中等数学1985年第4期
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
DA1985年广东数学(理工类).doc
1985年广东省高等学校招生统一考试:学（理工农医类）答案第一卷一、本题考查基础知识和基本运算，只需要直接写出结果.每一个小题，结果正确的，给2 分.10个小题的给分的和就是本题全题的给分.5. 08. -10 9. y = 2 + V9Z?(-3^%^3)10. 如图二、本题考查基础知识和基本运算.笫1〜16小题，每个小题选对给2分；第17〜20小题， 每个小题选对给3分，不选、错选或者选出的代号超过一个的，一律给0分.20个小题的 给分的和就是本题全题的给分.I. E 2. A 3. B 4. A 5. C 6. C 7. E 8. B 9. D 10. CII. C 12. B 13. D 14. C 15. D 16. D 17. C 18. A 19. E 20. B第二卷一、本题考查绝对伉不等式和三角函数的基本知识与数学归纳法的运用. 证：（1）当n 二1时，左边二|sin 沒卜右边，所以原不等式成立.（2）假没当M = 时，不等式成立，即|sin 々汐|＜々|sin 沒|.那么，当/?=々+ 1时3 1 2 1 | 96.1. {x|x^l}2.4. x 2 + y 2 -x-2y = 0| s'm(k +1)^ |=| sin k3 cos 6 + cos kd sin 6 \ sin kdcos沒 | +1 cos 々汐sin 沒 | =| sin k3\\ cos沒 | +1 cos據 || sin 沒 |sin 々汐 | +1 sin 沒 | sin 汐 | +1 sin 汐 |= (々 + l)|sin 沒 |.这就是说，原不等式对于/2 = & + 1成立. 根裾(1)和(2),原不等式对于任意自然数n 都成立.二、本题考查空间的两条直线的位罝关系，二面角人小的计算以及空间想象能力和逻辑推理 能力.(1) 证：•••/15(? — 451(?1是直三棱住，/. 丄底而y4fiC .•••C£c 平面 AfiC ，•••C£iA4I .又芯是等腰三角形/15C 底边A5的中点，/.C£丄故C£丄平而V AB, c=平面 ABB }A }t :. C£ 丄 .(2) 证：•••(?£ 丄 AS, C£ 丄 Ag,•••C£ 丄平面过£作££> 丄 AB,,垂足为 £>，£Z)c 平面？ISSA, /.C£ 丄 ££). 故££＞是C£和Ag 所在的异而直线的距离. 在 RtA/lBfijDRtA/lDE 中，ZA 公共， 人 AABB,⑺△/AD£，即 £D 二AE叫. 'BB, AB, AB,••MC 二BC 二2，ZACB 二90°,/. AB = 272, AE = -AB = y/2 .2又在RtAABB,屮，BB'=4, A AB } == Vs + 16 = 2^6 .(3)解：Y££＞丄C£丄侧而连结CZ)，依三垂线定理有CD 丄,故ZCD£是截面CAB,和侧面ABB,4所成的二而角的平面角，且力锐角.C£是RtAAfiCED2A /62^3丁(cm)的斜边上的中线，故C£ = 1/IS =人，2义 ED =，于是，在 RtACED 中，tgZCDE = — = —3ED 2故截面CAB,和侧面ABB,A,所成的较小的二面角等于arctg三、本题考查二次函数与对数函数的基本性质，不等式的证明和不等式的解法(1)证：当meM 时，有m 〉l ，从而对所有的实数x 都有 X 2 - 4A /U -+ 4m 2 + mH ——-—= (x- 2m)2+ m H ——-—m H ——-—> 0对所有的实数x 都有意义.反之，如果/00对所有的实数x 都有意义，则对所有的实数X ，都有Af^T — "2 + 1 即"__或 m-i由于上式左端的分子总是正数，所以它的分母m-1〉0,即m 〉l,从而me A/ (2)解：因为以3为底的对数函数是增函数，所以，从①式得又因为/(2m) = log:(3)证：当meAl 时，有m 〉l ，所以m-\——-—=(m-l)H ——； + 1》2' (m-1) ------- h l =32m-\ 于是，当me A/时，函数/(x) = log. x 2 - 4z?tv + 4m 2 + m +x 2 - 4/?1¥ + 4m 2 +m +m-\〉0,而当x = 2m 时，上戎变为m +"2 — 1>0 >0.f ⑽=log(x-2m)2 +m +m-\彡 log 3m-\所以，当me W 时，/⑺的最小值是log.777 +m-i卜.式两端取以3为底的对数，得log. log. 3 = 1.m-l于是，根据(2)的结果可知，对每一个me Al, /(X)的最小值都不小于1.四、本题考查二次曲线的基础知识，曲线参数方程的应用，以及逻辑推理能力和计算能力. (1)证：将曲线I ，II 的方程化为直角坐标方程(x-m)2 y 2 2 A 3^(4 3I 2)当m = 4时，椭圆I 屮心的坐标力(4,0),长轴在;v 轴上，长半轴长==短半轴长b =忑，从而，半焦距C = A /V 2 =1,焦点坐标(4士G 0)即为(5,0)和(3,0),准线方程2x = 4±f-,即为x = 8和 ％ = 0 .由抛物线II 的方程可知：该抛物线以x 轴力对称轴，开II 向右，顶点的坐标力即为x = 0.所以，椭圆I 的左焦点和左准线分别与抛物线II 的焦点和准线重合. (2)证：将曲线I ，II 的直角坐标方程联立(*)] 4 3 V / Z 2 \y 2 =6 x ——.②2那么，曲线I, II 有交点o 方程组(*)有实数解％，>，.这时，(%，y)为交点. 将②代入①，整理得%2+(8 — 2m)x + m 2—16 = 0;③又由于X-— = 1彡0,故方程组(*)有实数解<=> 方程③有不小于一的实根. 2 6 2 方程③的两个根为x, = -(4-m) + 2^/2(4 - m),=_(4 _ /zz) - 2^2(4 - ni).可见，当且仅当4一时，又2是实根，且这时x 2<0.，焦点至顶点的距离是*4,从而焦点的坐标为3 p—-------------------2 23由此可知：厕有不小于，实根㉞满足不等式组4 — m X)，-(4-m) + 2V2(4^m)彡 、 2解此不等式组的解集综合起來，即得：当且仅当时，椭圆I 与抛物线II 有交点.(3)因为椭圆I 屮心的坐标力(m ，0),所以，曲线I ，II 的交点(%，＞’)满足题设，等价于x ，y满足x 2 + y 2=(x —m)2 + y 2,即是m(m -2x) = Q, ①由(2)的证明可知，曲线I ，II 的交点横平标是将它代入①式，得知所求的m 值应满足方程解方程：由"2 = 0得叫=0,由8-爪-4^/2(4-爪)二0.即m 2 +16m — 64 = 0 ,得’712=86/^_1)6[_去，备+1) G [―，(应舍去)直接检验可知，当m 二0或8(^-1)时，曲线I, II 的交点满足题设条件，故所求的m 的 值是0和8(^ — 1).五、木题考查利用导数求函数极伉和讨论方程的不同的实根个数的能力.(1)解：f\x) = 5/ -5 = 5(/ -1) •令/W = 0,即5(/—1) = 0,这个方程的实根是x = ±l .而 /(-l) = -l + 5 + C 二 C + 4,x = (m -4) + 2^/2(4-771)，■[一丄4m[8-m-4^2(4-m)] = 0，/(l) = l-5 + C = C-4.函数/(JV)的变化怙况如下表所示:所以/(%)的极大值是/(—I) = C + 4, /(%)的极小值是/(I) = C-4.(2)证：用反证法证明.假如方程/(x) = 0的不同实根个数大于3,则至少可找到四个不同的实数七 < x2 < < x4，使得/(x,) = /(%2) = f(x3) = /(x4) = 0，根据微分中值定理，有x2),使得由式①及％2〉七，可知/(3) = 0.这表明方程/(x) = 0在区间(什易)屮至少有一个实根沒1;同理可证：方程/\x) = 0在区间(x2, %3), (%3, %4)中分别有实根巧，A .显然，有即方程/Xr) = O至少有三个不同的实根，这与(1)中所得的结果相矛盾，从而，方程/(x) = 0的不同实根的个数不大于3.。
中学数学教育期刊最新目录汇总（2019年2月出刊）
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1985年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
C. 奇数项是递增的，偶数项是递减的
D. 偶数项是递增的，奇数项是递减的
第2页 共5页
解答 0 < a < 1 ⇒ y = ax 单调递减 ⇒ a1 < aa < a0 ⇒ x1 < x2 < 1 ⇒ a1 < ax2 < ax1 ⇒ x1 < x3 < x2 ⇒ ax2 < ax3 < ax1 ⇒ x3 < x4 < x2 ⇒ ax2 < ax4 < ax3 ⇒ x3 < x5 < x4 ⇒ ax4 < ax5 < ax3 ⇒ x5 < x6 < x4 ⇒ ax4 < ax6 < ax5 ⇒ x5 < x7 < x6 ⇒ · · · ， 于是 0 < x1 < x3 < x5 < · · · < x2n−1 < · · · < x2n < · · · < x6 < x4 < x2 < 1. 从而奇数项是递增的，偶数项是递减的，所以选 C.
三、解答题 (本题满分 60 分，每小题 20 分)
11. 在直角坐标系 xOy 中，点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2) 的坐标均为一位正整数， OA 与 x 轴正方向的夹角大于 45◦，OB 与 x 轴正方向的夹角小于 45◦，B 在 x
轴上的射影为 B′，A 在 y 轴上的射影为 A′，△OB′B 的面积比 △OA′A 的面
解答 √
设 |P F | = x, |QF | = y ⇒ |P Q| = x + y ⇒ |M N | = (x + y)2 − (x − y)2
= 2√xy ⇒ S1 = π(x + y)2, S2 = 4πxy，所以选 C.
1985年全国高中数学联合竞赛试题及解答
46 ．
而
B1EF
在平面
A1C1
上的射影面积为
1 4
．
∴ cos 3 ，即所求角为 arccos 3 ．
46
46
D A
CA
C1
B1 C
E B
又解：设平面
B1EF
与平面
AD1 交于
FG
，( G
在
AD
上)，则由平
F A1
H
D1
面 AD1 // 平面 BC1 ，得 FG // B1E ．于是，延长 GF 、 D1A1 交于 P ，P K
7
1985*8、 方程 2x1 x2 x3 x10 3 的非负整数解共有 ◆答案：174 ★解析：当 x1 1 时， x2 x3 x10 1，共有 9 解；
组．
x1 0 时， x2 x3 x10 3 ，共有 9 A92 C93 165 解． ∴ 共有174 解．
∴ S1 S2 ，当且仅当 900 时等号成立．选 C．
1985*3、已知方程 arccos 4 arccos 4 arcsin x ，则( )
5
5
A． x 24 25
B． x 24 25
C． x 0
D．这样的 x 不存在．
◆答案：D
★解析：即 arcsin x 2 arccos 4 ．设 arccos 4 ，则 cos 4 ， sin 3 ．
C1 B1
1985 年全国高中数学联合竞赛一试 第 4 页 共 6 页
则
P
为截面与平面
A1C1 的公共点，故
PB1 为所求二面角的棱．
AG
1985年全国高等学校统一招生数学试题
1985年全国高等学校统一招生数学试题
康庄;家骏;文立
【期刊名称】《数学教学通讯》
【年(卷),期】1984(000)003
【总页数】4页(P48-51)
【作者】康庄;家骏;文立
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G6
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1985年全国普通高等学校招生统一考试数学理.pdf
学习目标： 1、认识课本附录P142——P144页常见的化学实验仪器，了解它们的主要用途和实验注意事项； 2、理解和牢记化学实验室安全规则，提高遵守实验室安全规则的自觉性。
知识点（含重点、难点）： 重点：化学实验室常见的仪器名称、用途、使用的注意事项。
难点：提高学生遵守实验室安全规则的意识。
实验准备： 试管、蒸发皿、燃烧匙、烧杯、锥形瓶、酒精灯、量筒、铁架台（带铁夹、铁圈）、试管夹、试管架、漏斗、分液漏斗、广口瓶、细口瓶、滴瓶、药匙、胶头滴管、等 板书设计： 化学实验基本技能训练（一）(第一课时) 一、认识你的实验室 二、切记实验室安全规则 ①直接加热的仪器 1、三不原则1、反应容器2、用剩药品的处理（安全环保原则） ②垫石棉网加热 3、化学危险品图标 2、加热仪器 4、烫伤 3、计量仪器 5、酸、碱灼伤 4、固定、支持仪器 6、实验台着火 5、分离物质仪器 6、存放物质的仪器 学习过程： 师生互动活动意图【创设情景引入新课】 【教师】首先我给大家讲一只烧坏的挎包的故事：在美国一所著名中学，化学实验室的陈列窗中有一只烧坏的挎包，关于这个挎包还有一个有趣的故事呢。
很多年以前，这个学校的一个学生在做实验时，看到金属钠非常神奇，就偷偷的在自己的挎包里放了一小块金属钠，打算下课后再玩，但是还没等下课他的挎包就着火了，原来金属钠的化学性质非常活泼，在他的挎包里很快就自燃了，他不遵守实验室的规则而导致了实验时的危险，为了警示以后的学生，因此学校把这个学生的挎包留了下来并陈列在橱窗里。
【学生】聆听，意识到不遵守实验室安全规则带来的危险 【过渡】今天，我们就一起走进化学实验室来了解化学实验室的有关知识。
【板书课题】化学实验基本技能训练（一） 【出示学习目标】 【教师】首先我们来了解一下本节课的学习目标， 投影：学习目标 师生明确学习的目标和具体的任务，知道学习时的重点和难点。
【学生】明确目标，知道本节课的学习任务。
1985年全国高中数学联赛试题及解答
1985年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题：甲：a 是大于0的实数；乙：a >b 且a －1>b －1．那么( )A ．甲是乙的充分而不必要条件B ．甲是乙的必要而不充分条件C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ⑵PQ 为经过抛物线y 2=2px 焦点的任一弦，MN 为PQ 在准线l 上的射影，PQ 绕l 一周所得的旋转面面积为S 1，以MN 为直径的球面积为S 2，则下面结论中，正确的是( )A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1≥S 2D ．有时S 1>S 2，有时S 1=S 2，有时S 1<S 2⑶ 已知方程arccos 45－arccos(－45)=arcsin x ，则( )A ．x=2425B ．x=－2425C ．x=0D ．这样的x 不存在．⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(m ≠0，n ≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是()D.C.B.A.⑸ 设Z 、W 、λ为复数，|λ|≠1，关于Z 的方程－Z －λZ=W 有下面四个结论：Ⅰ．Z=－λW +－W1－|λ|2是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确D ．以上A 、B 、C 都不正确 ⑹ 设0<a <1，若x 1=a ，x 2=a x1，x 3=a x2，…，x n =ax n －1，……，则数列{x n }( )A ．是递增的B ．是递减的C ．奇数项递增，偶数项递减D ．偶数项递增，奇数项递减 二．填空题(本题满分24分，每小题6分)⑴ 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 的大小成等比数列，且b 2－a 2=ac ，则角B 的弧度为等于 ．⑵ 方程2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3的非负整数解共有 组．⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．⑷ 对任意实数x ，y ，定义运算x *y 为x *y=ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数都有x *d=x ，则d= ．第二试(本试共有4题，每题满分15分)1．在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B'，A在y轴上的射影为A'，△OBB'的面积比△OAA'的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数x1x2y2y1=x1∙103+x2∙102+y2∙10+y1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶F A=1∶2．求平面B1EF 与底面A1B1C1D1所成的二面角．1A13．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54︒．1985年全国高中数学联赛试题 第一试1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题：甲：a 是大于0的实数；乙：a >b 且a －1>b －1．那么( )A ．甲是乙的充分而不必要条件B ．甲是乙的必要而不充分条件C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：由于a >b 且a －1>b －1成立时，必有a >0，b <0．故由乙可得甲，故选B⑵PQ 为经过抛物线y 2=2px 焦点的任一弦，MN 为PQ 在准线l 上的射影，PQ 绕l 一周所得的旋转面面积为S 1，以MN 为直径的球面积为S 2，则下面结论中，正确的是( )A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1≥S 2D ．有时S 1>S 2，有时S 1=S 2，有时S 1<S 2 解：设PQ 与x 轴夹角=θ，|PF |=ρ1，|QF |=ρ2，则|PM |=ρ1，|QN |=ρ2．则S 1=π(PM +QN )∙PQ=π(ρ1+ρ2)2，S 2=π|MN |2=π(ρ1+ρ2)2sin 2θ．∴ S 1≥S 2，当且仅当θ=90°时等号成立．选C ． ⑶ 已知方程arccos 45－arccos(－45)=arcsin x ，则( ) A ．x=2425 B ．x=－2425 C ．x=0 D ．这样的x 不存在．解：即arcsin x=2 arccos 45－π．设arccos 45=θ，则cos θ=45，sin θ=35．∴ sin2θ=2sin θcos θ=2425．即2θ为锐角．∴2θ－π<－π2．故选D ．⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (m ≠0，n ≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是()D.C.B.A.解：由y 2=－m n x ，若m 、n 均为正数，则此抛物线开口向左，且mx 2+ny 2=1表示椭圆，m <n ，|mn |<1．此时抛物线与直线y=－x 的交点横坐标应>－1．故否定B 、D ．若m 、n 符号相反，则抛物线开口向右．且mx +ny 2=0图形是双曲线，m <0，n >0，m=－n ．故选A ． ⑸ 设Z 、W 、λ为复数，|λ|≠1，关于Z 的方程－Z －λZ =W 有下面四个结论：Ⅰ．Z=－λW +－W1－|λ|2是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确D ．以上A 、B 、C 都不正确 解：原式两端取共轭：Z － λZ =－W ，乘以λ再取共轭：λZ －|λ|2Z=－λW ，相加，由|λ|≠1，得方程有唯一2=2px解Z=－λW +－W 1－|λ|2．选A ．⑹ 设0<a <1，若x 1=a ，x 2=a x1，x 3=a x2，…，x n =ax n －1，……，则数列{x n }( )A ．是递增的B ．是递减的C ．奇数项递增，偶数项递减D ．偶数项递增，奇数项递减 解：作y=a x 的图象，在图象上取点x 1，x 2，x 3，x 4，由0<a <1，知x 1<x 3<x 2，即A 、B 错，C 正确．选C ．二．填空题(本题满分24分，每小题6分)⑴ 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 的大小成等比数列，且b 2－a 2=ac ，则角B 的弧度为等于 ．解：由余弦定理，b 2－a 2=c 2－2ac cos B ．故ac=c 2－2ac cos B ．即a=c －2a cos B ．⇒sin A=sin(A +B )－2sin A cos B .=sin(B －A )．∴ 由b >a ，得B >A ．⇒A=B －A ，⇒B=2A ，C=4A ． 或A +B －A=π(不可能)∴ B=27π．⑵ 方程2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3的非负整数解共有 组． 解：x 1=1时，x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=1，共有9解；x 1=0时，x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3，共有9+A 29+C 39=9+72+84=165解．∴ 共有174解．⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．解：把这些数mod 11得1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1．依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1．其中相等的和有7对(3对1，3对2，1对5)，这表示原数列中共有7组相邻数之和能被11整除．⑷ 对任意实数x ，y ，定义运算x *y 为x *y=ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数都有x *d=x ，则d= ．解：ax +bd +cxd=x ．取x=0，代入得，bd=0，但d ≠0，故b=0a +2b +2c=3，2a +3b +6c=4．⇒a=5，c=－1．取x=1代入，得d=4． 经验算：x *y=5x －xy ，对于一切x ，有x *4=5x －4x=x 成立．故d=4．第二试(本试共有4题，每题满分15分)1．在直角坐标系xoy 中，点A (x 1，y 1)和点B (x 2，y 2)的坐标均为一位的正整数．OA 与x 轴正方向的夹角大于45°，OB 与x 轴正方向的夹角小于45°，B 在x 轴上的射影为B '，A 在y 轴上的射影为A '，△OBB '的面积比△OAA '的面积大33.5，由x 1，y 1，x 2，y 2组成的四位数x 1x 2y 2y 1=x 1∙103+x 2∙102+y 2∙10+y 1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．解：x 2y 2－x 1y 1=67．x 1<y 1，x 2>y 2．且x 1，y 1，x 2，y 2都是不超过10的正整数．∴ x 2y 2>67，⇒ x 2y 2=72或81．但x 2>y 2，故x 2y 2=91舍去．∴ x 2y 2=72．x 2=9，y 2=8．∴ x 1y 1=72－67=5．⇒x 1=1，y 1=5，∴x 1x 2y 2y 1=1985．2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F ∶F A=1∶2．求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角．解：设AB=1，则BE=12，A 1F=13，故B 1E=52，B 1F=103，EF=616．∴ S ∆B 1EF =12·54·109－14(54+109－6136)=11246．而△B 1EF 在平面A 1C 1上的射影面积=14．∴ cos θ=346，即所求角=arc cos 346． 又解：设平面B 1EF 与平面AD 1交于FG ，(G 在AD 上)，则由平面AD 1∥平面BC 1，得FG ∥B 1E ．于是，延长GF 、D 1A 1交于P ，则P 为截面与平面A 1C 1的公共点，故PB 1为所求二面角的棱．AG=A 1H=13，A 1P=16，PB 1=376．作GH ⊥A 1D 1于H ，则GH ⊥平面A 1C 1．作HK ⊥PB 1，连GK ．则∠GKH 为所求二面角的平面角．∵ HK ∙PB 1=A 1B 1∙HP ．∴ HK=337，tan ∠GKH=373．即所求角=arc tan 373．3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A 市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A 市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．证明：用32个点表示这32个队，如果某两队比赛了一场，则在表示这两个队的点间连一条线．否则就不连线．由于，这些队比赛场次最多30场，最少0场，共有31种情况，现除A 城甲队外还有31个队，这31个队比赛场次互不相同，故这31个队比赛的场次恰好从0到30都有．就在表示每个队的点旁注上这队的比赛场次．考虑比赛场次为30的队，这个队除自己与同城的队外，与不同城有队都进行了比赛，于是，它只可能与比赛0场的队同城；再考虑比赛29场的队，这个队除与同城队及比赛0场、1场(只赛1场的队已经与比赛30场的队赛过1场，故不再与其它队比赛)的队不比赛外，与其余各队都比赛，故它与比赛1场的队同城；依次类推，知比赛k 场的队与比赛30－k 场的队同城，这样，把各城都配对后，只有比赛15场的队没有与其余的队同城，故比赛15场的队就是A 城乙队．即A 城乙队比赛了15场．4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54︒．证明 ⑴ 若此五点中有三点共线，例如A 、B 、C 三点共线，不妨设B 在A 、C 之间，则AB 与BC 必11A KGH P FABCDC 1B 1A 1D 1E有一较大者．不妨设AB ≥BC ．则ACBC≥2>2sin54︒．⑵ 设此五点中无三点共线的情况．① 若此五点的凸包为正五边形．则其五个内角都=108︒．五点的连线只有两种长度：正五边形的边长与对角线，而此对角线与边长之比为2sin54︒．② 若此五点的凸包为凸五边形．则其五个内角中至少有一个内角≥108︒．设∠EAB ≥108︒，且EA ≥AB ，则∠AEB ≤36︒，∴BE AB = sin(B +E )sin E ≥sin2E sin E=2cos E ≥2cos36︒=2sin54︒． ③ 若此五点的凸包为凸四边形ABCD ，点E 在其内部，连AC ，设点E 在△ABC 内部，则∠AEB 、∠BEC 、∠CEA 中至少有一个角≥120︒>108︒，由上证可知，结论成立．④ 若此五点的凸包为三角形ABC ，则形内有两点D 、E ，则∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中必有一个角≥120︒，结论成立．综上可知，结论成立．AACBCBDEC BADEB A。