北京四中高考数学总复习 三角函数的图象和性质(基础)知识梳理教案
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【考纲要求】
1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义.
2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22
ππ
-的单调性. 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、“五点法”作图
在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，
(,1)2π，(,0)π，3(,-1)2
π
，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质
名称
sin y x =
cos y x = tan y x =
定义域
x R ∈ x R ∈
{|,}
2
x x k k Z π
π≠+
∈
值 域
[1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞
图象
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
应用
三角函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质
正切函数的 图象与性质
要点诠释：
①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域．
②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.
要点诠释：
应掌握一些简单函数的周期：
①函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T π
ω
=
；
②函数tan()y A x ωϕ=+的周期T πω
=
； ③函数sin y x =的周期=T π； ④函数tan y x =的周期=T π. 【典型例题】 类型一、定义域 例1．求函数2
1
log 1sin =
-y x
的定义域. 【思路点拨】根据要使偶次根式有意义只需偶次根式下大于等于零即可，同时对数要有意义，再结合单位圆中的三角函数线解不等式即可.
【解析】为使函数有意义，需满足2
1log 10,sin sin 0.⎧
-≥⎪⎨⎪>⎩
x
x ，解得10sin 2<≤x ，由单位圆，如图所示：
故
函
数
的
定
义
域
为
5{|22,}{|22,}6
6
x k x k k Z x k x k k Z π
π
πππππ<≤+
∈+
≤<+∈. 【总结升华】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”.在求解三角函数中，我们可以在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成. 举一反三：
【变式】求函数22sin cos 1+-y x x .
【解析】为使函数有意义，需满足2
2sin cos 10+-≥x x ，即2
2cos cos 10--≤x x ，
解得
1
cos1 2
-≤≤
x，由单位圆，如图所示：
函数的定义域为
22
{|22,}
33
x k x k k Z
ππ
ππ
-<<+∈.
例2．求函数2
sin
25log(2sin1)
x
y x x
=-+-的定义域.
【思路点拨】只需2
250
x
-≥，同时对数要有意义，即底sin0
x>且sin1
x≠，真数2sin10
x->.
【解析】由题有
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
-
≠
>
≥
-
1
sin
2
1
sin
sin
252
x
x
x
x
⇒
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
+
≠
∈
+
<
<
+
≤
≤
-
)
(
2
2
)
(
6
5
2
6
2
5
5
Z
k
k
x
Z
k
k
x
k
x
π
π
π
π
π
π
将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，
即：
∴因此函数的定义域为：
3375
[5,)(,)(,)(,)
2266226
πππππππ
----
【总结升华】①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化.
②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.
举一反三：
【变式1】求函数的定义域：
（1）2log tan
1
2
y x x
=+（2）
tan(sin
4
lg(2cos1)
x x
y
x
π
-
=
-
.