 14
1.投资组合理论简介
在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种 不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投 资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证 券投资组合。
证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好， 组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情 形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最 优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的 期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。
15
Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券 组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问
题
mi
n2p
mi w
nwTw
s.t. 1Tw1
E(Xp) E(X)Tw
解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最 优资产组合的方差为
p 2 a 2 2 b c
诺贝尔经济奖简介（3）
2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。
金融数学完整课件全辑
风险管理政策
制定明确的风险管理政策和流程，确保业务 操作的合规性。
危机应对计划
制定应对重大风险的应急预案，确保在危机 发生时能够迅速、有效地应对。
05
投资组合优化
马科维茨投资组合理论
总结词
该理论是现代投资组合理论的基石，它通过 数学模型和优化技术，为投资者提供了构建 最优投资组合的方法。
详细描述
债券是一种常见的固定收益证券，其价格与利率之间存在密切关系。债券定价模型用于确定债券的理 论价格，通常基于现值计算方法。不同类型的债券（如国债、企业债等）具有不同的风险和收益特征 ，因此需要采用不同的定价模型。
复杂衍生品定价
总结词
概述了复杂衍生品定价的难点和方法， 包括信用衍生品、利率衍生品和商品衍 生品等。
数据清洗
对数据进行预处理，去除异常值、缺 失值和重复值，提高数据质量。
数据存储
采用分布式存储系统，高效地存储和 管理大规模金融数据。
数据可视化
通过图表、图像等形式直观地展示数 据分析结果，帮助用户更好地理解数 据。
机器学习在金融中的应用
风险评估
信贷审批
利用机器学习算法对历史金融数据进行分 析，预测未来市场走势和风险状况。
微积分
微积分是研究函数、极限、导数和积 分的数学分支。在金融领域，微积分 用于计算金融衍生品的价格和风险度 量。
线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵和 向量空间的数学分支。在金融领域， 线性代数用于数据处理、模型建立和 优化问题求解等方面。
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
详细描述了期权定价模型的基本原理、应用场景和优缺点。
通过机器学习模型对借款人的信用状况进 行评估，提高信贷审批的效率和准确性。
金融数学完整课件
金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。
与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。
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一、金融与金融数学
金融数学 是金融经济学的数学化。金融经济学的主要 研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通 过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。
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二、金融数学的发展历程
第二个时期为1969-1979 年：
这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人 物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔 斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、罗斯 （Ｓ.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克 (S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。
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补充： 金融数学基础
第一节 微积分在数理金融中的应用 第二节 线性代数在数理金融中的应用 第三节 随机过程在数理金融中的应用
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第三节 随机过程在数理金融中的应用
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
20பைடு நூலகம்0/3/10
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二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果 频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
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金融数学 第 (5)节51页PPT
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
金融数学 第 (5)节
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
Hale Waihona Puke •28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
《金融数学》ppt课件(1-2)利息度量
重新整理得
1-
d
1
d (m) m
m
d
1-
1
d (m) m
m
d(m)
1 1
m1-(1-d)mm1-vm
a
20
Example：Find the present value of $1000 to be paid at the end of six year at 6% per annum payable in advance and convertible semiannually.
i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息 d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息
a
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思考题
某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利 率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。 请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利 率不变，为0.72%。 1年按360天计算，每月按30天计算。
a
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回顾：
年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。
名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长 强度（月平均）。
问题：
哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实 际利率？
如何度量资金在每一个时点上的增长强度？
在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了 资金在一个时点上的增长强度。
a
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nominal annual rate of discount is 10%
Compounding times per year 1(每年)
2(每半年) 4(每季) 12(每月) 52(每周)
金融数学课件资料PPT课件
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若 g>i，则债券溢价发行；
若g< i，则债券折价发行。
债券的价格取决于各期票息的现值和赎回值的现 值。由于债券买价经常低于或者高于赎回值，因 而投资者在赎回日就有利润或者亏损，该利润或 者亏损在计算到期收益率时就反映在债券收益率 中。因此，应该将每期票息分成利息收入和本金 调整两个部分。
一般的，若面值不是1,是C，表中各值乘以 Ｃ即可．
溢价摊销 折价积累
例 购买的面值1000元的2年期债券，票息率为每年计息两次 的年名义利率为8%，收益率为每年计息两次的年名义利率 ６%，建立债券分期偿还表。
期次(半年) 0 1 2 3 4
合计
票息
40.00 40.00 40.00 40.00 160.00
用这种方法将债券价值从购买日的买价连续地调 整到赎回日的赎回值。这些调整后的债券价值被 称为债券的账面值。
考虑面值为1，以面值赎回的n期附息债券 在不同时刻的账面值、利息的收入和本金 的调整状况。
记第t期票息中的利息收入为It 记第t时刻的本金调整为Pt 买价记为1+p
期次 票息
(2)溢价/折价公式：
P C [Nr(1 t) Ci]a n 1050 (420.8 10500.05)12.46 814.46
(3) Makeham公式： P K g(1 t) (C K ) i 395.73 0.04 0.8(1050 395.73) / 0.05 814.46
5.1 债券
1、所得税后的债券价格
首先定义如下符号： P：债券价格； N：债券的面值； C：债券的赎回值； r ： 债券的票息率； Nr：票息额；
《金融数学》课件
，防范系统性风险等。
03
金融市场法规
为了实现监管目标，政府或监管机构会制定一系列的金融市场法规，包
括证券法、银行法、保险法等，对市场参与者的行为进行规范和约束。
CHAPTER
06
金融数学案例分析
基于金融数学的资产组合优化
总结词
通过数学模型和优化算法，对资产组合进行 合理配置，实现风险和收益的平衡。
《金融数学》PPT课件
CONTENTS
目录
• 金融数学概述 • 金融数学基础知识 • 金融衍生品定价 • 风险管理 • 金融市场与机构 • 金融数学案例分析
CHAPTER
01
金融数学概述
定义与特点
定义
金融数学是一门应用数学方法来 研究金融经济现象的学科，旨在 揭示金融市场的内在规律和预测 未来的发展趋势。
数值计算方法
数值积分
数值积分是用于计算定积分的近似值的方法，它在金融领域中用于计算期权价格和风险 值等。
数值优化
数值优化是用于寻找函数最优解的方法，它在金融领域中用于投资组合优化和风险管理 等。
CHAPTER
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
描述期权定价模型的基本原理和计算方法。
详细描述
期权定价模型是金融数学中的重要内容，用于确定期权的合理价格。常见的期权定价模型包括Black-Scholes模 型和二叉树模型。这些模型基于无套利原则和随机过程，通过求解偏微分方程或递归公式，得出期权的理论价格 。
金融市场的分类
按照交易标的物，金融市 场可分为货币市场、资本 市场、外汇市场和衍生品 市场等。
金融市场的功能
金融市场的主要功能包括 价格发现、风险管理、资 源配置和宏观调控等。
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k
k 1
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第一节
微积分在数理金融中的应用
一般而言，利率r不是常数，若记rj为时间区间
[jh,(j+1)h]上的定期存款利率，则在时刻t=kh，存款总额为：
A(kh) A(0) (1 rj h)
j 0
k 1
k 1
若h=1， rj=r，则
A(k ) A(0)(1 r )k k 1
有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论 及
动态投资组合理论。
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9
金
融
学
理 论 层 次
宏观金融学
金融数学 金融计量经济学
微观金融学
金 融 决 策
金 融 中 介
中 应 用 层 次 央 银 行 学
货 币 政 策 分 析
金 融 监 管 学
国 际 金 融 学
证 公 金 金 金 金 券 司 融 融 融 风 投 财 市 工 险 资 务 场 程 管 融 资 产 定
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一、金融与金融数学
金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，
是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由
定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证 研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金 融模糊决策向精确化决策发展的结果。
数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。 金融学：研究运作“金钱”事务的科学。 金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。
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第一节
微积分在数理金融中的应用
通常利率是指年利率，活期利率类似于期限为1天的定期，
但它始终是单利。
在美国的利率史上，曾经有过长期利率低于短期利率的例 子，这种情况会在什么情况下出现？ 在经济由高速增长阶段进入衰退阶段时会出现。
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第一节
微积分在数理金融中的应用
汇 率 测 度 与 定 价 模 型
市 场 有 效 性 测 度 与 分 析
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三、金融数学的结构框架
第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法 和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、 概率论、计量经济学在金融数学中的应用。 第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和 期权定价模型。 第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇 市场、证券市场的应用。
必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实
用。
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导论
一、金融与金融数学 二、金融数学的发展历程 三、金融数学的结构框架
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一、金融与金融数学
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，
“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。
1 ( rh )1 A(0) (1 ) 1 ( rh )
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第一节
微积分在数理金融中的应用
h0
A(t ) A(t ;0) lim A(t , h) A(0)e rt
h 0
t 0
A(t)称为是由（常值）利率为r连续复利得到的存款总额。
在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方 法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进 一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中 介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克 (Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型； 戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以 道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的 理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。
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导 论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融
（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融
学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何
在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行
跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展
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第一节
微积分在数理金融中的应用
A(h) A(0)[1 r (h)h]
A(2h) A(h)[1 r (h)h] =A(0)[1 r (h)h] A(kh) A((k 1)h)[1 r (h)h] =
2
=A(0)[1 r (h)h]
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金
融
数
学
陈碟
chendie@
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金
导论
融
数
学
第一章 金融数学基础
第二章 金融市场 第三章 资产组合复制和套利
第四章 股票与期权的二叉树模型
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式 第六章 Black-Scholes模型的解析方法 第七章 对冲 第八章 互换 第九章 债券模型
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二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
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第一章 金融数学基础
第一节 微积分在数理金融中的应用
第二节 随机过程在数理金融中的应用
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第一节
微积分在数理金融中的应用
一、指数和对数函数的应用 （一）连续复利和实际利率
A P P r P(1 r )
若在任何时刻t [0, T ] ，某人在银行存款总额为A(t)， 计算周期为h>0，则在t=h，初始的存款总额A(0)增至A(h)
对给定t>0(由于r为年利率，t的单位为年)，记k=[t/h]，则 在时刻t的存款总额A(t;h)(其中对任意h大于0，A(0;h)=A(0)，
A(t ; h) A(kh; h) A(0)(1 rh) k A(0)(1 rh)
t h t rh h
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三、金融数学的结构框架
金 融 数 学
数
学
基
础
金融数学理论
金融数学应用
微
线 性
概
随 机
计 量 经
资 产 组 合 理 论
积 代 分 数
率 过 论 程
济 学
资 本 资 产 定 价 模 型
套 利 定 价 理 论
布 朗 运 动 与 伊 藤 方 程
布 莱 克 方 程
金 融 风 险 的 测 度 模 型
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二、金融数学的发展历程
1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科 尔斯(Black and Scholes，1973)推导出简单的期权定价公式， 以及莫顿(Merton，1973b)对该定价公式的发展和深化。 在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theory of martingale pricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。
学 学 学 学 理 价 金融经济学
商 投 微 风 险 业 资 观 管 银 银 银 理 与 行 行 行 保 学 学 学 险 金融机构学
货币银行学
一、金融与金融数学
规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等 知识对金融原理进行推导。 如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模 型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。 实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知 识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。
A(h) A(0) R(h)
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第一节
微积分在数理金融中的应用
利息
R(h)
A(h) A(0)
仅仅考虑利息的大小是没有意义的，必须考虑本金和存期
称单位时间内的相对回报率r(h)为[0,h]上的利率
r ( h)
A(h) A(0) R(h) hA(0) hA(0)
A(0)ert 是 注意：
A(0)(1 rh)k
的一个近似，而不是相反。
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第一节
微积分在数理金融中的应用
考虑任何一个时间区间[t,t+h](h>0)，则瞬时利率被定义为 瞬时单位时间中的相对回报率，即
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二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
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二、金融数学的发展历程
金融数学的研究历程大致可分为三个时期： 第一个时期为发展初期：
代表人物有阿罗（K . A rrow ）、德布鲁（G . Debreu ）、