2018春中考数学《二次函数：切线问题》
2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编(解析版)
两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C ． （ 1）求点 A ， B ， C 的坐标； （ 2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点
Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点 到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为 t 秒，求运动时间 t 为多少秒时，
C1 ，直线 O3C1 分别与直线 AC ， x 轴交于点 M ， N ．那么，在 △ O2 B2C 的整个旋转过
程中，是否存在恰当的位置，使 AMN 是以 MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接 写出所有符合条件的线段 O2 M 的长；若不存在，请说明理由．
7．（2018?吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 2ax 3a(a 0) 与 x 轴相
PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积； （ 3）在（2）的条件下，当 PBQ 面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M ，使
BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理 由．
15．（2018?安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50 盆．售后统 计，盆景的平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元．调研发现：
（ 3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米 / 秒、 v乙 米 / 秒．当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t 的值及 v乙 的范围．
3．（2018?河南）如图，抛物线 y ax2 6x c 交 x 轴于 A ， B 两点，交 y 轴于点 C ．直线
2．（2018?河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平） 18 米，与 y 轴 交于点 B ，与滑道 y k ( x…1) 交于点 A ，且 AB 1 米．运动员（看成点）在 BA 方向获
2018中考数学试题二次函数解答题试题汇编(含答案解析)
2018年全国各地中考数学试题《二次函数》解答题试题汇编（含答案解析）1．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）3．（2018•河南）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？5．（2018•张家界）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．6．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？8．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．10．（2018•青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．11．（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．12．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．13．（2018•襄阳）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=，n=；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？14．（2018•荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）15．（2018•贵阳）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：cm）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．16．（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．17．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．18．（2018•邵阳）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．19．（2018•济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．（2018•温州）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．22．（2018•黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．（2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．24．（2018•河南）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？25．（2018•黄冈）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：y=，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？26．（2018•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．27．（2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．28．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．29．（2018•淄博）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．30．（2018•兰州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2018•绍兴）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．32．（2018•巴中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE 是等腰三角形？33．（2018•绵阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；△AOC若不存在，请说明理由．34．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？35．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C （0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．36．（2018•随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？37．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x 轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2018•怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2018•黄石）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．40．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？41．（2018•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．42．（2018•岳池县三模）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．43．（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．44．（2018•宜宾）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．45．（2018•深圳）已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．46．（2018•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．47．（2018•岳阳）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．48．（2018•无锡）已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m ＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．49．（2018•青海）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B （3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．50．（2018•日照）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．51．（2018•湖北）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？52．（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．53．（2018•东营）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B 两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．54．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？。
2018年中考数学真题分类汇编第二期专题13二次函数试题含解析
二次函数一.选择题1. （2018·湖北随州·3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y ＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C.D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．2. （2018·湖北襄阳·3分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得：m≤5，故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．3.（2018•山东东营市•3分）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：=，即EF=2（6﹣x）所以y=×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故选：D．【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．4.（2018•山东烟台市•3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．【解答】解：①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴二次函数的图象的对称轴为x==1∴=1∴2a+b=0，故①错误；②令x=﹣1，∴y=a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴（a+c）2=b2，故②错误；③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；④当a=1时，∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；故选：D．【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．5.（2018•上海•4分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A.由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B.根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D.由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A.∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B.∵﹣=，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C.当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D.∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．6.（2018•达州•3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．7.（2018•遂宁•4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a ＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c＜0，也可判断abc＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2﹣4ac＞0，利用x=1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，∴x=﹣＞1，∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8. （2018•资阳•3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有A.B.c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结论进行判断．【解答】解：①=﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；②ac+b+1=0，设C（0，c），则OC=|c|，∵OA=OC=|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故正确；③abc＞0，从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，故正确；④a﹣b+c＞0，当x=﹣1时y=a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，故正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质．9. （2018•杭州•3分）四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B.乙 C. 丙 D. 丁【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:（1,3）且图像经过（2，4）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3∴a+3=4解之：a=1∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3=x2-2x+4当x=-1时，y=7，∴乙说法错误故答案为：B【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点（2,4），因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。
2018年全国各地中考数学真题汇编：二次函数(含答案)-数学备课大师【全免费】
中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
二次函数几何方面的应用(解析版)数学2018全国中考真题-3
2018年数学全国中考真题二次函数几何方面的应用（试题一）解析版一、选择题1.（2018广西省桂林市，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个一动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A 从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是( )A．14-≤b≤1 B．54-≤b≤1 C．94-≤b≤12D．94-≤b≤1【答案】B．【思路分析】．如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，DB＝1b+，证明△BDA∽△ANC，可得b＝23523124x x x-+-=--+⎛⎫⎪⎝⎭≤54，从而得到b的取值范围．【解题过程】解：如下图（1），连接CN，延长NM，交y轴于点D，设AN＝x，则AD＝3－x，∵点B的坐标为（0，b），∴DB＝1b+，∵N、C两点的坐标分别为（3，1），（3，0），∴NC＝1，AN⊥NC，∴∠ACN＋∠CAN ＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAN＝90°，∴∠ACN＝∠CAN，又∵∠BDA＝∠CNA＝90°，∴△BDA∽△ANC，∴AD BDCN AN=，即131bxx+-=，213b x x+=-+，解得b＝23523124x x x-+-=--+⎛⎫⎪⎝⎭≤54，又∵当点A与点N重合时，点B与点D重合，（如下图（2）），此时b＝1，∴54-≤b≤1．，故选B．【知识点】二次函数；相似三角形的性质和判定；动点问题二、填空题1.（2018吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 + mx 交x轴的负半轴于点A. 点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A' 恰好落在抛物线上. 过点A' 作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A' 的横坐标为1，则A'C 的长为 .(第14题)【答案】3【思路分析】如下图，A'C 与y 轴交于点D. 因为点A 与点A' 关于点B 对称，则AB=A'B ；又因A'C// x 轴，则ΔABO ≌ ΔA'BD ，AO=A'D. 点A' 的横坐标为1，即A'D=AO=1.所以点A 坐标为(-1，0)，把点A (-1，0)代入函数解析式可求得m 值，进而可知A' 坐标，由A'C// x 轴，可求出点C 横坐标，即可求出A'C 的长.【解题过程】解：如图，A'C 与y 轴交于点D. ∵点A 与点A' 关于点B 对称 ∴AB=A'B 又A'C// x 轴∴∠A'DB =∠AOB =90°,∠DA'B =∠OAB ∴ΔABO ≌ ΔA'BD ∴AO=A'D∵点A' 的横坐标为1 ∴A'D=AO=1∴A 坐标为(-1，0)把(-1,0) 代入抛物线解析式y =x 2 + mx 得m=1 ∴抛物线解析式为y =x 2 + x ∴ A' 坐标为（1，2） 令y =2得，x 1 = -2 , x 2=1 ∴A'C =1-(-2)=3.【知识点】待定系数法求抛物线解析式，对称的性质，平行线的性质，三角形全等，直角坐标系中求线段长度2. （2018广西贵港，12，3分）如图，抛物线y ＝14（x ＋2）（x －8）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为M ，以AB 为直径作⊙D ，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②⊙D 的面积是16π；③抛物线上存在点E ，使四边形ACED 为平行四边形；④直线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】抛物线y ＝14（x＋2）（x－8）与x轴交于A，B两点，可知A（－2，0），B（8，0）所以D（3，0），所以抛物线的对称轴是直线x＝3，即①正确；由于⊙D的半径为5，所以它的面积为25π，所以②不正确；过C作CF∥AD，则F（6，0），此时CF＝6＞5＝AD，因此在抛物线上不可能存在点E，使四边形ACED为平行四边形，故③错误；当x＝0时，y＝－4，所以C点的坐标为（0，－4），因此DC＝42＋32＝5，即C在⊙D上，又M（3，－254），所以DM＝254，CM＝32＋⎝⎛⎭⎫254－42＝154所以DC2＋CM2＝62516＝DM2，所以DC⊥CM，所以直线CM与⊙D相切，故④正确；综上，有两项正确，故选B．3.（2018江苏苏州，18，3分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE 的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为（结果保留根号）．【答案】23【解析】本题解答时要连接MP，PN，利用菱形的性质，得出△PMN为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA的长来表示的MN的长，最后利用二次函数的性质求出MN的最小值.连接PM，PN，∵四边形APCD，PBFE是菱形，∴P A=PC，∵AM=MC，∴PM⊥AC，同理PN⊥BE.∴∠CPM+∠CPN=119022APC BPE∠+∠=゜，∵∠DAP=60゜，∴∠CAP==∠NPB=30゜，xyOACMBDE设AP =x ，则PB =8-x ， ∴PM =12x ，PN)x -∴=∴当x =6时，MN有最小值，最小值为三、解答题1. （2018广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于0)，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OB ＝3OAOC ，∠OAC 的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴垂足为F ，交直线AD 于点H. (1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，当FH ＝HP 时，求m 的值；(3)当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14AQ ＋EQ 的最小值.【思路分析】(1)根据题意，先求出点B 、C 的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式； (2)用点m 表示出FH 和PF 的长，再由FH ＝HP 列关于m 的方程求解；FAP(3)连接AH ，以AH 为边构造相似三角形，将14AQ 转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出14AQ ＋EQ 的最小值. 【解题过程】(1)∵OB ＝3OA ＝OC ，0)，∴点B 、C 的坐标分别为(－，0)，(－3，0).设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋x )，代入点C 的坐标，得：－3＝a ··(，解得：a ＝13.故该抛物线的解析式为y ＝13(x ＋)(x ＝13x 2x －3. ………………3分(2)在Rt △AOC 中，由tan ∠OAC ＝OCOA，∴∠OAC ＝60°.又∵AH 是∠FAC 的平分线，∴∠FAH ＝30°，则AF由点P 的横坐标为m ，则它的纵坐标为13m 2－3.∴AF m ，PF ＝3－13m 2.∴FH AF m ). ∵FH ＝HP ，则PF ＝2FH ，m )＝13m 2－3.解得：m 舍去)或m故m ………………6分 (3)连接CH.∵AF ＝AC ＝，∠FAH ＝∠CAH ，AF ＝AF ， ∴△AHF ≌△AHC(SAS)， ∴FH ＝CH ＝2. 故⊙H 的半径为1.在HA 上截取HM ＝14，则AM ＝4－14＝154. ∵HM HQ ＝14，HQ HA ＝14， ∴HM HQ ＝HQHA，且∠QHM ＝∠AHQ ， ∴△QHM ∽△AHQ ，∴AQMQ＝14，则14AQ＝MQ,∴14AQ＋QE＝QM＋QE. ………………9分∵点E、M是定点，故当点M、Q、E共线时，QM＋QE的值最小，即最小值为线段ME的长.在Rt△AEM中，由勾股定理可知：ME………………10分2.（2018海南省，24，15分）如图12-1，抛物线32++=bxaxy交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图12-2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．【思路分析】将A（﹣1，0）和点B（3，0）代入32++=bxaxy，求解关于a，b的二元一次方程组即可；（2）①分别求出点C、F的坐标，S四边形ACFD=S△CDF+S△CDA；②当∠ADQ=90°时，如图24-2，设PQ交CD于点G，则PQ⊥CD，G点坐标为（t，3），作DH⊥x轴于H，则H（2，0），在Rt∠DHA中，DH=AH=3，∠DGQ为等腰三角形，GQ =GD ，()t t t -=-++-23322，求得t 的值并验证；当∠AQD =90°时，过点D 作DK ⊥PQ 于点K ，易证得∠PQA ∽△KDQ ， KQ PA KD PQ =，()323123222++--+=-++-t t t t t t ，求得t 的值并验证． 【解题过程】（1）将A （﹣1，0）和点B （3，0）代入32++=bx ax y 得，⎩⎨⎧=++=+-033903b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=21b a ，∴该抛物线的解析式为322++-=x x y ．（2）①连接CD ，∵()413222+--=++-=x x x y ，F （1，4），当x =0时，y =3，∠C （0，3）又D （2，3），∠CD ∥x 轴，且CD =2，S 四边形ACFD =S △CDF +S △CDA =21CD ·（A F y y -）=44221=⨯⨯． ②设P （t ，0），则Q （t ，322++-t t ）．Ⅰ：若∠DAQ =90°，如图24-1，此时点Q 必在第四象限，所对应的点P 在AB 的延长线上，此种情况不符合题意，故舍去．Ⅱ：若∠ADQ =90°，如图24-2，设PQ 交CD 于点G ，则PQ ⊥CD ，G 点坐标为（t ，3），作DH ⊥x 轴于H ，则H（2，0），∴在Rt∠DHA 中，DH =AH =3，∠∠DAH =45°，又CD ∥x 轴，∠∠ADC =∠DAH =45°，∠∠QDG =∠ADQ﹣∠ADC =45°，∠∠DGQ 为等腰三角形，∴GQ =GD ，()t t t -=-++-23322，整理得：0232=+-t t ，解得：11=t ，22=t ，当t=2时，D 与Q 重合，故舍去．当t =1时，4322=++-t t ，∠Q （1，4）． Ⅲ：若∠AQD =90°，如图24-3过点D 作DK ⊥PQ 于点K ，∠∠APQ =∠QKD =90°，∠∠DQK +∠PQA =90°，又∠DQK +∠KDQ =90°，∴∠PQA =∠KDQ ，∠∠PQA ∽△KDQ ，∴KQ PA KD PQ =，∴()323123222++--+=-++-t t t t t t ，∴()()()21213-+=-+--t t t t t t ，∵1-≠t ，2≠t （即Q 不与A 、D 重合），∴()tt 13=--，整理得：0132=+-t t ，解得2531+=t ，2532-=t ，经验证，1t 、2t 均符合题意，其中：321<<t ，符合图24-3的情况，212<<-t ，符合图24-4的情况． 当2531+=t 时，255322-=++-t t ；当2532-=t 时，255322+=++-t t ， ∴Q （253+，255-）或（253-，255+）． 综上所述，当∠AQD 为直角三角形时，点Q 坐标为：（1，4）或（253+，255-）或（253-，255+）． 【知识点】二次函数综合题，二次函数图象上点的存在性，相似三角形的性质与判定3. （2018黑龙江省龙东地区，23，6分） 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A （0，2），对称轴为直线x ＝－2，平行于x 轴的直线与抛物线交于B 、C 两点，点B 在对称轴左侧，BC ＝6． （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 在x 轴上，直线CP 将△ABC 面积分成2:3的两部分，请直接写出P 点坐标．【思路分析】对于（1），根据点A 坐标可求c 的值，根据对称轴直线可求b 的值；对于（2），先确定点C 和点B 的坐标，计算出△ABC 的面积，再根据直线CP 分△ABC 面积之比确定点P 存在的可能性有两种，结合两种情况，分别确定点P 的位置即可． 【解题过程】解：（1）∵点A （0，2）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴c ＝2，∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，∴221b-=-⨯，∴b ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋4x ＋2． （2）点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0），理由如下：∵抛物线对称轴为直线x ＝－2，BC ∥x 轴，且BC ＝6，∴点C 的横坐标为6÷2－2＝1，把x ＝1代入y ＝x 2＋4x ＋2得y ＝7，∴C （1，7），∴△ABC 中BC 边上的高为7－2＝5，∴S △ABC ＝12×6×5＝15．令y ＝7，得x 2＋4x ＋2＝7，解得x 1＝1，x 2＝－5，∴B （－5，7），∴AB＝CP 交AB 于点Q ，∵直线CP 将△ABC 面积分成2:3的两部分，∴符合题意的点P 有两个，对应的点Q 也有两个．①当AQ 1：BQ 1＝2:3时，作Q 1M 1⊥y 轴，Q 1N 1⊥BC ，则AQ 1＝Q 1M 1＝2，BQ 1＝Q 1N 1＝3，Q 1(－2，4)，∵C （1，7），∴直线CQ 1的解析式为y ＝x ＋5，令y ＝0，则x ＝－5，∴P 1（－5，0）； ②当BQ 2：AQ 2＝2:3时，作Q 2M 2⊥y 轴，Q 2N 2⊥BC ，则AQ 2＝Q 2M 2＝3，BQ 2＝，Q 2N 2＝2，Q 2(－3，5)，∵C （1，7），∴直线CQ 2的解析式为y ＝12x ＋132，令y ＝0，则x ＝－13，∴P 2（－13，0） 综上，点P 的坐标为（－5，0）或（－13，0）．【知识点】待定系数法；二次函数的性质；一次函数的性质；三角形的面积公式；平行线分线段成比例25．4. （2018山东省东营市，25，12分） 如图，抛物线13()()y a x x =--（0a >）与x 轴交于A 、B 两P 的坐解得：x 1=1，x 2=3则A （1,0），B （3,0）于是OA =1，OB =3∵△OCA ∽△OBC ∴OC ∶OB =OA ∶OC ∴OC 2=OA •OB =3即OC =（2）因为C 是BM 的中点 ∴OC =BC 从而点C 的横坐标为23又OC =，点C 在x 轴下方∴C ），（2323-设直线BM 的解析式为y =kx +b ， 因其过点B （3，0），C ），（2323-，则有⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+.232303b k b k ，∴， ∴ 又点C 在抛物线上,代入抛物线解析式，P 作PQ x 轴交直线BM 于点Q ， 则Q （x ,）,PQ = 当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大33=k 333-=x y ），（2323-32333-x 33333322-+-x x ）（）（△2321321-+-=x PQ x PQ S BCP ）（23321-+-=x x PQ PQ 43=∴当时，有最大值，四边形ABPC 的面积最大， 此时点P 的坐标为（3）点P 存在. 设点P 坐标为（x ，），过点P 作PQ x 轴交直线BM 于点Q ， 则Q （x ,）,PQ = 当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大∴当时，有最大值，四边形ABPC 的面积最大， 此时点P 的坐标为43943923 2-+-=x x 492=-=a b x BCP S △）385-，49（323383322+-x x 333-x 33333322-+-x x ）（）（△2321321-+-=x PQ x PQ S BCP ）（23321-+-=x x PQ PQ 43=43943923 2-+-=x x 492=-=a b x BCP S △）385-，49（【知识点】一元二次方程与二次函数的关系，中点坐标公式，相似三角形性质，待定系数法求直线与抛物线的解5. （2018四川乐山，1，3） 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C（0，43-），OA =1，OB =4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD =34. （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动为t 秒. ①在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【思路分析】本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A 、B 、C 三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠P AQ =∠ACD ，再根据题目中的要求使得△ADC 与△PQA 相似，进行分类讨论得到对应线段成xyQ PEDCBAOyxQMC BA O P(第25题答案图2)比例，列出关于t 的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ 与△CAQ 的面积之和与时间t 之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案. 【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =4，∴A （1，0），B （-4，0）， -------------------- 1分 设所示抛物线的解析式为()()41y a x x =+-， ∵C （0，43-）在抛物线上， ∴()4413a -=⨯⨯-， 解得13a =， ∴抛物线的解析式为()()1413y x x =+-或21433y x x =+- ----------------------------- 3分 （2）存在t ，使得△ADC 与△PQA 相似，其理由如下： ①在Rt △AOC 中，OA =1，43OC =， 则3tan 4OA ACO OC ∠==， 又∵3tan 4OAD ∠=， ∴∠OAD =∠ACO ， ------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ∵直线l 的解析式为()314y x =- ，∴D （0，34-）， 又∵C （0，43-）， ∴CD =4373412-= 由AC 2=OC 2+OA 2，得53AC =. ---------------------------------------------------------------------- 5分 在△AQP 中，AP =AB -PB =5-2t ，AQ =t ， 由∠P AQ =∠ACD ，要使△ADC 与△PQA 相似，只需AP CD AQ AC =或AP ACAQ CD=， ------------------------------------------------------------------- 6分 则有7521253t t -=或5523712t t -=， ----------------------------------------------------------------- 7分 解得110047t =，23534t =， ∵t 1＜2.5，t 2＜2.5， ∴存在10047t =或3534t =， 使得△APQ 与△PQA 相似 -------------------------------------- 9分 ②存在t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大，其理由如下：作PF ⊥AQ 于点F ，CN ⊥AQ 于点N ， 如图6所示，在△APF 中，()3sin 525PF AP PAF t =⋅∠=-， 在△AOD 中，由AD 2=OD 2+OA 2，得54AD =------------------------------------------------- 10分 在△ADC 中，由1122ADC S AD CN CD OA ∆=⋅=⋅， ∴717125154CD OA CN AD ⨯⋅=== ------------------------------------------------------------------- 11分∴()()11375222515APQ CAQS S AQ PF CN t t ∆∆⎡⎤+=+=-+⎢⎥⎣⎦231316959135t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∴当139t =时，△APQ 与△CAQ 的面积之和最大. ------------------------------------------- 12分图6【知识点】二次函数 ；勾股定理；三角形相似的判定与性质；三角形面积；待定系数法；转化思想；数形结合思想；分类讨论思想6.(2018甘肃省兰州市,28,12分)如图,抛物线42-+=bx ax y 经过A (-3,0),B (5,-4)两点,与y 轴交于点C ,连接AB ,AC ,BC .(1)求抛物线的表达式; (2)求证:AB 平分CAO ∠;(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形.若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.【思路分析】(1)根据A ,B 两点的坐标利用待定系数法求解即可.(2)通过证明点B 到直线AC 的距离等于点B 到x 轴的距离即可证明结论.(3)分AM 为该直角边的斜边和BM 为该直角三角形的斜边两种情况,分别计算即可.【解题过程】(1)将A ,B 两点的坐标分别代入42-+=bx ax y ,得⎩⎨⎧-=-+=--，44525,0439b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,65,61b a故抛物线的表达式为y =465612--=x x y . xyN F Q PED CBAOACBxyO第28题图(2)证明:设直线AB 的表达式为y =kx +b ′,则3'0,5'4,k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,23',21b k 故直线AB 的表达式为y =2321--x .设直线AB 与y 轴的交点为点D ,则点D 的坐标为(0,23-).易得点C 的坐标为(0,-4),则由勾股定理,可得AC =5)04(]30[22=--+--）（. 设点B 到直线AC 的距离为h , 则52132121⨯⨯+⨯⨯=⨯CD CD AC h , 解得h =4.易得点B 到x 轴的距离为4, 故AB 平分∠CAO . (3)存在.易得抛物线的对称轴为直线25=x , 设点M 的坐标为(m ，25).由勾股定理,得AB 2=[5-(-3)]2+(-4-0)2=80,AM 2=[25-(-3)]2+(m -0)2=4121+m 2,BM 2=(25-5)2+[m -(-4)]2=m 2+8m +489. 当AM 为该直角三角形的斜边时, 有AM 2=AB 2+BM 2,即4121+m 2=80+m 2+8m +489, 解得m =-9,故此时点M 的坐标为(25,-9).当BM 为该直角三角形的斜边时, 有BM 2=AB 2+AM 2,即m 2+8m +489=80+4121+m 2, 解得m =11,故此时点M 的坐标为(25,11). 综上所述,点M 的坐标为(25,-9)或(25,11). 【知识点】二次函数的图象和性质 角平分线的判定与性质 勾股定理 分类讨论7. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c 与x 轴交于点A （-4,0），与y 轴交于点C ，抛物线y=-x ²+bx+c 经过点A ，C. （1）求抛物线的解析式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，求CE+OE 的最小值；（3）如图2所示，M 是线段OA 上的一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P 、N.①若以C ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，则△CPN 的面积为_________;②若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.注：二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（24,24b ac b aa --）【思路分析】(1)根据一次函数求出c 的值，再将A （-4,0）和c 值代入抛物线解析式求得b 值，进而得出抛物线解析式;(2)先作对称确定最小值的情况，进而求出答案.（3）①根据直角与对顶角找出两种相似的情况，进而得出△CPN 的面积；②根据菱形的判定定理作出菱形，进而得出D 点坐标. 【解题过程】解：（1）将A （-4,0）代入y=x+c ，得c=4.将A （-4,0）和c=4代入y=-x²+bx+c，得b=-3. ∴抛物线的解析式为y=-x ²-3x+4.（2）如图所示，作点C 关于抛物线的对称轴直线l 的对称点C ’，连接OC 交直线l 于点E ，连接CE ，此时CE+OE 的值最小.∵抛物线额对称轴为x=332(1)2--=-⨯-，则C ’C=3，在Rt △C ’CO 中，由勾股定理，得OC ’22(')CC OC +∴CE+OE 的最小值为5.（3）①∵抛物线解析式为y=-x ²-3x+4，∴A （-4,0），B （1,0），C （0,4），△APM 为等腰直角三角形. 设M 为（a ，0），则N （a ，-a ²-3a+4），P(a ，a+4).当△AMP ∽△CNP 时，则AM MP CN NP=，得24434(4)a a a a a a ++=---+-+，解得a=-4（舍）或a=-3或a=0（舍）. ∴CN=3,PN=3. ∴△CPN 的面积为12CN PN =92. 当△AMP∽△NCP时，则AM APNC NP=,得22222(4)34(4)(344)()a a a a a a a +=--+-+--+-+-，解得a=0（舍）或a=-2.∴.∴△CPN 的面积为12CN PC =4. 故答案为92或4.②存在. 1D (22-+,2),2D (22--,-2), 3D （-4,3）,4D （12，32）. 理由如下：当点P 是线段MN 的中点，则-a ²-3a+4=2（a+4）， 解得a=-4（舍），或a=-1. ∴M （-1,0），P （-1,3），N （-1,6）.设F(f ，f+4)，过点M 作AC 的平行线，则此直线的解析式为 y=x+1.∵PM=3，当PM 为菱形的边时，作PF=PM ，过F 作FD 平行PM ，交AC 平行线于点D ， ∴D （f ，f+1）.∴3²=2（f+1）²，解得f=22-±.则1D 2D ). ∵PM=AM=3,∴当点F 与点A 重合时，过点F 在x 轴上方作DF ∥PM ，且DF=PM ，连接DP ，可得出四边形DPMF 为菱形.∴点D 的坐标为（-4,3）.当PM 为菱形的对角线时，作PM 的垂直平分线，交直线AC 于点F ，作点F 关于PM 的对称点D ，连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP 为菱形. ∴将32代入直线AC 的解析式可得，点F 的坐标为（-52，32）. ∵直线PM 为x=-1， ∴点D 的坐标为（12，32）.综上所述， 1D (22-+,2),2D (22--,-2), 3D （-4,3）,4D （12，32）.【知识点】待定系数法，二次函数图象的性质，两点之间线段最短，对称图形的性质，勾股定理.8. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，26，12分）抛物线y =137322-+-x x 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y =t （2524t <）上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．（1）点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ；（2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围；（3）如图②，当t =0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）点A ，B 的坐标可以令y ＝0，解一元二次方程求出，点D 的坐标利用公式可求；（2）点E 可能在边界上也可能在边界内，∴要分情况讨论；（3）点Q 可能在原抛物线上也可能在翻折下来的部分抛物线上，∴要分情况讨论．要证明点Q 在圆上，只需证明QA 与QB 垂直即可． 【解题过程】（1）令y =137322-+-x x ＝0，解得x 1＝21，x 1＝3．∴A （21，0），B （3，0）．根据抛物线顶点公式可得D （47，2425）． 3分 （2）如图①，作直线DE ，交x 轴于点M ，交BC 于点N ． ∵直线BC 经过B （3，0），C （0，－1）两点， ∴直线BC 的解析式为：y ＝31x －1． 又∵抛物线对称轴DE 为：x ＝47， ∴点N 的坐标为（47，－125）． 4分 讨论：①当点D 与点M 重合时，此时点E 落在x 轴上的点M 处，图①lE yA B O D C· ·图②第25题图O ACBxy· D x∴t ＝21DM ＝21×2425＝4825． 5分 ②当点D 与点N 重合时，此时点E 落在BC 边上的点N 处． ∵DN ＝DM ＋MN ＝丨2425丨＋丨－125丨＝2435． ∴21DN ＝4835＞MN ． ∴t ＝21DN －MN ＝4835－125＝165． ∴t 的取值范围是：165≤t ≤4825． 7分（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ．如图②，设以CQ 为直径的⊙G 与x 轴相切于点P ，连接PC ，PG ，PQ ． 并作QH ⊥x 轴于点H ，则GC ＝GP ＝GQ ，且GP ⊥x 轴． ∴OC ∥PG ∥HQ ．∴OP ＝PH ． ∵CQ 为直径，∴∠CPQ ＝90°． ∴∠OPC ＝∠HQP ． ∵tan ∠OPC ＝OPOC ，tan ∠HQP ＝HQ HP．∴OPOC ＝HQ HP． 即OC ·HQ ＝OP ·HP ． 9分 讨论：①当点Q 在抛物线y =137322-+-x x 上时， 依题意有x ≤21或x ＞3． 设点Q 的坐标为（x ，137322-+-x x ）． 第25题答图①lE yA B O DC· ·x则OH ＝|x |，HQ ＝|137322-+-x x |，OP ＝PH ＝21|x |．∵OC ＝1，∴|137322-+-x x |＝21|x |·21|x |，即|137322-+-x x |＝41x 2．∵点Q 位于x 轴下方，∴137322-+-x x ≤0．∴137322-+-x x ＝－41x 2．解得x 1＝534214+，x 2＝534214-． 10分 ②当点Q 在抛物线y ＝137322+-x x 上时，依题意有21＜x ≤3．同理可得：|137322+-x x |＝41x 2．∵点Q 位于x 轴下方，∴137322+-x x ＝－41x 2．解得x 3＝116，x 4＝2． 11分 ∴满足条件的x 的值有x 1＝534214+，x 2＝534214-，x 3＝116，x 4＝2． ∵OP ＝21OH ＝21|x |， ∴符合条件的点P 的坐标有4个，即： P 1（5347+，0），P 2（5347-，0），P 3（113，0），P 4（1，0）． 12分【知识点】二次函数压轴题，存在性问题第25题答图②O ACBxy· D PQG9.（湖北省咸宁市，24，12）如图，直线343+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ,抛物线c bx x y ++-=283。
中考数学函数问题归纳总结3.二次函数与相切
3.二次函数与相切1.如图，抛物线2y ax bx c ＝＋＋经过点(00)O ，，(34)A ，和(110)C ，，点(0)P t ，是x 轴上的一个动点，连接AP ，取AP 的中点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90︒得线段PB ，连接AB 、BC 、AC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，点B 在此抛物线上；（3）在点P 运动过程中，是否存在ABC ∆为等腰三角形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点P 运动过程中，若以PB 为直径的圆与直线AC 相切，直接写出t 的值．解析：（1）设该抛物线的解析式为1()1y ax x -＝，把(34)A ，代入 得331(4)1a -＝，解得16a =- ∴1(11)6y x x =--，即211166y x x =-+（2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E∵90APB ∠︒＝，∴90APD BPE ∠∠︒＋＝∵90APD PAD ∠∠︒＋＝，∴BPE PAD ∠∠＝又∵90PEB ADP ∠∠︒＝＝，∴PEB ADP V V ∽ ∴PE BE PB AD PD AP ==，即1432PE BE t ==- ∴2PE ＝，132BE t =-，∴3(2)2t B t -+， 把B 点坐标代入抛物线的解析式，得21113(2)(2)662t t t --+++= 整理得：24270tt --＝，解得：2t=+或2t =-∴当2t =或2t =-时，点B 在此抛物线上（3）存在∵(34)A ，，3(2)2t B t -＋，，(110)C ，∴2223()()214A t B t ---＝＋，2223(()29)BC t t --＝＋ 2228480AC ＝＋＝若AB AC ＝，则223(1)(4)802t t --+-=，解得3t ±＝∴1(30)P ，，2(30)P -， 若AB ＝BC ， 则222233(14)()29()()2t t t t -----＋＝＋ 解得133t ＝，∴313(0)3P ，若AC BC ＝，则22803()()92t t --＝＋，解得395t ±=∴439(0)5P +，，539(0)5P -， （4）18131t =或11t ＝提示：设PB 的中点为N ，过点N 作NFx ⊥轴，交AC 于G ，作NH AC ⊥于H∵(34)A ，，(110)C ，，∴4AD ＝，8CD ＝，AC ＝∵(0)P t ，，3(2)2t B t -+，，∴3(1)4t N t -+， ∴1OF t ＝＋，1PF ＝，34t NF -＝，∴11110()CF OCOF t t ---＝＝＋＝, 2211(3)16PN t =+- 由Rt CGF Rt CAD ∆∆∽， 得11522GF CF t -＝＝ ∴1315(233)244t NG GF NF t t ----=-＝＝ ∵GF AD ∥，∴NGH CAD ∠∠＝又∵90GHN ADC ∠∠︒＝＝，∴GHN ADC ∆∆∽ ∴NH NG CD CA =，即1(233)8t NH -=3)NH t - ∵以PB 为直径的圆与直线AC 相切，∴NP NH ＝ ∴22111+(3)(233)1620t t -=- 整理得：23152219910tt -＋＝，解得：18131t =或=11t2.如图，在平面直角坐标系中，点(60)A -，、点(04)C ，，四边形OABC 是矩形，以点O 为圆心的O e过点0)D ，，点P 从点O 出发，沿O C B A ---以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AP 与O e相切？ （2）当直线AP 将O e 的周长分成1:2的两部分时，求t 的值；（3）直线l 为AP 的垂直平分线，垂足为E ．当点P 在OC 、BA 上运动时，是否存在点P ，使直线l 与O e 相切？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解析：（1）设AP 与O e相切于点F ，连接OF则OF AP ⊥，∴AF ==由AOF APO ∆∆∽得：OF AF OP AO=∴6OP =，∴11OP ＝∴当11t=时，AP 与O e 相切 （2）设直线AP 交O e 于M 、N ，O e 与x 轴交于另一点F连接OM 、ON 、MF 、ND ，作OIMN ⊥于I ∵直线AP 将O e 的周长分成1:2的两部分∴120MON ∠︒＝，∴60MOI NOI ∠∠︒＝＝∴122OI OM =＝，322MI =＝ ∴23MN MI ＝＝设AM x =，则3AN x =＋∵180AMF FMN ∠∠︒＋＝，180ADN FMN ∠∠︒＋＝∴AMF ADN ∠∠＝又MAF DAN ∠∠＝，∴AMF ADN ∆∆∽ ∴AM AD AF AN =63x +=+ 整理得：23330xx -+＝解得：132x --=（舍去），232x -+＝∴322AI x +=＝ 由OIP AIO ∆∆∽得：OP AO OI AI=22=，∴47OP =即47t= （3）设直线l 与O e 相切于点Hi ）当点P 在OC 上时，连接OH ，直线l 与x 轴相交于点G设OG x ＝，AE y ＝，则6AG x -＝，2AP y ＝由AGE OGH ∆∆∽得：AE OH AG OG=即6y x x =-① 由AGE APO ∆∆∽得：AE AO AG AP= 即662y x y=-②由①②得：62x y =，即3x y =，代入②并整理得：2180y -=，解得：1y =-，2y =∴OP===即t=ii ）当点P 在BA 上时，则四边形OAEH 是矩形∴AE OH ＝2AP AE ＝＝∴46414t -=-＝＋＋综上所述，当t=14-l 与O e 相切3.矩形ABCD 内接于O e ，将ADC ∆沿AC 翻折，点D 落在O e 上点E 处，连接BE ． （1）如图1，判断四边形AEBC 的形状，并说明理由；（2）如图2，PA 是O e 的切线，切点是A ，交CB 的延长线于点P ．动点M 从点P 出发，以2cm/s 的速度沿射线PC 的方向运动，以点M 为圆心，PM 长为半径作圆，设点M 运动的时间为t （秒）．若O e 的直径为5，34AB PB =． ①当t 为何值时，M e与直线BE 相切； ②根据M e 与线段AC 公共点的个数，直接写出相应的t 的值或取值范围．解析：（1）四边形AEBC 是等腰梯形，理由如下：连接EC由题意，AE AD BC ==，EAC DAC ACB ∠=∠=∠∵ABEACE ∠=∠，EAB ECB ∠=∠ ∴ACE BAC ∠=∠，∴ABE BAC ∠=∠∴BE AC ∥，∴四边形AEBC 是等腰梯形（2）①设M e与直线BE 相切于点F ，连接MF 则BFMF ⊥ ∵O e 的直径为5，∴5AC ＝易证ABC PBA ∆∆∽，∴34BC AB AB PB == 设3BC m ＝，则4AB m ＝在Rt ABC ∆中，22234()()5m m ＋＝解得1m ＝，∴3BC ＝，4AB ＝，16=3PB ∵PA 是O e 的切线，∴90PAB BAC ∠∠︒＋＝∵ABF BAC ∠∠＝，∴90PAB ABF ∠∠︒＋＝∴BF PA ⊥，∴MF PA ∥，∴BMF P ∠∠＝∴MFB PBA ∆∆∽，∴MFB ABC ∆∆∽ ∴45MF AB MB AC == ∵2MF MP t ＝＝，∴2416523t t =-，解得32=27t ∴当32=27t 秒时，M e 与直线BE 相切 ②当M e 与线段AC 公共点的个数是0个时，50027t ＜＜或2512t ＞ 当Me 与线段AC 公共点的个数是1个时，50=27t 当M e 与线段AC 公共点的个数是2个时，50252712t <≤4.如图，直线35y x -＝-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴正半轴交于点C ，与y 轴负半轴交于点D ，且95OC OB ＝，45OCD ∠︒＝．点(0)P t ，为线段OB 上的一个动点，过点P 作x 轴的平行线分别交直线AB 、CD 于点E 、F ．（1）设线段EF 的长为l ，求l 与t 之间的函数关系式；（2）当45EOF ∠︒＝时，求点P 的坐标；（3）是否存在点P ，使得过D 、E 、F 三点的圆与x 轴相切？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）在35y x --＝中，令0x ＝，得5y ＝- ∴(05)B -，，5OB ＝∵45OCD ∠︒＝，∴995OD OC OB =＝＝∵直线CD 与x 轴正半轴交于点C ， 与y 轴负半轴交于点D∴(90)C ，，(09)D -，设直线CD 的解析式为9y kx -＝，把(90)C ，代入099k -＝，∴1k ＝∴直线CD 的解析式为9y x -＝在35y x -＝-中，当y t ＝时，53t x +＝-在9y x -＝中，当y t ＝时，9x t ＝＋ ∴54329()(50)335t l t t t +--=+-＝＋≤≤ （2）设线段EF 的中点为M ，以EF 为斜边向上作等腰Rt EFN ∆ 以N 为圆心，NE 长为半径作N e∵45EOF ∠︒＝，∴N e过O 点∴2ON EN EF ＝＝，∴2212ON EF ＝由（1）知，5()3t E t +-，，(9)F t t +，， 43233EF t =+∴11()3t M t +，,11516()33t t N ++， ∴22211516()()33t t ON ++=+∴222115161432()()()33233t t t +++=+ ∴整理得：226150t t -＋＝解得：132t -+=（舍去），232t --＝∴点P 的坐标为3(0)2--，（3）假设存在设过D 、E 、F 三点的圆为H e显然圆心H 是线段DF 的中垂线和线段EF 的中垂线的交点 由题意，EF OC ∥，∴45PFD OCD ∠∠︒＝＝ ∴45HPF ∠︒＝，PDF ∆是等腰直角三角形 ∴线段DF 的中垂线过P 点设线段DF 的中垂线交x 轴于G ，直线GH 的解析式为y kx t ＝＋ ∵45OCD ∠︒＝，∴45OGP ∠︒＝ ∴(0)G t，，代入y kx t ＝＋，得1k ＝-∴直线GH 的解析式为y x t +＝- 设线段EF 的中点为M ，H e 与x 轴相切于点K由（2）知11()3t M t +， 把113t x +=代入y x t =-＋，得2113t y -= ∴11211()33t t H +-，由DH KH ＝，得22211211211()(9)()333t t t +--++= 整理得：21302560tt ＋＋＝，解得：12t ＝-，22=18t -（舍去）∴存在点(02)P -，，使得过D 、E 、F 三点的圆与x 轴相切5.如图，抛物线l 交x 轴于点(30)A -，，(10)B ，，交y 轴于点(03)C ，－，将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线1l ． （1）求1l 的解析式；（2）在1l 的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点1A 及C 两点的距离差最大，并说出理由（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线1l 于E 、F 两点，若以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径．解析：（1）由题意知，抛物线l 上的点A 、B 、C 关于y 轴的对称点为1(30)A ，，1(10)B -，，(03)C ，-设1l 的解析式为2(0)y ax bx c a ≠＝＋＋则309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=-⎩∴l 1的解析式为223y x x --＝（2）1l 的对称轴为1x ＝，P 在直线1x ＝上，故11PA PC PB PC --＝当点P 与点1B 、点C 不在一直线上时，1PB C ∆中，11PB PC B C -＜当点P 与点1B 、点C 在一直线上时，这些线段间关系为：111PA PC PB PC B C --＝＝故此时点P 到1A 、C 两点的距离差最大 设1B C 的解析式为3y kx -＝，将1(10)B -，代入上式得3k ＝-∴直线1B C 的解析式为33y x -＝-而直线33y x -＝-和直线1x ＝的交点即为P 由133x y x =⎧⎨=--⎩得16x y =⎧⎨=-⎩∴(16)P ，-即为所求（3）设1()E x y ，，2()F x y ，，所求圆的半径为r ，由图可知212x x r －＝∵对称轴为1x ＝，∴122x x ＋＝由211222x x rx x -=⎧⎨+=⎩得21x r ＝＋，即(1)F r y ＋， 将(1)F r y ＋，代入1l 的解析式223y x x --＝得2()1213()y r r --＝＋＋，即24y r -＝∵圆与x 轴相切，∴r y ±＝当0y ＞时，240rr --＝，解得112r +＝，212r -＝（舍去）当0y ＜时，240rr -＋＝，解得112r -+＝，212r --＝（舍去）故所求的圆有两个，在x 轴上方的圆半径为12+，在x 轴下方的圆半径为12-+6.已知过原点O 的两条直线与圆心为(04)M ，，半径为2的圆相切，切点分别为P 、Q ，PQ 交y 轴于点K ，抛物线经过P 、Q 两点，顶点为(06)N ，，且与x 轴交于A 、B 两点．（1）求点P 的坐标； （2）求抛物线解析式；（3）直线y m ＝与抛物线交于不同的两点C 、D ，当该直线与M e 相切时，求点A 、B 、C 、D 围成的多边形的面积（结果保留根号）．解析：（1）∵直线与M e相切于P 、Q∴90MPO ∠︒＝，OM PQ ⊥∵2MP ＝，4OM ＝，∴30MOP ∠︒＝，OP ＝∴KP ，3KO ＝∴3)P ，（2）设抛物线解析式为26y ax＝＋，把点3)P ，代入得： 336a ＝＋，∴1a ＝－∴抛物线解析式为26y x =-＋（3）令260x -＋＝，解得1x ＝2x∴(0)A ，，0)B ，，∴AB ＝当直线y m ＝与Me 相切时，2m ＝令262x-＋＝，解得12x =-，x 2＝2∴(20)D -，，(20)C ，，∴4CD ＝∴11()4)2422ABCD S AB CD m +⋅=+⨯=+四边形＝7.已知抛物线2(317)4y axa x a +--＝＋（0a ＞）恒过定点E 、F （E 在F 的左侧）． （1）求E 、F 两点的坐标；（2）点D 在直线EF 下方的抛物线上，当DEF ∆面积的最大值为1258时，求抛物线的解析式；（3）若经过点F 的P e 始终与x 轴相切，设()P x y ，，求y 与x 的函数关系式，并求点P 到点(44)，距离的最小值．解析：（1）∵23147()()()147y axa x a a x x x +-++---＝＝＋对于任意实数a ，当1x ＝-时，8y ＝；当4x ＝时，3y ＝ ∴抛物线恒过定点(18)-，和(43)，∵E 在F 的左侧，∴(18)E -，，(43)F ，（2）设直线EF 的解析式为y kx b ＝＋∴843k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得17k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线EF 的解析式为7yx =-+过点D 作DC y ∥轴，交直线EF 于点C 设(7)C xx -+，，则2(3147))(D x ax a x a +--，＋∴CD ＝273[()]147x axa x a -+-+-+-234ax ax a ++=-∴DEF DEC DFC S S S =+=V V V 11(1)(4)22CD x CD x ⋅++- ＝25(34)2ax ax a -+-25151022ax ax a =-++ ∵DEF ∆面积的最大值为1258∴25154()10()12522584()2a a a a ⨯-⋅-=⨯- 解得1a ＝∴抛物线的解析式为243y x x -+＝（3）∵(43)F ，，()P x y ，， P e 过点F 且与x 轴相切∴y PF ＝，∴222(()43)y x y =--＋即21425636yx x =-+ 设点()P x y ，到点(44)，的距离为d则22222()()(44432))+7(dx y x y y +=-+----＝22()2716y y y =+=--＋∴2d的最小值为6∴d8.如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆和OCD ∆是两个全等的直角三角形，90OBA CDO ∠︒＝＝，OB CD ＝，直角边OB 、OD 在x 轴上，点C 的坐标为(42)--，，抛物线2y ax bx c ++＝经过O 、A 、C 三点，与x 轴的另一个交点为E ． （1）求抛物线的解析式；（2）点F 为线段OC 上一动点（不与O 、C 重合），过点F 作y 轴的平行线交抛物线于点G ，连接BF 、AG ，当四边形ABFG 为等腰梯形时，求点F 的坐标； （3）在抛物线的EC 段上（包括C 点）是否存在点P ，使P e既与x 轴相切，又与直线CO 相交？若存在，求点P 横坐标P x 的取值范围，若不存在，请说明理由．解析：（1）∵Rt AOB Rt OCD ∆∆≌，(42)C --，，OB CD ＝∴2OB CD ＝＝，4AB OD ＝＝ ∴(24)A --，，(20)B -，∵抛物线2y ax bx c +=+经过点(00)O ，∴0c ＝，∴2y ax bx +＝∵抛物线过A 、C 两点 ∴4241642a b a b -=-⎧⎨-=-⎩解得34a ＝，72b ＝∴抛物线的解析式为237=42y x x + （2）设直线OC 的解析式为y kx ＝∴24k -＝-，∴12k ＝，∴12y x ＝ 设1()2F mm ，，则237()42G m m m +， 作FH AB ⊥于H ，GK AB ⊥于K∵四边形ABFG 为等腰梯形，∴BH AK ＝∴||||B H A K y y y y --＝，∴21370=(4)242m m m -+-- ∴4m ＝－或43m =- 当4m ＝－时，1(4)22y =⨯-=-，∴(42)F --， 此时点F 与点C 重合，不能形成等腰梯形 当43m =-时，142()233y ⨯-=-＝，∴42()33F --， ∴当四边形ABFG 为等腰梯形时，点F 的坐标为42()33--， （3）作DOC ∠的平分线OP 交CD 于Q ，交抛物线于P ，作QM OC ⊥于M ，则QD QM ＝设QD QM n ＝＝，则2QC n -＝∵4OD ＝，2CD ＝，∴OC 易证Rt CQM Rt COD ∆∆∽，∴QC QM OC OD =4n =，∴8n -，∴(48Q --， 易得直线OP的解析式为2)y x -＝令2372)42x x x -=+，解得10x ＝（舍去），2223x -＝ ∵P e 既与x 轴相切，又与直线CO 相交∴点P 横坐标P x的取值范围为：2243p x -<≤-9.如图，直线2y kx k =-+与抛物线2115424y x x =-+交于A 、B 两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ．（1）证明直线2y kx k -＝＋过定点P ，并求出点P 的坐标；（2）当0k ＝时，证明AQB ∆是等腰直角三角形；（3）对于任意的实数k ，是否都存在一条固定的直线与以AB 为直径的圆相切？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵2y kx k =-+)2(1k x -+＝∴当1x ＝时，2y ＝∴直线2ykx k =-+过定点(12)P ，（2）当0k ＝时，直线22ykx k =-+= 交点A 11()x y ，、22()B x y ，的坐标符合方程组：22115424y y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得1112x y =-⎧⎨=⎩2232x y =⎧⎨=⎩ ∴(12)A -，，(32)B ， ∴222()1321)36(AB -+--＝＝ ∵221151(1)14244y x x x -+=-+＝,，∴(10)Q ，∴222()(118)20AQ =-+-=-，222()108)32(BQ =+-=-∴AQ BQ ＝，222AB AQ BQ ＝＋∴AQB ∆是等腰直角三角形（3）存在一条固定的直线与以AB 为直径的圆相切，此直线即x 轴，解析式是0y ＝ 理由如下：交点11()A x y ，、22()B x y ，的坐标符合方程组：22115424y kx k y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ ∴2113()0424x k x k -++-= 即2()24430x k x k ++--＝∴1224x x k ＋＝＋，1243x x k-＝ ∴22121212)(4()x x x x x x -+-＝2224443161)()6(k k k =-=-++222421212 1616()()y y k x x k k -=-=+12y y ＋12()()22kx k kx k =－＋＋－＋12()24k x x k +-=+244k ＝＋∴AB244k =+即以AB 为直径的圆的半径为222k＋ ∵AB 的中点是1212()22x x y y ++，，即2(2122)k k ++， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为2(2122)k k ++，∵圆心到x 轴的距离等于圆的半径∴存在定直线与以AB 为直径的圆相切，此直线即x 轴，解析式是0y ＝10.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于(20)A -，、(20)B ，、(01)C -，三点，过坐标原点O 的直线y kx ＝与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、(02)D -，作平行于x 轴的直线1l 、2l ．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；（3）求线段MN 的长（用k 表示），并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．解析：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为2y axbx c ++＝ 把(20)A -，、(20)B ，、(01)C -，三点坐标代入得0420421a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪-=⎩解得1401a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴2114y x =- （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，∵点M 、N 在抛物线上 ∴211114y x -＝，222114y x -＝，∴222(41)x y ＝＋ 又∵2222222222()41)2(ON x y y y y ＝＋＝＋＋＝＋，∴22||ON y ＝＋ ∵21y ≥-，∴22ON y ＝＋设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F 则2222OC NP y EF ++=＝，∴2ON EF ＝ 即ON 的中点到直线1l 的距离等于ON 长度的一半∴以ON 为直径的圆与直线1l 相切（3）过点M 作MH NP 丄交NP 于点H则222222121()()MN MH NH x x y y ==-+-＋又∵11y kx ＝，22y kx ＝，∴2222121()()y y k x x -=- ∴22221()1()MN k x x =-＋∵点M 、N 既在y kx ＝的图象上又在抛物线上∴2114kx x -＝，即2440x kx --＝，解得2x k ±＝∴2221(16)()1x x k -=+，∴222=(161+)MN k∴2=41()+MN k延长NP 交2l 于点Q ，过点M 作2MSl ⊥于点S则1222MS NQ y y ＋＝＋＋＋＝22221212111114()2444x x x x -+-+=++ 又∵22222122441++=[+()]=+168x x k k k∴22+=42+2=41++()=MS NQ k k MN即M 、N 两点到2l 距离之和等于线段MN 的长。
2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编(解析版)
2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编（解析版）二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 ，OE = ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx=++交x轴于点(1,0)B．A-和点(3,0)（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点(2,3)D在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ x⊥轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当AQD∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线23=-+-经过点(1,0)y x bx-，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)=++≠，以y轴上的点(0,)y ax bx c aM m为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x=--+关于点(0,)m的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线22(0)=+-≠y ax ax b a①若抛物线y的衍生抛物线为22'=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是2(0)y bx bx a b它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？16．（2018•福建A 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ．（1）若点(0)也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为心，OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B ，C ，且ABC ∆有一个内角为60︒． ①求抛物线的解析式；②若点P 与点O 关于点A 对称，且O ，M ，N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠． 17．（2018•福建B 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ，且抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒． （1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y =-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以下问题：①求证：BC 平分MBN ∠；②求MBC ∆外心的纵坐标的取值范围．2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编参考解析二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -和点5(0,)2B 代入212y x bx c =-++得10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-++；（2）219(2)22y x =--+，9(2,)2C ∴，抛物线的对称轴为直线2x =，如图，设CD t =，则9(2,)2D t -，线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处，90PDC ∴∠=︒，DP DC t ==，9(2,)2P t t ∴+-，把9(2,)2P t t +-代入215222y x x =-++得2159(2)2(2)222t t t -++++=-， 整理得220t t -=，解得10t =（舍去），22t =，∴线段CD 的长为2；（3）P 点坐标为5(4,)2，D 点坐标为5(2,)2， 抛物线平移，使其顶点9(2,)2C 移到原点O 的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位， 而P 点5(4,)2向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ，E ∴点坐标为(2,2)-，设(0,)M m ， 当0m >时，15(2)2822m ++=，解得72m =，此时M 点坐标为7(0,)2；当0m <时，15(2)2822m -++=，解得72m =-，此时M 点坐标为7(0,)2-； 综上所述，M 点的坐标为7(0,)2或7(0,)2-．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【解】：（1）由题意，点(1,18)A 带入ky x= 得：181k =18k ∴=设2h at =，把1t =，5h =代入5a ∴=25h t ∴=（2）5v =，1AB =51x t ∴=+25h t =，18OB =2518y t ∴=-+由51x t =+ 则1(1)5t x =-2211289(1)185555y x x x ∴=--+=-++当13y =时，2113(1)185x =--+ 解得6x =或4-1x …6x ∴=把6x =代入18y x=3y =∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13310-=（米)（3）把 1.8y =代入2518y t =-+得28125t =解得 1.8t =或 1.8-（负值舍去）10x ∴=∴甲坐标为(10,1.8)恰好落在滑道18y x=上 此时，乙的坐标为(1 1.8v +乙，1.8) 由题意：()1 1.815 1.8 4.5v +-+⨯>乙7.5v ∴>乙3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【解】：（1）当0x =时，55y x =-=-，则(0,5)C -， 当0y =时，50x -=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C -代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为265y x x =-+-；（2）①解方程2650x x -+-=得11x =，25x =，则(1,0)A ，(5,0)B ，(0,5)C -，OCB ∴∆为等腰直角三角形， 45OBC OCB ∴∠=∠=︒， AM BC⊥，AM B ∴∆为等腰直角三角形，4AM AB ∴=== 以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，//AM PQ ，PQ AM ∴==PQ BC ⊥，作PD x ⊥轴交直线BC 于D ，如图1，则45PDQ ∠=︒，4PD ∴==，设2(,65)P m m m -+-，则(,5)D m m -， 当P 点在直线BC 上方时，2265(5)54PD m m m m m =-+---=-+=，解得11m =，24m =，当P 点在直线BC 下方时，225(65)54PD m m m m m =---+-=-=，解得1m =，2m =， 综上所述，P 点的横坐标为4； ②作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图2，11M A M C =， 11ACM CAM ∴∠=∠， 12AM B ACB ∴∠=∠，ANB∆为等腰直角三角形，2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴-，易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为1(2，5)2-， 设直线1EM 的解析式为15y x b =-+， 把1(2E ，5)2-代入得15102b -+=-，解得125b =-，∴直线1EM 的解析式为11255y x =--，解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则113(6M ，17)6-；作直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠，设2(,5)M x x -，13632x +=， 236x ∴=， 223(6M ∴，7)6-， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6-或23(6，7)6-．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 【解】：（Ⅰ）抛物线22y x mx m =+-经过点(1,0)A ，012m m ∴=+-，解得：1m =，∴抛物线解析式为22y x x =+-，22192()24y x x x =+-=+-，∴顶点P 的坐标为1(2-，9)4-；（Ⅱ）抛物线22y x mx m =+-的顶点P 的坐标为(2m-，28)4m m +-，由点(1,0)A 在x 轴的正半轴上，点P 在x 轴的下方，45AOP ∠=︒知点P 在第四象限， 如图1，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则45POQ OPQ ∠=∠=︒，可知PQ OQ =，即2842m m m+=-，解得：10m =，210m =-，当0m =时，点P 不在第四象限，舍去；10m ∴=-，∴抛物线的解析式为21020y x x =-+；（Ⅲ）由222(2)y x mx m x m x =+-=+-可知当2x =时，无论m 取何值时y 都等于4，∴点H 的坐标为(2,4)，过点A 作AD AH ⊥，交射线HP 于点D ，分别过点D 、H 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、G，则90DEA AGH ∠=∠=︒，90DAH ∠=︒，45AHD ∠=︒， 45ADH ∴∠=︒，AH AD ∴=，90DAE HAG AHG HAG ∠+∠=∠+∠=︒， DAE AHG∴∠=∠，ADE HAG ∴∆≅∆，1DE AG ∴==、4AE HG ==，则点D 的坐标为(3,1)-或(5,1)-；①当点D 的坐标为(3,1)-时，可得直线DH 的解析式为31455y x =+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线31455y x =+上，28314()4525m m m +∴-=⨯-+，解得：14m =-、2145m =-，当4m =-时，点P 与点H 重合，不符合题意，145m ∴=-； ②当点D 的坐标为(5,1)-时，可得直线DH 的解析式为52233y x =-+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线52233y x =-+上，28522()4323m m m +∴-=-⨯-+， 解得：14m =-（舍)，2223m =-，综上，145m =-或223m =-， 则抛物线的解析式为2142855y x x =-+或2224433y x x =-+． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．【解】：（1）由题意(1,3)A ，(3,3)B ，2AB ∴=．（2）如图1中，设2(,4)P m m m -+，作//PN y 轴J 交BE 于N ． 直线BE 的解析式为y x =，(,)N m m ∴，2212(3)32PEB S m m m m ∆∴=⨯⨯-+=-+，∴当32m =时，PEB ∆的面积最大，此时3(2P ，15)4，3(2H ，3)，153344PH ∴=-=， 作直线OG 交AB 于G ，使得30COG ∠=︒，作HK OG ⊥于K 交OC 于F ，12FK OF =，12PH HF FO PH FH FK PH HK ∴++=++=+，此时PH HF OF ++的值最小，1122HG OC OG HK =， 33)32HK ⨯∴==+，PH HF OF ∴++的最小值为94+．（3）如图2中，由题意32CH =，CF =，12QF '=，1CQ =，(1,3)Q ∴-，(2,4)D ，DQ①当DQ 为菱形的边时，1(1,3S -，2(1,3S -， ②当DQ 为对角线时，可得3(1,8)S -， ③当DR 为对角线时，可得4(5,3)S综上所述，满足条件的点S 坐标为(1,3-或(1,3-或(1,8)-或(5,3)．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．【解】：（1）如图1，过点D 作DK y ⊥轴于K ，当0x =时，y =C ∴，22y x =++(D ∴，DK ∴CK =-CD ∴（4分）（2）在2y x =+0y =，则20，解得：1x =-，2x =(A ∴-，0)，B 0)， (0,6)C ，易得直线AC 的解析式为：y x =+设(E x +，2(,P x x -+，2PF x ∴=-EF =Rt ACO ∆中，AO =OC =AC ∴=30CAO ∴∠=︒，2AE EF ∴==+211(()22PE EC x AC AE ∴+=-+-，212=++，2=-，2x =+，（5分）∴当12PE EC +的值最大时，x =-(P -，（6分）PC ∴=，11O B OB ==∴要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，如图2，将点P 1(P ，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(P ，则1121PB P B =，11211PO B C P B B C ∴+=+，∴连接2P C 与x 轴的交点即为使11PO B C +的值最小时的点1B ，1(B ∴，0)，将1B 1O ，此时112PO B C P C +==，对应的点1O 的坐标为(0)，（7分）∴四边形11PO B C （8分）（3）2O M （12分） 理由是：如图3，H 是AB 的中点，OH ∴= 6OC =CH BC ∴==30HCO BCO ∴∠=∠=︒， 60ACO ∠=︒，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即2O 在AC 上， 230B CA CAB ∴∠=∠=︒，2//B C AB ∴，2(B ∴-，①如图4，AN MN=，22330MAN AMN O B O ∴∠=∠=︒=∠，由旋转得：2122330CB C O B O ∠=∠=︒，221B C B C =，212175B CC B C C ∴∠=∠=︒，过1C 作12C E B C ⊥于E ，221B C B C ==∴122C E B O ，2B E 22232175O MB B MO B CC ∠=∠=︒=∠， 22190B O M C EC ∠=∠=︒，∴△1C EC ≅△22B O M ，222O M CE B C B E ∴==-=②如图5，AM MN=，此时M 与C 重合，22O M O C =③如图6，AM MN=，2212B C B C B H ===，即N 和H 、1C 重合， 230CAO AHM MHO ∴∠=∠=∠=︒，2213O M AO ∴== ④如图7，AN MN=，过1C 作1C E AC ⊥于E ，30NMA NAM ∴∠=∠=︒，312330O C B O MA ∠=︒=∠，121222290C B O AO B ∴∠=∠=︒， 190C EC ∠=︒，∴四边形122C EO B 是矩形，212EO C B ∴==122C E B O =EM ∴=22O M EO EM ∴=+=，综上所述，2O M 7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 (1,4)- ，OE = 3 ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【解】：（1）当1a =-时，抛物线的解析式为223y x x =--+，∴顶点(1,4)D -，(0,3)C ， ∴直线CD 的解析式为3y x =-+，3OE ∴=，故答案为(1,4)-，3．（2）结论：OE 的长与a 值无关． 理由：223y ax ax a =+-，(0,3)C a ∴-，(1,4)D a --，∴直线CD 的解析式为3y ax a =-，当0y =时，3x =，(3,0)E ∴，3OE ∴=，OE ∴的长与a 值无关．（3）当45β=︒时，3OC OE ==，33a ∴-=， 1a ∴=-，当60β=︒时，在Rt OCE ∆中，OC ==3a ∴-=，a ∴=4560β∴︒︒剟，a 的取值范围为1a -．（4）如图，作PM ⊥对称轴于M ，PN AB ⊥于N ．PD PE =，90PMD PNE ∠=∠=︒，90DPE MPN ∠=∠=︒，DPM EPN ∴∠=∠， DPM EPN ∴∆≅∆， PM PN ∴=，DM EN =， (1,4)D a --，(3,0)E ，43EN n m ∴=+=-， 1n m ∴=--，当顶点D 在x 轴上时，(1,2)P -，此时m 的值1， 抛物线的顶点在第二象限，1m ∴<．1(1)n m m ∴=--<．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．【解】：（1）由题意(0,1)E ，(1,1)A -，(1,1)D 把(1,1)D 代入2112y x mx =-++中，得到1112m =-++，12m ∴=．（2）抛物线1G 的对称轴1mx m =-=-， 2AE ED m ∴==，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，4AD BC m ∴==，2AB CD ==， 84L m ∴=+．（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点，∴抛物线2G 的顶点21(,1)2M m m --在线段AE 上，∴21112m -=， 2m ∴=或2-（舍弃），82420L ∴=⨯+=．（4）1G 的顶点21(,1)2m m +，1G 中(2,21)m -，2G 顶点21(,1)2m m --，2G 中(4,49)m --． ①当2m …，最高点是抛物线1G 的顶点21(,1)2N m m +时， 若213122m +=，解得1m =或1-（舍弃）， 若21192m +=时，4m =或4-（舍弃）， 又2m …，观察图象可知满足条件的m 的值为12m 剟，②24m <…时，当(2,21)m -是最高点时，23219212112m m m ⎧-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩剟，解得24m <…，③当4m >时，349924921m m m ⎧-⎪⎨⎪->-⎩剟， 解得942m <…， 综上所述，912m剟， 1240L ∴剟．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．【解】：（1）当0y =，2114033x x --=，解得13x =-，24x =，(3,0)A ∴-，(4,0)B ，当0x =，2114433y x x =--=-，(0,4)C ∴-；（2）5AC ，易得直线BC 的解析式为4y x =-， 设(Q m ，4)(04)m m -<<，当CQ CA =时，222(44)5m m +-+=，解得1m =2m =，此时Q 点坐标为4)-； 当AQ AC =时，222(3)(4)5m m ++-=，解得11m =，20m =（舍去），此时Q 点坐标为(1,3)-； 当QA QC =时，2222(3)(4)(44)m m m m ++-=+-+，解得252m =（舍去），综上所述，满足条件的Q 点坐标为4)-或(1,3)-； （3）解：过点F 作FG PQ ⊥于点G ，如图，则//FG x 轴．由(4,0)B ，(0,4)C -得OBC ∆为等腰直角三角形45OBC QFG ∴∠=∠=FQG ∴∆为等腰直角三角形，FG QG ∴==， //PE AC ，//PG CO ，FPG ACO∴∠=∠，90FGP AOC ∠=∠=︒， ~FGP AOC ∴∆∆．∴FG PG OA CO =，即34FG PG=，44233PG FG FQ ∴===，PQ PG GQ ∴=+==，FQ ∴=， 设(P m ，2114)(04)33m m m --<<，则(,4)Q m m -，2211144(4)3333PQ m m m m m ∴=----=-+，2214)2)33FQ m m m ∴=-+=-+20-<， QF ∴有最大值．∴当2m =时，QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．【解】：（1）当0y =时，260x x +-=，解得13x =-，22x =，(3,0)A ∴-，(2,0)B ，当0x =时，266y x x =+-=-，(0,6)C ∴-，ABC∴∆的面积11(23)61522AB OC ==⨯+⨯=； （2）抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，5A B AB ∴''==，△A B C '''和ABC ∆的面积相等，6OC OC ∴'==，即(0,6)C '-或(0,6)，设抛物线L '的解析式为26y x bx =+-或26y x bx =++ 设(,0)A m '、(,0)B n '，当m 、n 为方程260x bx +-=的两根，m n b ∴+=-，6mn =-，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24(6)25b ∴-⨯-=，解得1b =或1-，∴抛物线L '的解析式为26y x x =--．当m 、n 为方程260x bx ++=的两根，m n b ∴+=-，6mn =，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24625b ∴-⨯=，解得7b =或7-，∴抛物线L '的解析式为276y x x =++或276y x x =-+．综上所述，抛物线L '的解析式为26y x x =--或276y x x =++或276y x x =-+． 11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点(1,0)A -和点(3,0)B ． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为F ，点(2,3)D 在该抛物线上． ①求四边形ACFD 的面积；②点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PQ x ⊥轴交该抛物线于点Q ，连接AQ 、DQ ，当AQD ∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．【解】：（1）由题意可得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++；（2）①2223(1)4y x x x =-++=--+，(1,4)F ∴， (0,3)C ，(2,3)D ，2CD ∴=，且//CD x 轴，(1,0)A -，()1123243422ACD FCD ACFD S S S ∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯-=四边形；②点P 在线段AB 上，DAQ ∴∠不可能为直角，∴当AQD ∆为直角三角形时，有90ADQ ∠=︒或90AQD ∠=︒，i ．当90ADQ ∠=︒时，则DQ AD ⊥，(1,0)A -，(2,3)D ，∴直线AD 解析式为1y x =+， ∴可设直线DQ 解析式为y x b =-+'，把(2,3)D 代入可求得5b '=，∴直线DQ 解析式为5y x =-+，联立直线DQ 和抛物线解析式可得2523y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， (1,4)Q ∴；ii ．当90AQD ∠=︒时，设2(,23)Q t t t -++，设直线AQ 的解析式为11y k x b =+， 把A 、Q 坐标代入可得1121123k b tk b t t -+=⎧⎨+=-++⎩，解得1(3)k t =--， 设直线DQ 解析式为22y k x b =+，同理可求得2k t =-，AQ DQ ⊥，121k k ∴=-，即(3)1t t -=-，解得t =，当t =223t t -++=，当t时，223t t -++=， Q ∴点坐标为或； 综上可知Q 点坐标为(1,4)或或． 12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验：（1）已知抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，则b = 4- ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 ．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，以y 轴上的点(0,)M m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线y '，则我们又称抛物线y '为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x =--+关于点(0,)m 的衍生抛物线为y '，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围． 问题解决：（3）已知抛物线22(0)y ax ax b a =+-≠①若抛物线y 的衍生抛物线为222(0)y bx bx a b '=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a 、b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．【解】：求解体验：（1）抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，130b ∴---=， 4b ∴=-，∴抛物线解析式为2243(2)1y x x x =---=-++， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1)-，∴抛物线的顶点坐标(2,1)-关于(0,1)的对称点为(2,1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2,1)， 令原抛物线的0x =，3y ∴=-，(0,3)∴-关于点(0,1)的对称点坐标为(0,5)，设新抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+， 点(0,5)在新抛物线上，25(02)1a ∴=-+，1a ∴=，∴新抛物线解析式为22(2)145y x x x =-+=-+，故答案为4-，(2,1)-，245y x x =-+；抽象感悟：（2）抛物线2225(1)6y x x x =--+=-++①，∴抛物线的顶点坐标为(1,6)-，抛物线上取点(0,5)，∴点(1,6)-和(0,5)关于点(0,)m 的对称点为(1,26)m -和(0,25)m -，设衍生抛物线为2(1)26y a x m '=-+-，2526m a m ∴-=+-，1a ∴=，∴衍生抛物线为22(1)26225y x m x x m '=-+-=-+-②，联立①②得，2222525x x m x x -+-=--+， 整理得，22102x m =-， 这两条抛物线有交点，1020m ∴-…， 5m ∴…；问题解决：（3）①抛物线222(1)y ax ax b a x a b =+-=+--，∴此抛物线的顶点坐标为(1,)a b ---，抛物线y 的衍生抛物线为22222(1)y bx bx a b x a b '=-+=-+-，∴此函数的顶点坐标为2(1,)a b -，两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴2222b b a a ba ab a b⎧++=--⎨+-=-⎩， 0a ∴=（舍)或3a =， 3b ∴=-，∴抛物线y 的顶点坐标为(1,0)-，抛物线y 的衍生抛物线的顶点坐标为(1,12)， ∴衍生中心的坐标为(0,6)；②抛物线22y ax ax b =+-的顶点坐标为(1,)a b ---， 点(1,)a b ---关于点2(0,)k n +的对称点为2(1,22)a b k n +++，∴抛物线n y 的顶点坐标n A 为2(1,22)a b k n +++，同理：1(1n A +，222(1))a b k n ++++22122(1)(22)42n n A A a b k n a b k n n +∴=++++-+++=+．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C 代入2y ax bx c =++得：09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：23a =-，43b =，2c =，∴抛物线的解析式为224233y x x =-++．（2）设点P 的坐标为224(,2)33t t t -++．(1,0)A -，(3,0)B ，4AB ∴=．221124484(2)4(03)223333S AB PD t t t t t ∴==⨯⨯-++=-++<<； （3）当ODP COB ∆∆∽时，OD DP OC OB=即22423323t tt -++=， 整理得：24120t t +-=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，32DP OD == ∴点P 的坐标为． 当ODP BOC ∆∆∽，则OD DP BO OC=，即22423332tt t -++=， 整理得230t t--=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，23DP OD ==，∴点P 的坐标为．综上所述点P 的坐标为或． 14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）当0x =时，2224433y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,4)-；当0y =时，有2224033x x --=， 解得：12x =-，23x =，∴点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(3,0)．（2）设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将(3,0)B 、(0,4)C -代入y kx b =+，304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为443y x =-． 过点Q 作//QE y 轴，交x 轴于点E ，如图1所示，当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(22,0)t -，点Q 的坐标为3(35t -，4)5t -，3(22)52PB t t ∴=--=-，45QE t =，22144552()25544PBQ S PB QE t t t ∆∴==-+=--+．405-<， ∴当54t =时，PBQ ∆的面积取最大值，最大值为54． （3）当PBQ ∆面积最大时，54t =，此时点P 的坐标为1(2，0)，点Q 的坐标为9(4，1)-．假设存在，设点M 的坐标为222(,4)33m m m --，则点F 的坐标为4(,4)3m m -，2242224(4)23333MF m m m m m ∴=----=-+，2132BMC S MF OB m m ∆∴==-+．BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，253 1.64m m ∴-+=⨯，即2320m m -+=，解得：11m =，22m =．03m <<，∴在BC 下方的抛物线上存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，点M 的坐标为(1,4)-或8(2,)3-．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？【解】：（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆， 则第二期盆景有(50)x +盆，花卉有(50)x -盆， 所以21(50)(1602)2608000W x x x x =+-=-++，。
二次函数概念、性质和图象(解析版)数学2018全国中考真题-1
2018年数学全国中考真题二次函数概念、性质和图象（试题一）解析版一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ．【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.1或2- B.2-或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性2y ax bx c =++xy -1BOCAx =13. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。
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，
， 7 m 1 5 解得 或 ，(舍去) 9 n 2 5 9) ∴点Q ( 7 ， 9 )，同理可得点P( 17 ， 5 4 5 5 设直线l1和直线l2的解析式分别为 y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2， 9 4 k1 b1 k 1 -17 5 3 则 5 解得 19 k 1 b 1 5 b1 3
11 19 4 4 y1＝－ x－ ，y2＝ x－ . 3 3 3 3 19 4 4 11 ∴直线l1的解析式是y＝－ x－ 或y＝ x－ . 3 3 3 3
D(－2，2)；
（3）以AB为直径作⊙M,直线l经过点E(-1,-5),并 且与⊙M相切,求直线l的解析式. 【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标，设切点为 F，由题可得圆心点M坐标、半径长，点M与E为平行于 y轴的直线上的两点，有切点，故构造直角三角形是解 题切入点，由于过圆外一点存在两条圆的切线，故此题 有两种情况．
第二部分
攻克题型得高分
题型八 二次函数综合题
类型六 切线问题
典例精析
例如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2). (1)求抛物线的解析式； 【思维教练】设y＝a(x＋4)(x－2)， 将C(0，2)代入即可得解； 例题图
(1)∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)， ∴设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－2)，把C(0，2) 代入，得2＝a×4×(－2)，即a＝－
（x-2） 4 1 2 1 ＝- x - x+2; 4 2
1 4
，
（2）若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC
上方,当以A、C、D三点为顶点的三角形面积最大
时,求点D的坐标及此时三角形的面积； 【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示出 △ACD的面积，且由题意知yD>0，将△ACD拆分成同 底，且以A、C点为顶点的两个三角形求解
( m 1) 2 ( n 5) 2 4 17 m1 5 9 n 2 5
∴
( m 1) 2 n 2 3
4 k 2 3 , 解得 b 11 k 2 b 2 5 2 3 7 9 - k2 b2 5 5
∴直线l1、l2的解析式分别是
x＋ 2，
例题解图②
1 ∴F(x， x＋2)， 2 S△ADC＝S△ADF＋S△CDF 1 1 ＝ (x －x )(y －y )＋ (x －x )(yD－yF) 2 D A D F 12 C D 1 1 2 1 1 ＝ (xC－xA)(yD－yF)＝ ×4×(- x －2 x＋2－ 2 x－2) 2 4 2 1 1 ＝－ x2－2x＝- (x＋2)2＋2， 2 12 ∵－ ＜0，－4<x<0， 2 ∴当x＝－2时，S△ADC有最大值，最大值为2，此时
如解图②，以AB为直径作⊙M，且由解图易知，存在两条 MQ，∵AB＝6，
∴以AB为直径的⊙M的半径为3，即M(－1，0)，
过点E且与⊙M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，
设切点Q取坐标为(m，n)，且m>0，
∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，
由勾股定理得EQ ME 2 MQ 2 4
1 1 (2)依题意可设D(x，－ x2－ x＋2)(－4＜x＜0)， 4 2 如解图①，连接AC，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－4，0)， C(0，2)代入
k1 2 4 k b 0 得 b2 ，解得 b2 ， 1 ∴直线AC的解析式为y＝ 2