课标卷中函数图像的切线问题

函数图像切线问题的解答

一、高考考点分析

函数图像的切线问题，是高考的高频考点，从2014年到2018年，每年都有切线的考题出现。虽然题目的难度不大，但在新课教学或者练习中，有关切线的问题，却似乎是一个难啃的骨头，正确率总是不高。问题的关键是没有弄清楚题目背后的知识，及解答问题的思维方法。

二、问题解决

（一）知识准备及思想方法

函数图像切线问题，考查的是导数的几何意义，及直线的方程，还有方程（组）的数学思想方法。

首先是导数的几何意义。导数的几何意义为：曲线()f x 在点00(,)P x y 处切线的斜率等于函数()f x 在0x 处的导数值0'()f x ，即0'()k f x =（简记）。这样就有了切线的斜率，还有切点00(,)P x y 。如果是未知，就有符号表示出来。其次，在必修2直线一章，我们学习了五种形式的直线方程，但其实，最常用的就是点斜式方程，即00()y y k x x -=-。在解决函数切线问题中，也常用这个形式的方程。

最后，我们思考解决问题，要有方程的思想（求什么，设什么，列关于什么的方程）。在这里多啰嗦一下，大家不要认为只有出现数字才能解答题目，出现了符号就束手无措了，在出现符号时，要根据题目做处理，哪些看成已知，哪些看成未知——也就是符号的思想。

（二）解答流程

1、斜率：0'()k f x =求解或列方程；

2、切点：00()y y k x x -=-（或斜率坐标公式）或00()y f x =求解或列方程。

三、高考试题展示

1、（2018年1卷，6）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()

y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）

A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x =

分析：()f x 为奇函数，由特值法(1)(1)f f -=-得1a =，

3()f x x x ∴=+。 求导，得2'()31f x x =+，∴斜率'(0)1k f ==，又 切点为()00，，由点斜式，得切线方程为

y x =。

2、（2018年2卷，13）曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．

答案：22y x =-

3、（2018年3卷，21题第1问）已知函数21()e x

ax x f x +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程。

分析：函数解析式中有字母，害怕符号的考生，肯定是见光死，哪里还知道此题不过是纸老虎一只，仍是熟悉的味道熟悉的配方！！！。

按照方法，先求导，得2(21)2()e

x ax a x f x -+-+'=，从而斜率k =(0)2f '=（与符号a 完全没有关系，有没有！！！）。再由点斜式，得曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．

4、（2018年3卷@理科，14）曲线(1)x

y ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．

分析：这不是2014年1卷（文）切线试题的翻版吗？由'(0)2k f ==-，即可得3a =-。

5、（2017年1卷，14）曲线21y x x =+

在点（1，2）处的切线方程为_________________________.

答案：10x y -+=

6、（2016年3卷，16）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_______________________。

分析：根据偶函数图像关于y 轴对称，先求出曲线()y f x =在点(1,2)-处的切线斜率。0x ≤时，求导得1'()1x f x e --=--，∴ 曲线在点(1,2)-处的切线斜率为'(1)2f -=-，从而曲线在点点(1,2)处的切线斜率2k =，切线方程为2y x =。

7、（2015年1卷，14）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()

1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .

分析：切点为(1,2)a +，求导得2'()31f x ax =+，则切线斜率'(1)31k f a ==+，再由斜率坐标公式，27512

a k a +-==--，315a a ∴+=-，1a ∴=。 8、（2015年2卷，16）已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线

()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．

分析：曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线方程为21y x =-，再与二次函数联立方程组，由判别式∆=0，得8a =（舍去0a =，0a =是直线啊，有听过直线与直线相切的吗！！！）。此题特别容易出现增根。

9、（2014年1卷，21）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+

-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0。

（1）求b ； 分析：求导可得：'()(1)a f x a x b x

=+--，从而斜率'(1)0f =，即可得1b =。 10、（2014年2卷，21）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y

f x =在点(0,2)

处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．（1）求a ； 分析：解法与上面第4题一样。x 轴交点的横坐标为2-，即交点坐标为(2,0)-，求导

得2'()36f x x x a =-+， 从而斜率20'(0)10(2)

k f a -====--。 三、解题的思考

做完上面10道高考题，是否觉得函数切线的高考题都是孪生的？不同的题目，相同的套路——理解清楚考点，和解答题目的思维方法，就可轻松拿下此类题目！

很多参考书上，或者教学时，会把切线的题目分为很多类型。其实大可不必理会，我们按照上面的解答流程来，就可以了。

下面看一道套路似乎不同的题目：

11、（2017年广州一模）设函数()32f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点P 的坐标为（ ）

(Ａ) ()0,0 (Ｂ) ()1,1- (Ｃ) ()1,1- (Ｄ) ()1,1-或()1,1-

分析：咋一看，此题跟上面高考题不一样。也确实有点不一样，上面的高考题含有的未知量（符号、变量）不多，一般就是1个；这道题目一共有3个变量，解析式有1个,a 切点坐标中有两个（横、纵坐标）。不过解答的套路还是那个套路，没有变。既然这么多变量，我们需用方程的方法。含有3个未知量，我们需要列出3个方程。如下：求导，得

2'()32f x x ax =+，则2000'()321k f x x ax ==+=-（由斜率得到第1个方程），将切

点00(,)x y 代入曲线和切线中，得32000y x ax =+和00y x =-（由切点得到第2、3个方程），

然后联立方程组，可得。答案:D 。当然，此题是选择题，可由选项代入检验排除。

方程（组）的方法，会助力我们解题题目。