固体物理学 第三章 第五节
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《固体物理·黄昆》第三章
氢键结合的情况可写成通式:
X－H…Y。 式中 X 、 Y 代表 F 、 O 、 N 等电负 性大而原子半径较小的非金属原 子， X 和 Y 可以是两种相同的元 素，也可以是两种不同的元素。 d F l H F H F
归纳起来，氢键形成的条件是：
A)有与电负性大（X）的原子相结合的氢原子；
B) 有一个电负性也很大，含有孤对电子并带有部分负 电荷的原子（Y）； C)X与Y的原子半径都要较小。
氯化钠型 —— NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO (配位数6) 氯化铯型 —— CsCl、 TlBr、 TlI（配位数8）
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等（配位数4）
2. 离子晶体结合的性质
1) 系统内能的计算 晶体内能 : 1)所有离子库仑相互作用能(吸引作用)
2) 和重叠排斥能之和(排斥作用)
具体晶体的内聚能(晶格能)参见周期表,有一定的规律性: 惰性气体晶体<碱金属<过渡族金属(共价晶体)
两粒子间的相互作用 相互作用能.
f(r) 和u(r)分别表示相互 作用力和相互作用势 则:
u (r ) f (r ) r
U 排斥 r
f (r )
B rn
u (r )
pij A12= j'
12
12.13188
pij A6= j'
6
14.45392
物理意义:
晶体总的势能:
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量 晶格常数
平衡状态体变模量
晶体的结合能
分子晶体: 常温下是气态的物质如:Cl2,SO2,HCl, H2, O2, He, Ne, Ar, Xe等在低温下依靠范德瓦耳斯力结合成的晶体.
固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
固体物理 第三章_ 晶体中的缺陷
4
由以上讨论可知： 刃位错： 外加切应力的方向、原子的滑移方向和位错 线的运动方向是相互平行的。 螺位错： 外加切应力的方向与原子的滑移方向平行， 原子的滑移方向与螺位错的运动方向垂直。 在左右两部分受到向上和向下的切应力的作 用时，位错线向前移动，直到位错线移动到 尽头表面，这时左右两部分整个相对滑移b 的距离，晶体产生形变。
固体物理第三章
1. 热缺陷：由热起伏的原因所产生的空位和填隙原 子，又叫热缺陷，它们的产生与温度直接有关
(a) 肖脱基缺陷
(b)弗伦克耳缺陷
(c) 间隙原子
固体物理第三章
（ a ）肖特基缺陷 (vacancy) ：原子脱离正常格点 移动到晶体表面的正常位置，在原子格点位置 留下空位，称为肖特基缺陷。 （b）弗伦克尔缺陷(Frenkel defect)，原子脱离格 点后，形成一个间隙原子和一个空位。称为弗 伦克尔缺陷。 （c）间隙原子(interstitial)：如果一个原子从正常 表面位置挤进完整晶格中的间隙位置则称为间 隙原子，由于原子已经排列在各个格点上，为 了容纳间隙原子，其周围的原子必定受到相当 大的挤压。
固体物理第三章 固体物理第三章
产生位错的外力: 机械应力：挤压、拉伸、切割、研磨 热应力：温度梯度、热胀冷缩 晶格失配： 晶体内部已经存在位错，只用较小的外力就 可推动这些位错移动，原来的位错成为了位错 源，位错源引起位错的增殖，有位错源的晶体 屈服强度降低。 晶体的屈服强度强烈地依赖于温度的变化。 T升高，原子热运动加剧，晶体的屈服强度下 降，容易产生范性形变。
固体物理第三章
在实际晶体中，由于存在某种缺陷，所以晶 面的滑移过程，可能是晶面的一部分原子 先发生滑移，然后推动同晶面的另一部分 原子滑移。按照这样的循序渐移，最后使 上方的晶面相对于下方的晶面有了滑移。 1934 年， Taylor( 泰勒 ), orowan( 奥罗万 ) 和 Polanyi( 波拉尼）彼此独立提出滑移是借助 于位错在晶体中运动实现的，成功解释了 理论切应力比实验值低得多的矛盾。
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
k at s
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
固体物理-第三章
l 1
原 子
上式说明每个坐标gk的振动，都可以分解成3N个简正振动的线 性迭加，Ql新坐标称为简正坐标，所以，我们可以得出结论：N个
的
原子组成晶体的任何一种微振动，可看成3N个简正振动的迭加。
运
动
★简正坐标与原子位移坐标之间的正交变换，
实际上是按付氏展开式把坐标系由位置坐标转
换到状态空间（正格子——倒格子）。
单
体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单
原
独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子；
子
➢声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
晶
➢一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子
格
组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
声子
采用“声子”概念不仅表达简洁、处理问题方便（例晶格与微观粒
3N
动
2 Ak bik Ai 0 k 1, 2,L 3N (9) i 1
方程组（9）又可改写成：
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
i 1
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
••
gk bik gi 0 k 1, 2,L 3N
(7)
原
gk Ak sin t k 1, 2,L 3N
(8)
子
的 运
（8）式所给出的特解应能够满足方程（7），则将（8）式 代入（7）式，得确定ω与bik之间关系的方程组：
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
固体物理第三章
晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为在波矢空间中每一个可能的在波矢空间中每一个可能的qq所占据的线度为所占据的线度为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为单位长度波矢代表点数目单位长度波矢代表点数目二一维复式格子二一维复式格子晶格由质量分别为晶格由质量分别为mm和和mm的两种不同原子构成的一维复式格子晶的两种不同原子构成的一维复式格子晶格常数格常数2a2a相邻同种原子间的距离
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
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q
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m
1
2
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q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
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m
1
2
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un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
固体物理学：第三章晶体结合及弹性模量n
第三章晶体的结合、弹性模量•3.1 晶体中的结合力和结合能；•3.2 元素和化合物晶体结合的规律性；•3.3 弹性应变和晶体中的弹性波；3.1 晶体的结合力和结合能一. 晶体结合的一般概念：自然界的矿物中绝大多数物质都以晶态存在，说明晶体的能量比构成晶体的粒子处在自由状态时的能量总和要低的多,因此可以给出U0是晶体在0K 时的总能量，E N是N个自由粒子能量之和，因此Eb 是0K时把晶体分解为相距无限远、静止的中性自由原子所需要的能量，称作内聚能（Cohesive energy）或结合能（binding energy)。
取EN＝0，做能量基点，则有：近似把原子对间相互作用能量之和当作晶体的总相互作用能。
物质以晶态存在是由于构成固体的原子之间存在着相当大的相互作用力，尽管不同晶体这种结合力的类型和大小不同，但两个粒子之间相互作用力（势）与它们间距离的关系在定性上是相同的。
晶体中粒子的相互作用可以分为2大类：斥力和引力。
晶态是粒子间斥力、引力处于平衡时的状态。
其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数，由实验确定若两粒子要稳定结合在一起，则必须满足n > m一对粒子之间的相互作用势一般可以表示为引力势和斥力势之和:处于稳定态的条件是：给出平衡位置:平衡时的能量：★从上式可以看出晶体有平衡态的条件是：n > m★更符合实际斥力势变化规律的表达式为指数形式：N个原子组成晶体后的总相互作用能，忽略边界的差异，可以近似表示为：二. 晶体的弹性性质：以晶体相互作用能来解释晶体弹性性质是对理论表达式正确与否的最好验证。
1. 压缩系数η与体弹性模量K ：由热力学知道：考虑到：两式相比较，有：展开式中的第一项在平衡点为零。
注解：体积弹性模量：按胡克定律，在弹性限度内，物体形变产生的内应力与相对形变成正比，比例系数称弹性模量。
由热力学第一定律dU=TdS–pdV，若不考虑热效应，即TdS= 0 （实际上只有当T=0K时才严格成立），有2. 抗张强度：晶体所能负荷的最大张力叫抗张强度，负荷超过抗张强度时，晶体就会断裂。
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恒定电场下
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
04/12
因为
和
比较
2 b12 [ (0) 1] 0 b22 b11
2) 高频电场下晶体的介电极化
电场的频率远远高于晶格振动的频率
[ () 1] 0 b22
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
（1）纵波：
，可以得到
（2）横波：
，可以得到：
最后可以得到：
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
10/12
cq / ()
L T
cq / (0)
讨论：以上结果是考虑了格波与电磁波的耦合得到的新的耦合波模式 （1）当 时 这是低频电磁波（低于晶格振动频率）； 即晶体中的纵光学波，是纯的振动模式。 11/12 03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
07/12
将前面求得的 到：
代入并和 比较可以得 ，其中介电函数的实部和虚部分别为：
（1）吸收功率正比于介电函数的虚部。
（2）在 处出现一个吸收峰，峰的半高宽度为
（3）横电磁波激励横光学格波。
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
cq / ()
L T
cq / (0)
（2）当
时
，也是纯的格波模式；
，这是高频电磁波。 （3）在
和
与
和
相交的区域
附近，耦合很强，出现的是电磁波与格波的混合模式。 （4）在 是禁止区，电磁波不能在晶体中传播。 12/12 03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
06/12
四、离子晶体的光学性质
正负离子的相对振动产生的电偶极矩可以和电磁波相互作用， 引起在远红外区域的强烈吸收。因此在用唯象方程讨论这种光吸收 现象时，应在方程中引入代入唯象方程得到：
形式解
1. 长光学波的宏观方程 —— 考虑两种正负离子组成的复式格子 —— 半波长内，正离子 组成的布喇菲原胞同向 位移，负离子组成的布 喇菲原胞反向位移
—— 使晶体中出现宏观
的极化
因此长光学波 称为极化波
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
02/12
原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子偏离的位移 选取描述长光学波运动的宏观量
§3.5 离子晶体的长光学波 晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动 光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动 波长 —— 原胞的线度
—— 长声学波代表原胞质心的振动 —— 长光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动 —— 对于正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
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五、极化激元 前面的讨论仅考虑了库仑力的作用，实际上振动的偶极子会 产生交变的电磁场，因此严格求解应该是利用麦克斯韦方程组和 唯象方程。研究对象即为晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系 统。
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
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考虑时谐场即；
，代入并整理可以得到：
—— 原胞体积
黄昆方程
P and E —— 宏观极化强度和宏观电场强度
由动力学系数的对称性：
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
b W b E W 11 12 P b21W b22 E
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—— 离子相对运动的动力学方程 —— 正负离子相对运动位移产生的极 化和宏观电场产生的附加极化 1) 静电场（ ）下晶体的介电极化
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在长光学波下有
—— 横长光学波的频率
b W b E W 11 12 P b21W b22 E
—— 晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO) —— 长光学纵波声子称为极化声子(LO)，长光学纵波伴随有 宏观的极化电场，极化声子 _______ 纵光学声子 —— 长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，电磁声子(TO)， 长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合